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专题 11 立体几何中的截面与轨迹问题
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题型01 截面形状问题..................................................................................................................................................1
题型02 截面面积、周长问题......................................................................................................................................5
题型03 截面切割几何体体积问题..............................................................................................................................6
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题..........................................................................................................................7
题型05 距离、角度相关的轨迹问题..........................................................................................................................9
题型06 翻折相关的轨迹问题....................................................................................................................................11
题型 01 截面形状问题
【解题规律·提分快招】
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分
点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C ，注意：此时合格C 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何
1 1
处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型五、截面是圆锥曲线的原理剖析
θ(0<θ<90°)
令平面与轴线的夹角为 ,圆雉的母线与轴的夹角为 ,如图②.
(1) 当 时,截口曲线为椭圆;
(2)当 时,截口曲线为抛物线;
(3)当 时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是
为定值,这样截口曲线上的任一点 到两个定点 的距离之和为
常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别
与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点 作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是 为定值,这样截口曲线上的任一
点 到两个定点 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线 且垂直于轴截面 的平面 去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧
面与截面 相切,球与截面切于点 .设 为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记 .在截口
曲线上任取一点 ,作直线与球相切于点 ,连结 ,有 .在母线 上取点 ( 为 与
球的切点),使得 .过点 作 ,有点 在 上,且 .另一方面,因为平面
与 垂直,那么 平面 ,有 ,所以 .于是截口曲线是以点 为焦点, 为准线的抛
物线.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体 中， ， 分别是棱 和 上的点，
， ，那么正方体中过点 ， ， 的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA BC D 的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截
1 1 1 1
面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（ ）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料 的棱长为3米，点 在棱
上，且 ，过点 把木料据开且锯面与 平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？
题型 02 截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体 中， 分别是 的
中点．用过点 且平行于平面 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体 中， ， ，过点
的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正四棱锥 ，其中 ， ，平面 过点A，
且平面 ，则平面 截正四棱锥 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．4．（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱 中， 为线段 的中点，
一质点从 点出发，沿长方体表面运动到达 点处，若沿质点 的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截
面的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25高三上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，E，F分别为棱 ，
的中点，G为棱 靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为
.
题型 03 截面切割几何体体积问题
【典例训练】
一、填空题
1．（24-25高三·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截
面分成上、下两部分的面积之比为 ．
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上
的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .
3．（23-24高三下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平
行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱 中， ，E是 上一点， 于
点F，设 ， ，则点E绕 旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空
间四边形 绕 旋转一周所得几何体的体积为 .
题型 04 平行、垂直相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也
是解决立体几何题目的一般性思路.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）
A． B．2 C． D．42．（23-24高三下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体 中，E，F分别为 ，AB
上的中点，且 ，P点是正方形 内的动点，若 平面 ，则P点的轨迹长度为
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知长方体 ， ， ， 是 的中
点，点P满足 ，其中 ， ，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成
的轨迹长度是（ ）
A．3 B． C． D．2
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点，
为正方体表面上的动点，且 .设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A． 是平行四边形，且周长为
B． 是平行四边形，且周长为
C． 是等腰梯形，且周长为
D． 是等腰梯形，且周长为
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥 的底面 的边长为4，直线AC与平面BCD所
成角的余弦值为 ，动点M在以BC为直径的球面上，且直线 平面MAB，则点M的轨迹长为
（ ）
A． B． C． D．6．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知正方体 的棱长是2，点 是棱 的中点，Q是
正方体表面上的一动点， ，则动点Q的轨迹长度是（ ）
A．3 B．5 C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱 中， ， ，点 在侧
面 内，且 ，则点 轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
题型 05 距离、角度相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）已知正方体 ，Q为上底面 所在平面内的动点，当直线
与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
2．（24-25高三上·天津·期中）在棱长为2的正方体 中，点P是侧面正方形 内的动
点，点Q是正方形 的中心，且PQ与平面 所成角的正弦值是 ，则动点P的轨迹图形的
面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四边形
内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点 平面 ，且 ，则
点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为3，点P是平面 内的动点，M，N
分别为 ， 的中点，若直线BP与MN所成的角为 ，且 ，则动点P的轨迹所围成的图形
的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体 中， 是 的中点，点 在侧
面 所在的平面上运动.现有下列命题：
①若点 总保持 ，则动点 的轨迹是直线；
②若点 到点A的距离为 ，则动点 的轨迹是圆；
③若点 到点 与点 的距离比为2：1，则动点 的轨迹是圆；
④若点 到直线 与直线 的距离比为2：1，则动点 的轨迹是椭圆.
