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专题 11 解三角形综合压轴小题归类
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题型一： 三角形几解求参...................................................................................................................................................1
题型二：判断三角形形状：化角为边型.............................................................................................................................2
题型三：判断三角形形状：化边为角型.............................................................................................................................3
题型四：面积公式的应用.....................................................................................................................................................3
题型五：求边长或者周长.....................................................................................................................................................4
题型六：解三角形求角度.....................................................................................................................................................5
题型七：范围与最值：知角和边求周长.............................................................................................................................6
题型八：范围与最值：知角和边求面积.............................................................................................................................7
题型九：范围与最值：判断角型.........................................................................................................................................8
题型十：范围与最值：无长度求比值型.............................................................................................................................9
题型十一：范围与最值：正切型最值.................................................................................................................................9
题型十二：正余弦定理与三角形外心...............................................................................................................................10
题型十三：正余弦定理与角平分线...................................................................................................................................11
题型十四：正余弦定理与中线...........................................................................................................................................12
题型十五：正余弦定理与三角形高...................................................................................................................................14
题型十六：解三角形综合应用...........................................................................................................................................15
题型一： 三角形几解求参
判断三角形解的个数有2种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
1．（23-24高三·陕西榆林·）在 中，角 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，
只有一个解，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·江苏南通·）已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若满足条件 ，
的 有两个，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川绵阳·模拟预测）命题 ：“若 与 满足：，则 ”．已知命题 是真命题，则 的值不可以
是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（23-24高三下·浙江·）在 中， ，且满足该条件的 有两个，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三·北京）已知在 中， ，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取
值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
题型二：判断三角形形状：化角为边型
正余弦定理：化角为边型
若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
1．（2021高三·全国·专题练习）设△ 的三边长为 ， ， ，若 ，
，则△ 是（ ）．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（20-21高三·上海浦东新·）已知 的三条边 和与之对应的三个角 满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．（18-19高三·四川雅安·阶段练习）在△ABC中， ，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．（23-24高三·江苏徐州）在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
5．（23-24高三·安徽芜湖·）已知 分别是 三个内角 的对边，下列关于 的形状判断一定正确的为（ ）
A． ，则 为直角三角形
B． ，则 为等腰三角形
C． ，则 为直角三角形
D． ，则 为等腰三角形
题型三：判断三角形形状：化边为角型
正余弦定理：化边为角型
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
1．（22-23高三·上海青浦·阶段练习）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题中，
真命题的个数是（ ）
（1）若 ，则 是等腰三角形；
（2）若 ，则 是直角三角形；
（3）若 ，则 是钝角三角形；
（4）若 ，则 是等边三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（22-23高三·福建福州·） 中三个角的对边分别记为a、b、c，其面积记为S，有以下命题：①
；②若 ，则 是等腰直角三角形；③
；④ ，则 是等腰或直
角三角形.其中正确的命题是
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．（23-24高三·重庆·） 中，角 所对应的边分别是 ， ，则 的
形状是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
4．（23-24高三·广东广州·）在 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 ，则 的形
状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
5．（2024·山东·二模）在 中，设内角 的对边分别为 ，设甲： ，设
乙： 是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
题型四：面积公式的应用三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
1．（23-24高三·重庆·）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西景德镇·模拟预测）已知 中，设角 、B、C所对的边分别为a、b、c， 的面积
为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·海南·二模）在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知 ,
, ,则 的面积
A． B． C． D．
4．（21-22高三上·江西宜春·）在ΔABC中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，且
，则ΔABC的面积为
A． B． C． 或 D． 或
