文档内容
专题21.2 解一元二次方程（6个考点8个易错点）
【考点1 解一元二次方程-直接平方】
【考点2 解一元二次方程-配方法】
【考点3 解一元二次方程-公式法】
【考点4 解一元二次方程-因式分解法】
【考点5 根的判别式】
【考点6 根与系数的关系】
【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】
【易错点2 解一元二次方程-配方法】
【易错点3 解一元二次方程-公式法】
【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】
【易错点5 换元法解一元二次方程】
【易错点6 根的判别式】
【易错点7根与系数的关系】
【易错点8 配方法的应用】
【题型1解一元二次方程-直接平方】
1．（2023秋•志丹县期末）方程x2＝1的根是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．（2023秋•衡山县期末）关于x的方程（x﹣2）2＝1﹣m无实数根，那么m满足的条件
是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞1 D．m＜1
3．（2023秋•太和县期末）方程（x+1）2＝4的解是（ ）
A．x ＝﹣3，x ＝3 B．x ＝﹣3，x ＝1
1 2 1 2C．x ＝﹣1，x ＝1 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2
4．（2023秋•东光县期中）用直接开平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正确
的是（ ）
A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
5．（2023秋•花溪区期中）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其
中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣5 B．x﹣6＝5 C．x+6＝﹣5 D．x+6＝5
6．（2023秋•汉中期末）解方程：（3x+2）2＝16．
7．（2023秋•白云区期末）解方程：2x2﹣8＝0．
8．（2023秋•扬州期中）解方程：
（1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1．
9．（2022秋•城中区期末）解方程：（2x+1）2＝9．
【题型2解一元二次方程-配方法】
10．（2023秋•潼关县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x+2）2＝7 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝11
11．（2023秋•承德县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝6 D．（x﹣2）2＝9
12．（2023秋•电白区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣
4）2＝4c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
13．（2023秋•长安区期末）将一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0化成（x+p）2＝q的形式，则
p，q的值分别是（ ）A．2，7 B．﹣2，7 C．2，1 D．﹣2，1
14．（2023秋•大洼区校级期末）一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方为（x﹣4）2＝k；则k
的值为（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
15．（2023秋•兰州期末）将一元二次方程x2+4x﹣1＝0化成形如（x+p）2＝q的形式，则
p+q的值为（ ）
A．7 B．3 C．﹣5 D．10
16．（2023秋•信丰县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0．
17．（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
18．（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．
19．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【题型3 解一元二次方程-公式法】
20．（2023秋•绥阳县期末）若x＝ 是某个一元二次方程的根，则
这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
21．（2023秋•武昌区期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那
么必须满足的条件是（ ）
A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0
22．（2023秋•容县期中）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣3
22．（2023秋•漳州期中）用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（ ）A． B． C． D．
23．（2023秋•珠海校级期中）用公式法解一个一元二次方程的根为 ，则此
方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（ ）
A．6，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，5，1 D．3，﹣5，1
24．（2023秋•阿荣旗期末）用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0．
25．（2023秋•富县期中）用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0．
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】
26．（2023秋•丰满区期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解是（ ）
A．x ＝x ＝0 B．x ＝x ＝2
1 2 1 2
C．x ＝2，x ＝0 D．x ＝﹣2，x ＝0
1 2 1 2
27．（2023秋•常德期末）解方程：x2﹣3x＝x﹣4．
28．（2023秋•灵丘县期末）（1）解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2．
（2）解方程：x2+4x+3＝0．
29．（2023秋•新市区校级期末）解方程：
（1）x2﹣8x+15＝0；
（2）x2+4x﹣7＝0．
30．（2023秋•花都区期末）解方程x2﹣2x+1＝16．
31．（2023秋•东莞市期末）解方程：x2﹣7x﹣8＝0．32．（2023秋•武侯区期末）解方程：
（1）x2+2x＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）．
33．（2023秋•秦淮区期末）解下列方程：
（1）x2+2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝3﹣x．
【考点5 根的判别式】
34．（2023秋•郑州期末）方程﹣2x2+4x﹣3＝0解的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相同的实数根
C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根
35．（2023秋•榆阳区校级期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况
为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定根的情况
36．（2023秋•金山区期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值
范围是（ ）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
77．（2023秋•静安区校级期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是
（ ）
A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9
38．（2023秋•西青区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实
数根，则此方程的根是（ ）
A．x ＝x ＝5 B．x ＝x ＝2 C．x ＝x ＝1 D．x ＝x ＝0
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点6 根与系数的关系】39．（2023秋•泗水县期末）若x＝﹣2是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根
是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
40．（2023秋•德宏州期末）已知x ，x 是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，则
1 2
x x 的值为（ ）
1 2
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024
41．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的
值为（ ）
A．2024 B．2021 C．2023 D．2022
42．（2023秋•洪山区期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x ，
1
x ，则 的值是（ ）
2
A． B． C． D．
【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】
1．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（ ）
A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4
2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（ ）
A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8
3．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝ ．若x※2＝5，则x
的值为 ．
【易错点2 解一元二次方程-配方法】
4．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．
如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：
max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2
﹣3x﹣5，则x的值是（ ）
A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或
7．选择适当方法解一元二次方程：
（1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）2x2+4x﹣5＝0．
【易错点3 解一元二次方程-公式法】
8．x＝ 是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0
C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
9．解方程：
（1）x2﹣ x﹣ ＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】
10．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则
该菱形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．24 C．28 D．20或28
【易错点5 换元法解一元二次方程】
11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【易错点6 根的判别式】
12．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数
C．只有一个实数根
D．没有实数根
13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（
）
A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥ 且k≠1
14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若
我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一
步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于
是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）⋅i＝﹣i，i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，则i6＝
．
15．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0．
（1）当m＝3时，求原方程的解．
（2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为 ， ，且 +2 ＝5，求m的值．
α β α β
【易错点7根与系数的关系】
17．已知x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若 +
1 2
＝36，则t的值是（ ）
A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7
18．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条
对角线，则该菱形的面积是（ ）A．22 B．20 C．16 D．10
【易错点8 配方法的应用】
19．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
20．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，
代数式y2﹣6y+10的最小值是 ．
21．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为
m，则M+m＝ ．
22．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
（1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值；
（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求
△ABC的周长．
