文档内容
专题 01 一元二次方程（3 个知识点 5 大题型 2 个易错点中考 2 种考
法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点） 知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
知识点3一元二次方程的解（重点）
【方法二】 实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
题型三：一元二次方程新定义问题
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
考法2根据实际问题列一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1一元二次方程的定义（重点）
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
例1．（2022秋•镇江期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2+2x+3＝x（x+1）
C．2x+3y＝6 D．x2﹣2x+3＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．此方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．由原方程变形得到：x+3＝0，该方程是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．方程2x+3y＝6中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程x2﹣2x+3＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
知识点2一元二次方程的一般形式（重点）
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
例2．（2022秋•建邺区期中）将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣2x+5＝0 B．x2﹣2x﹣5＝0 C．x2+2x﹣5＝0 D．x2+2x+5＝0
【分析】先去括号，再移项，最后合并同类项即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝6，
x2﹣2x+1﹣6＝0，
x2﹣2x﹣5＝0，
即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式的内容是解此题的关键，
注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
例3．（2022秋•镇江期中）将一元二次方程x（x+1）﹣2x＝2化为一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣x＝2 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣x﹣2＝0
【分析】先去括号，再合并同类项，即可答案．
【解答】解：x（x+1）﹣2x＝2，
x2+x﹣2x＝2，
x2+x﹣2x﹣2＝0，
x2﹣x﹣2＝0，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
例4．（2022秋•新北区校级月考）将方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化为一般形式为 3 x 2 ﹣ 5 x ﹣ 1 2 ＝ 0 ．
．
【分析】把方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式即可．
【解答】解：3x（x﹣1）＝2（x+2）+8，3x2﹣3x＝2x+4+8，
3x2﹣3x﹣2x﹣4﹣8＝0，
3x2﹣5x﹣12＝0．
故答案为：3x2﹣5x﹣12＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整
理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
例5．（2022秋•海州区校级月考）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是 ﹣ 2 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都
能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中 ax2叫做二次项，a
叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．
例6．（2022秋•常州期中）若关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项为0，则m的值等
于 ﹣ 1 ．
【分析】关于x一元二次方程（m+2）x2+5x+m2+3m+2＝0的常数项是m2+3m+2＝0，解出关于m的一元
二次方程，并且注意而二次项系数（m+2）≠0，两者结合求得m的值．
【解答】解：∵关于x一元二次方程常数项为0，
∴m2+3m+2＝0，
解得m ＝﹣1，m ＝﹣2；
1 2
又∵m+2≠0，m≠﹣2，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意
a≠0的条件；以及解一元二次方程．
例7．（2021秋•淮安区期中）若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m
的值．
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系
数、一次项系数、常数项．
【解答】解：由题意，得：
m2﹣3m﹣4＝0，且m+1≠0，解得m＝4．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意
a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常
数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
知识点3一元二次方程的解（重点）
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax2+bx+c＝0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax 2+bx +c＝0（a≠0），ax 2+bx +c＝0（a≠0）．
1 1 2 2
例8．（2021春•射阳县校级期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为
0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x ＝0，x ＝﹣5．
1 2
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
【方法二】实例探索法
题型一：根据一元二次方程的定义求字母的值
1．（2022秋•大丰区期末）如果（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．m≠0 B．m≠3 C．m＝0 D．m＝3【分析】利用一元二次方程定义可得答案．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
叫一元二次方程．
