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专题 11 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式
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题型01 累加法...........................................................................................................................................................1
题型02 累乘法...........................................................................................................................................................3
题型03 构造法...........................................................................................................................................................6
题型04 递推法.........................................................................................................................................................12
题型 01 累加法
【解题规律·提分快招】
1、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
** 错误的表达式 **若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
** 错误的表达式 ** 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
** 错误的表达式 **若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
** 错误的表达式 **若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知在数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】根据已知条件，利用累加法即可求解.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，…， （ ），将以上各等式左右两边分别相加得 ，
又 ，所以 （ ），经验证 也满足该式，
所以所求数列的通项公式为 .
故答案为： .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ，则通项公式 .
【答案】
【分析】利用累加法，结合等差数列前 项和公式，即可求得结果.
【详解】因为 ，即 ，
故 ， ， ， ， ，
以上各式相加得 .
又 ，所以 ，而 也适合上式，故 .
故答案为： .
3．（2025高三·全国·专题练习）若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，则数列
的通项公式是 .
【答案】 .
【分析】根据等比数列求和公式先求出数列 的通项公式，再根据累加法以及等比数列求和公式求
出 .
【详解】由题意可知 ，
所以 ，
又 满足上式，所以 .
故答案为： .
4．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ， ，则该数列的通项公
式为 .
【答案】
【分析】根据数列递推式，对 进行赋值累加，整理即得数列的通项公式.【详解】由题意， ,且 ，
当 时，
．
当 时，也满足该式，
故数列 的通项公式为 ．
故答案为：
5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列 满足 ，且对任意 ，有 ，则
.
【答案】
【分析】利用累加法求得 .
【详解】依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述 个式子相加得 .
故答案为：
题型 02 累乘法
【解题规律·提分快招】
1、累乘法形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用累乘法计算出答案.
【详解】
故选：B
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用累乘法，结合余弦函数的周期性进行求解即可.
【详解】函数 的最小正周期为 ，
所以有
故选：D
二、填空题3．（23-24高三上·内蒙古·期末）在数列 中， ，则 ．
【答案】
【分析】根据题设中的递推公式特征选择累乘法进行赋值即可求得.
【详解】因 ，故有 ，即得 ，
所以 ．
故答案为： .
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列 中， ，当 时， ，则数列 的通项公式
为 .
【答案】
【分析】根据累乘法求通项公式即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ， ，…， ，
累乘得 ， ，
所以 ， ，
由于 ，所以 ， ，
显然当 时， 满足 ，
所以 ，
故答案为： .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足 ，a＝1，则a ＝
1 2 023
【答案】4045
【详解】
∵ ＝2n，∴ an＋1＋an＝2n(an＋1－an)，即(1－2n)an＋1＝(－2n－1)an，可得 ＝ ，∴
a2 023＝ × × ×…× × ×a1＝ × × …× × ×1＝4 045.6．（23-24高三下·安徽马鞍山·开学考试）已知数列 满足 ，则 的最小值
为 ．
【答案】
【分析】由题意可得数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，由累乘法求出 ，结合指数函
数和二次函数的性质求即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
当 时， ，
因为 时， ，所以 ，
因此当 或 时， 取得最小值，为 .
故答案为： .
题型 03 构造法
【解题规律·提分快招】
1、形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为首
项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
2、形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化为
类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为
类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
3、倒数变换法
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，化归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
4、形如 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得
，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】给 两边同时加一个数 ，构造成等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解
的通项公式即可.
【详解】设 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ．
故选：C.
2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，则
的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用取倒法证得 是等差数列，进而求得 ，从而得解.
【详解】因为 ， ，易知 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以 ，
故 是以 为首项， 为公差的等差数列，
则 ，故 ，
所以 .
故选：A.
3．（2024·广东茂名·一模）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】B
【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解.
【详解】由 ，得 ，于是 ，则 ，
两边取对数得 ，因此 ，数列 是常数列，
则 ，即 ，所以 ， .
故选：B
二、填空题
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公
式为 ．
【答案】
【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列 ，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.
【详解】将 两边同时除以 ，得 ，即 ．
由等差数列的定义知，数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，故 ．
故答案为： .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 .
