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专题十一 《立体几何》讲义
11.3 平行与垂直证明
知识梳理 . 平行与垂直证明
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
平面外一条直线与此平 ∵l∥a，
面内的一条直线平行， a α，
判定定理
则该直线与此平面平行 l α，
(线线平行⇒线面平行) ∴⊂l∥α
⊄
一条直线与一个平面平
行，则过这条直线的任 ∵l∥α，
一平面与此平面的交线 l β，α∩β
性质定理
与该直线平行(简记为 ＝b，
“线面平行⇒线线平 ⊂∴l∥b
行”)
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
∵a∥β，
一个平面内的两条相交
b∥β，a∩b
直线与另一个平面平
＝P，
判定定理 行，则这两个平面平行
a α，
(简记为“线面平行⇒面
b α，
面平行”)
∴⊂α∥β
⊂
∵α∥β，
如果两个平行平面同时
α∩γ＝a，
性质定理 和第三个平面相交，那
β∩γ＝b，
么它们的交线平行
∴a∥b
3. 直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言 图形语言 符号语言
一条直线与一个平面
内的两条相交直线都
判定定理 l⊥α
垂直，则该直线与此
平面垂直
⇒
垂直于同一个平面的
性质定理 a∥b
两条直线平行
⇒
4．平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平
判定定理 面的垂线，则这两个 α⊥β
平面垂直
⇒
两个平面垂直，则一
个平面内垂直于交线
性质定理 l⊥α
的直线与另一个平面
垂直
⇒
题型一 . 平行问题
考点 1 . 线面平行
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面PCD，M，N分别是AB，
PC的中点．求证：
（1）直线MN∥平面PAD；
【解答】证明：（1）根据题意，取PD的中点G，连接NG、AG，
1
G是PD的中点，N是PC的中点，则NG∥DC且NG= DC，
2
则四边形MNGA是平行四边形，则有MN∥AG，
又由MN不在平面PAD中，而AG在平面PAD中，则有直线MN∥平面PAD；
2．如图所示四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD中，CD∥AB，且PD＝AB＝
2CD＝4，PB＝AD＝5，E是PC上一点，满足PE＝2EC．
（1）证明：PA∥平面BDE；【解答】（1）证明：连结AC交BD于点F，连结EF，
在梯形ABCD中，CD∥AB，AB＝2CD，
所以AF＝2FC，又因为PE＝2EC，
所以PA∥EF，又PA 平面BDE，EF 平面BDE，
所以PA∥平面BDE；⊄ ⊂
考点 2 . 面面平行
3．如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，点E、D分别是B C 与BC的中点．求证：平面
1 1 1 1 1
A EB∥平面ADC ．
1 1
【解答】证明：连结A B、AC ，
1 1
∵在三棱柱ABC﹣A B C 中，点E、D分别是B C 与BC的中点，
1 1 1 1 1
∥
∴A E∥AD，BD C E，∴四边形BDC E是平行四边形，∴C D∥BE，
1 1 1 1
=
∵AD∩C D＝D，A E∩BE＝E，
1 1
AD、C D 平面ADC ，A E、BE 平面A EB，
1 1 1 1
∴平面A 1⊂EB∥平面ADC 1 ． ⊂
4．如图所示，已知ABCD﹣A B C D 是棱长为3的正方体，点E在AA 上，点F在CC 上，
1 1 1 1 1 1
G在BB 上，且AE＝FC ＝B G＝1，H是B C 的中点．
1 1 1 1 1
（1）求证：E、B、F、D 四点共面
1
（2）求证：平面A GH∥平面BED F．
1 1【解答】证明：（1）如图：在DD 上取一点N使得DN＝1，
1
连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND ＝2、
1
因为CF∥ND 所以四边形CFD N是平行四边形，
1 1
所以D F∥CN．
1
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，
又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D F∥BE，
1
所以E，B，F，D 四点共面；
1
3
（2）因为H是B C 的中点，所以B H= ，
1 1 1 2
B G 2
因为B G＝1，所以 1 = ，
1 B H 3
1
FC 2
因为 = ，且∠FCB＝∠GB H＝90°，
BC 3 1
所以△B HG∽△CBF，
1
所以∠B GH＝∠CFB＝∠FBG，
1
所以HG∥FB，
由（1）知，A G∥BE且HG∩A G＝G，FB∩BE＝B，
1 1
所以平面A GH∥平面BED F．
1 1
考点 3 . 线线平行
5．如图所示，在多面体A B D DCBA中，四边形AA B B，ADD A ，ABCD均为正方形，E
1 1 1 1 1 1 1
为B D 的中点，过A ，D，E的平面交CD 于F．
1 1 1 1
（Ⅰ）证明：EF∥B C；
1【解答】（Ⅰ）证明：∵B C＝A D且A B ＝CD，
1 1 1 1
∴四边形A B CD为平行四边形，
1 1
∴B C∥A D，
1 1
又∵B C 平面A EFD，
1 1
∴B
1
C∥⊄平面A
1
EFD，
又∵平面A EFD∩平面B CD ＝EF，
1 1 1
∴EF∥B C；
1
6．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，
平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD．
