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专题 21.2 解一元二次方程（七大题型）
【题型1 解一元二次方程-直接开方】..................................................................................1
【题型2 解一元二次方程-配方法】......................................................................................3
【题型3 解一元二次方程-公式法】......................................................................................5
【题型4 解一元二次方程-因式分解法】...............................................................................8
【 题 型 5 根 据 判 别 式 判 断 一 元 二 次 方 程 的 根 情
况】..............................................................10【题型 6 根据一元二次方程的根情况求参
数】....................................................................15.
【 题 型 7 根 与 系 数 的 关
系】....................................................................................................17
【题型1 解一元二次方程-直接平方】
1．（2025·贵州贵阳·一模）一元二次方程(x−4) 2=1的解是（ ）
A．x =5，x =−3B．x =−5，x =3 C．x =−5，x =−3 D．x =5，x =3
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
【分析】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，方程利用平方根定义开方即可求
出解．
【详解】解：∵(x−4) 2=1，
∴x−4=±1，
∴x =5，x =3．
1 2
故选：D．
2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）解方程：(3x−1) 2=(x−1) 2．
1
【答案】x =0，x = ．
1 2 2【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可．
【详解】解：(3x−1) 2=(x−1) 2，
开方得3x−1=±(x−1)，
∴3x−1=x−1或3x−1=−x+1，
1
∴x =0，x = ．
1 2 2
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：2(x−1) 2=18．
【答案】x=4或x=−2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的
一般方法，准确计算．用直接开平方法，解一元二次方程即可．
【详解】解：2(x−1) 2=18
(x−1) 2=9
x−1=±3
x−1=3或x−1=−3，
解得：x=4或x=−2．
4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）解方程：
(1)x2=7；
(2)(x−1) 2=9．
【答案】(1)x =❑√7，x =−❑√7
1 2
(2)x =4，x =−2
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元
二次方程的步骤是解题的关键．
（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
（2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】（1）解：x2=7，
解得x =❑√7，x =−❑√7．
1 2（2）解：(x−1) 2=9，
则x−1=±3，
解得x =4，x =−2．
1 2
5．（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：(x+1) 2=9．
【答案】x =2，x =−4
1 2
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方
法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
利用直接开平方法求解即可．
【详解】解：x+1=±3
x+1=3或x+1=−3
∴x =2，x =−4．
1 2
【题型2 解一元二次方程-配方法】
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程x2−2x−3=0配方，化成(x+m) 2=n的形式
为（ ）
A．(x−2) 2=4 B．(x−1) 2=4 C．(x+2) 2=4 D．(x+1) 2=4
【答案】B
【分析】本题考查了配方法，先把x2−2x−3=0移项，得x2−2x=3，配成完全平方
公式，即可作答．
【详解】解：∵x2−2x−3=0
∴x2−2x=3
∴x2−2x+1=3+1
∴(x−1) 2=4．
故选：B．
2．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程x2−6x−m=0可通过配方法
转化为(x−n) 2=6的形式，则m的值为（ ）A．−9 B．9 C．−3 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是
解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．
【详解】解：x2−6x−m=0
x2−6x=m
x2−6x+9=m+9
(x−3) 2=m+9，
∵方程x2−6x−m=0可通过配方法转化为(x−n) 2=6的形式，
∴m+9=6，
解得：m=−3．
故选：C．
3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）若将一元二次方程x2+10x=10化为(x+m) 2=n的形
