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专题十一 《立体几何》讲义
11.2 外接球与内切球
题型一 . 长方体模型
1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=√3
，则球O的体积等于（ ）
16√2π 4π 9π
A．4√3π B． C． D．
3 3 2
【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圆的直径为AC，AC=√6，
由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，
∴CD为球的直径，CD 3，
=√DA2+AC2=
3
∴球的半径R= ，
2
4 9π
∴V球 = R3= ．
3 2
π
故选：D．
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2√34，AD＝BC＝2√41，则四面体A﹣
BCD外接球的表面积为 20 0 ．
【解答】解：四面体A﹣BCDπ 中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2√34，AD＝BC＝2√41，
补形成为长方体，不难发现，对棱的长度分别为长方体面对角线的长．
设长方体的长宽高分别为a，b，c．
{a2+b2=100
则 ，
a2+c2=136
b2+c2=164
那么：2（a2+b2+c2）＝400．
a2+b2+c2＝200．
长方体的对角线：√200，
外接球的半径2R=√200．
∴R＝5√2．四面体A﹣BCD外接球的表面积S＝4 R2＝200 ．
故答案为：200 ． π π
π
3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为√3的球面上，若
√3
PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为 ．
3
【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，
∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，
∵球O的半径为√3，
∴正方体的棱长为2，即PA＝PB＝PC＝2
球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离
1 1
设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V= S△ABC ×h= S△PAB ×PC
3 3
1 1 4
= × ×2×2×2=
3 2 3
√3
△ABC为边长为2√2的正三角形，S△ABC = ×(2√2) 2=2√3，
4
∴h 3V 2√3
= =
S 3
△ABC
2√3 √3
∴正方体中心O到截面ABC的距离为√3− =
3 3
√3
故答案为
3
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题型二 . 柱体模型
1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）3π π π
A． B． C． D．
4 2 4
π
【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，
√ 1 √3
∴该圆柱底面圆周半径r= 12−( ) 2= ，
2 2
√3 3π
∴该圆柱的体积：V＝Sh=π×( ) 2×1= ．
2 4
故选：B．
2．已知直三棱柱 ABC﹣A B C 的各顶点都在同一球面上，若 AB＝AC＝1，AA ＝2，
1 1 1 1
∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 8 ．
【解答】解：设直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C 1π的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点
P，M，
设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC﹣A B C 的外接球的半径为R，如图所示：
1 1 1
，
∴直三棱柱ABC﹣A B C 的外接球的球心O为线段PM的中点，
1 1 1
在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝120°，
AB2+AC2−BC2 1
∴由余弦定理得：cos1200= =− ，∴BC=√3，
2AB⋅AC 2
BC
∴由正弦定理得：2r = =2，∴r＝1，
sin1200
1
∴在Rt△OMC中，OC＝R，OM= A A =1，MC＝r＝1，
2 1∴R2＝12+12＝2，
∴直三棱柱ABC﹣A B C 的外接球的表面积为：4 R2＝8 ，
1 1 1
故答案为：8 ． π π
3．若三棱锥P﹣πABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三
棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．10√3 B．18 C．20 D．9√3
【解答】π解：三棱锥P﹣ABCπ中，已知PA⊥底面AπBC，∠BAC＝120°，PA＝π AB＝AC＝
2，
故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥P﹣ABC，
所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，
所以外接球的直径2R ，
=√42+22=2√5
则R=√5，
所以该球的表面积为 20 ．
S=4πR2=4π⋅(√5) 2=
π
故选：C．
声明：试
题型三 . 正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表
面积为（ ）
81π 27π
A． B．16 C．9 D．
4 4
π π
【解答】解：设球的半径为R，则
∵棱锥的高为4，底面边长为2，
∴R2＝（4﹣R）2+（√2）2，
9
∴R= ，
4
9 81π
∴球的表面积为4 •（ ）2= ．
4 4
π故选：A．
2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以
球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
3√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
4 3 4 12
【解答】解：正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的
三个顶点在该球的一个大圆上，所以球心是底面三角形的中心，
2 √3
设球的半径为1，所以底面三角形的边长为a， × a=1，∴a=√3
3 2
1 √3 √3
该正三棱锥的体积： × ×(√3) 2×1= ．
3 4 4
故选：C．
3．如图ABCD﹣A B C D 是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，
1 1 1 1
