文档内容
专题十一 《立体几何》讲义
11.3 平行与垂直证明
知识梳理 . 平行与垂直证明
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平 ∵l∥a，
面内的一条直线平行， a α，
判定定理
则该直线与此平面平行 l α，
(线线平行⇒线面平行) ∴⊂l∥α
⊄
一条直线与一个平面平
行，则过这条直线的任 ∵l∥α，
一平面与此平面的交线 l β，α∩β
性质定理
与该直线平行(简记为 ＝b，
“线面平行⇒线线平 ⊂∴l∥b
行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
∵a∥β，
一个平面内的两条相交
b∥β，a∩b
直线与另一个平面平
＝P，
判定定理 行，则这两个平面平行
a α，
(简记为“线面平行⇒面
b α，
面平行”)
∴⊂α∥β
⊂
∵α∥β，
如果两个平行平面同时
α∩γ＝a，
性质定理 和第三个平面相交，那
β∩γ＝b，
么它们的交线平行
∴a∥b
3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面
内的两条相交直线都
判定定理 l⊥α
垂直，则该直线与此
平面垂直
⇒
垂直于同一个平面的
性质定理 a∥b
两条直线平行
⇒
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平
判定定理 面的垂线，则这两个 α⊥β
平面垂直
⇒
两个平面垂直，则一
个平面内垂直于交线
性质定理 l⊥α
的直线与另一个平面
垂直
⇒
题型一 . 平行问题
考点 1 . 线面平行
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，
PC的中点．求证：
（1）直线MN∥平面PAD；
2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝
2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．
（1）证明：PA∥平面BDE；考点 2 . 面面平行
3．如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，点E、D分别是B C 与BC的中点．求证：平面
1 1 1 1 1
A EB∥平面ADC ．
1 1
4．如图所示，已知ABCD﹣A B C D 是棱长为3的正方体，点E在AA 上，点F在CC 上，
1 1 1 1 1 1
G在BB 上，且AE＝FC ＝B G＝1，H是B C 的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：E、B、F、D 四点共面
1
（2）求证：平面A GH∥平面BED F．
1 1
考点 3 . 线线平行
5．如图所示，在多面体A B D DCBA中，四边形AA B B，ADD A ，ABCD均为正方形，E
1 1 1 1 1 1 1
为B D 的中点，过A ，D，E的平面交CD 于F．
1 1 1 1
（Ⅰ）证明：EF∥B C；
1
6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，
平面PAD∩平面PBC＝l．（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
题型二 . 垂直问题
考点 1 . 线面垂直
1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，
AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝
CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
考点 2 . 面面垂直
3．如图：AB是 O的直径，PA垂直于 O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一
点，求证：平⊙面PAC⊥平面PBC． ⊙
4．如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD＝
∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
考点 3 . 线线垂直
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=√2
，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
6．如图，四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
EF
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出 ；若不存在，说
EA
明理由．
题型三 . 存在性问题
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E
分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都
与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C^D所在平面垂直，M是C^D上异于C、D的点．
（1）证明：DM⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
3．已知正方体 ABCD﹣A B C D 中，P、Q 分别为对角线 BD、CD 上的点，且
1 1 1 1 1
CQ BP 2
= = ．
QD PD 3
1
（1）求证：PQ∥平面A D DA；
1 1
CR
（2）若R是CD上的点，当 的值为多少时，能使平面PQR∥平面B C BC？请给出
1 1
CD
证明．
题型四 . 折叠问题
1
1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC= AP，D是AP的中
2
点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．
2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝
2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB
的中点为E，
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；
若不存在，请说明理由．
π
3．如图甲， O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB= ，∠DAB
4
⊙
π
= ．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，
3
E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；
若不存在，请说明理由．
题型五 . 平行与垂直选填综合
1．设l、m、n表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥ ，则l⊥ ； α β γ
②若 ⊥ ，m∥ ，αn⊥ ，则αm⊥n；
③若αl∥ β，且m∥α ，则βl∥m；
④若m⊥αn，m⊥ ，αn∥ ，则 ⊥ ．
则正确的命题个数α为（ β ）α β
A．4 B．3 C．2 D．1
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三
角形的个数是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．6
3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，
1 1
BF＝FC，CH= HD，AG= GD，则下列说法错误的是（ ）
2 2
A．AC∥平面EFH
B．四边形EFHG是梯形
C．直线EG，FH，BD相交于同一点
D．BD∥平面EFG
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别是A D ，A B 的中点，过
1 1 1 1 1 1 1 1
直线BD的平面 ∥平面AMN，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
α α9 √6
A．√2 B． C．√3 D．
8 2
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，N为BC的中点．当点M在平面DCC D 内
1 1 1 1 1 1
运动时，有MN∥平面A BD，则线段MN的最小值为（ ）
1
√6
A．1 B． C．√2 D．√3
2
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，
AP=√3，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长
度为（ ）
3√2
A．√3 B． C．2 D．3√2
2
7．如图，正方体 ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若
1 1 1 1
EF∥平面AB C，则线段EF的长度等于 ．
1
8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A B C ，M，N分别为线段A B，B C上的动点，
1 1 1 1 1
若点M，N所在直线与平面ACC A 不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是
1 1
．9．棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平
1 1 1 1
面a∥平面AB C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为 ．
1
10．如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面
1 1 1 1
BB C C 的边界及其内部运动．若 D O⊥OP，则△D C P 面积的最大值为
1 1 1 1 1
．
课后作业 . 平行与垂直证明
1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的
中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为AC的中点，点D 是A C 中点
1 1 1 1 1 1
（1）求证：BC ∥平面AB D
1 1 1
（2）求证：平面AB D ∥平面C BD．
1 1 13．直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA =√2，D 是A B 中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求证C D⊥平面A B；
1 1
（2）当点F 在BB 上什么位置时，会使得AB ⊥平面C DF？并证明你的结论．
1 1 1
4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，
∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．
（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；
（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC
折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√2．
（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．
6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将
△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
√3
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为 ，求a的值；
24
AP
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出 的值；如果不存
AC
在，请说明理由．