式，则m+n= ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了配方法，把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配
方确定m、n的值即可得到答案．
【详解】解：x2+10x=10
x2+10x+
(10) 2
=10+
(10) 2
2 2
x2+10x+25=35
(x+5) 2=35，
∴m=5，n=35，
∴m+n=40，
故答案为：40．
4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）用配方法解方程： x2−2x−168=0
【答案】x =14，x =−12
1 2
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为x2−2x=168，利用配方法进一步解方程即可．
【详解】解：x2−2x−168=0，
∴x2−2x−168=0，
∴(x−1) 2=169，
∴x−1=±13，
解得：x =14，x =−12；
1 2
5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：x2−8x−5=0．
【答案】x =4+❑√21，x =4−❑√21
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边
同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而开方解方程即可．
【详解】解：∵x2−8x−5=0，
∴x2−8x=5，
∴x2−8x+16=21，
∴(x−4) 2=21，
∴x−4=±❑√21
解得x =4+❑√21，x =4−❑√21．
1 2
6．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）解方程：x2−4x−2=0
【答案】x =2−❑√6，x =2+❑√6
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法进行解方程即可．
【详解】解：x2−4x−2=0，
x2−4x=2．
x2−4x+22=2+22，
(x−2) 2=6，
∴x−2=±❑√6，
∴x =2−❑√6，x =2+❑√6
1 2
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）解方程：x2+8x+3=0．【答案】x =−4+❑√13，x =−4−❑√13
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练运用配方法解一元二次方程是解题的关键．
利用配方法进行解方程即可．
【详解】解：x2+8x+3=0，
x2+8x=−3．
x2+8x+42=−3+42，
(x+4) 2=13，
∴x+4=±❑√13，
∴x =−4+❑√13，x =−4−❑√13
1 2
【题型3 根据判别式判断一元二次方程的根情况】
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）一元二次方程x2+2x+3=0的根的情况是
（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，正确掌握根的判别式是解题的关键；．
把a=1，b=2，c=3代入Δ=b2−4ac，然后计算Δ，最后根据计算结果判断方程的
根的情况即可；
【详解】解：x2+2x+3=0
∵a=1，b=2，c=3，
∴Δ=b2−4ac=22−4×1×3=−8<0，
∴ 方程没有实数根；
故选：A．
2．（2025·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与 有如下关系：① ，方程有两个不相等的
ax2+bx+c=0(a≠0) Δ=b2−4ac Δ>0
实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根．本题计算出
，由此即可得出答案．
Δ=k2−4×1×(−2)=m2+8>0
【详解】解：∵x2+kx−2=0，
∴Δ=k2−4×1×(−2)=k2+8>0，
∴关于x的一元二次方程x2+kx−2=0的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
3．（2025·北京大兴·二模）方程3x2−4x−1=0的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当Δ>0，方程有两个不相等的实
数根；②当Δ=0，方程有两个相等的实数根；③当Δ<0，方程没有实数根．先求出Δ
的值，再判断，即可解题．
【详解】解：在一元二次方程3x2−4x−1=0中，
∵a=3，b=−4，c=−1，
∴ Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×3×(−1)=28>0，
∴一元二次方程3x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，
故选：B．
4．（2025·河南驻马店·三模）下列关于x的方程没有实数根的是（ ）
A．x2−4x=0 B．x2−4x+8=0
C．x2−4x−8=0 D．x2+4x+4=0
【答案】B
【分析】本题主要查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，逐项
判断，即可求解．
【详解】解：A、因为Δ=(−4) 2−4×1×0>0，有两个不相等的实数根，故本选项不符
合题意；B、因为Δ=(−4) 2−4×1×8<0，没有实数根，故本选项符合题意；
C、因为Δ=(−4) 2+4×1×8>0，有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、因为Δ=(−4) 2+4×1×4=0，有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
故选：B
5．（2025·河南新乡·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2−4x+4=0 B．x2+16=0
C．x2+6x+9=0 D．x2−5x−9=0
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关
系求解即可．
【详解】解：A、x2−4x+4=0中，Δ=(−4) 2−4×1×4=0，即方程有两个相等的实
