文档内容
专题21.2 解一元二次方程（6个考点8个易错点）
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【考点5 根的判别式】
【考点6 根与系数的关系】
【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】
【易错点2 解一元二次方程-配方法】
【易错点3 解一元二次方程-公式法】
【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】
【易错点5 换元法解一元二次方程】
【易错点6 根的判别式】
【易错点7根与系数的关系】
【易错点8 配方法的应用】
【题型1解一元二次方程-直接平方】
1．（2023秋•志丹县期末）方程x2＝1的根是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【答案】C
【解答】解：x2＝1，
x＝±1，
所以x ＝1，x ＝﹣1．
1 2
故选：C．2．（2023秋•衡山县期末）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件
是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1
【答案】C
【解答】解：当1﹣m＜0时，方程无解．
即m＞1．
故选：C．
3．（2023秋•太和县期末）方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝3 B．x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：开方得：x+1＝±2，
解得：x ＝﹣3，x ＝1，
1 2
故选：B．
4．（2023秋•东光县期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确
的是（ ）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
【答案】C
【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
开方得3x+1＝±（2x﹣5），
故选：C．
5．（2023秋•花溪区期中）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其
中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5
【答案】A
【解答】解：（x﹣6）2＝25，
x﹣6＝5或x﹣6＝﹣5，
故选：A．
6．（2023秋•汉中期末）解方程：（3x+2）2＝16．【答案】x＝﹣2或 ．
【解答】解：（3x+2）2＝16，
3x+2＝±4，
3x＝﹣2±4，
x＝﹣2或 ．
7．（2023秋•白云区期末）解方程：2x2﹣8＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2＝4，
所以x ＝2，x ＝﹣2．
1 2
8．（2023秋•扬州期中）解方程：
（1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
【答案】（1）x ＝7，x ＝﹣7；
1 2
（2）x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣49＝0，
x2＝49，
∴x＝±7，
∴x ＝7，x ＝﹣7；
1 2
（2）2（x+1）2﹣49＝1，
（x+1）2＝25，
∴x+1＝±5，
∴x ＝4，x ＝﹣6．
1 2
9．（2022秋•城中区期末）解方程：（2x+1）2＝9．
【答案】x ＝1，x ＝﹣2．
1 2
【解答】解：∵（2x+1）2＝9，
∴2x+1＝±3，
∴2x+1＝3或2x+1＝﹣3，
解得x ＝1，x ＝﹣2．
1 2
【题型2解一元二次方程-配方法】
10．（2023秋•潼关县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝11【答案】D
【解答】解：x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝7+4，
（x﹣2）2＝11，
故选：D．
11．（2023秋•承德县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
【答案】D
【解答】解：由原方程移项，得
x2﹣4x＝5，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣4x+4＝5+4，
配方得（x﹣2）2＝9．
故选：D．
12．（2023秋•电白区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣
4）2＝4c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
【答案】D
【解答】解：x2﹣8x+c＝0，
x2﹣8x＝﹣c，
x2﹣8x+16＝﹣c+16，
（x﹣4）2＝﹣c+16，
由题意得：﹣c+16＝4c，
解得：c＝ ，
故选：D．
13．（2023秋•长安区期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0化成（x+p）2＝q的形式，则
p，q的值分别是（ ）
A．2，7 B．﹣2，7 C．2，1 D．﹣2，1
【答案】B【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
∴（x﹣2）2＝7．
∴p，q的值分别是：﹣2，7．
故选：B．
14．（2023秋•大洼区校级期末）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方为（x﹣4）2＝k；则k
的值为（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【解答】解：x2﹣8x﹣2＝0，
x2﹣8x+42＝2+42，
（x﹣4）2＝18，
∴k＝18，
故选：C．
15．（2023秋•兰州期末）将一元二次方程x2+4x﹣1＝0化成形如（x+p）2＝q的形式，则
p+q的值为（ ）
A．7 B．3 C．﹣5 D．10
【答案】A
【解答】解：x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
所以p＝2，q＝5，
所以p+q＝2+5＝7．
故选：A．
16．（2023秋•信丰县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，
变形得：（x﹣2）2＝9，
开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x ＝5，x ＝﹣1．
1 2
17．（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝± ，
x ＝2+ ，x ＝2﹣ ．
1 2
18．（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．
【答案】 ．
【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0，
移项得3x2﹣2x＝1，
二次项系数化成1得 ，
配方得 ，即
∴ ，
解得， ．
19．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0，
2x2﹣4x＝1，
x2﹣2x＝ ，
配方得：x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，开方得：x﹣1＝ ，
解得：x ＝ ，x ＝ ．
1 2
【题型3 解一元二次方程-公式法】
20．（2023秋•绥阳县期末）若x＝ 是某个一元二次方程的根，则
这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
【答案】D
【解答】解：∵x＝ 是某个一元二次方程的根，
∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
21．（2023秋•武昌区期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那
么必须满足的条件是（ ）
A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0
【答案】A
【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；
故选：A．
22．（2023秋•容县期中）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣3
【答案】B
【解答】解：整理得：x2+3x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝﹣2．