A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
1 1 1 1
9 25 49 81
A． π B． π C． π D． π
16 16 16 16
【解答】解：设球的半径为R，则
√2
∵底面正方形的外接圆的半径为 ，
2
√2
∴由勾股定理可得R2＝（ ）2+（2﹣R）2，
2
9
∴R= ，
8
81
∴球的表面积为4 R2= ．
16
π π故选：D．
题型四 . 一般锥的外接球
1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=√2，AC＝
4 289π
2，若该三棱锥体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 ．
3 16
【解答】解：因为AB=BC=√2，AC＝2，
则AB⊥BC，且△ABC外接圆的半径为1，
4
因为该三棱锥体积的最大值为 ，
3
1 1 4
则V= S ⋅ℎ = ×1×ℎ = ，
3 △ABC 3 3
则h＝4，即点D到平面ABC的距离最大为4，
设球的半径为R，则R2＝1+（4﹣R）2，
17
解之得R= ，
8
289π
则表面积为 ，
16
289π
故答案为： ．
16
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且
平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．128
【解答π】解：由于PB＝PC，π取BC的中点为O'，则πPO'⊥BC， π
由于平面ABC⊥平面PBC，
即有PO'⊥平面ABC，
∵PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，
∴PB＝6，PO'＝4√2，
△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，
4√2 2√2
∴sin∠ABC= = ，
6 3
6
=
∴2r 2√2，
3设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为h，
9 9
则（ ）2+h2＝（4√2−h）2+（4√2− ）2＝R2，
2√2 2√2
√65
解得R= ．
2
球O的表面积为4 R2＝65 ，
故选：B． π π
3．在菱形ABCD中，A＝60°，AB=√3，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角
2π
P﹣BD﹣C的大小为 ，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（ ）
3
4 √3 7√7 7√7
A． B． C． D．
3 2 6 2
π π π π
2π 3
【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC= ，PE＝CE=
3 2
设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，
{
R2=1+
ℎ
2
三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则 ，
3√3 5
( −ℎ) 2+( ) 2=R2
4 4
√7 √3
∴R= ，h= ，
2 2
4 √7 7√7
∴三棱锥P﹣BCD的外接球体积为 π⋅( ) 3= π．
3 2 6
故选：C．
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，
SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（ ）
4√2 4√3 8√2
A． B． C． D．4√2
3 3 3
2√3
【解答】解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r= ，
32√6
所以点O到平面ABC的距离d=√R2−r2= ，
3
4√6
SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d= ，
3
1 1 4√6 4√2
此棱锥的体积为V = S ×2d= ×√3× = ，
3 △ABC 3 3 3
故选：A．
题型五 . 内切球
2π
1．将半径为3，圆心角为 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（
3
）
√2π √3π 4π
A． B． C． D．2
3 3 3
π
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，
2π
则2 r= ×3，
3
π
∴r＝1，h 2 ，
=√32−1= √2
R 1
设内切球的半径为R，则 = ，
2√2−R 3
√2 4 4 √2 √2
∴R= ，V= R3= （ ）3= ，
2 3 3 2 3
π π π
故选：A．
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比
为（ ）
A．1：3 B．1：(3+√3) C．(√3+1)：3 D．(√3−1)：3
【解答】解：三棱锥扩展为长方体，它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则
它的对角线的长度为：√3a
√3a
球的半径为： ，
2
再设正三棱锥内切球的半径为r，
根据三棱锥的体积的两种求法，得1 1 1 1 √3
× ×a3= ×[ a2×3+ (√2a) 2]×r，
3 2 3 2 4
3−√3
∴r= a，
6
3−√3
a
6
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 =(√3−1)：3．
√3a
2
故选：D．
3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内
切球，则球O的表面积为（ ）
8π 4π 8√6π 4√6π
A． B． C． D．
3 3 27 27
【解答】解：由题意，该八面体的棱长为2，
1 1 1 √3 √2
设球O的半径为r， S ⋅r= ×2×2×2√2= ×8× ×22 ⋅r，解得r=
3 表 3 3 4 √3
√2 8π
所以球O的表面积为：4π×( ) 2= ．
√3 3
故选：A．
课后作业 . 外接球与内切球
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线π
AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD= ，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积
3
4
是 ．
3
π
【解答】解：如图，∵底面ABCD为菱形，
∴OA⊥OB，
∴AB中点N为△AOB的外心，
取PA中点M，
则MN∥PB，
∵PB⊥底面ABCD，
∴MN⊥底面ABCD，
∴M为三棱锥P﹣AOB的外接球球心，
π
∵PB＝1，∠APB= ，
3
∴AP＝2，
∴外接球半径为1，
4
体积为 ，
3
π
4π
故答案为： ．
3
2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E