数根，不符合题意；
B、x2+16=0中，Δ=0−4×1×16=−64<0，即方程无实数根，不符合题意；
C、x2+6x+9=0中，Δ=62−4×1×9=0，即方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D、x2−5x−9=0中，Δ=(−5) 2−4×1×(−9)=61>0，即方程有两个不相等的实数根，
符合题意．
故选：D．
【题型4 根据一元二次方程的根情况求参数】
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程x2−|a−2)x+4=0有两
个相等的实数根，则a的值为（ ）
A．−2 B．6 C．−6或2 D．−2或6
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌
握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实
数根，得到根的判别式等于0，求出a的值即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−|a−2)x+4=0有两个相等的实数根，
2
∴Δ=[−|a−2)) −16=0，
即(a−2) 2=16，
开方得：a−2=4或a−2=−4，
解得：a=6或−2．
故选：D．
2．（2025·河北·模拟预测）已知关于x的方程x2+4x+2k=0有两个异号的实数根，则k的
取值范围是（ ）
A．k<0 B．00
【答案】A
【分析】根据方程有两个异号的实数根结合二次项系数非0，即可得出Δ=42−8k>0，
x x =2k<0，解之即可得出结论．
1 2
本题考查了根的判别式，根据根的判别式Δ>0结合二次项系数非0得出关于k的不等
式是解题的关键．
【详解】由题意得，Δ=42−8k>0，
解得：k<2．
由条件可知x x =2k<0，
1 2
解得k<0．
∴k的取值范围为k<0．
故选：A．
3．（2025·宁夏中卫·三模）定义新运算a⊗b=ab2−ab−1.例如：
3⊗4=3×42−3×4−1，已知关于x的方程m⊗x=0有两个相等的实数根，则m的
值为（ ）
A．0 B．−4 C．0或−4 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式利用新运算的运算法则得到
mx2−mx−1=0，再根据一元二次方程的定义以及判别式的意义得到
Δ=b2−4ac=m2+4m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据运算法则，由m⊗x=0得：mx2−mx−1=0，∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=m2+4m=0，且m≠0
解得：m=−4，
故选：B．
4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+2=0有实数根，
则m的取值范围为 ．
3
【答案】m≤ 且m≠1
2
【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数k的
范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式
Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根
时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．根据定义可得m−1≠0且
Δ=(−2) 2−4×2×(m−1)=12−8m≥0，再进一步解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+2=0有两个实数根，
∴m−1≠0且Δ=(−2) 2−4×2×(m−1)=12−8m≥0，
3
解得：m≤ 且m≠1，
2
3
故答案为：m≤ 且m≠1．
2
5．（2025·江苏镇江·二模）若关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，
则m= ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的Δ>0，方程有两个不相等
的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．根据一元
二次方程根的判别式的意义，方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，
得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0有两个相等的实数根，∴ Δ=0，即(−4) 2−4×2×m=0，
解得m=2．
故答案为：2．
【题型4 解一元二次方程-公式法】
1．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）用公式法解一元二次方程的根为
2±❑√4−4×3×(−1)
x= ，该方程为（ ）
2×3
A．3x2+2x−1=0 B．2x2+4x−1=0
C．x2−2x+3=0 D．3x2−2x−1=0
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式
−b±❑√b2−4ac −b±❑√b2−4ac
x= 中字母所表示的意义．根据求根公式x= 解答即
2a 2a
可．
2±❑√4−4×3×(−1)
【详解】解：由x= 知：a=3，b=−2，c=−1．
2×3
所以该一元二次方程为：3x2−2x−1=0．
故选：D．
2．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）用公式法解方程x2+2x=3时，求根公式中的a，
b，c的值分别是（ ）
A．1，2，3 B．1，−2，3 C．1，2，−3 D．1，−2，−3
【答案】C
【分析】本题考查公式法，先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再根据一元
二次方程的公式法即可求出答案．
【详解】解：x2+2x=3，
x2+2x−3=0，
∴a=1,b=2,c=−3，
故选：C
3．（24-25九年级上·广东湛江·阶段练习）用公式法解一元二次方程：6x2−7x+1=01
【答案】x =1,x =
1 2 6
【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，先求出Δ，再利用求根公式直接求解即