【解答】解：∵（m﹣3）x2+5x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m﹣3≠0，
解得：m≠3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的二次项系数不为零．
2．（2023•睢宁县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a≠0 C．a＝1 D．a≥0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．
【解答】解：由一元二次方程的特点可知a≠0．
故选：B．
【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了．在
ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不
过是不完全的一元二次方程．
题型二：根据一元二次方程的根求字母或代数式的值
3．（2023•邗江区校级一模）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则2023﹣m2+m的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：m2﹣m﹣2＝0，从而可得m2﹣m＝2，
然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣x﹣2＝0中可得：
m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+m
＝2023﹣（m2﹣m）
＝2023﹣2
＝2021，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．4．（2022秋•邳州市期末）已知关于x的方程x2+bx+2＝0的一个根为x＝1，则实数b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：12+b+2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入方程x2+bx+2＝0中得：
12+b+2＝0，
解得：a＝﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
5．（2023•邗江区一模）若关于x的方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根为3，则m的值为 ．
【分析】根据题意可得：把x＝3代入方程x2﹣mx﹣2＝0中得：32﹣3m﹣2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝3代入方程x2﹣mx﹣2＝0中得：
32﹣3m﹣2＝0，
解得：m＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
6．（2023春•玄武区期中）若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 202 2 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴m2+m﹣1＝0，
∴m2+m＝1，
∴2023﹣m2﹣m
＝2023﹣（m2+m）
＝2023﹣1
＝2022．
故答案为：2022．
【点评】本题考查了解一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．7．（2022秋•江阴市校级月考）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰
好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；
（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x ＝2，x ＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，
1 2
然后计算它的周长．
【解答】解：（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；
（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x ＝2，x ＝6，
1 2
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，
∴△ABC的周长为6+6+2＝14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．也考查了三角形三边的关系．
8．（2022•广陵区校级开学）已知x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，求代数式 ÷（x+3
﹣ ）的值．
【分析】利用一元二次方程的解可得出x2﹣8x＝1，将其代入 ÷（x+3﹣ ）＝
中即可求出结论．
【解答】解：∵x是一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0的实数根，
∴x2﹣8x＝1．
原式＝ ÷
＝ ÷
＝ ÷＝ ÷
＝ •
＝
＝
＝
＝ ，
∴代数式 ÷（x+3﹣ ）的值为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二
次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
题型三：一元二次方程新定义问题
9．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这
个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m的值．
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否
为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝
0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【解答】解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m ＝2，m ＝﹣1，
1 2即m的值为2或﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
10．（2022秋•江阴市校级月考）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两
个方程为“友好方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求
m的值．
【分析】通过解方程x2﹣2x＝0，可得出方程的根，分x＝0为两方程相同的实数根或x＝2为两方程相同
的实数根两种情况考虑：①若x＝0是两个方程相同的实数根，将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出
m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出 m＝1符合题意；②若x＝2是两个
方程相同的实数根，将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出
方程的解，对照后可得出m＝﹣9符合题意．综上此题得解．
【解答】解：解方程x2﹣2x＝0，得：x ＝0，x ＝2．
1 2
