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专题十一 《立体几何》讲义
11.2 外接球与内切球
题型一 . 长方体模型
1．已知球O面上的四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC=√3
，则球O的体积等于（ ）
16√2π 4π 9π
A．4√3π B． C． D．
3 3 2
2．四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝10，AC＝BD＝2√34，AD＝BC＝2√41，则四面体A﹣
BCD外接球的表面积为 ．
3．（2012•辽宁）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为√3的球面上，若
PA，PB，PC两两垂直，则球心到截面ABC的距离为 ．
题型二 . 柱体模型
1．（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
3π π π
A． B． C． D．
4 2 4
π
2．已知直三棱柱 ABC﹣A B C 的各顶点都在同一球面上，若 AB＝AC＝1，AA ＝2，
1 1 1 1
∠BAC＝120°，则此球的表面积等于 ．
3．若三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，若该三
棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．10√3 B．18 C．20 D．9√3
π π π π题型三 . 正棱锥模型
1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表
面积为
81π 27π
A． B．16 C．9 D．
4 4
π π
2．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个以
球心为圆心的圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
3√3 √3 √3 √3
A． B． C． D．
4 3 4 12
3．如图ABCD﹣A B C D 是边长为1的正方体，S﹣ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，
1 1 1 1
A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
1 1 1 1
9 25 49 81
A． π B． π C． π D． π
16 16 16 16
题型四 . 一般锥的外接球
1．已知三棱锥D﹣ABC四个顶点均在半径为R的球面上，且AB=BC=√2，AC＝
4
2，若该三棱锥体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 ．
3
2．四面体PABC的四个顶点都在球O的球面上，PA＝8，BC＝4，PB＝PC＝AB＝AC，且
平面PBC⊥平面ABC，则球O的表面积为（ ）
A．64 B．65 C．66 D．128
3．在菱形 πABCD中，A＝60°， πAB=√3，将△ABD沿BπD折起到△PBD的位置
π
，若二面角
2π
P﹣BD﹣C的大小为 ，则三棱锥P﹣BCD的外接球体积为（ ）
3
4 √3 7√7 7√7
A． B． C． D．
3 2 6 2
π π π π
4．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，
SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（ ）4√2 4√3 8√2
A． B． C． D．4√2
3 3 3题型五 . 内切球
2π
1．将半径为3，圆心角为 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（
3
）
√2π √3π 4π
A． B． C． D．2
3 3 3
π
2．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比
为（ ）
A．1：3 B．1：(3+√3) C．(√3+1)：3 D．(√3−1)：3
3．如图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O是该正八面体的内
切球，则球O的表面积为（ ）
8π 4π 8√6π 4√6π
A． B． C． D．
3 3 27 27课后作业 . 外接球与内切球
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB⊥底面ABCD，O为对角线
π
AC与BD的交点，若PB＝1，∠APB＝∠BAD= ，则三棱锥P﹣AOB的外接球的体积
3
是 ．
2．已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E
是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（ ）
7 9
A． B．2 C． D．3
4 4
π π π π
3．（2018·全国3）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三
角形且面积为9√3，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
A．12√3 B．18√3 C．24√3 D．54√3
4．已知在四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝CD＝BD＝2，平面ABD⊥平面BDC，则四面
体ABCD的外接球的表面积为（ ）
20π 22π
A． B．6 C． D．8
3 3
π π
5．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB=√3，∠ASC＝
∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A．3√3 B．2√3 C．√3 D．1
2π
6．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC= ，AP＝3，AB＝2√3，Q是边BC上
3
π
的一动点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 ，则三棱锥P﹣ABC的外接球的
3
表面积为 ；则三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为 ．