可．
【详解】解：∵a=6,b=−7,c=1
Δ=(−7) 2−4×6×1=25>0
−(−7)±❑√25 7±5
∴x= =
2×6 12
1
∴x =1,x =
1 2 6
4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）用公式法解方程：2x2−5x−1=0．
5+❑√33 5−❑√33
【答案】x = ，x =
1 4 2 4
【分析】本题考查了运用公式法解一元二次方程，先求出
∴Δ=(−5) 2−4×2×(−1)=33>0，再代入公式进行化简，即可作答．
【详解】解：2x2−5x−1=0，
∵a=2，b=−5，c=−1，
∴Δ=(−5) 2−4×2×(−1)=25+8=33>0，
5±❑√33
∴x= ，
4
5+❑√33 5−❑√33
∴x = ，x = ．
1 4 2 4
5．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）用公式法解方程：3x2−5x+2=0
2
【答案】x =1,x =
1 2 3
【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程解题即可．
【详解】解：a=3，b=−5，c=2，
b2−4ac=(−5) 2−4×3×2=1>0，
方程有两个不相等的实数根，
5±1
∴x= ，
62
∴x =1,x = ．
1 2 3
6．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）用公式法解方程：2x2+3x+1=0．
1
【答案】x =−1,x =−
1 2 2
【分析】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用．先求
−b±❑√b2−4ac
出Δ值，判断符号，再利用x= 求解即可．
2a
【详解】解：2x2+3x+1=0
a=2,b=3,c=1
Δ=32−4×2×1=1>0
−3±❑√1
x= ，
2×2
1
∴x =−1,x =− ．
1 2 2
7．（22-23九年级上·全国·单元测试）用公式法解下列方程：
(1)x2−2x−5=0；
(2)3x2+2x=2．
【答案】(1)x =1+❑√6,x =1−❑√6
1 1
1 ❑√7 1 ❑√7
(2)x =− + ,x =− −
1 3 3 1 3 3
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，先将一元二次方程化为一般式，再计算判
别式，最后根据判别式的正负确定解的情况，在有解时，直接代入求解公式即可得到
答案，熟练掌握公式法解一元二次方程是解决问题的关键．
（1）由公式法解一元二次方程即可得到答案；
（2）由公式法解一元二次方程即可得到答案．
【详解】（1）解：x2−2x−5=0，
∵a=1,b=−2,c=−5，
∴Δ=b2−4ac
=(−2) 2−4×1×(−5)=4+20
=24>0，
2±❑√24
∴x= =1±❑√6，
2
∴x =1+❑√6,x =1−❑√6；
1 1
（2）解：由3x2+2x=2得3x2+2x−2=0，
∵a=3,b=2,c=−2，
∴Δ=b2−4ac
=22−4×3×(−2)
=4+24
=28>0，
−2±❑√28 1 ❑√7
∴x= =− ± ，
2×3 3 3
1 ❑√7 1 ❑√7
∴x =− + ,x =− − ．
1 3 3 1 3 3
【题型6 解一元二次方程-因式分解法】
1．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）一元二次方程x(x−3)=0的解为（ ）
A．x =x =0 B．x =0，x =−3
1 2 1 2
C．x =x =3 D．x =0，x =3
1 2 1 2
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，根据每个因式等于0，求出
x =0，x =3，即可作答．
1 2
【详解】解：∵x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
解得x =0，x =3．
1 2
故选：D
2．（21-22八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：x2−3x−2= ．
3+❑√13 3−❑√13
【答案】(x− )(x− )
2 2
【分析】运用求根公式解得对应方程x2−3x−2=0的解，再分解因式．3±❑√13
【详解】解：∵x2−3x−2=0的根为
2
3+❑√13 3−❑√13
即x = ，x =
1 2 2 2
3+❑√13 3−❑√13
∴x2−3x−2=(x− )(x− )．
2 2
3+❑√13 3−❑√13
故答案为：(x− )(x− )．
2 2
【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，利用求根公式法得出方程的根再分解
因式是解决问题的关键．
3．（2025年黑龙江省齐齐哈尔市部分学校中考四模数学试题）解方程：x2−2x−24=0．
【答案】x =−4,x =6
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次
方程．
直接运用因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：x2−2x−24=0，
(x+4)(x−6)=0
x+4=0或x−6=0
∴x =−4，x =6．
1 2
4．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：
(1)x2−2x=0；
(2)x2−4x−5=0．
【答案】(1)x =2，x =0
1 2
(2)x =5，x =−1
1 2
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．
（1）根据提取公因式法解一元二次方程，进行求解即可；
（2）根据十字相乘法解一元二次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：x2−2x=0
(x−2)x=0，
即x−2=0或x=0，
解得：x =2，x =0．
1 2
（2）解：x2−4x−5=0
(x−5)(x+1)=0，即x−5=0或x+1=0，
解得：x =5，x =−1．
1 2
5．（2025·安徽阜阳·三模）解方程：x2+2x−15=0．
【答案】x =−5，x =3