①若x＝0是两个方程相同的实数根．
将x＝0代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：m﹣1＝0，
∴m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
解得：x ＝0，x ＝﹣3，符合题意，
1 2
∴m＝1；
②若x＝2是两个方程相同的实数根．
将x＝2代入方程x2+3x+m﹣1＝0，得：4+6+m﹣1＝0，
∴m＝﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10＝0，
解得：x ＝2，x ＝﹣5，符合题意，
1 2
∴m＝﹣9．
综上所述：m的值为1或﹣9．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键．
11．（2017秋•句容市月考）阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ，把x＝ ，代入已知方程，得（ ）2+ ﹣1＝0．
化简，得y2+2y﹣4＝0，
故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程
为 y 2 ﹣ 2 y ﹣ 1 ＝ 0 ；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，
使它的根分别是已知方程根的倒数．
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，代入原方程即可得；
（2）设所求方程的根为y，则y＝ （x≠0），于是x＝ （y≠0），代入方程ax2+bx+c＝0整理即可得．
【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，
把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，
故答案为：y2﹣2y﹣1＝0；
（2）设所求方程的根为y，则y＝ （x≠0），于是x＝ （y≠0），
把x＝ 代入方程ax2+bx+c＝0，得a （ ）2+b（ ）+c＝0，
去分母，得 a+by+cy2＝0，
若c＝0，有ax2+bx＝0，
于是，方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意，
∴c≠0，
故所求方程为a+by+cy2＝0 （ c≠0）．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．
题型四：对含字母的一元二次方程的系数的讨论
12．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．
【分析】（1）先解一次方程得到x＝m+2，然后把x＝m+2代入一元二次方程得到（m+2﹣1）（m+2﹣
2）＝m+1，然后解关于m的方程即可；
（2）先解一次方程得到x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得到m＝n2+n﹣1，所以
m+n＝n2+2n﹣1，利用配方法得到m+n＝（n+1）2﹣2，然后根据非负数的性质可得到结论．
【解答】（1）解：解关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，
把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；
（2）证明：解关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，
把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，
整理得m＝n2+n﹣1，
所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，
因为（n+1）2≥0，
所以m+n的最小值为﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
13．（2020秋•鼓楼区期中）方程是含有未知数的等式，使等式成立的未知数的值称为方程的“解”．方
程的解的个数会有哪些可能呢？
（1）根据“任何数的偶数次幂都是非负数”可知：关于x的方程x2+1＝0的解的个数为 0 ；
（2）根据“几个数相乘，若有因数为0，则乘积为0”可知方程（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0的解不止
一个，直接写出这个方程的所有解；
（3）结合数轴，探索方程|x+1|+|x﹣3|＝4的解的个数；（写出结论，并说明理由）
（4）进一步可以发现，关于x的方程|x﹣m|+|x﹣3|＝2m+1（m为常数）的解的个数随着m的变化而变
化…请你继续探索，直接写出方程的解的个数与对应的m的取值情况．
【分析】根据题意分情况讨论，再根据绝对值的意义去绝对值计算即可得出答案．
【解答】解：（1）关于x的方程x2+1＝0的解的个数为0，
故答案为0；
（2）∵（x+1）（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x+1＝0或x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得：x ＝﹣1，x ＝2，x ＝3；
1 2 3
（3）有无数个，理由如下：
|x+1|+|x﹣3|＝4，
当x≤﹣1时，有﹣x﹣1+3﹣x＝4，解得x＝﹣1；
当﹣1＜x≤3时，有x+1+3﹣x＝4，x为﹣1＜x≤3中任意一个数；
当x＞3时，有x+1+x﹣3＝4，解得x＝3（舍）；
综上，方程的解为：﹣1≤x≤3中任意一个数；
（4）根据题意分两种情况：①当m≤3时，|x﹣m|+|x﹣3|的最小值是3﹣m，
此时m≤x≤3，
当2m+1＜3﹣m时，原方程无解；
即m＜ 时，原方程无解；
当m≤x≤3，|x﹣m|+|x﹣3|的最小值是3﹣m，
2m+1＝3﹣m，
解得m＝ ，
即当m＝ 时，原方程有无数多个解．解为 ≤x≤3；
当x＜m时，原方程可化为：m﹣x+3﹣x＝2m+1，x＝ （2﹣m）；
当x≥3时，原方程可化为：x﹣m+x﹣3＝2m+1，x＝ （3m+4）；
②当m＞3，此时，|x﹣m|+|x﹣3|的最小值是m﹣3，
此时3≤x≤m，
当2m+1＝m﹣3时，原方程有无数解，m＝﹣4不符合条件m＞3，不存在；
当x＜3时，原方程化为：m﹣x+3﹣x＝2m+1，x＝ （2﹣m）；
当x＞m时，原方程可化为：x﹣m+x﹣3＝2m+1，x＝ （3m+4）；
当2m+1＜m﹣3时，原方程无解，m＜﹣4不符合条件，m＞3，这种情况不存在；
综上所述：当m＜ 时，原方程无解；
m＝ 时，原方程有无数多个解．解为 ≤x≤3；
当m＞ 时，原方程有两个解，分别为：x＝ （2﹣m），x＝ （3m+4）．【点评】本题考查了一元二次方程的解，数轴，绝对值，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
题型五：一元二次方程与完全平方公式综合
14．（2020秋•句容市月考）阅读下列材料：
（1）关于 x 的方程 x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以 得： 即 ，
，
（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则 ＝ 4 ， ＝ 1 4 ， ＝ 19 4 ；
（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求 的值．
【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决．
