文档内容
第 02 讲 解一元二次方程
知识点1：解一元二次方程-直接开方
知识点2：解一元二次方程-配方法
知识点3：解一元二次方程-公式法
知识点4：解一元二次方程-因式分解法
知识点5：一元二次方程的根与系数关系
注意：（1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数
（2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程
（3）方法是根据平方根的意义开平方
【题型1 解一元二次方程-直接平方】
【典例1】解方程：2(x−1) 2=8
【答案】x =3或x =−1
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键．
直接运用直接开平方法求解即可．
【详解】解：2(x−1) 2=8，
(x−1) 2=4，
x−1=±2，
x=3或x=−1．
所以该方程组的解为：x =3或x =−1．
1 2
【变式1】解方程(2x+1) 2−1=0．
【答案】x =0，x =−1
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再
把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：原方程可变形为(2x+1) 2=1．
∵(2x+1)是1的平方根，
∴2x+1=±1．
解得x =0，x =−1．
1 2
【变式2】用适当的方法解方程：(3x−1) 2=(x−1) 2
1
【答案】x =0，x = .
1 2 2
【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是
正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以．
【详解】解：(3x−1) 2=(x−1) 2
开方得，3x−1=x−1或3x−1=−(x−1)
1
解得x =0，x = ．
1 2 2
【变式3】解下列方程：9(x−1) 2−4=0．
5 1
【答案】x = 或x = ．
1 3 2 3【分析】本题考查了解一元二次方程．运用直接开平方法解一元二次方程，
即可作答．
4
【详解】解：整理得(x−1) 2= ，
9
2
∴x−1=± ，
3
2 2
即x−1= 或x−1=− ，
3 3
5 1
解得：x = 或x = ．
1 3 2 3
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：
①化为一般形式；
②移项，将常数项移到方程的右边；
③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）
2=b 的形式；⑤如果 b≥0 就可以用两边开平方来求出方程的解；如果
b≤0，则原方程无解．
总结：
【题型2 解一元二次方程-配方法】
【典例2】解方程：x2−4x−32=0
【答案】x =8，x =−4
1 2【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用配方法解一元二次方
程成为解题的关键．
直接运用配方法求解即可．
【详解】解：x2−4x−32=0，
x2−4x=32，
x2−4x+4=32+4，
(x−2) 2=36，
∴x−2=±6,
∴x =8，x =−4
1 2
【变式1】用适当的方法解下列一元二次方程：2x2−6x+3=0．
3+❑√3 3−❑√3
【答案】x = ，x =
1 2 2 2
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数
项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．
【详解】解：2x2−6x+3=0，
3
方程变形得：x2−3x=−
，
2
配方得：x2−3x+ 9 =− 3 + 9 ，即 ( x− 3) 2 = 3 ，
4 2 4 2 4
3 ❑√3
开方得，x− =± ，
2 2
3+❑√3 3−❑√3
解得：x = ，x = ．
1 2 2 2
【变式2】用配方法解方程：2x2−4x−1=0．
❑√6 ❑√6
【答案】x = +1,x =− +1
1 2 2 2
【分析】本题考查了运用配方法解一元二次方程，先把二次项系数化1，得
1 1
x2−2x− =0，再把常数项移到等号的右边，即x2−2x= ，再配方，最后
2 2
开方，即可作答．【详解】解：∵2x2−4x−1=0，
1
∴x2−2x− =0，
2
1
∴x2−2x=
，
2
1
∴x2−2x+1= +1，
2
3
则(x−1) 2= ，
2
√3 ❑√6
∴x−1=±❑ =±
2 2
❑√6 ❑√6
∴x = +1,x =− +1．
1 2 2 2
1
【变式3】用配方法解方程： x2−3x−5=0．
2
【答案】x =3+❑√19，x =3−❑√19
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把二次项系数化为1，再把常
数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行
平方，进而解方程即可．
1
【详解】解：∵
x2−3x−5=0，
2
∴x2−6x−10=0，
∴x2−6x=10，
∴x2−6x+ ( − 6) 2 =10+ ( − 6) 2 ，
2 2
∴x2−6x+9=19，
∴(x−3) 2=19，
∴x−3=±❑√19，
解得x =3+❑√19，x =3−❑√19．
1 2用公式法求一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式