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD． ⊄
又因⊂为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点
1
∴NE∥CD，且NE= CD
2
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE＝AM．
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．
又MN 平面PAD，AE 平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
⊄ ⊂题型二 . 垂直问题
考点 1 . 线面垂直
1．如图，已知三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，BC⊥AC，BD＝3，
AD＝1，AC＝BC，M为线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
【解答】（I）证明：∵平面ABD⊥平面ABC，AB⊥AD，平面ABD∩平面ABC＝AB，
AD 平面ABD，
∴A⊂D⊥平面ABC，又BC 平面ABC，
∴BC⊥AD，又BC⊥AC，⊂AD∩AC＝A，
∴BC⊥平面ACD．
2．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝
CD＝2，DE＝BE＝1，AC=√2．
（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；
【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC=√2
，
由AC=√2，AB＝2得AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
考点 2 . 面面垂直
3．如图：AB是 O的直径，PA垂直于 O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一
点，求证：平⊙面PAC⊥平面PBC． ⊙【解答】证明：设 O所在平面为 ，由已知条件，PA⊥ ，BC在 内，
所以PA⊥BC ⊙ α α α
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是 O的直径，
所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC ⊙
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC
又因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
4．如图，四⊂面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD＝
∠CBD，AB＝BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
【解答】（1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD，
∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC，△ABD与△CBD中，
AB＝BD＝BC，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，
∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC＝90°，
1
∴DO= AC，∴DO2+BO2＝AB2＝BD2，
2
∴∠BOD＝90°，∴OB⊥OD
又DO∩AC＝O，∴OB⊥平面ACD．
又OB 平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．
考点 3 . 线线垂直
⊂
5．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝45°，AD＝1，AB=√2
，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面PBD．
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）设二面角P﹣BD﹣A的大小为 ，直线PA与平面PBC所成角的大小为 ，求cos
α β（ + ）的值．
α β
【解答】（Ⅰ）证明：∵∠BAD＝45°，AD＝1，AB=√2，
∴由余弦定理，得：
BD=√1+2−2×1×√2×cos45°=1，…（2分）
∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
¿
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD
又PA 平面PAD，∴PA⊥BD．…（5分）
6．如图，⊂四棱锥E﹣ABCD中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD．
（Ⅰ）求证：AB⊥ED；
EF
（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF∥平面BCE？若存在，求出 ；若不存在，说
EA
明理由．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．
因为EA＝EB，所以EO⊥AB． …（2分）
因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以BO∥CD，BO＝CD．
又因为AB⊥BC，所以四边形OBCD为矩形，
所以AB⊥DO． …（4分）
因为EO∩DO＝O，所以AB⊥平面EOD． …（5分）