【答案】 /
【分析】根据 作差得到 ，从而得到 ，结合等比数列的定
义求出 的通项公式，即可得解.
【详解】因为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
两式相减得 ，所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的通项
公式为 ．
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项即得.
【详解】数列 中， ， ，显然 ，
则有 ，即 ，而 ，因此数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
故答案为：
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列 满足： ，且 ，则数列
的通项公式是
【答案】
【分析】由题意可构造数列 ，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解.
【详解】由 ，则 ，
即 ，又 ，则 ，
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
即 ，
则有 ， ， ， ，且 ，
故 ，即 ，显然 均满足.
故答案为： .
8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列 中， ， ， ， 为数列
的前项和，则数列 的通项公式 ； .
【答案】 574
【分析】整理可得 ，可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数
列，即可得 的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解.
【详解】因为 ， ，则 ，且 ，
可知数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，即 ，
可得
，
所以 .
故答案为： ； .
题型 04 递推法
【解题规律·提分快招】
1、求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两
种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分
和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中，已知对任意正整数n，有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知等式可得n-1时等式，两式相减可得数列通项公式，进而可得 为等比数列，即可利
用等比求和公式求解.
【详解】由 ，
得 ，∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ 是以1为首项，4为公比的等比数列．
∴ ．故选：D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项的和为 ， ．当 时， ，则
（ ）
A． B．1006 C．1007 D．1008
【答案】D
【分析】利用 的关系式可得 ，分组求和可得结果.
【详解】易知当 时， ， ．
两式相减得 ，即 ．
又 ， ，
即 满足上式，
可得 ．
故选：D．
3．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，得 ，从而 ，再利用累乘法求解.
【详解】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，即 ①．
又因为 ②，
①②两式相乘，得 ．
故选：A．
4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列 的首项 ，前n项和 ，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 得到 ，两式相减得到 ，求出 即可求解.【详解】因为 ，所以 ，
两式相减得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
则 （ ）
A．4049 B．4047 C．2025 D．2024
【答案】A
【分析】根据 计算化简得出数列 是首项为2，公差为1的等差数列，进而得出通项公式
即可求解.
【详解】当 时， ，即 ，
由数列为正项数列可知， ，又 ，即数列 是首项为2，公差为1的等差数
列，
即 ，则 ，
当 时， ；
所以 .
故选：A.
6．（2024·贵州贵阳·三模）设数列 的前 项之积为 ，满足 ，则 （ ）
A． B．4049 C． D．
【答案】C
【分析】根据条件先证明出 为等差数列，然后求解出 的通项公式，由此可求结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 是公差为 的等差数列，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：C.
7．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列 的前n项和为 ．若 ， ，则
（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
【答案】C
【分析】根据 ，即可根据奇偶项分别为等差数列，分组求和，或者利用 为等差数
列，即可由等差求和公式求解.
【详解】方法一：
∵ ①，∴当 时， ②，
①-②得当 时， ，
∴ 中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2．
∵ ，∴当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ．
∴ ．
方法二：
∵ ，∴ ， ，
∴数列 是以7为首项，4为公差的等差数列，
∴ ．
故选：C．
二、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公
式 .
【答案】
【分析】根据 与 的关系可得当 时， 是公比为3的等比数列，求解答案.【详解】由 得， 时， ，两式相减得 ，
所以当 时， 是公比为3的等比数列，而 ，则 ，
由 不满足上式得 .
故答案为： .
9．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·期中）设 为数列 的前 项和，若 ，则数列 的通
项公式 .
【答案】
【分析】由 与 的关系，化简可得所求通项公式．
【详解】由 ，可得 时， ；
当 时， ．
此时，当 时， ，
综上，可得 ．
故答案为： ．
10．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则 .
【答案】
【分析】由公式 且 )化简可证明 为等差数列，求出首项和公差即可知道 的
通项，进而可求 .
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 是等差数列，公差为3，又 ，所以 ，即 .
故答案为： .
11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的
通项公式为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用 与 的关系求出通项公式.
【详解】数列 中， ，
当 时， ，
两式相减得 ，解得 ，而 ，即 满足上式，
所以 的通项公式为 .
