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专题十一 《立体几何》讲义
11.4 空间角与空间距离
知识梳理 . 空间角
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面的两条直线叫做异面直线
（1）异面直线所成的角的范围： ．
直接平移
中点平移“三维”转化“二维”
补形平移
（2）求法：平移→
2．直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，
直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.0°≤φ≤90°
3．求二面角的大小
(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝
(cid:2) (cid:2)
〈AB， CD 〉．
(cid:2) (cid:2)
n ,n
(2)如图2、3， 1 2 分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小
n ,n n ,n
1 2 (或 1 2 )．
题型一 . 点到面的距离
1．如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，AB＝3，BC＝4，PA＝2，则P到平面BQD的距离为 ．
2．正三棱柱 ABC﹣A B C 中，若 AB＝2，AA ＝1，若则点 A 到平面 A BC 的距离为
1 1 1 1 1
（ ）
√3 √3 3√3
A． B． C． D．√3
4 2 4
3．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面
ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．
（Ⅰ）在棱PB上是否存在一点Q，使用A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的
位置并证明；若不存在，请说明理由．
（Ⅱ）求点D到平面PAM的距离．
4．如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，
PC⊥BC．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA＝2BC且AB＝EA，三棱锥P﹣ABC．体积为1，求点B到平面DCE的距离．题型二 . 异面直线所成的角
1．已知P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M、N分别是AB、PC的中点，若
MN＝BC＝4，PA＝4√3，则异面直线PA与MN所成角的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，O为底面ABCD的中心，E为CC 的
1 1 1 1 1
中点，那么异面直线OE与AD 所成角的余弦值等于 ．
1
3．如图所示，直三棱柱ABC﹣A B C 中，∠BCA＝60°，M，N分别是A C ，CC 的中点，
1 1 1 1 1 1
BC＝CA＝CC ，则BN与AM所成角的余弦值为（ ）
1
3 4 2 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，其中∠BAD＝60°，平面PAD⊥平
面ABCD，其中△PAD为等边三角形，AB＝4，M为棱PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求异面直线PB与AM所成角的余弦值．题型三 . 线面角
1．如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，
且 AB＝1，AA′＝2，则直线 BC′与平面 ABB′A′所成角的正弦值为
．
2．如图所示，在直三棱柱ABO﹣A′B′O′中，OO′＝4，OA＝4，OB＝3，∠AOB＝
90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若 OP⊥BD，求OP与底面
AOB所成角的正切值．
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，
CD＝4，PD＝2．
（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
4．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB=CD=√10．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若AP=√6，求BC与平面PBD所成角的正弦值．题型四 . 二面角
1．已知三棱锥D﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC=√5，BC＝2，则二面角
D﹣BC﹣A的大小（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．已知正三棱锥S﹣ABC的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦为（ ）
2√2 2√2 1 1
A． B．− C． D．−
3 3 3 3
3．如图，三棱柱ABC﹣A B C 的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是
1 1 1
√3，D是AC的中点．
（1）求证：B C∥平面A BD；
1 1
（2）求二面角A ﹣BD﹣A的大小；
1
（3）求直线AB 与平面A BD所成的角的正弦值．
1 1
4．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AB＝PD＝a，PA＝PC=√2a．
（Ⅰ）求证：PD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与AC所成的角；
（Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣D的大小．题型五 . 存在性问题、折叠问题
1．如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD﹣A B C D 中，∠ABC＝60°，AA ＝AC＝2，
1 1 1 1 1
A B＝A D=2√2，点E在A D上．
1 1 1
（1）求证：AA ⊥平面ABCD；
1
（2）当E为线段A D的中点时，求点A 到平面EAC的距离．
1 1
2．已知：如图，等腰直角三角形 ABC的直角边AC＝BC＝2，沿其中位线DE将平面ADE
折起，使平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A﹣BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点
分别为M、N、P、Q．
（1）求证：M、N、P、Q四点共面；
（2）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E，F分别是线段DC，BC的中点，分别
将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D，C重合于点G，连结AF．（Ⅰ）求证：平面GEF⊥平面GAF；
（Ⅱ）求直线GF与平面GAE所成角的正弦值．
4．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使
AC＝a，得到三棱锥A﹣BCD，如图所示．
（1）当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；
（2）当二面角A﹣BD﹣C的大小为120°时，求二面角A﹣BC﹣D的正切值．
课后作业 . 空间角与空间距离
1．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD﹣A B C D 的底面是菱形，AA ＝4，AB
1 1 1 1 1
＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D的中点．
1 1
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求点C到平面C DE的距离．
11
2．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC＝AD＝CD= AB＝2，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平
2
面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与线段PB交于点N，确定点N
的位置，说明理由；并求AN与平面ABCD所成的角的正切值．
3．（2018•新课标Ⅲ）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C^D所在平面垂
直，M是C^D上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA
＝2√2，E是线段PC上的动点．
（1）若E是线段PC中点时，证明：PA∥平面EBD；
√6 2√6
（2）若直线PC与底面ABCD所成角的正弦值为 ，且三棱锥E﹣PAB的体积为 ，
3 9
请确定E点的位置，并说明理由．
