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专题 11 立体几何中的截面与轨迹问题
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题型01 截面形状问题..................................................................................................................................................1
题型02 截面面积、周长问题......................................................................................................................................7
题型03 截面切割几何体体积问题............................................................................................................................12
题型04 平行、垂直相关的轨迹问题.......................................................................................................................15
题型05 距离、角度相关的轨迹问题.......................................................................................................................23
题型06 翻折相关的轨迹问题....................................................................................................................................31
题型 01 截面形状问题
【解题规律·提分快招】
一、截面问题的理论依据
(1)确定平面的条件
①不在同一平面的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面
(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线
(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行
二、截面问题的基本思路
1.定义相关要素
①用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.
②此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线.
③此平面与几何体的棱(或面)的交集(交点)叫做实截点.
④此平面与几何体的棱(或面)的延长线的交点叫做虚截点.
⑤截面中能够确定的一部分平面叫做截小面.
2.作截面的基本逻辑：找截点→连截线→围截面
3.作截面的具体步骤
（1）找截点：方式1：延长截小面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点
方式2：过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点（2）连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线
（3）围截面：将各截线首尾相连，围成截面
三、作截面的几种方法
（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找
交线的过程。
（2）延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
（3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直
线的平行线找到几何体的截面的交线。
模型演练：如下图E、F是几等分点，不影响作图。可以先默认为中点，等完全理解了，再改成任意等分
点
方法：两点成线相交法或者平行法
特征：1.三点中，有两点连线在表面上.本题如下图是EF（这类型的关键）；
2.“第三点”是在外棱上，如C ，注意：此时合格C 点特殊，在于它是几何体顶点，实际上无论它在何
1 1
处，只要在棱上就可以.
方法一：相交法，做法如下图.
方法二：平行线法，做法如下图.
四、正方体中的基本截面类型五、截面是圆锥曲线的原理剖析
θ(0<θ<90°)
令平面与轴线的夹角为 ,圆雉的母线与轴的夹角为 ,如图②.
(1) 当 时,截口曲线为椭圆;
(2)当 时,截口曲线为抛物线;
(3)当 时,截口曲线为双曲线.
图②我们再从几何角度来证明.
(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点
作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是
为定值,这样截口曲线上的任一点 到两个定点 的距离之和为
常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.
(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别
与截面切于点 .在截口曲线上任取一点 ,过点 作圆雉的母线,分别与两球切于点 .由球的性质可知 ,于是 为定值,这样截口曲线上的任一
点 到两个定点 的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.
(3)如图⑤,用平行于母线 且垂直于轴截面 的平面 去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧
面与截面 相切,球与截面切于点 .设 为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记 .在截口
曲线上任取一点 ,作直线与球相切于点 ,连结 ,有 .在母线 上取点 ( 为 与
球的切点),使得 .过点 作 ,有点 在 上,且 .另一方面,因为平面
与 垂直,那么 平面 ,有 ,所以 .于是截口曲线是以点 为焦点, 为准线的抛
物线.
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·浙江杭州·期末）在正方体 中， ， 分别是棱 和 上的点，
， ，那么正方体中过点 ， ， 的截面形状为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【分析】画出图形，然后判断即可.
【详解】在正方体 中，取 ， ，
连接 ， ， ， ， ， ，如下图所示：因为在正方体 中， ， 分别是棱 和 上的点， ， ，
所以 ，且 ，则四边形 为平行四边形，则 ， ，
又因为 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，
则 ， ，
所以 ， ，所以 为平行四边形，
则正方体中过点 ， ， 的截面形状为四边形 .