，
（2）求出判别式
① 时，方程有两个不相等的实数根；
② 时，方程有两个相等的实数根；
时，方程无实数根，反之亦成立
③
【题型3 根据一元二次方程判断根的情况】
【典例3】一元二次方程x2+3x−11=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出Δ=b2−4ac的值即可判
断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关
键．
【详解】解：∵Δ=32−4×1×(−11)=9+44=53>0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【变式1】方程 x2+2x+1=0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别
式求解即可，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵Δ=22−4×1×1=0，
∴方程x2+2x+1=0有两个相等实数根，
故选：C．
【变式2】一元二次方程(x−1)(x+1)=3x−3的根的情况是
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，再
求出Δ=b2−4ac的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式和一元二
次方程根的关系是解题的关键．
【详解】解：方程整理得，x2−3x+2=0，
∵Δ=(−3) 2−4×1×2=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D．
【变式3】下列一元二次方程中，无实数根的是（ ）
A．x2−2x−3=0 B．x2+3x+2=0
C．x2−2x+1=0 D．x2+2x+2=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①Δ>0，方程有两个不相
等的实数根，②Δ=0，方程有两个相等的实数根，③Δ<0，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解．
【详解】解：A、Δ=(−2) 2−4×1×(−3)=16>0，故该一元二次方程有实数根，
不符合题意；
B、Δ=32−4×1×2=1>0，故该一元二次方程有实数根，不符合题意；
C、Δ=(−2) 2−4×1×1=0，故该一元二次方程有实数根，不符合题意；
D、Δ=22−4×1×2=−4<0，故该一元二次方程没有实数根，符合题意；
故选：D．
【题型4 根据一元二次方程根的情况求参数】
【典例4】若关于x的一元二次方程(a−1)x2+2x+1=0有实数根，则实数a的取
值范围是（ ）
A．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0，a，b，c为常数)的
根的判别式Δ=b2−4ac，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ<0时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求
解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(a−1)x2+2x+1=0有实数根，
∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．
Δ=22−4⋅(a−1)⋅1=4−4(a−1)=8−4a.令Δ≥0，即8−4a≥0，
解得a≤2．
∴a≤2且a≠1
故选：C．
【变式1】已知关于x的一元二次方程x2−3x+m+1=0有实数根，则实数m的取
值范围是（ ）5 5 5 5
A．m< B．m≥ C．m> D．m≤
4 4 4 4
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方
程的判别式非负是解题的关键；
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，
解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：对于方程x2−3x+m+1=0，其判别式为：
Δ=(−3) 2−4⋅1⋅(m+1)=9−4(m+1)=5−4m，
方程有实数根需满足Δ≥0，即：5−4m≥0，
5
解得m≤ ；
4
故选：D．
【变式2】若关于x的方程x2−2kx+4=0有两个相等的实数根，则k的值为（ ）
A．2 B．−2 C．1或−1 D．2或−2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两
个相等的实数根”是解题的关键．
由方程有两个相等的实数根，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出
结论．
【详解】解：∵方程x2−2kx+4=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(−2k) 2−4×4=0，
解得：k=2或−2．
故选：D．
【变式3】已知关于x的一元二次方程2x2+x−m=0没有实数根，则m的取值范
围是 ．
1
【答案】m<−
8
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到Δ<0，进行求
解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．【详解】解：由题意，得：Δ=12−4×2⋅(−m)<0，