（2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可．
【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，
∴x+ ＝4，
∴（x+ ）2＝16，
∴x2+2+ ＝16，
∴x2+ ＝14，
∴（x2+ ）2＝196，∴x4+ +2＝196，
∴x4+ ＝194．
故答案为4，14，194．
（2）∵2x2﹣7x+2＝0，
∴x+ ＝ ，x2+ ＝ ，
∴ ＝（x+ ）（x2﹣1+ ）＝ ×（ ﹣1）＝ ．
【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平
方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．
【方法三】差异对比法
易错点1忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个隐含条件
15．（2021秋•襄城县期中）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，则m
的值为 1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和常数项的定义得出m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣6x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m﹣2≠0且m2﹣3m+2＝0，
解得：m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，能得出 m﹣2≠0和m2﹣4＝0是
解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
易错点2 在求一元二次方程的相关项及系数时，没有先将其化为一般形式
16．（2022秋•沭阳县校级期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是
（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次项系数即可．【解答】解：2x2﹣1＝4x，
移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，
即一次项系数是﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次
方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，
a≠0），②找项的系数带着前面的符号．
【方法四】 仿真实战法
考法1根据方程的根求字母（或代数式）的值
17．（2022•连云港）若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m+n的值是
1 ．
【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．
【解答】解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，
解得m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
18．（2021•宿迁）若关于x的一元二次方程x2+ax﹣6＝0的一个根是3，则a＝ ﹣ 1 ．
【分析】直接把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+ax﹣6＝0得9+3a﹣6＝0，解得a＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．
19．（2022•广东）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a＝ 1 ．
【分析】把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，计算即可得出答案．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣2x+a＝0中，
得1﹣2+a＝0，
解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．20．（2022•遂宁）已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+2m2﹣2025m+2022的值为（ ）
A．﹣2022 B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得m2+3m＝2022，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2+3m＝2022，
∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣3m﹣2022m+2022
＝m（m2+3m）﹣（m2+3m）﹣2022m+2022
＝2022m﹣2022﹣2022m+2022
＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将 m2+3m＝2022整体代入代数式求值是解题
的关键．
21．（2022•资阳）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 6 ．
【分析】将a代入x2+2x﹣3＝0，即可得出a2+2a＝3，再把a2+2a＝3整体代入2a2+4a，即可得出答案．
【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，
∴a2+2a﹣3＝0，
∴a2+2a＝3，
∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键．
考法2根据实际问题列一元二次方程
22．（2022•衢州）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）
满足的一元二次方程： 1 5 x （ 1 0 ﹣ x ）＝ 36 0 （不必化简）．【分析】根据题意表示出长方体的长与宽，进而表示出长方体的体积即可．
【解答】解：由题意可得：长方体的高为：15cm，宽为：（20﹣2x）÷2（cm），
则根据题意，列出关于x的方程为：15x（10﹣x）＝360．
故答案为：15x（10﹣x）＝360．
【点评】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出长方体的棱长是解题关键．
【方法五】 成果评定法
一、单选题
1．（2022秋·辽宁盘锦·九年级统考期末）将方程 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、
一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，3 B．2， ，3 C．2， ， D．2， ，1
【答案】C
【分析】把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解．
【详解】解：由方程 可得： ，则有 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
2．（2022秋·四川成都·九年级统考期末）把一元二次方程 化成一般形式后，一次项系数的一半
为（ ）
A．8 B．4 C． D．-4
【答案】D
【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．
