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专题 21.2 解一元二次方程（七大题型）
【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1
【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................3
【题型3 解一元二次方程-公式法】......................................................................................5
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................8
【 题 型 5 根 据 判 别 式 判 断 一 元 二 次 方 程 的 根 情
况】..............................................................10【题型 6 根据一元二次方程的根情况求参
数】....................................................................15.
【 题 型 7 根 与 系 数 的 关
系】....................................................................................................17
【题型1 解一元二次方程-直接平方】
1．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程 的解是（ ）
(x−4) 2=1
A．x =5，x =−3B．x =−5，x =3 C．x =−5，x =−3 D．x =5，x =3
1 2 1 2 1 2 1 2
2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程： ．
(3x−1) 2=(x−1) 2
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程： ．
2(x−1) 2=18
4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程：(1)x2=7；
(2) ．
(x−1) 2=9
5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程： ．
(x+1) 2=9
【题型2 解一元二次方程-配方法】
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程 配方，化成 的形式
x2−2x−3=0 (x+m) 2=n
为（ ）
A． B． C． D．
(x−2) 2=4 (x−1) 2=4 (x+2) 2=4 (x+1) 2=4
2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程x2−6x−m=0可通过配方法
转化为 的形式，则m的值为（ ）
(x−n) 2=6
A．−9 B．9 C．−3 D．3
3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程 化为 的形
x2+10x=10 (x+m) 2=n
式，则m+n= ．
4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）用配方法解方程： x2−2x−168=0
5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：x2−8x−5=0．
6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：x2−4x−2=07．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：x2+8x+3=0．
【题型3 根据判别式判断一元二次方程的根情况】
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）一元二次方程x2+2x+3=0的根的情况是
（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
2．（2025·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
3．（2025·北京大兴·二模）方程3x2−4x−1=0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
4．（2025·河南驻马店·三模）下列关于x的方程没有实数根的是（ ）
A．x2−4x=0 B．x2−4x+8=0
C．x2−4x−8=0 D．x2+4x+4=0
5．（2025·河南新乡·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2−4x+4=0 B．x2+16=0
C．x2+6x+9=0 D．x2−5x−9=0
【题型4 根据一元二次方程的根情况求参数】
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的一元二次方程 有两
x x2−|a−2)x+4=0
个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．−2 B．6 C．−6或2 D．−2或6
2．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程x2+4x+2k=0有两个异号的实数根，则k的
取值范围是（ ）
A．k<0 B．00
3．（2025·宁夏中卫·三模）定义新运算a⊗b=ab2−ab−1.例如：3⊗4=3×42−3×4−1，已知关于x的方程m⊗x=0有两个相等的实数根，则m的
值为（ ）
A．0 B．−4 C．0或−4 D．4
4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于 的一元二次方程 有实数根，
x (m−1)x2−2x+2=0
则m的取值范围为 ．
3
【答案】m≤ 且m≠1
2
5．（2025·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
则m= ．
【题型4 解一元二次方程-公式法】
1．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为
2±❑√4−4×3×(−1)
x= ，该方程为（ ）
2×3
A．3x2+2x−1=0 B．2x2+4x−1=0
C．x2−2x+3=0 D．3x2−2x−1=0
2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）用公式法解方程x2+2x=3时，求根公式中的a，
b，c的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，−2，3 C．1，2，−3 D．1，−2，−3
3．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）用公式法解一元二次方程：6x2−7x+1=0
4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：2x2−5x−1=0．
5．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）用公式法解方程：3x2−5x+2=06．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）用公式法解方程：2x2+3x+1=0．
7．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程：
(1)x2−2x−5=0；
(2)3x2+2x=2．
【题型6 解一元二次方程-因式分解法】
1．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）一元二次方程x(x−3)=0的解为（ ）
A．x =x =0 B．x =0，x =−3
1 2 1 2
C．x =x =3 D．x =0，x =3
1 2 1 2
2．（21-22八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：x2−3x−2= ．
3．（2025年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校中考四模数学试题）解方程：x2−2x−24=0．
4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：
(1)x2−2x=0；
(2)x2−4x−5=0．
5．（2025·安徽阜阳·三模）解方程：x2+2x−15=0．6．（2025·广东广州·二模）解方程：x2−4x−5=0．
7．（2025·广东广州·二模）解方程：x(2x−3)=2x−3．
【题型7 根与系数的关系】
1．（2025·贵州贵阳·二模）若一元二次方程x2+5x+4=0的一个根是−1，则另一个根是
（ ）
A．4 B．1 C．0 D．−4
2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若x ，x 是方程x2+2x−3=0的两个根，则
1 2
（ ）
1
A．x +x =−2 B．x +x =2 C．x x =3 D．x x =−
1 2 1 2 1 2 1 2 3
3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）一元二次方程 两个实数根为 ，则
x2+2x−1=0 x ,x x2+x2
1 2 1 2
＝ ．
4．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若x ，x 是方程2x2−6x+3=0的两个根，则
1 2
1 1
+ = ．
x x
1 2
1．（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: ．
(x−2) 2=9(x+3) 22．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程 ．
x(2x−1)=x2+3
3．（2025·山东潍坊·三模）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个实数根x 和
1
x ．
2
(1)求实数k的取值范围；
(2)若两个实数根x 和x 满足x +x −x x <4，求k的整数值．
1 2 1 2 1 2
4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程
．
mx2+(2m−1)x−2=0(m≠0)
(1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根．
(2)若方程的两个实数根x ,x 满足x +x −x x =m，请求出m的值．
1 2 1 2 1 2