1
解得：m<− ；
8
1
故答案为：m<− ．
8
【题型5 解一元二次方程-公式法】
【典例5】解方程：x2−4x−1=0．
【答案】x =2+❑√5，x =2−❑√5
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出Δ=b2−4ac=25>0，再由求根
公式，即可求解；选用恰当的方法解方程是解题的关键．
【详解】解：a=1，b=−4，c=−1，
Δ=b2−4ac
=(−4) 2−4×1×(−1)
=20>0，
−(−4)±❑√20
∴x= =2±❑√5，
2
∴x =2+❑√5，x =2−❑√5．
1 2
【变式1】解方程：(x+1)(x−3)=2．
【答案】x =1+❑√6，x =1−❑√6
1 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用公式法解一元二次方
程成为解题的关键．
先将方程化成一般式，然后再运用公式法求解即可．
【详解】解：原方程可化为 x2−2x−5=0 ，
∵Δ=(−2) 2−4×1×(−5)=24>0 ，
−(−2)±❑√24
∴x= =1±❑√6，
2×1∴x =1+❑√6,x =1−❑√6 ．
1 2
【变式2】用公式法解方程4x2−6x−3=0．
3+❑√21 3−❑√21
【答案】x = ，x =
1 4 2 4
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程．根据一元二次方程的一般形
式得到a=4，b=−6，c=−3，计算得到Δ=84>0，代入求根公式进行计算
即可．
【详解】解：4x2−6x−3=0
a=4，b=−6，c=−3，
∵Δ=(−6) 2−4×4×(−3)=84，
∴
6±❑√84
x= ，
2×4
∴
3+❑√21 3−❑√21
解得x = ，x = ．
1 4 2 4
【变式3】解方程：x2−x−3=0．
1+❑√13 1−❑√13
【答案】x = ，x = ．
1 2 2 2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是
解题的关键．利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵x2−x−3=0，
∴a=1，b=−1，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=(−1) 2−4×(−3)×1=13>0，
1±❑√13
∴x= ，
2
1+❑√13 1−❑√13
解得x = ，x = ．
1 2 2 2
因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下：
（1）移项，使方程的右边化为零；（2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积；
（3）令每个因式分别为零；
（4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。
【题型6 解一元二次方程-因式分解法】
【典例6】解方程
(1)x2−4x−5=0
(2)(x−4) 2=10(x−4)
【答案】(1)x =5，x =−1，
1 2
(2)x =4，x =14
1 2
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方
法解方程是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）分解因式为(x−4)[(x−4)−10)=0，再化为两个一次方程，再解一次方
程即可．
【详解】（1）解：(x−5)(x+1)=0，
解得：x =5，x =−1；
1 2
（2）解：整理，得：(x−4) 2−10(x−4)=0，
因式分解，得：(x−4)[(x−4)−10)=0，
即：x−4=0或x−14=0，
解得：x =4，x =14．
1 2
【变式1】解方程：x2−4x−5=0
【答案】x =5，x =−1
1 2
【分析】本题可通过因式分解的方法，将二次方程转化为两个一次方程来
求解，即把x2−4x−5=0左边因式分解为(x−5)(x+1)，再令每个因式等于0，解一次方程得到原方程的解 ．本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，
熟练掌握因式分解的方法（如十字相乘法 ）将二次方程转化为一次方程是
解题的关键．
【详解】解：x2−4x−5=0，
(x−5)(x+1)=0，
x−5=0或x+1=0，
∴x =5，x =−1
1 2
【变式2】解方程：x2+3x−10=0．
【答案】x =2，x =−5
1 2
【分析】本题考查解一元二次方程，运用因式分解法求解即可．
【详解】解：因式分解，得(x−2)(x+5)=0，
∴x−2=0或x+5=0，
解得x =2，x =−5．
1 2
【变式3】解方程：x−1=(x−1)(x+3)．
【答案】x =1，x =−2
1 2
【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程即
可得解．
【详解】解：∵x−1=(x−1)(x+3)，
∴(x−1)−(x−1)(x+3)=0，
∴(x−1)[1−(x+3))=0，
∴x−1=0或1−(x+3)=0，
∴x =1，x =−2．
1 2
根与系数的关系：即 的两根为 ，则 ，
利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如
。解题技巧：
