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专题 11 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式
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题型01 累加法...........................................................................................................................................................1
题型02 累乘法...........................................................................................................................................................2
题型03 构造法...........................................................................................................................................................3
题型04 递推法...........................................................................................................................................................5
题型 01 累加法
【解题规律·提分快招】
1、累加法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相加，可得：
** 错误的表达式 **若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
** 错误的表达式 ** 若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
** 错误的表达式 **若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
** 错误的表达式 **若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
【典例训练】
一、填空题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知在数列 中， ， ，则数列 的通项公式为
.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 ， ，则通项公式 .
3．（2025高三·全国·专题练习）若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，则数列
的通项公式是 .4．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ， ，则该数列的通项公
式为 .
5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列 满足 ，且对任意 ，有 ，则
.
题型 02 累乘法
【解题规律·提分快招】
1、累乘法
形如 型的递推数列（其中 是关于 的函数）可构造：
将上述 个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·河南南阳·阶段练习）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知数列 满足 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（23-24高三上·内蒙古·期末）在数列 中， ，则 ．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列 中， ，当 时， ，则数列 的通项公式
为 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列{an}满足 ，a＝1，则a ＝
1 2 0236．（23-24高三下·安徽马鞍山·开学考试）已知数列 满足 ，则 的最小值
为 ．
题型 03 构造法
【解题规律·提分快招】
1、形如 （其中 均为常数且 ）型的递推式
（1）若 时，数列{ }为等差数列；
（2）若 时，数列{ }为等比数列；
（3）若 且 时，数列{ }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设 ，展开移项整理得 ，与题设 比较系数（待定
系数法）得 ，即 构成
以 为首项，以 为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可
得
法二：由 得 两式相减并整理得 即 构成以 为首
项，以 为公比的等比数列．求出 的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
2、形如 型的递推式
（1）当 为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，
以 为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理
可得
法二：当 的公差为 时，由递推式得： ， 两式相减得：
，令 得： 转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加
法）便可求出
（2）当 为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设 ，通过待定系数法确定 的值，转化成以 为首项，以
为公比的等比数列 ，再利用等比数列的通项公式求出 的通项整理可得
法二：当 的公比为 时，由递推式得： ——①， ，两边同时乘以
得 ——②，由①②两式相减得 ，即 ，在转化为
类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为 （其中p，q均为常数）或 （其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以 ，得： ，引入辅助数列 （其中 ），
得： 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当 为任意数列时，可用通法：
在 两边同时除以 可得到 ，令 ，则 ，在转化为
类型Ⅲ（累加法），求出 之后得 ．
3、倒数变换法
形如 （ 为常数且 ）的递推式：两边同除于 ，转化为 形式，化
归为 型求出 的表达式，再求 ；
还有形如 的递推式，也可采用取倒数方法转化成 形式，化归为
型求出 的表达式，再求 ．
4、形如 型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列 的形式求解．方法为：设 ，比较系数得
，可解得 ，于是 是公比为 的等比数列，这样就化归为 型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知数列 的首项 ，且满足 ，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东茂名·一模）已知 为正项数列 的前 项的乘积，且 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．64 D．128
二、填空题
4．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的通项公
式为 ．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 .
6．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列 满足 ，则数列 的通项
公式为 ．
7．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知数列 满足： ，且 ，则数列
的通项公式是
8．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列 中， ， ， ， 为数列
的前项和，则数列 的通项公式 ； .
题型 04 递推法
【解题规律·提分快招】
1、求数列 的通项 可用公式 构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两
种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 和 合为一个表达，（要先分
和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中，已知对任意正整数n，有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项的和为 ， ．当 时， ，则
（ ）A． B．1006 C．1007 D．1008
3．（2024·西藏·模拟预测）已知数列 对任意 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知数列 的首项 ，前n项和 ，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，
则 （ ）
A．4049 B．4047 C．2025 D．2024
6．（2024·贵州贵阳·三模）设数列 的前 项之积为 ，满足 ，则 （ ）
A． B．4049 C． D．
7．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知数列 的前n项和为 ．若 ， ，则
（ ）
A．48 B．50 C．52 D．54
二、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则数列 的通项公
式 .
9．（24-25高三上·新疆乌鲁木齐·期中）设 为数列 的前 项和，若 ，则数列 的通
项公式 .
10．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
，则 .
11．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的
通项公式为 .
一、单选题1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）在数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．100
2．（24-25高三上·重庆·期中）已知数列 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
3．（23-24高三下·广东·期中）设 为数列 的前 项和，且 ，则 （ ）
A． B．2024 C． D．0
4．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等比数列
C． D．
5．（23-24高三上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，
后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第 层有 个球，
则数列 的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏盐城·模拟预测）若数列 满足 ， 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
8．（23-24高三下·广东·期中）已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ，则（ ）
A． B． 是递增数列
C． 是等差数列 D．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， （ 且
），则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知数列 的前n项和为 ， 满足
，则（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 为等差数列
C． D．数列 是等比数列
11．（24-25高三上·河北保定·期末）已知数列 满足， ， ， 为其前 项和，则
（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 ， ，则 .
13．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知数 满足 ，则数列 的通项公式
．
14．（2024·四川广安·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 .
15．（23-24高三下·上海·期末）数列 满足 ，则数列 的通项公式为
.
16．（23-24高三下·辽宁·期中）在首项为1的数列 中 ，则
17．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 ，则 的
通项公式为 .18．（23-24高三上·湖北黄石·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公
式为 .
19．（16-17高三上·湖南益阳·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数
列 的通项公式是 .
20．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 中， ， ， ，则 ，
．
21．（2024高三·全国·专题练习）在数列 中， ，前 项和 ，则数列 的通项公
式为
22．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列 满足 ，设数列 的前 项
和为 ，则满足 的实数 的最小值为 ．