【详解】解：原方程变为 ，可知一次项系数的一半是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．
3．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程 化成 的形式，
则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出 ， ， 的值．
【详解】解：将原方程化为一般形式得： ，
∴ ， ， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于 的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式 ，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
4．（2022春·甘肃兰州·九年级校考阶段练习）若 是关于 的一元二次方程，则 的
值是( )
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，得出 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
5．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值是（ ）
A． B．1 C． 或 D．0
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常
数且 ）特别要注意 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，
bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵关于 的一元二次方程 的常数项为0，
∴ 且 ，
解得 ．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，以及一般形式，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
6．（2023·广东惠州·统考一模）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为
（ ）
A．1 B．1或 C． D．0.5
【答案】C
【分析】根据方程是一元二次方程，可得 ，将 代入方程，求出a的值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是0，
∴ ， ，
∴ ；
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，
使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键．
7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）若a是方程 的一个解，则 的值是
（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据 是方程 的解可得到 的值，进而得到 的值．【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，将方程转化为关于 的代数式是解题的关键．
8．（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫
一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、含有两个未知数，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、不是整式方程，故不是一元二次方程，该选项不符合题意；
D、未知数的最高次数是1，故是一元一次方程，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含
未知数的项的最高次数是2．
二、填空题
9．（2022秋·福建泉州·九年级统考期末）一元二次方程 的一次项系数为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程一次项系数的定义可直接得出答案．
【详解】解：一元二次方程 的一次项为 ，一次项系数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程经过整理都可化成一般形式
．其中 叫作二次项，a是二次项系数； 叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常
数项．掌握上述知识是解题的关键．10．（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）用公式法解一元二次方程 时，应先将其化成
“一般形式”为________．
【答案】
【分析】把原方程去括号、移项、合并同类项，即可得到一般形式．
【详解】解：
去括号得， ，
移项合并同类项得， ，
即一元二次方程 的一般形式为 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式为 是解题的关
键．
11．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程 的一个根是
0，则a的值为_____．
【答案】1
【分析】将 代入方程中结合一元二次方程的二次项系数不为 即可得出答案．
【详解】解：将 代入方程中得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程解的定义，熟记相关定义是解本题的关键．
12．（2022秋·四川乐山·九年级统考期末）若 关于x的一元二次方程，则
__________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 （a、b、c是常数，且 ）
的方程叫做一元二次方程．
13．（2023·山东东营·统考一模）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式
的值为______．
【答案】2023
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到 ，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
∴
．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．掌握定义是解题的关键．
14．（2023春·江西吉安·九年级江西省泰和中学校考阶段练习）若 是方程 的一个解，则代数
式 的值是___________．
【答案】
【分析】将 代入一元二次方程的得到 ，再将代数式中 即可解答．【详解】解：∵ 是方程 的一个解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值化简代数式，理解一元二次方程的解是解题的关键．
三、解答题
15．（2022秋·山东青岛·九年级校考阶段练习）若关于 的方程 是一元二次方程，求
不等式： 的解集．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的定义求出m的值，然后再代入不等式，解不等式即可．
【详解】解： 是一元二次方程，
， ，
解得： ， ，
，
原不等式变为： ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定
义求出m的值．