故答案为：
一、单选题
1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．100
【答案】C
【分析】将 两边取倒数，即可得到 ，从而求出 的通项公式，即可得解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
即 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，则 ，
所以 .
故选：C
2．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用 时， ，推得 ，代入 ，求出答案．
【详解】由题意可得 ①，
所以 时， ②，
① ②得 ，所以 ，所以 ．
故选：C．
3．（23-24高三下·广东·期中）设 为数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A． B．2024 C． D．0
【答案】D
【分析】利用 的关系，结合条件构造 ，利用等比数列的定义及通项公式计算即可.
【详解】由 ，
且 ，
显然 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 ，故 .
故选：D
4．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
【答案】D【分析】根据数列递推式消去通项 ，得 ，推得等比数列 ，利用等比数列定义判
断数列 ，可见 不是等比数列，排除B项，并判断D项正确；再由公式 求出 ，验证
数列 的首项，排除A，C两项即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，
又 ，
数列 是首项为 3，公比为 3 的等比数列，即 ，
，因 不是常数，故数列 不是等比数列，即 D 正确，B 错误；
当 时， ，
又 时， ，
，数列 不是等比数列，故 A， C 均错误.
故选：D.
5．（23-24高三上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，
后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第 层有 个球，
则数列 的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据题意，列出数列 的递推关系，用累加法求出数列 的通项公式，再用裂项相消法求
出数列 的前 项和，即可求出数列 的前20项和.
【详解】由题意及图得， ，
，当 时， ，
，以上各式累加得： ，
又 ，所以 ，
经检验 符合上式，
所以 ，
所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 ，
故选：A.
6．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案.
【详解】因为 ，所以由递推公式可得
当 时，等式两边分别相加，得
，
因为 ，则 ，而 满足上式，所以 ，
即 ，函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，
又因为 ，当 时， ，
当 时， ，因为 ，所以 的最小值为 .
故选：A.
7．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列 满足 ， 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合已知等式可得 ，进而化简整理得到 ，由
此可得 ；利用等比数列求和公式可求得 ，验证 即可求得结果.
【详解】
当 时， ，
，
，
；
当 时， ，解得： ，不满足 ， ；
当 时， ，
又 满足 ， .
故选：D.
二、多选题
8．（23-24高三下·广东·期中）已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． 是递增数列
C． 是等差数列 D．
【答案】ABD
【分析】分析可知数列 是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得 ，进而
逐项分析判断.
【详解】因为 ，则 ，
且 ，可知数列 是以首项为4，公比为4的等比数列，
则 ，即 .对于选项A： ，故A正确；
对于选项B：因为 ，所以 是递增数列，故B正确；
对于选项C：因为数列 是以首项为4，公比为4的等比数列，
所以 不是等差数列，故C错误；
对于选项D： ，故D正确；
故选：ABD.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， （ 且
），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】对题干已知条件多写出一个等式，推出 ，然后用累乘法求数列通项.
【详解】 ， ，
当 时， ．A选项正确，
当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
即 ，B选项错误，
， ，…， ，
累乘得 ，C选项错误，
．又 符合上式，故 ，D选项正确.
故选：AD
10．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， 满足
，则（ ）A．数列 为等比数列 B．数列 为等差数列
C． D．数列 是等比数列
【答案】ABC
【分析】根据前n项和与通项之间的关系求得 .对于A：根据等比数列定义分析判断；对于B：根据
等差数列定义分析判断；对于C：根据等比数列求和公式分析判断；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为 ，
若 ，则 ，即 ；
若 ，则 ，
可得 ，即 ；
且 符合上式，所以 .
对于选项A：因为 ，且 ，
所以数列 是公比为2的等比数列，故A正确；
对于选项B：因为 ，
所以数列 为等差数列，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
显然 ，所以数列 不是等比数列，故D错误；
故选：ABC.
11．（24-25高三上·河北保定·期末）已知数列 满足， ， ， 为其前 项和，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】求出 的值，由 可得 ，两式作差可得出 ，逐
项计算可判断ABD选项，利用并项求和法可判断C选项.【详解】在数列 中， ， ，
当 时， ，则 ，
对任意的 ，由 可得 ，
上述两个等式作差可得 ，
对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，可得 ，B错；
对于C选项，
，C对；
对于D选项， ，
因此 ，D对.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 ， ，则 .