5．（23-24高三·广西百色） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
， ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型五：求边长或者周长解三角形，主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角
函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边 的齐次
式或关于角的正弦 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，
通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
1．（23-24高三·湖北黄冈·）在 中，内角 的对边分别为 ， ， ，已知 ，
， 为钝角， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（23-24高三·江苏淮安·）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3．（23-24高三·山西长治·）在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B． C．2 D．
4．（23-24高三·四川成都）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若
， ，且 ，则 （ ）
A． B．4 C． D．5
5．（23-24高三·江苏南京）在 中，角A，B，C对边分别为a，b，c．若 ， ，
，则实数a的值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
题型六：解三角形求角度
求三角形角度，要涉及到角的锐钝的判断，可以通过余弦值的正负判断。如果不能直接判断，那么借助
其他角来判断。如涉及到锐角三角形，则三个角都要转化判断锐钝。
1．（23-24高三下·江苏南京）在 中，已知 分别为角 的对边．若 ，且
，则 （ ）A． B． C． D． 或
2．（23-24高三·青海西宁）在 中，内角 所对的边分别是 ，若
，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·安徽蚌埠）在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西宜春·模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三·江苏·假期作业）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若
， ，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D． 或
题型七：范围与最值：知角和边求周长
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度
有关的范围问题，
常用处理思路：
①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
1．（23-24高三·江苏淮安）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，且
，则 的周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·黑龙江大庆）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积， ，
且 ，则 的周长的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）在锐角 中，若 ，且
，则 能取到的值有（ ）
A．5 B．4 C． D．3
4．（22-23高三·福建福州）设锐角 的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，
则 周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·福建泉州·开学考试）在锐角 中，角 的对边分别为 ， 为 的面
积， ，且 ，则 的周长的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型八：范围与最值：知角和边求面积
三角形面积 ，不仅仅有常见的“底乘高”，还有以下：
①S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
△ABC
②S ＝(a＋b＋c)·r(r是切圆的半径)
△ABC
1．（23-24高三·山东淄博）在 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·山东聊城）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
，则 面积的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
3．（23-24高三·陕西渭南·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，
则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．4．（22-23高三下·山西·阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
，则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高三·安徽·阶段练习）在 中，角 的对边分别是 ，且
.若 ，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型九：范围与最值：判断角型
求复合型角，
1.
以给了函数值的角度为基角来拆角。
2.
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
3.
1．（23-24高三·广东湛江·阶段练习）记 的内角 的对边分别为 ，已知
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
，若 为锐角三角形，则角 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·湖南株洲·期末）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·江苏连云港）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
，则角 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·上海） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，满足 ，则角
的范围是（ ）
A． B． C． D．5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 角 的对边分别为 满足 ，则
角 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十：范围与最值：无长度求比值型
解三角形：最值范围
1、可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2、可以利用正弦定理，结合角与角所对应的边，转化为角的形式，再进行三角恒等边形，化一，求解最值与
范围，要注意三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
1．（23-24高三·江苏南京·阶段练习）在锐角 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三·吉林）已知锐角 是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三·陕西商洛）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三·湖北·阶段练习）在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 的面积
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三·江苏南通）在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取
值范围是（ ）A． B． C． D．
题型十一：范围与最值：正切型最值
1.正切主要恒等式：
tan(α＋β)＝ (T(α＋β))
tan(α－β)＝ (T(α－β))
正切和差公式变形：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
2.在三角形中，
1．（23-24高三上·四川南充·阶段练习） 的周长为18，若 ，则 的内切圆半
径的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2022·黑龙江哈尔滨·二模）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 的面积为
S，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）在锐角 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为
的面积，且 ，则 的取值范围为 .
4．（22-23高三下·四川南充·开学考试）已知 的内角 所对的边分别为 ，若
，则 的取值范围为
5．（21-22高三上·江苏南通·）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，则 的最小值是 ．题型十二：正余弦定理与三角形外心
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三
角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径
1．（2023高三上·全国·专题练习）在 中，D为边AC上一点， ，若 的外
心恰在线段BD上，则 ．
2．（21-22高三上·河南·阶段练习）在钝角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A
＞ ，a＝2，点O为 ABC的外心， OBC的面积为 ，则 OAB与 OAC的面积之和的最大值为
． △ △ △ △
3．（17-18高三·湖南·开学考试）若点 是等腰 的外心，且 ，底边 ，则
的面积是 ．
4．（22-23高三·四川达州）已知 的内角 所对的边分别为 ，满足 ， ，
若M为 的外心，AM的延长线交BC于D，且 ，则 = ； 的面积为 .