所以AB⊥ED． …（6分）
EF 1
（Ⅱ）解：点F满足 = ，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE．…（7分）
EA 2
证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． …（8分）1
因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG= AB．
2
1
因为AB∥CD，CD= AB，所以FG∥CD，FG＝CD．
2
所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG． …（11分）
因为DF 平面BCE，CG 平面BCE，…（12分）
所以DF⊄∥平面BCE． ⊂ …（13分）
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题型三 . 存在性问题
1．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E
分别为PA，AC中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；
（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都
与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．
又因为DE 面PBC，PC 面PBC，
所以DE∥⊄平面PBC． ⊂ …．（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，又PA 平面PAC，
PA⊥AC， ⊂
所以PA⊥面ABC，
因为BC 平面ABC，
所以PA⊥⊂BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB＝A，
所以BC⊥面PAB． …．（9分）
（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面
PBC平行．
取AB中点F，连EF，连DF．
由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．
因为点E是AC中点，点F为AB的中点，
所以EF∥BC．
又因为EF 平面PBC，BC 平面PBC，
所以EF∥⊄平面PBC． ⊂
又因为DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面PBC，
所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．
故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行．
…．（14分）
2．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧C^D所在平面垂直，M是C^D上异于C、D的点．
（1）证明：DM⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
【解答】解：（1）证明：根据题意，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为半圆弧上⊂异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，BC 平面BMC，CM 平面BMC，
所以DM⊥平面BMC⊂； ⊂
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD． ⊄ ⊂
3．已知正方体 ABCD﹣A B C D 中，P、Q 分别为对角线 BD、CD 上的点，且
1 1 1 1 1CQ BP 2
= = ．
QD PD 3
1
（1）求证：PQ∥平面A D DA；
1 1
CR
（2）若R是CD上的点，当 的值为多少时，能使平面PQR∥平面B C BC？请给出
CD 1 1
证明．
【解答】（1）证明：连接CP，并延长与DA的延长线交于M点，
因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，
CP BP 2
故△PBC∽△PDM，所以 = = ，
PM PD 3
CQ BP 2 CQ CP 2
= = = =
又因为 ，所以 ，所以PQ∥MD ．
QD PD 3 QD PM 3 1
1 1
又MD 平面A D DA，PQ 平面A D DA，
1 1 1 1 1
故PQ∥⊂平面A 1 D 1 DA． ⊄
CR 2
（2）当 = 时，能使平面PQR∥平面B BC．
CD 5 l l
∁
CR 2 CR 2 CQ CR 2
证明：因为 = ，即有 = ，故 = = ，所以QR∥DD ．
CD 5 RD 3 QD RD 3 1
1
又∵DD ∥CC ，∴QR∥CC ，
1 1 1
又CC 平面B BC，QR 平面B BC，
1 l l l l
所以Q⊂R∥平面∁B l l BC， ⊄ ∁
CR 2 BP ∁
由 = = ，得PR∥BC，BC 平面B BC，PR 平面B BC，
RD 3 PD l l l l
⊂ ∁ ⊄ ∁
所以PR∥平面B BC，
l l
又PR∩RQ＝R，∁
所以平面PQR∥平面B BC．
l l
∁题型四 . 折叠问题
1
1．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC= AP，D是AP的中
2
点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P﹣ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．
【解答】证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，
∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD＝D
∴CD⊥平面PAD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF 平面EFG，
∴平面⊂EFG⊥平面PAD；
（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，
∴GF∥BP
∵GF 平面PAB，BP 平面PAB，
∴GF⊄∥平面PAB， ⊂
由（I）知，EF∥DC
∵AB∥DC，∴EF∥AB
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF⊄∥平面PAB， ⊂
∵EF∩GF＝F
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA 平面PAB
∴AP⊂∥平面EFG．
2．如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA＝CD＝
2AB＝4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB
的中点为E，（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（Ⅲ）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；
若不存在，请说明理由．
【解答】（I）证明：直二面角 P﹣DC﹣B的平面角为∠PDA＝90°，且 PD⊥DC，
DA∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC 平面ABCD，∴PD⊥BC，
⊂
则BC＝BD=√AB2+AD2=2√2，
在三角形BCD中，BC2+BD2＝CD2，
∴BD⊥BC，
∵PD∩BD＝D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC 平面PBC，
∴平面⊂PBD⊥平面PBC．
（III）∵F BD，故可设F（m，m，0），而PB的中点E（1，1，1），
→ ∈
∴EF=(m−1，m−1，−1) ，
→ → → →
∵ EF⋅BC=0 ， EF⋅PC=0 ，
{ −2(m−1)+2(m−1)=0 1
∴ ，解得m = ，
4(m−1)+(−1)×(−2)=0 2
1 1
∴线段BD上是否存在一点F（ ， ，0），使EF⊥平面PBC．
2 2π
3．如图甲， O的直径AB＝2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB= ，∠DAB
4
⊙
π
= ．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，
3
E为AO的中点．P为AC的动点，根据图乙解答下列各题：
（1）求三棱锥D﹣ABC的体积．
（2）求证：不论点P在何位置，都有DE⊥BP；
（3）在BD弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；
若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，
π 1
∵AB＝2，∠DAB= ，∴AD= AB=1，BD=√3，
3 2
1 √3
∴S△ABD =
2
AD•BD=
2
．
π 1
∵∠CAB= ，∴OC⊥AB，OC= AB＝1．
4 2
在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，OC⊥AB，
∴OC⊥平面ABD
1 1 √3 √3
∴V
D﹣ABC
＝V
C﹣ABD
=
3
×S
△ABD
×OC=
3
×
2
×1=
6
．
π
（2）∵OA＝OD，∠DAB= ，∴△OAD是等边三角形，
3
∵E是OA中点，∴DE⊥OA，
∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，DE⊥AB，
∴DE⊥平面ABC，∵BP 平面ABC，
∴DE⊥BP． ⊂
（3）^BD上存在一点G，满足^DG=^BG，使得FG∥平面ACD，
理由如下：取BD中点M，连结FM，MG，FG，则MG⊥BD，∴MG∥AD，
∵F，M分别是BC，BD的中点，
∴FM∥CD，
∵FM 平面FMG，MG 平面FMG，CD 平面ACD，AD 平面ACD，AD∩CD＝D，
FM∩M⊂G＝M， ⊂ ⊂ ⊂
∴平面FMG∥平面ACD，
∵FG 平面FMG，
∴FG⊂∥平面ACD．
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题型五 . 平行与垂直选填综合
1．设l、m、n表示不同的直线， 、 、 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥ ，则l⊥ ； α β γ
②若 ⊥ ，m∥ ，αn⊥ ，则αm⊥n；
③若αl∥ β，且m∥α ，则βl∥m；
④若m⊥αn，m⊥ ，αn∥ ，则 ⊥ ．
则正确的命题个数α为（ β ）α β
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：①根据线面平行的性质知，若m∥l，且m⊥ ，则l⊥ 正确；故①正确，
②根据面面垂直的性质知，若 ⊥ ，m∥ ，n⊥ ，则m⊥αn正确；α故②正确，
③若l∥ ，且m∥ ，则l∥m不α一β定正确，α 有可能β相交，也有可能异面；故③错误，
④若m⊥αn，m⊥ ，αn∥ ，则 ⊥ 不一定成立，有可能相交．故④错误，
故正确的是①②α③， β α β
故选：B．
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，PA⊥平面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三