故选：B．
22．（2023秋•漳州期中）用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：2x2+5x﹣1＝0∴a＝2，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0，
∴ ；
故选：A．
23．（2023秋•珠海校级期中）用公式法解一个一元二次方程的根为 ，则此
方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，5，1 D．3，﹣5，1
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）解的求根公式为：
，一元二次方程的根为 ，
∴2a＝6，﹣b＝﹣5，b2﹣4ac＝13，
∴a＝3，b＝5，52﹣4×3c＝13，
∴c＝1，
∴此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为：3，5，1，
故选：C．
24．（2023秋•阿荣旗期末）用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：x2﹣3x+1＝0，
这里a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，
∴x＝ ＝ ，
则x ＝ ，x ＝ ．
1 2
25．（2023秋•富县期中）用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0．
【答案】 ．
【解答】解：∵4x2+2x﹣1＝0，∴a＝4，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0，
∴ ，
解得 ．
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】
26．（2023秋•丰满区期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝﹣2，x ＝0
1 2 1 2
【答案】D
【解答】解：x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
所以x ＝0，x ＝﹣2．
1 2
故选：D．
27．（2023秋•常德期末）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．
【答案】x ＝x ＝2．
1 2
【解答】解：x2﹣3x＝x﹣4，
x2﹣3x﹣x+4＝0，
x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
∴x ＝x ＝2．
1 2
28．（2023秋•灵丘县期末）（1）解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2．
（2）解方程：x2+4x+3＝0．
【答案】（1）x ＝ ，x ＝2；
1 2
（2）x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：（1）x（2x﹣1）＝4x﹣2，
x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
2x﹣1＝0或x﹣2＝0，所以x ＝ ，x ＝2；
1 2
（2）x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
所以x ＝﹣3，x ＝﹣1．
1 2
29．（2023秋•新市区校级期末）解方程：
（1）x2﹣8x+15＝0；
（2）x2+4x﹣7＝0．
【答案】（1）x ＝3，x ＝5；
1 2
（2）x ＝﹣2+ ，x ＝﹣2﹣ ．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣8x+15＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
x﹣3＝0或x﹣5＝0，
解得x ＝3，x ＝5；
1 2
（2）x2+4x﹣7＝0，
x2+4x＝7，
x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
x+2＝± ，
解得x ＝﹣2+ ，x ＝﹣2﹣ ．
1 2
30．（2023秋•花都区期末）解方程x2﹣2x+1＝16．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，
∴x﹣5＝0或x﹣3＝0，
∴x ＝5，x ＝﹣3．
1 2
31．（2023秋•东莞市期末）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．
【答案】x ＝﹣1，x ＝8．
1 2【解答】解：∵x2﹣7x﹣8＝0，
∴（x+1）（x﹣8）＝0，
则x+1＝0或x﹣8＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝8．
1 2
32．（2023秋•武侯区期末）解方程：
（1）x2+2x＝1；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【答案】（1）x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
（2）x ＝ ，x ＝﹣0.5．
1 2
【解答】解：（1）∵x2+2x＝1，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2，
∴x+1＝ 或x+1＝ ，
解得x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），
4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
（4x﹣3）（2x+1）＝0，
∴4x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得x ＝ ，x ＝﹣0.5．
1 2
33．（2023秋•秦淮区期末）解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0；
（2）x（x﹣3）＝3﹣x．
【答案】（1）x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
（2）x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，
x2+2x＝4，
x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，
x+1＝± ，
所以x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ；
1 2
（2）x（x﹣3）＝3﹣x，
x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x﹣3＝0或x+1＝0，
所以x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
【考点5 根的判别式】
34．（2023秋•郑州期末）方程﹣2x2+4x﹣3＝0解的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相同的实数根
C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根
【答案】A
【解答】解：依题意，得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×（﹣2）×（﹣3）＝﹣8＜0，
所以方程没有实数根．
故选：A．
35．（2023秋•榆阳区校级期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定根的情况
【答案】A
【解答】解：∵b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝（m﹣2）2+12＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
36．（2023秋•金山区期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值
范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
【答案】A【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4m＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故选：A．
37．（2023秋•静安区校级期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是