16．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）已知关于x的方程 ．
(1)当k取何值时，此方程是一元一次方程？并求出此方程的根；
(2)当k取何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项．
【答案】(1) ，
(2) ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是
【分析】（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【详解】（1）由 是一元一次方程，得
，
解得 ，
原方程变为： ，
∴
解得 ；
（2）由 是一元二次方程，得
，
解得 ，
∴ 时， 是一元二次方程，
二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程，二次项系数等于零，一次项系数不等于零是元一次方程得我定义；熟
练掌握定义是解答本题的关键．
17．（2023秋·山东济宁·九年级统考期末）已知m是方程 的解，求式子 的
值．
【答案】
【分析】根据m是方程 的解，得到 ，利用整体思想代入代数式求值即可．
【详解】解：∵m是方程 的解，
∴ ，即： ，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，以及
利用整体思想进行求解，是解题的关键．
18．（2022秋·河北唐山·九年级统考期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程 有两个实
数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
(1)请判断方程 是不是倍根方程，并说明理由；
(2)若是 倍根方程，则 ___________．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)4或16
【分析】（1）根据题意和题目中的方程，求得方程的解，据此即可判定；
（2）根据题目中的方程和题意，利用分类讨论的方法可以求得n的值．
【详解】（1）解：方程 是倍根方程，
理由如下：
由方程 ，
解得 ， ，
，
方程 是倍根方程；
（2）解：由方程 ，
解得 ， ，
方程是 倍根方程，
或 ，
得 或 ，故 或 ，
故答案为：4或16．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
19．（2023秋·重庆永川·九年级统考期末）先化简，再求值： ，其中 是一元二
次方程 的根．
【答案】 ，1．
【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再根据 是方程 的根可得 ，再代入即可．
【详解】解：原式
．
∵ 是方程 的根，
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解．掌握分式的运算法则和整体代入求值是关
键．
20．（2023·北京西城·统考一模）已知a是方程 的一个根，求代数式 的值．
【答案】 ，3
【分析】根据方程根的定义，化简代入计算即可．
【详解】解：
，
∵a是方程 的一个根，∴ ，
即 ．
∴原式 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关
键．
21．（2021秋·江苏·九年级专题练习）设p，q是整数，方程 有一个根为 ，求p﹣q的
值．
【答案】-3
【分析】先把x= -2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关 的项合并后，令它的系数部分为0，就
可求出方程p、q的值．
【详解】解：把 -2代入方程，9-4 - p+2p+q=0，
∴- ×（4+p）+（2p+q+9）=0，
∵p、q是整数，
∴p=-4，q=-1，
∴p-q=-4+1=-3．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数
时，把有关无理数的项合并一起后，令它的系数部分为0，就可求出方程中字母系数的值．
22．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在 中， ，从点 为圆心， 长为半径画
弧交线段 于点 ，以点 为圆心 长为半径画弧交线段 于点 ，连结 ．
(1)若 ，求 的度数：
(2)设 ．
①请用含 的代数式表示 与 的长；
② 与 的长能同时是方程 的根吗？说明理由．【答案】（1） ；（2）① ， ；②是，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵ ，
，
又 ，
是等边三角形．
．
（2）①∵
又 ，
．
②∵
∴线段 的长是方程 的一个根．
若 与 的长同时是方程 的根，则 ，
即 ，
，，
∴当 时， 与 的长同时是方程 的根．
【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与角的
方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
23．（2022秋·全国·九年级专题练习）已知等腰直角 中， ， ，点 为 边上动点，
连接 ，过点 作 ，交 于点 ，拖动点 ．
（1）若 ，垂足为点 ，求证：
（2）若 且 ，求 的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据 ，结合题意，得到 ，从而得 ；再结合等腰直角
中， ，得 ，从而得到 ，结合勾股定理，即可完成证明；
（2）过D作 交AC于点G，结合题意，推导出等腰直角 ,得DG和AB的关系式；通过
，得 ，通过 外角性质，计算得 ，从而得到 ，
根据直角三角形 角所对直角边是斜边的一半，得AD和AB的关系式，通过 中勾股定理计算，
即可得到答案．
【详解】（1）∵
∴∵
∴
∴
∵等腰直角 中，
∴
∵
∴
∴ ，
∴
∴ ；
（2）如图，过D作 交AC于点G
设
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ，即
∴
∴
∵
∴
∴ 或 （舍去）
∴ 的长度为 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握
等腰三角形、勾股定理、全等三角形、直角三角形的性质，从而完成求解．
24．（2022秋·九年级单元测试）当m为何值时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5．
(1)为一元二次方程；
(2)为一元一次方程．
【答案】(1)m＝3
(2)m＝﹣1或m＝0，m＝2
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，可得答案；
（2）根据一元一次方程的定义，可得答案．
（1）
由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5一元二次方程，得
，解得m＝3．
当m＝3时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元二次方程．
（2）
由关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程，得
m+1＝0或 ，
解得m＝﹣1或m＝0，m＝2，
当m＝﹣1或m＝0，m＝2时，关于x的方程（m+1）x|m﹣1|+（m﹣3）x＝5的一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，
然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