角形的个数是（ ）A．5 B．8 C．10 D．6
【解答】解：①∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC，∴△PAB，△PAD，
△PAC都是直角三角形；
②∵∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；
③∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．∴△ABD，△ACD是直角三角形．
④由三垂线定理可知：BC⊥PD，∴△PBD，△PCD也是直角三角形．
综上可知：直角三角形的个数是8个．
故选：B．
3．已知E，F，G，H分别为四面体ABCD的棱AB，BC，DA，CD上的点，且AE＝EB，
1 1
BF＝FC，CH= HD，AG= GD，则下列说法错误的是（ ）
2 2
A．AC∥平面EFH
B．四边形EFHG是梯形
C．直线EG，FH，BD相交于同一点
D．BD∥平面EFG
【解答】解：∵AE＝EB，BF＝FC，
∴EF是△ABC的中位线，
1
∴EF∥AC，且EF= AC，
2
∵EF 平面EFH，AC 平面EFH，
∴AC⊂∥平面EFH，故⊄A正确，
1 1
∵CH= HD，AG= GD，
2 2
2
∴GH∥AC，且GH= AC，
3
则EF∥GH，∴四边形EFHG是梯形，故B正确；
则直线FH，EG相交，设交点为M，则M EG，M 平面ABD，M FH，M 平面BCD，
则M∈是平面A∈BD和平面BCD∈的公共点∈，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴M BD，
即直∈线EG，FH，BD相交于同一点，故C正确，D错误，
故选：D．
4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A B C D 中，M，N分别是A D ，A B 的中点，过
1 1 1 1 1 1 1 1
直线BD的平面 ∥平面AMN，则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）
α α
9 √6
A．√2 B． C．√3 D．
8 2
【解答】解：取 B C 的中点 E，C D 的中点 F，连接 EF，BE，DF，B D ，则
1 1 1 1 1 1
EF∥B D ，B D ∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面内，
1 1 1 1
连接ME，因为M，E分别为A D B C 的中点，
1 1 1 1
所以ME∥AB，且ME＝AB，
所以四边形ABEM是平行四边形，
所以AM∥BE，又因为BE 平面BDFE，AM不在平面BDFE内，
所以AM∥平面BDFE， ⊂
同理AN∥平面BDFE，
因为AM∩AN＝A，
所以平面AMN∥平面BDFE，
即平面a截该正方体所得截面为平面BDFE
1 √2 √5
BD=√2，EF= B D = ，DF= ，梯形BDFE如图：
2 1 1 2 2过E，F作BD的垂线，则四边形EFGH为矩形，
√5 1 3√2
∴FG=√DF2−DG2= − = ，
4 8 4
√2
+√2
故四边形BDFE的面积为 2 3√2 9．
× =
2 4 8
故选：B．
5．在棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，N为BC的中点．当点M在平面DCC D 内
1 1 1 1 1 1
运动时，有MN∥平面A BD，则线段MN的最小值为（ ）
1
√6
A．1 B． C．√2 D．√3
2
【解答】解：取CD的中点P，DD 的中点Q，连接PQ、PN、QN，D C，A D，BD，
1 1 1
A B，
1
如图所示：
因为P、N分别为CD、BC中点，
所以PN//BD，
因为PN 平面A DB，BD 平面A DB，
1 1
所以PN⊄∥平面A 1 DB， ⊂
同理，P、Q分别为CD、DD 中点，
1
所以PQ//D C，
1
因为A D ＝BC，且A D //BC，
1 1 1 1
所以四边形BCD A 是平行四边形，
1 1所以A B//D C，
1 1
所以PQ//A B，
1
因为PQ 平面A DB，A B 平面A DB，
1 1 1
所以PQ⊄//平面A 1 DB， ⊂
又PQ∩PN＝P，PQ 平面PQN，PN 平面PQN，
所以平面PQN//平面⊂A 1 BD， ⊂
因为MN//平面A BD，
1
所以MN 平面PQN，又点M在平面DCC D 内运动，
1 1
所以点M⊂在平面PQN和平面DCC
1
D
1
的交线上，即M PQ，
1 ∈
在△PQN中，PN=√2，PQ=
2
CD
1
=√2，QN=√(√2) 2+22=√6，
PN2+PQ2−QN2 1
所以cos∠NPQ= =− ，
2PQ×PN 2
所以∠NPQ＝120°，
√6
所以N点到PQ的最小距离d＝PN•sin（180°﹣120° ）= ，
2
√6
所以线段MN的最小值为 ．
2
故选：B．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB＝1，
AP=√3，点M在线段BC上，且AM⊥MD，则当△PMD的面积最小时，线段BC的长
度为（ ）
3√2
A．√3 B． C．2 D．3√2
2【解答】解：设BM＝x，MC＝y，则BC＝AD＝x+y，
∵PA⊥平面ABCD，MD 平面ABCD，∴PA⊥MD，
又AM⊥MD，PA∩AM＝⊂A，∴MD⊥平面PAM，
由题意知AM=√x2+1，MD=√y2+1，
在Rt△AMD中，AM2+MD2＝AD2，
即x2+1+y2+1＝（x+y）2，化简，得xy＝1，
√ 1
在Rt△PMD中，PM=√x2+4，MD=√y2+1= +1，
x2
∴S△PMD = 1
2
√ x2+
x
4
2
+5≥ 3
2
，当且仅当x2=
x
4
2
时，取等号，
3√2
此时，BC＝x+y= ．
2
故选：B．