（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，
∴当方程是一元二次方程时，Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0，
解得：m≤9，且m≠0；
当方程是一元一次方程时，则m＝0，
故选：D．
38．（2023秋•西青区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实
数根，则此方程的根是（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝x ＝2 C．x ＝x ＝1 D．x ＝x ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0，
解得m＝5，
此时方程化为x2﹣4x+4＝0，
（x﹣2）2＝0，
x﹣2＝0，
所以x ＝x ＝2．
1 2
故选：B．
【考点6 根与系数的关系】
389．（2023秋•泗水县期末）若x＝﹣2是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根
是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解答】解：设另一个根为x ，
2
依题意x ＝﹣2，x +x ＝﹣1，
1 1 2∴x ＝1，
2
故选：C．
40．（2023秋•德宏州期末）已知x ，x 是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，则
1 2
x x 的值为（ ）
1 2
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
【答案】C
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，
1 2
∴x x ＝﹣2024．
1 2
故选：C．
41．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的
值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
【答案】D
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴a2+a﹣2023＝0，
∴a2＝﹣a+2023，
∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，
∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．
故选：D．
42．（2023秋•洪山区期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x ，
1
x ，则 的值是（ ）
2
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x ，x ，
1 2
∴x +x ＝4，x •x ＝﹣3，
1 2 1 2∴
＝
＝﹣ ．
故选：C．
【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】
1．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
【答案】D
【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，
∴（x﹣a）2＝b+4，
∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，
∴b+4≥0，
∴b≥﹣4，
故选：D．
2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
【答案】C
【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得
a2+b2﹣3＝±5，
所以 a2+b2＝3±5，
解得 a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．
故选：C．3．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝ ．若x※2＝5，则x
的值为 ﹣ 3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：分两种情况：
当x＜2时，
∵x※2＝5，
∴x2﹣2×2＝5，
∴x2＝9，
∴x ＝3（舍去），x ＝﹣3；
1 2
当x≥2时，
∵x※2＝5，
∴22﹣2x＝5，
解得：x＝﹣ （舍去）；
综上所述：x的值为﹣3，
故答案为：﹣3．
【易错点2 解一元二次方程-配方法】
4．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【答案】B
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：B．
5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．
如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，
2x2+4x＝1，
x2+2x＝ ，
x2+2x+1＝ +1，
（x+1）2＝ ，
x+1＝± ，
x+1＝ 或x+1＝﹣ ，
x ＝﹣1+ ，x ＝﹣1﹣ ，
1 2
所以，这位同学是乙，
故选：B．
6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：
max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2
﹣3x﹣5，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当x＞﹣x时，即x＞0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，
∴x＝x2﹣3x﹣5，
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
x ＝5，x ＝﹣1（舍去）；
1 2
当x＜﹣x时，即x＜0时，∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，
∴﹣x＝x2﹣3x﹣5，
整理得：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
（x﹣1）2＝6，
x﹣1＝± ，
x﹣1＝ 或x﹣1＝﹣ ，
x ＝1+ （舍去），x ＝1﹣ ；
1 2
综上所述：x＝5或x＝1﹣ ，
故选：B．
7．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0；
（2）2x2+4x﹣5＝0．
【答案】（1）x ＝﹣1或x ＝11．
1 2
（2）x ＝ 或x ＝ ．
1 2
【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62．
∴x﹣5＝± ＝±6．
∴x ＝﹣1或x ＝11．
1 2
（2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5．
△＝42﹣4×2×（﹣5）＝56．
由求根公式x＝ 得：
x＝ ．
∴x ＝ 或x ＝ ．
1 2【易错点3 解一元二次方程-公式法】
8．x＝ 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
【答案】D
【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝ ，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝ ，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝ ，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝ ，符合题意；
故选：D．
9．解方程：
（1）x2﹣ x﹣ ＝0；
（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
【答案】（1） ， ，
（2）x ＝﹣2，x ＝4．
1 2
【解答】解：（1）x2﹣ x﹣ ＝0；
a＝1，b＝﹣ ，c＝﹣ ，
∴b2﹣4ac＝（﹣ ）2﹣4×1×（﹣ ）＝4＞0，
∴x＝ ＝ ＝ ，∴该方程的解为： ， ．
（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
方程右边提公因式得x（x﹣4）＝2（4﹣x），
∴x（x﹣4）＝﹣2（x﹣4）
移项得x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0，