故选：B
2．（2024高三·全国·专题练习）过正方体ABCDA BC D 的棱AB，BC的中点E，F作一个截面，使得截
1 1 1 1
面与底面所成的角为45°，则此截面的形状为（ ）
A．三角形或五边形
B．三角形或六边形
C．六边形
D．三角形
【答案】B
【详解】
解析：如图，连接BD交EF于点G，设上、下底面中心分别为O ，O，设过点D 与EF的截面与底面的
1 1
所成角为α，易得tan α＝tan ∠DGD＝ ＜1，故α＜45°；设过A ，C 与EF的截面与底面的所成角为
1 1 1
β，易得tan β＝tan ∠OGO＝2 ＞1，故α＞45°，故所求截面应与A D ，C D 都相交（不过其端点），
1 1 1 1 1
为六边形，点H在BB 上，且BG＝BH，当截面为EFH时也满足题意，此时为三角形．
1
二、解答题3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，一块正方体木料 的棱长为3米，点 在棱
上，且 ，过点 把木料据开且锯面与 平行，问木料表面上的锯痕是什么形状？
【答案】锯痕的形状是五边形或四边形
【分析】先利用线面平行的判定定理推得锯面为过 在正方体上的截面，再分类讨论与上底面的交点位
置，从而得解.
【详解】取 ，且 ，连接 ，
则 ，所以 ，
此时，由线面平行的判定定理可知，过 的锯面就是满足题意的锯面；
当锯面分别与 交于 时，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ，
延长 交 延长线于 ，连接 交 于 ,
由公理2可知直线 与 的交点 一定在直线 上，
直线 与 的交点 一定在直线 上，
此时锯痕为五边形 ；
当锯面与 （含端点 ，不含端点 ）交于 或与 （含端点 ，不含端点 ）交于 时，由上分析可知此时锯痕为四边形 (或四边形 )；
综上，锯痕的形状是五边形或四边形.
题型 02 截面面积、周长问题
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·北京东城·期末）如图，在正方体 中， 分别是 的
中点．用过点 且平行于平面 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质可得四边形 为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形
为矩形，即可求解.
【详解】取 的中点 ，连接 ,
则 ,故四边形 为平行四边形，即为过点 且平行于平面 的截面，
, ,且 平面 , 平面 ,则 ,
故四边形 为矩形，
故四边形的面积为 ，
故选：B2．（2025·广东茂名·一模）在棱长为6的正方体 中， ， ，过点
的平面截该正方体所得截面的周长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 ，则五边形 为过点 的截
面，再计算截面周长即可.
【详解】如图取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 ，
则五边形 为过点 的截面，取 的中点 ， 靠近 的三等分点 ，连接 、 、
，
则 ，又 且 ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，则 ，
又 且 ，所以 为平行四边形，所以 ，则 ，
所以 四点共面；
取 、 靠近 、 的三等分点 、 ，连接 、 、 ，
同理可证 ， ， ，所以 ，
所以 四点共面；
所以 五点共面；
又 ， ， ，
所以截面周长为 .
故选：B3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知正四棱锥 ，其中 ， ，平面 过点A，
且平面 ，则平面 截正四棱锥 的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线面垂直作出截面 ，然后利用余弦定理、三角形的面积公式等知识求得截面面积.
【详解】依题意，在正四棱锥 中， ，
且 ，
所以 ，所以三角形 是等边三角形，
设 是 的中点，则 ，所以 ，且 ，
设平面 与 分别相交于点 ，
则由 得 ，
，
所以 ，故 ，
所以 ，所以 ，
在三角形 中，由余弦定理得：
，
所以 ，
所以结合正四棱锥对称性得 ，
所以截面面积为 .
故选：A.
4．（2024·辽宁·模拟预测）在正四棱柱 中， 为线段 的中点，
一质点从 点出发，沿长方体表面运动到达 点处，若沿质点 的最短运动路线截该正四棱柱，则所得截
面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，进而可得截面与截面面积.
【详解】如图，把正四棱柱的侧面展开图可得最短距离，
（1） ，（2） ，（3）（1） ，（2） ，（3） ，
所以质点从 到 的最短距离为 ，
此时质点从 点出发，经过 上靠近 的三等分点 ，再到达 点，
面 截正四棱柱所得截面为五边形 ，如图，
由 ， ，
所以沿质点 的最短运动路线截正四棱柱，
则所得截面的面积为：
．
故选：B
二、填空题
5．（24-25高三上·上海静安·阶段练习）在棱长为1的正方体 中，E，F分别为棱 ，
的中点，G为棱 靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为
.