是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（ ）7 9
A． B．2 C． D．3
4 4
π π π π
【解答】解：设正△ABC的中心为O ，连结O A
1 1
∵O 是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
1
∴O O⊥平面ABC，∵球的半径R＝2，球心O到平面ABC的距离为1，得O O＝1，
1 1
∴Rt△O OA中，O A ．
1 1 =√OA2−OO 2=√3
1
3
又∵E为AB的中点，△ABC是等边三角形，∴AE＝AO cos30°= ．
1
2
∵过E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，
∴当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最小值．
3
此时截面圆的半径r= ，
2
9π
可得截面面积为S＝ r2= ．
4
π
故选：C．
3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三
角形且面积为9√3，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12√3 B．18√3 C．24√3 D．54√3
√3
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9√3，可得 ×AB2=9√3，解得AB＝
4
6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：
2 √3
O′C= × ×6=2√3，OO′=√42−(2√3) 2=2，
3 2
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6，
1 √3
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： × ×63=18√3．
3 4
故选：B．4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面
体ABCD的外接球的表面积为（ ）
20π 22π
A． B．6 C． D．8
3 3
π π
【解答】解：如图取BD中点H，AC中点M，连接MH
因为AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC
所以 BD⊥CH，BD⊥AH，则 BD⊥面 ACH，三角形 ACH 是等腰直角三角形．所以
MH⊥AC，所以∠AHM＝45°，AH=√3，
所以球心必落在直线MH上，设为点O，连接OA、OD，则OA＝OD＝OC＝OB．
设OH＝x，在三角形OHD中，HD＝1，所以OD2＝x2+1
在三角形AOH中，OA2＝x2+√32﹣2√3xcos45°
√6 5
所以x2+1＝x2+√32﹣2√3xcos45°，解得x= ，所以R2=OD2=
3 3
20π
故外接球的表面积S＝4πR2=
3
故选：A．
5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB=√3，∠ASC＝
∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A．3√3 B．2√3 C．√3 D．1
【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°
所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30° 得：AC＝2，SA＝2√3又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30° 得：BC＝2，SB＝2√3 则：SA＝SB，AC＝BC
因 为 点 D 是 AB 的 中 点 所 以 在 等 腰 三 角 形 ASB 中 ， SD⊥ AB 且 SD
√ 3 3√5
=√SA2−AD2= 12− =
4 2
√ 3 √13
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=√AC2−AD2= 4− =
4 2
1
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V= AB•S△SCD ，
3
3√5 √13
因为：SD= ，CD= ，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣
2 2
1 6 1 1
1 45 13 =− =−
SC2） =（ + −16） 3√5 √13 4 3√65 √65
2SD⋅CD 4 4 2× ×
2 2 2
8
则：sin∠SDC=√1−cos2∠SDC=
√65
1 1 3√5 √13 8
由三角形面积公式得△SCD的面积S= SD•CD•sin∠SDC= × × × =3
2 2 2 2 √65
1 1
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V= AB•S△SCD = ×√3×3=√3
3 3
故选：C．
2π
6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC= ，AP＝3，AB＝2√3，Q是边BC上
3
π
的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的
3
3
表面积为 5 7 ；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 ．
5
π
【解答】解：如图，π
Q是边BC上的一动点，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 ，
3
π π PA 3
则当AQ⊥BC时，∠PQA= ，由tan = ，得AQ= =√3，
3 3 AQ √3
在△ABQ中，BQ ，
=√AB2−AQ2=√12−3=3
BQ 3 √3 π π
∵sin∠BAQ= = = ，∴∠BAQ= ，则∠CAQ= ，
AB 2√3 2 3 3
CQ
由tan∠CAQ= ，得CQ=√3×√3=3，
AQ
∴BC＝BQ+CQ＝3+3＝6，设△ABC外接圆的半径为r，
BC 6
= = =4√3
则2r 2π √3 ，可得r=2√3．
sin
3 2
PA 9 57
设三棱锥外接球的半径为R，则R2=r2+( ) 2=12+ = ，
2 4 4
可得外接球的表面积S＝4 R2＝57 ；
在Rt△AQC中，AC π π ，可得△ABC是等腰三角形，
=√AQ2+CQ2=2√3
1 1 1
三棱锥P﹣ABC的表面积为S＝2× ×2√3×3+ ×6×√3+ ×6×√32+(√3) 2=15√3
2 2 2
，
设三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为r′，
1 1 1 3
则 × ×6×√3×3= ×15√3×r′，解得r′= ．
3 2 3 5
3
即三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 ．
5
3
故答案为：57 ； ．
5
π
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