∴（x+2）（x﹣4）＝0，
x+2＝0或x﹣4＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝4．
1 2
【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】
10．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则
该菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．20或28
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣12x+35＝0，
∴（x﹣5）（x﹣7）＝0，
x﹣5＝0或x﹣7＝0，
解得x＝5或x＝7，
分两种情况：
当AB＝AD＝CD＝BC＝5时，
∵5+5＜12，
∴不能构成三角形；
当AB＝AD＝CD＝BC＝7时，
∵7+7＝14＞12，
∴能构成三角形，
综上所述：该菱形ABCD的边长为7，
∴菱形的周长＝4×7＝28，
故选：C．
【易错点5 换元法解一元二次方程】
11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【答案】A
【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
【易错点6 根的判别式】
12．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】A
【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2．
∵对于任意实数k都有k2≥0，
∴8k2≥0．
∴1+8k2≥1．
∴1+8k2＞0，即Δ＞0．
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
【答案】D
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0，解得k≥ 且k≠1．
故选：D．
14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若
我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一
步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于
是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）⋅i＝﹣i，i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，则i6＝
﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1……，
∴每4个一循环，
∵6÷4＝1……2，
∴i6＝i2＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0．
（1）当m＝3时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）x ＝1，x ＝2；
1 2
（2）m的值为 ．
【解答】解：（1）当m＝3时，得方程为：
x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x ＝1，x ＝2；
1 2
（2）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）×2＝0，
解得m＝ ，
即m的值为 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
α β α β【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m的值为±1．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得： ，
∵ ＝﹣3m2，
∴α﹣β3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．
【易错点7根与系数的关系】
17．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若 +
1 2
＝36，则t的值是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
【答案】C
【解答】解：∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2（t+1）＝2t+2，x x ＝t2+5，
1 2 1 2
Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0，
解得：t≥2，
∵ + ＝36，
∴（x +x ）2﹣2x x ＝36，
1 2 1 2
（2t+2）2﹣2（t2+5）＝36，
解得：t＝3或t＝﹣7，
故t的值只能为3．
故选：C．18．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条
对角线，则该菱形的面积是（ ）
A．22 B．20 C．16 D．10
【答案】D
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，且两根之积为20，
∴方程的另一个根是4．
∴菱形的面积＝对角线乘积的一半＝4×5÷2＝10．
故选：D．
【易错点8 配方法的应用】
19．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0．
∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0．
∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0．
∴a＝2，b＝1，c＝﹣1．
∴a+b﹣c＝2+1+1＝4．
故选：B．
20．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，
代数式y2﹣6y+10的最小值是 1 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意，∵y2﹣6y+10＝y2﹣6y+9+1＝（y﹣3）2+1，
又对任意的y都有（y﹣3）2≥0，
∴y2﹣6y+10＝（y﹣3）2+1≥1．
∴y2﹣6y+10的最小值是1．
故答案为：1．
21．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为
m，则M+m＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝2，
∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，
∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2，
∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x＝ ，y＝﹣
或x＝﹣ ，y＝ 时等号成立．
∴xy的最小值为﹣ ，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为 ，即m＝ ．
∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x＝ ，y＝ 或x＝
﹣ ，y＝﹣ 时等号成立．
∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6，
∴M+m＝ +6＝6 ．
故答案为：6 ．
22．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
（1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求
△ABC的周长．
【答案】（1）﹣1；（2）17．
【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，
∴x2+2xy+y2+4y2﹣4y+1＝0，即（x+y）2+（2y﹣1）2＝0．
∴x+y＝0，且2y﹣1＝0．∴x＝﹣ ，y＝ ．
∴x﹣y＝﹣ ﹣ ＝﹣1．
（2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+6b，
∴a2﹣14a+49+b2﹣6b+9＝0．
∴（a﹣7）2+（b﹣3）2＝0．
∴a﹣7＝0，b﹣3＝0．
∴a＝7，b＝3．
又a，b，c是等腰△ABC的三条边长，
∴a＝c＝7，b＝3．（若a＝7，b＝c＝3，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍
去．）
∴△ABC的周长为：7+7+3＝17．