7．如图，正方体 ABCD﹣A B C D 中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若
1 1 1 1
EF∥平面AB C，则线段EF的长度等于 √2 ．
1
【解答】解：∵EF∥平面AB C，EF 平面AC，平面AB C∩平面AC＝AC，
1 1
∴EF∥AC， ⊆
又点E为AD的中点，点F在CD上，
∴点F是CD的中点，
1
∴EF= AC=√2．
2故答案为√2．
8．如图，棱长均为1的正三棱柱ABC﹣A B C ，M，N分别为线段A B，B C上的动点，
1 1 1 1 1
若点M，N所在直线与平面ACC A 不相交，点O为MN中点，则O点的轨迹的长度是
1 1
√3
．
2
【解答】解：因为 M，N 分别为线段 A B，B C 上的动点，点 M，N 在直线与平面
1 1
ACC A 不相交，
1 1
所以MN∥平面ACC A ，
1 1
则A M＝CN，
1
当A M＝CN＝0时，此时MN的中点O为平面ACC A 的中心，即A C的中点，
1 1 1 1
当A M＝CN=√2时，此时MN的中点O为BB 的中点，
1 1
所以点O的轨迹为△DEF的高，且△DEF为边长是1的等边三角形，
√3
故点O的轨迹长度是 ．
2
√3
故答案为： ．
2
9．棱长为2的正方体ABCD﹣A B C D 中，E为棱CD的中点，过点E作平面a，使得平
1 1 1 1
面a∥平面AB C，则平面a在正方体表面上截得的图形的周长为 6√2 ．
1【解答】解：如图，F，G，H，I，J分别为棱AD，AA ，A B ，B C ，CC 的中点，则
1 1 1 1 1 1
HI∥A C ∥GJ，故GHIJ四点共面，同理EFGJ四点共面．
1 1
因为EJ∥AB ，EF∥AC，EF∩EJ＝E，所以平面EFGJ∥平面AB C，
1 1
又因为HE的中点为正方体的中心，FI的中点也是正方体的中心设正方体中心为O，则
HE∩FI＝O，∴H，I 平面EFGJ，所以平面EFGHIJ即为平面a，
根据三角形的中位线的∈ 性质可得，六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半，
√22+22
即每边长都等于 =√2，故六边形的周长为：6√2．
2
故填：6√2．
10．如图，正方体ABCD﹣A B C D 的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面
1 1 1 1
BB C C的边界及其内部运动．若D O⊥OP，则△D C P面积的最大值为 √5 ．
1 1 1 1 1
【解答】解：由正方体的性质可知，当P位于点C时，D O⊥OC，
1
当点P位于BB 的中点P 时，DD ＝2，DO＝BO=√2，BP ＝B P ＝1，B D =2√2，
1 1 1 1 1 1 1 1
求得OD =√4+2=√6，OP =√2+1=√3D P =√8+1=3，
1 1 1 1
所以OD 2+OP 2=D P 2 ，故OD ⊥OP ，
1 1 1 1 1 1
又OP ∩OC＝O，所以D O⊥平面OP C，
1 1 1
故点P的轨迹在线段P C上，
1
由C P ＝CP =√5，可得∠C CP 为锐角，而CC ＝2＜√5，
1 1 1 1 1 1故点P到棱C D 的最大值为√5，
1 1
1
所以△D C P面积的最大值为 ×2×√5=√5．
1 1 2
故答案为：√5．
课后作业 . 平行与垂直证明
1．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的
中点，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
【解答】解：（1）证明：因为BC∥AD，BC 平面PAD．
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD． ⊄
又因⊂为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l（6分）
（2）：平行．如图，取PD的中点E，连接AE、NE，
∵N是PC的中点，E是PD的中点
1
∴NE∥CD，且NE= CD
2
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE＝AM．
所以四边形AMNE为平行四边形，
所以MN∥AE．
又MN 平面PAD，AE 平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
⊄ ⊂2．如图所示，在三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为AC的中点，点D 是A C 中点
1 1 1 1 1 1
（1）求证：BC ∥平面AB D
1 1 1
（2）求证：平面AB D ∥平面C BD．
1 1 1
【解答】证明：（1）连结A B，交AB 于O，连结OD ，
1 1 1
∵在三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为AC的中点，点D 是A C 中点，
1 1 1 1 1 1
∴OD ∥BC ，
1 1
∵OD 平面AB D ，BC 平面AB D ，
1 1 1 1 1 1
∴BC 1 ∥⊂平面AB 1 D 1 ． ⊄
（2）∵在三棱柱ABC﹣A B C 中，点D为AC的中点，点D 是A C 中点，
1 1 1 1 1 1
∴BD∥B D ，
1 1
∵BD 平面AB D ，B D 平面AB D ，
1 1 1 1 1 1
∴BD⊂∥平面AB 1 D 1 ， ⊂
又BC ∥平面AB D ，BD∩BC ＝B，
1 1 1 1
BD、BC 平面C BD，
1 1
∴平面AB⊂1 D
1
∥平面C
1
BD．
3．直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，AA =√2，D 是A B 中点．
1 1 1 1 1 1（1）求证C D⊥平面A B；