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法
和公式法是解题的关键．
本题直接根据因式分解法即可求解．
【详解】解：x2+2x−15=0，
(x+5)(x−3)=0，
x+5=0或x−3=0
解得x =−5，x =3．
1 2
6．（2025·广东广州·二模）解方程：x2−4x−5=0．
【答案】x =−1，x =5
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：由x2−4x−5=0得(x+1)(x−5)=0，
∴x+1=0或x−5=0，
∴x =−1，x =5．
1 2
7．（2025·广东广州·二模）解方程：x(2x−3)=2x−3．
3
【答案】x = ，x =1
1 2 2
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，
先因式分解得(2x−3)(x−1)=0，可得2x−3=0或x−1=0，即可求出解．
【详解】解：x(2x−3)−(2x−3)=0，
(2x−3)(x−1)=0，
2x−3=0或x−1=0，
3
x = ，x =1．
1 2 2
【题型7 根与系数的关系】
1．（2025·贵州贵阳·二模）若一元二次方程x2+5x+4=0的一个根是−1，则另一个根是
（ ）
A．4 B．1 C．0 D．−4【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数
的关系可得m−1=−5，即可求解．
【详解】解：设另一个根是m，
∵一元二次方程x2+5x+4=0的一个根是−1，
∴m−1=−5，
∴m=−4．
故选：D
2．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）若x ，x 是方程x2+2x−3=0的两个根，则
1 2
（ ）
1
A．x +x =−2 B．x +x =2 C．x x =3 D．x x =−
1 2 1 2 1 2 1 2 3
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)，若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ，
1 2 1 2 a 1 2 a
据此求解即可．
【详解】解：∵x ，x 是方程x2+2x−3=0的两个根，
1 2
∴x +x =−2，x x =−3，
1 2 1 2
故选：A．
3．（2025·湖北襄阳·模拟预测）一元二次方程x2+2x−1=0两个实数根为x ,x ，则x2+x2
1 2 1 2
＝ ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系
b 2 c
得出x +x =− =− =−2，x ·x = =−1，再根据x2+x2=(x +x ) 2−2x ·x ，即
1 2 a 1 1 2 a 1 2 1 2 1 2
可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程x2+2x−1=0两个实数根为x ,x ，
1 2
b 2 c
∴x +x =− =− =−2，x ·x = =−1，
1 2 a 1 1 2 a∴x2+x2=(x +x ) 2−2x ·x =(−2) 2+2=6，
1 2 1 2 1 2
故答案为：6．
4．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）若x ，x 是方程2x2−6x+3=0的两个根，则
1 2
1 1
+ =
．
x x
1 2
【答案】2
【分析】本题主要查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的
−6 3
关系可得x +x =− =3，x x = ，再代入即可求解．
1 2 2 1 2 2
【详解】解：∵x ，x 是方程2x2−6x+3=0的两个根，
1 2
−6 3
∴x +x =− =3，x x = ，
1 2 2 1 2 2
1 1 x +x 3
+ = 1 2= =2
∴x x x x 3 ．
1 2 1 2
2
故答案为：2
1．（24-25九年级上·吉林·期中）解方程: (x−2) 2=9(x+3) 2．
11 7
【答案】x =− ，x =−
1 2 2 4
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元
二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：∵(x−2) 2=9(x+3) 2，
∴x−2=±3(x+3)，
即x−2=3(x+3)或x−2=−3(x+3)，11 7
解得x =− ，x =− ．
1 2 2 4
2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）解关于x的方程 x(2x−1)=x2+3．
❑√13 1 ❑√13 1
【答案】x = + ,x =− +
1 2 2 2 2 2
【分析】该题考查了解一元二次方程，变形后根据配方法求解即可．
【详解】解：x(2x−1)=x2+3，
变形为：x2−x=3，
1 1
∴x2−x+ =3+ ，
4 4
( 1) 2 13
∴ x− = ，
2 4
1 ❑√13
∴x− =± ，
2 2
3．（2025·山东潍坊·三模）已知关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个实数根x 和
1
x ．
2
(1)求实数k的取值范围；
(2)若两个实数根x 和x 满足x +x −x x <4，求k的整数值．
1 2 1 2 1 2
【答案】(1)k≤2
(2)k的整数值有0，1，2．
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，
（1）由一元二次方程的根的情况列得Δ≥0，由此求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =2，x x =k−1，代入得到不等
1 2 1 2
式，求解即可．
【详解】（1）解：∵于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个实数根x 和x
1 2
∴Δ=b2−4ac=4−4×1×(k−1)≥0
∴k≤2；
（2）由根与系数得关系可知，x +x =2，x x =k−1，
1 2 1 2
∵x +x −x x <4，
1 2 1 2
∴2−(k−1)<4∴k>−1
由（1）知k≤2，
∴−1
