文档内容
专题十一 《立体几何》讲义
11.1 空间几何体
知识梳理 . 空间几何体
1．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′
轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于 x轴和z轴的线
段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且相等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不一定相
侧棱 互相平行且相等 延长线交于一点
等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球▲
图形
互相平行且相 长度相等且相交
母线 延长线交于一点
等，垂直于底面 于一点
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
4．空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S ＝S ＋2S V＝Sh
表面积 侧 底
锥体(棱锥和圆锥) S ＝S ＋S V＝Sh
表面积 侧 底S ＝S ＋S ＋S
台体(棱台和圆台) 表面积 侧 上 V＝(S ＋S ＋)h
上 下
下
球 S＝4πR2 V＝πR3
题型一 . 正方体的展开与折叠问题
1．如图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是
（ ）
A． B． C． D．
2．如图是表示一个正方体表面的一种平面展开图，图中的四条线段 AB、CD、EF和GH
在原正方体中不相交的线段的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE
题型二 . 多面体表面最短距离问题
1．如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一质点自点B出发，沿着三棱
锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ）A．2 B．3 C．2√3 D．3√3
2．如图，已知正三棱柱ABC﹣A B C 的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自A点出发，
1 1 1
沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 点的最短路线的长为（ ）cm．
1
A．12 B．13 C．√61 D．15
3．如图所示，已知在圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，
且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求绳子最短时，顶点到绳子的
最短距离 （用x表示）．题型三 . 截面问题
1．如图，若 是长方体ABCD﹣A B C D 被平面EFGH截去几何体EFGHB C 后得
1 1 1 1 1 1
到的几何体，其Ω中 E为线段 A B 上异于 B 的点，F为线段 BB 上异于 B 的点，且
1 1 1 1 1
EH∥A D ，则下列结论中不正确的是（ ）
1 1
A．EH∥FG B．EF∥HG C． 是棱柱 D． 是棱台
2．（2018·全国1）已知正方体的棱长为1，每条棱所Ω在直线与平面 所成Ω的角都相等，则
截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） α
α 3√3 2√3 3√2 √3
A． B． C． D．
4 3 4 2
3．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E
是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是 ．题型四 . 一般空间几何体的表面积与体积
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O ，O ，过直线O O 的平面截该圆柱所得
1 2 1 2
的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A．12√2 B．12 C．8√2 D．10
π π 8π π π
2．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
5
16π 8π
A．16 B．8 C． D．
3 3
π π
3．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB
的面积为8，则该圆锥的体积为 ．
4．已知边长为√3的正三角形ABC三个顶点都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的
距离为该球半径的一半，则球O的表面积为 ．
5．如图，直三棱柱ABC﹣A B C 的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面
1 1 1
BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB A 的面积为（ ）
1 1 1 1
√2
A．2 B．1 C．√2 D．
2
6．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40cm，母线长最短50cm，最长
80cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝ cm2．
7．已知正四棱台的侧棱长为3cm，两底面边长分别为2cm和4cm，则该四棱台的体积为
．题型五 . 三棱锥的表面积与体积
1．（2019·全国3）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模
型为长方体ABCD﹣A B C D 挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体
1 1 1 1
的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA ＝4cm.3D打印所用原
1
料密度为0.9g/cm3．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．
2．如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为1，线段B D 上有两个动点E，F，且EF＝
1 1 1 1 1 1
1，则四面体A﹣EFB的体积为（ ）
√2 √2 √2 √2
A． B． C． D．
6 12 4 2
3．如图，在正三棱锥A﹣BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则
正三棱锥A﹣BCD的体积是 ．
4．如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF
均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 ．5．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，
EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．
题型六 . 空间几何体的最值问题
1．已知圆锥底面半径为1，母线长为3，某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆
锥侧面一周，再次回到A点，则该质点经过的最短路程为 ．
2．如图，在正方体ABCD﹣A B C D 中，P为对角线BD 的三等分点，则P到各顶点的距
1 1 1 1 1
离的不同取值有 个．
3．已知正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC 上移动，且
1 1 1 1 1
1
EF+GH= ，则三棱锥E﹣FGH的体积最大值为 ．
2
4．已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1，1，1，1，√2，a，且长为a的棱与长为
√2的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为（ ）
√2 √3 √2 √3
A． B． C． D．
12 12 6 6
5．如图所示，在棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为棱AC的中点，点P是侧
1 1 1
棱AA 上的动点，求△PBD面积的最大值．
16．在棱长为 6的正方体 ABCD﹣A B C D 中，M是BC 的中点，点 P是正方体的表面
1 1 1 1
DCC D （包括边界）上的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD体积的最
1 1
大值是（ ）
A．12√3 B．36 C．24 D．18√3
7．若一个圆锥的母线长为4，高为2，则过这个圆锥的任意两条母线的截面面积的最大值
是 ．
8．唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆
柱的组合体（如图2）．当这种酒杯内壁表面积（假设内壁表面光滑，表面积为 S平方
厘米，半球的半径为R厘米）固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2倍，则
R的取值范围为（ ）
√ 35 √ 3S √ S √ 3S
A．(0， ] B．[ ，+∞) C．( ， ]D．[
10π 10π 5π 10π
√ 3S √ S
， )
10π 2π
课后作业 . 空间几何体
1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V 和V ，则V ：V
1 2 1 2
＝（ ）
A．1：3 B．1：1 C．2：1 D．3：1
2．已知底面半径为1，体积为√3π的圆柱，内接于一个高为2√3圆锥（如图），线段AB
为圆锥底面的一条直径，则从点A绕圆锥的侧面到点B的最短距离为（ ）A．8 B．4√3 C．4√2 D．4
3．已知一个圆台的下底面半径为r，高为h，当圆台的上底半径r′变化时，圆台体积的变
化范围是 ．
4．如图，已知正方体 ABCD﹣A B C D 的棱长为1，则四棱锥A ﹣BB D D的体积为（
1 1 1 1 1 1 1
）
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 2 6
5．《九章算术》中，将如图所示的几何体称为刍薨，底面ABCD为矩形，且EF∥底面
ABCD，EF到平面ABCD的距离为h，BC＝a，AB＝b，则EF＝c时，则V 时，
B−CDEF =2
V
E−ABD
b
=（ ）
c
1 3 2
A． B． C． D．1
2 2 3
6．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如堑堵
指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于
底面的四棱锥．如图，在堑堵ABC﹣A B C 中，AC⊥BC，若A A＝AB＝4，当阳马B﹣
1 1 1 1A ACC 体积最大时，则堑堵ABC﹣A B C 的体积为（ ）
1 1 1 1 1
16
A． B．16 C．16√2 D．32
3