当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知
系数时，可以用韦达定理
【题型7 根与系数的关系】
【典例7】已知一元二次方程x2+x−2=0的两个根是x ，x ，则x +x −x x 的值
1 2 1 2 1 2
是（ ）
A．−2 B．2 C．−1 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“x ,x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x +x =− ,x x = ”是解题的关键．根据根
1 2 a 1 2 a
与系数的关系（韦达定理）可直接求出根的和与积，进而代入表达式计算即
可．
b
【详解】解：由方程x2+x−2=0可知，根的和x +x =− =−1，
1 2 a
c
根的积x x = =−2，
1 2 a
将x +x =−1和x x =−2代入x +x −x x ，
1 2 1 2 1 2 1 2
得：−1−(−2)=−1+2=1．
故选：D．
【变式1】若关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个解是x =m，x =n，则
1 2
m+n+mn的值是
【答案】−2026
【分析】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程
1 2
b c
ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时， x +x =− ， x ·x = ．也考查了一元
1 2 a 1 2 a
二次方程的解．先根据m,n分别是关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个根，得mn=−2025，m+n=−1再利用整体代入的方法计算．
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+x−2025=0的两个根是x =m，x =n，
1 2
∴mn=−2025，m+n=−1
∴m+n+mn=−1−2025=−2026
故答案为：−2026．
1 1
【变式2】若实数a、b是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，则 + 的值为
a b
．
4 1
【答案】 /1
3 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，由
根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再把所求式子通分后利用整体代入法
求解即可．
【详解】解：∵实数a、b是一元二次方程x2−4x+3=0的两个根，
∴a+b=4，ab=3，
1 1
∴ +
a b
a+b
=
ab
4
= ，
3
4
故答案为： ．
3
【变式3】若一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，则2α2−3α+3β的值为
．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，
解题的关键是掌握如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，则
1 2
b c
x +x =− ,x x = ．
1 2 a 1 2 a
−6
先根据题意得到2α2−6α−1=0，α+β=− =3，则将2α2−3α+3β变形为
2，即可求解．
2α2−6α+3(α+β)
【详解】解：∵一元二次方程2x2−6x−1=0的两根为α, β，
−6
∴2α2−6α−1=0，α+β=− =3，
2
∴2α2−6α=1，
∴2α2−3α+3β=2α2−6α+3α+3β=2α2−6α+3(α+β)=1+3×3=10，
故答案为：10．
一、单选题
1．利用“配方法”解方程x2−4x−7=0，配方结果正确的是（ ）
A．(x−2) 2=11 B．(x−2) 2=3
C．(x−4) 2=11 D．(x−4) 2=3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键．直
接运用配方法求解即可．
【详解】解：x2−4x−7=0，
x2−4x=7，
x2−4x+4=7+4，
(x−2) 2=11．
故选：A．
2．若x 、x 是方程 x2+x−6=0的两个根，则x +x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．−1 B．1 C．6 D．−6
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系
求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根b c
为x ，x ，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
【详解】解：∵x ，x 是方程x2+x−6=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =−1．
1 2
故选：A．
3．一元二次方程x2−x+1=0的实数根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知判别式小于0时，
方程无实数根是解题的关键；
根据一元二次方程的判别式进行解答即可.
【详解】解：因为方程的判别式Δ=(−1) 2−4=−3<0，
所以一元二次方程x2−x+1=0无实数根；
故选：B.