【答案】 .
【分析】求得 ，再利用 的关系，求得 时的通项公式，再进行检验即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
故 ，
综上所述 .
故答案为： .
13．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数 满足 ，则数列 的通项公式
．
【答案】
【分析】由题意可得 ，即 是以 为首项， 为公比的等比数列，由等比数
列的通项公式求解即可.
【详解】由 可得： ，又 ,，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 .
故答案为：
14．（2024·四川广安·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
【答案】
【分析】利用累加法求出数列 的通项，再分组求和即可得解.
【详解】数列 中，由 ，得当 时， ，
则 ，
显然 满足上式，因此 ，
所以 .
故答案为：
15．（23-24高三下·上海·期末）数列 满足 ，则数列 的通项公式为
.
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得.
【详解】数列 中，由 ，得 ，即 ，
而 ， ，于是数列 是首项为3，公比为 的等比数列，
因此 ，即 ，
所以数列 的通项公式为 .
故答案为：
16．（23-24高三下·辽宁·期中）在首项为1的数列 中 ，则
【答案】
【分析】先用累加法求出 ，再用错位相减法求和结合 即可解出 .【详解】因为 ，
所以 ，
，
，
，
以上各式相加得： ，
令 ，①
，②
错位相减： 有， ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以有，所以 ,
检验 时， 符合上式，所以 .
故答案为：
17．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 ，则 的
通项公式为 .
4n−1+2
【答案】a =
n 3
【分析】利用构造法推得 是等比数列，再利用累加法即可得解.
【详解】因为当 时， ，所以 ，又 ，则 ，
所以 是以 为首项，4为公比的等比数列，
所以 ，
从而
，
当 时， 满足上式，
4n−1+2
所以a = .
n 3
故答案为： .
18．（23-24高三上·湖北黄石·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公
式为 .
【答案】
【分析】对 取倒数，然后结合等比数列求和公式利用累加法求解即可.
【详解】对 两边取倒数得 ，即 ，
当 时， ， ， ， ， ，
将以上各式累加得 ，又 ，
所以 ，所以 ，当 时， 也满足 ，所以 .
故答案为：
19．（16-17高三上·湖南益阳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数
列 的通项公式是 .
【答案】
【分析】利用 和 的关系可得 ，进而得到数列 为等比数列，首项为3，公比为，进而求解即可.
【详解】由 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，
则 ，即 ，
所以 ，
则数列 为等比数列，首项为3，公比为 ，
所以 ，则 .
故答案为： .
20．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 中， ， ， ，则 ，
．
【答案】 2
【分析】先根据已知递推关系式列方程组，求得 的值，然后将已知递推关系式化简、变形，得到数列
是首项为 ，公比为2的等比数列，
进而得到 ，最后利用累乘法求得 ．
【详解】由 ，得 ，消去 ，
得 ，则 ．
由 ，得 ，
又 ，所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以当 时， ，经检验当 时上式也成立，
所以 ．
故答案为： ； .
21．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ，前 项和 ，则数列 的通项公
式为
【答案】
【分析】当 时，由已知的等式可得 ，与已知的等式相减化简可得 ，
然后利用累乘法可求出 .
【详解】由于数列 中， ，前 项和 ，
所以当 时， ，
两式相减可得： ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以
，
符合上式，
因此 .
故答案为：
22．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列 满足 ，设数列 的前 项
和为 ，则满足 的实数 的最小值为 ．【答案】
【分析】先将 代入题干表达式计算出 的值，当 时，由 ，可得
，两式相减进一步计算即可推导出数列 的通项公式，再根据数列 的
通项公式及等比数列的求和公式推导出前 项和 的表达式，最后根据不等式的性质即可计算出实数 的
最小值．
【详解】由题意，当 时， ，
当 时，由 ，
可得 ，
两式相减，可得 ，
解得 ，
当 时， 不满足上式，
，
则当 时， ，
当 时，
，
当 时， 也满足上式，
， ，
，且 对任意 恒成立，，即实数 的最小值为 ．
故答案为： .