5．（22-23高三·湖北·阶段练习）在△ABC中，已知 ，P是△ABC的外心，则
的余弦值为 .
题型十三：正余弦定理与角平分线内切圆圆心，是三角形三个内角角平分线的交点， 的三边长分别为 ， 的面积为 ，内切圆
半径为 ，则 .
1．（2023·江西·模拟预测）如图，若AD是 的角平分线，则 ，该结论由英
国数学家斯库顿发现，故称之为斯库顿定理，常用于解决三角形中的一些角平分线问题．若图中
，在 内任取一点P，则点P恰好落在 内的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海玉树·模拟预测）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若
， 为 的角平分线，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三·浙江杭州·期中）在 中， ，AD是 的角平分线， ， ，
E是AC的中点，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高三上·浙江·阶段练习）已知 内接于半径为2的 ，内角A，B，C的角平分线分别与
相交于D，E，F三点，若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（21-22高三·河北保定）在ΔABC中， ， 为 边上的一点，且 ，若 为 的
角平分线，则 的取值范围为A． B． C． D．
题型十四：正余弦定理与中线
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
2.余弦定理法（补角法）：
如图设 ，
在 中，由余弦定理得 ，①
在 中，由余弦定理得 ，②
因为 ，所以
所以①+②式即可
3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4. 中线分割的俩三角形面积相等
1．（23-24高三·海南海口） 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
， ， 边上的中线为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．3 D．4
2．（23-24高三·江苏镇江·阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
，若 边上的中线 ，则 的外接圆面积是（ ）
A． B． C． D．3．（22-23高三·四川成都）如图，在 中，已知 ， ， ， ， 边上的两
条中线 ， 相交于点P，则 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高三四川自贡·开学考试）如图，在 中， ， ， 为中线，过点
作 于点 ，延长 交 于点 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高三·全国·专题练习）在等腰 中， ， 边上的中线 ，则 面积S的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十五：正余弦定理与三角形高三角形高的处理方法：
1.等面积法：两种求面积公式
如
2.三角函数法：
1．（23-24高三·河南郑州）在 中，角 所对的边分别是 ，若 ， 边上
的高为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三广西·阶段练习）在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ， ，
的平分线AD的长为 ，则BC边上的高AH的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东佛山·一模）已知 中， ， 边上的高与 边上的中线相等，则
.
4．（2022高三·全国·专题练习）在 中，角 所对的边为 ，若AB边上的高为 ，则
的最大值是 ．
5．（2011·江苏南京·一模）ΔABC中， 边上的高 ，角 所对的边分别是 ，则
的取值范围是 ．
题型十六：解三角形综合应用
1．（20-21高三·江苏南京）如图所示，在平面四边形 中，已知 ，
， ，记 的中垂线与 的中垂线交于一点 ，恰好 为 的角平分线，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三·浙江）如图，已知 是半径为1，圆心角为 的扇形，点 分别是半径 及
扇形弧上的三个动点（不同于 三点）,则ΔABC周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·安徽合肥·二模）已知点 在 内部， 平分 ， ，对满足
上述条件的所有 ，下列说法正确的是（ ）
A． 的三边长一定成等差数列
B． 的三边长一定成等比数列
C． ， ， 的面积一定成等差数列
D． ， ， 的面积一定成等比数列
4．（23-24高三·安徽六安·阶段练习） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，
，M和N分别是 的重心和内心，且 ，则 （ ）A．2 B．3 C．4 D．6
5．（23-24高三·北京）已知在 中， ，设 ， 记 的最大值为 ，
则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