1 1
（2）当点F 在BB 上什么位置时，会使得AB ⊥平面C DF？并证明你的结论．
1 1 1
【解答】证明：（1）如图，∵ABC﹣A B C 是直三棱柱，
1 1 1
∴A C ＝B C ＝1，且∠A C B ＝90°．
1 1 1 1 1 1 1
又 D是A B 的中点，∴C D⊥A B ．
1 1 1 1 1
∵AA ⊥平面A B C ，C D 平面A B C ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴AA
1
⊥C
1
D，∴C
1
D⊥平面⊂A
1
B．
解：（2）作DE⊥AB 交AB 于E，
1 1
延长DE交BB 于F，连结C F，则AB ⊥平面C DF，点F即为所求．
1 1 1 1
事实上，∵C D⊥平面AA BB，AB 平面AA B B，
1 1 1 1 1
∴C
1
D⊥AB
1
．又AB
1
⊥DF，DF∩C⊂1 D＝D，
∴AB ⊥平面C DF．
1 1
4．如图，在空间几何体A﹣BCDE中，底面BCDE是梯形，且CD∥BE，CD＝2BE＝4，
∠CDE＝60°，△ADE是边长为2的等边三角形．
（1）若F为AC的中点，求证：BF∥平面ADE；
（2）若AC＝4，求证：平面ADE⊥平面BCDE．
【解答】证明：（1）如图所示，取DA的中点G，连接FG，GE．∵F为AC的中点，
1
∴GF∥DC，且GF= DC．
2
又DC∥BE，CD＝2BE＝4，
∴EB∥GF，且EB＝GF，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥EG．
∵EG 平面ADE，BF 平面ADE，
∴BF∥⊂平面ADE． ⊄
（2）取DE的中点H，连接AH，CH．
∵△ADE是边长为2的等边三角形，
∴AH⊥DE，且AH=√3．
在△DHC中，DH＝1，DC＝4，∠HDC＝60°
1
根据余弦定理可得 HC2＝DH2+DC2﹣2DH•DCcos60°＝12+42﹣2×1×4× =13，即 HC
2
=√13．
在△AHC中，AH=√3，HC=√13，AC＝4．
所以AC2＝AH2+HC2，即AH⊥HC．
因为AH⊥DE，AH⊥HC，且DE 平面BCDE，HC 平面BCDE，DE∩HC＝H，
∴AH⊥平面BCDE． ⊂ ⊂
又AH 平面ADE，
∴平面⊂ADE⊥平面BCDE．
5．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC
折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√2．（1）求证：OM∥平面ABD；
（2）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱锥D﹣ABC的体积．
【解答】解：（1）证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，
所以O是AC的中点，又M是棱BC的中点，
∥1
所以OM是△ABC的中位线，OM= AB，
2
因为OM 平面ABD，AB 平面ABD，
所以OM⊄∥平面ABD； ⊂
（2）证明：由题意，OM＝OD＝3，
因为DM=3√2，所以∠DOM＝90°，OD⊥OM．
又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．
因为OM∩AC＝O，
所以OD⊥平面ABC，
因为OD 平面MDO，
所以平面⊂ABC⊥平面MDO．
（3）解：由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD＝3为三棱锥D﹣ABC的高，
因为菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，
√3
所以S△ABC =
4
×62=9√3，
1
所以所求三棱锥的体积为V，V= ×9√3×3=9√3．
3
即三棱锥D﹣ABC的体积9√3．
6．已知正△ABC的边长为a，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将
△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，如图所示．
（Ⅰ）试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
√3
（Ⅱ）若棱锥E﹣DFC的体积为 ，求a的值；
24
AP
（Ⅲ）在线段AC上是否存在一点P，使BP⊥DF？如果存在，求出 的值；如果不存
AC
在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）AB∥平面DEF，
如图．在△ABC中，∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥AB，
又AB不包含于平面DEF，EF 平面DEF，
∴AB∥平面DEF．…（4分）⊂
（Ⅱ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B，
∴AD⊥BD，AD⊥平面BCD，取CD中点M，则EM∥AD，
a
∴EM⊥平面BCD，且EM= ，
2
√3
∵棱锥E﹣DFC的体积为 ，
24
1 a √3a2 √3
∴V= × × = ，解得a＝2．…（8分）
3 4 16 24
（Ⅲ）线段AC上存在一点P，使BP⊥DF．
三角形BDF为正三角形，过B做BK⊥DF，
延长BK交DC于K，过K做KP∥DA，交AC于P．则点P即为所求．
证明：∵AD⊥平面BCD，KP∥DA，
∴PK⊥平面BCD，PK⊥DF，又 BK⊥DF，PK∩BK＝K，
∴DF⊥平面PKB，DF⊥PB．又∠DBK＝∠KBC＝∠BCK＝30°，∴DK＝KF＝KC/2．
故AP：OC＝1：2，AP：AC＝1：3 …（12分）
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