4．若关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，则实数m的值为
（ ）
A．−4 B．4 C．4或−4 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实
数根是关键．
根据题意得到Δ=m2−16=0，由此即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根，
∴Δ=m2−16=0，
解得，m=±4，
∴实数m的值为4或−4，
故选：C ．
二、填空题
5．已知m,n是一元二次方程x2−4x−1=0的两根，则m+n= ．【答案】4
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握
b c
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x ，x ，则x +x =− ,x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
b
根据x +x =− 直接求解即可．
1 2 a
【详解】解：∵m,n是一元二次方程x2−4x−1=0的两根，
−4
∴m+n=− =4，
1
故答案为：4．
6．方程x(x−1)=0的根是 ．
【答案】x =0,x =1
1 2
【分析】本题考查了因式分解求一元二次方程的解，掌握因式分解的计算
是关键．
根据因式分解法求一元二次方程的解的计算方法求解即可．
【详解】解：x(x−1)=0，
∴x=0或x−1=0，
∴x =0,x =1，
1 2
故答案为：x =0,x =1 ．
1 2
7．关于x的一元二次方程x2−6x+k=0无实数根，则k的取值范围是
【答案】k>9/90时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ<0时，方程没有实数根．据此由Δ<0求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+k=0无实数根，
∴Δ=(−6) 2−4k<0，
解得k>9，
故答案为：k>9．8．已知二元一次方程x2−2x−m=0的两根之积为−3，则m= ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x ，x 为方程的两个
1 2
c
根，则x x = ．据此求解，即可解题．
1 2 a
【详解】解：设x ，x 为方程的两个根，
1 2
−m
∴ x x =−3，即 =−3
1 2 1
∴m=3
故答案为：3．
9．设m, n是方程x2+x−2025=0的两个实数根，则m2+2m+n+mn的值为
．
【答案】−1
【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一
元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的解
及根与系数的关系可进行求解．
【详解】解：∵m，n是方程x2+x−2025=0的两个实数根，
∴m2+m−2025=0，m+n=−1，mn=−2025，
∴m2+2m+n+mn
=m2+m+m+n+mn
=2025−1−2025
=−1；
故答案为−1．
三、解答题
10．解下列方程．
(1)x2−6x+5=0； (2)(x−2) 2=2x−4；
(3)x2−3x=0； (4)x2−4x−2=0．
【答案】(1)x =5，x =1；
1 2
(2)x =2，x =4；
1 2(3)x =0，x =3；
1 2
(4)x =2+❑√6，x =2−❑√6．
1 2
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、
配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可；
（2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可．
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用配方法求解即可．
【详解】（1）x2−6x+5=0
(x−5)(x−1)=0
x−5=0或x−1=0
解得x =5，x =1；
1 2
（2）(x−2) 2=2x−4
(x−2) 2=2(x−2)
(x−2) 2−2(x−2)=0
(x−2)(x−2−2)=0
(x−2)(x−4)=0
x−2=0或x−4=0
解得x =2，x =4；
1 2
（3）x2−3x=0
x(x−3)=0
x=0或x−3=0
解得x =0，x =3；
1 2
（4）x2−4x−2=0
x2−4x=2
(x−2) 2=6
x−2=±❑√6解得x =2+❑√6，x =2−❑√6．
1 2
11．已知关于x的方程(m−1)x2−x−2=0．
(1)若x=−1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根；
(2)当m取何值时，方程总有实数根．
【答案】(1)m=2，x=2
7
(2)m≥
8
【分析】本题主要考查了根的判别式，解一元二次方程等知识，解题的关
键是熟练掌握根的判别式．
（1）把方程的根x=−1代入求得m的值，然后解方程得到另一个根即可；
（2）根据关于x的方程(m−1)x2−x−2=0的根的判别式的取值范围，来判断
该方程的根的情况．
【详解】（1）解：将x=−1，代入(m−1)x2−x−2=0得，
m−1+1−2=0
解得，m=2，
所以方程为：x2−x−2=0
x2−x−2=0
(x−2)(x+1)=0
∴x =2,x =−1
1 2
所以，方程的另一个根为x=2；
（2）解：Δ=(−1) 2+4×2(m−1)≥0
7
解得，m≥ ，
8
7
当m≥ 时，方程总有实数根．
8
12．已知ax2+(a−1)x−1=0是关于x的方程．
(1)求证：无论a取何值，方程总有实数根；(2)若x=4总是方程的一个根，求a的值及另一个根．
【答案】(1)见解析
1
(2)a= ，x=−1
4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一
元二次方程的解的定义，解一元一次方程．
（1）当a=0时，原方程为一元一次方程，有解，符合题意；当a≠0时，利
用判别式证明即可；
（2）把x=4代入原方程求出a的值，再利用根与系数的关系求出方程的另
一根即可．
【详解】（1）证明：当a=0时，原方程为−x−1=0，解得x=−1，此时原方
程有实数根，符合题意；
当a≠0时，则Δ=(a−1) 2−4⋅a⋅(−1)=(a−1) 2+4a2>0，此时原方程有两个不
相等的实数根，
∴无论a取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵x=4总是方程的一个根，
∴16a+4(a−1)−1=0，
1
解得a= ，
4
a−1
则由根与系数的关系可得方程的另一个根为x=− −4=−1．
a