其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为 内部
及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱 中， 平面
是棱 上的动点，直线 与平面 所成角的最大值是 ，点
在底面 内，且 ，则点 的轨迹长是（ ）
A． B． C． D．
题型 06 翻折相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在 中， ， 是 边上
一点，且 ，将 沿 进行翻折，使得点 与点 重合，若点 在平面 上的射影在
内部及边界上，则在翻折过程中，动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（23-24高三上·重庆·期中）如图，已知菱形 中， 为边 的中点，将
沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 为 的中点，则在翻折过
程中， 与 的夹角为 ，点 的轨迹的长度为 ．一、单选题
1．（2024高三上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体
交于同一顶点的三条棱的中点分别记为 ，如图1所示，然后截去以 为底面的正三棱锥，截后
几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体
的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）
A．108 B．162 C．180 D．189
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知正方体 棱长为2，E为棱 的中点，则经过
三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·河南三门峡·期末）在正四棱柱 中， ， 分别是
的中点，则平面 截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在正四棱锥 中， ．用一个平行于底面的平
面去截该正四棱锥，得到几何体 ，则几何体 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中，E、F分别是棱
， 的中点，M为底面 上的动点，若直线 平面 ，则线段 的长度的最小值为
（ ）A． B． C．1 D．
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知正方体 ，E，F，G分别为棱AB， ， 的中点，
若平面EFG截该正方体的截面面积为 ，点P为平面EFG上动点，则使 的点P轨迹的长度为
（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图， 在四棱锥 中， 底面 是边长为3的正方形，
平面 ，点 为底面上的动点， 到 的距离记为 ，若 ，则点 在底面正方形
内的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
8．（24-25高三上·北京·期末）在正方体 中，点Q为底面 （含边界）上的动点，满
足平面 平面 ，则点 的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
9．（24-25高三上·湖北·阶段练习）点P是正方体 的表面及其围成的空间内一点，已知正
方体的棱长为2，若 ， 与平面 所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）在棱长为 的正方体 中， 分别为
的中点，点 在正方体表面上运动，且满足 ，点 轨迹的长度是（ ）.A． B． C． D．
二、多选题
11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体 的棱长为2，点 是正方体
在侧面 上的一个动点（含边界），点 是棱 的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A．平面 截该正方体的截面面积为
B．若 ，则点 的轨迹是以 为半径的半圆弧
C．若 为 的中点，则三棱锥 的体积为1
D．若 ，则 的最大值为
12．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体 的棱长为2， 分别是棱
上的中点，点 为平面 内的动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹是椭圆
B．若点 到直线 与到直线 的距离相等，则点 的轨迹是抛物线
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹是双曲线
D．以 为球心， 为半径的球面与平面 相交所得曲线的面积为
13．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）如图，棱长为2的正方体 中， 为 的中点，
动点 在平面 内的轨迹为曲线 .下列结论正确的是（ ）A．当 时， 是一个点
B．当 平面 时， 是一条线段
C．当直线 与平面 所成的角为 时， 是圆
D．当直线 与平面 所成的角为 时， 是双曲线
14．（23-24高三下·山东日照·期末）已知正方体 的棱长为1，M，P分别为 ，AB的中
点，点N满足 ，设平面 截正方体所得截面为 ，其面积为S，设该截面将正方
体分成两部分的体积分别为 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A．截面 可能为五边形 B．当 时，
C．存在 ，使得 D． 的最大值为
15．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体 ，点 是棱 的中点，
过点 作正方体 的截面，关于下列判断正确的是（ ）
A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
16．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形 为 中点， 为线段
（端点除外）上某一点．沿直线 沿 翻折成 ，则下列结论正确的是（ ）A．翻折过程中，动点 在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点 在平面 的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角 的平面角记为 ，直线 与平面 所成角记为 ，则 ．
D．当平面 平面 时，在平面 内过点 作 为垂足，则 的范围为
三、填空题
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方体 中， 分别是 的中点， ，则
过点 的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
18．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）已知棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若点P在正方体内部且
满足 则点 P到AB的距离为 ; 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，Q是
平面ABCD 内一动点，若A₁Q与A₁D所成角为 则动点Q 的轨迹是 (写曲线名称)
19．（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱 中， ， ， ，
， 分别是 ， 上的点，且 ，现沿平面 将该三棱柱截成两部分，则几何体
的体积为 ．
20．（23-24高三下·河南·期末）如图所示，在直三棱柱 中， ，
平面 过棱 的中点 且与 平行，若 截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为
．
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方体 的棱长为 ， ， 为体对角线 的三等
分点，动点 在三角形 内，且三角形 的面积 ，则点 的轨迹长度为 .
22．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）正方体 的棱长为5，点 在棱 上，且，点 是正方体下底面 内（含边界）的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的
距离的平方差为25，则动点 到 点的最小值是 .
23．（23-24高三上·四川内江·期中）如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中
点，将 沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则
在翻折过程中，点 的轨迹的长度为 .