【答案】
【分析】结合平面性质，根据已知条件画出过点 的截面，求周长即可.
【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM，
取 靠近点 的三等分点N，连接FN并延长交 的延长线于点Q，
连接QE交 于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点 的截面，
由G为棱 靠近点C的三等分点，可得 ，即 ，
由 ，知点M为靠近点C的三等分点，即 ，
由勾股定理得 ， ，同理得 ，则截面图形的周长为 .
故答案为： .
题型 03 截面切割几何体体积问题
【典例训练】
一、填空题
1．（24-25高三·上海·课堂例题）平行于圆锥底面的截面将圆锥分为体积相等的两部分，则圆锥侧面被截
面分成上、下两部分的面积之比为 ．
【答案】
【分析】分别表示出原来圆锥与截后的小圆锥的体积，根据被截成的两部分体积相等可以得到 ，
即可求出上下两部分的面积之比.
【详解】设原来的圆锥体积为V，底面半径为R，高为H，侧面积为S，母线长为L，
被截面分截后，上面小圆锥的体积为 ，底面半径为r，高为h，侧面积为 ，母线长为l，
因为 ，即有 ，
又因为 ，所以 ，即有 ，且 ，
而 ，
故圆锥侧面被截面分成上、下两部分的面积之比为
.
故答案为：
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）与圆柱底面成 角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上
的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为 .【答案】
【分析】由图形可知所求几何体是由底面直径相同，高为 的圆柱和高为 的圆柱的一半拼成，由圆柱体
积公式可求得结果.
【详解】作出几何体的轴截面如下图所示：
则所求几何体是由一个底面直径为 ，高为 的圆柱与一个底面直径为 ，高为 的圆柱的一半构成，
则所求几何体体积 .
故答案为： .
3．（23-24高三下·吉林·期末）我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平
行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么
这两个几何体的体积相等.在正四棱柱 中， ，E是 上一点， 于
点F，设 ， ，则点E绕 旋转一周所得的圆的面积为 （用d表示）；将空
间四边形 绕 旋转一周所得几何体的体积为 .
【答案】【分析】空1：由已知，点 绕 旋转一周所得圆的面积即为以 为半径的圆面积；空2：空空间四边
形 绕 旋转一周所得几何体的体积，利用祖暅原理可以转化为一个底面半径和高分别为 和2的
圆柱体积加一个底面半径和高也分别为 和2的圆锥的体积.
【详解】连接 ，
因为 ，则 ，因为正四棱柱 ，
则 ，因为 ， ，则 ，
，
即点 绕 旋转一周所得圆的半径为 ，
点 绕 旋转一周所得圆的面积为 .
空间四边形 绕 旋转一周形成空间几何体，
由空1知该几何体不同高度 下截面面积为 ，
根据祖暅原理“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这个两个平面的任意平面所截，
如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”，
将空间四边形 绕 旋转一周，两平行平面即平面 和平面 的距离始终为2，
则可以转化为一个底面半径为1，高为 的圆柱体积加一个底面半径为1,高为 的圆锥的体积，
理由：截面积分为两部分，其中不变的截面积 对应着底面半径为1的圆，
其不随 值的变化而变化，因为 ，则旋转后该部分几何体为半径为1高为2的圆柱，
另一部分截面 ，该截面为圆，半径为 ，显然半径和高度呈现正比例函数关系，
则旋转后形成的为一个圆锥，且该圆锥的高和半径比为 ，因为 ，
则该部分几何体为半径为1高为2的圆锥，
所以空间四边形 绕 旋转一周所得几何体的体积为：.
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题第二空的关键是根据第一问的结果和祖暅原理将形成几何体转化为一个圆锥加
上一个圆锥.
题型 04 平行、垂直相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①平行有关的轨迹问题的解题策略
1.线面平行转化为面面平行得轨迹;
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
②垂直有关的轨迹问题的解题策略
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;
2.利用空间坐标运算求轨迹;
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也
是解决立体几何题目的一般性思路.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，正三棱柱 的底面边长是2，侧棱长是 ， 为
的中点， 是侧面 内的动点，且 平面 ，则点 的轨迹的长度为（ ）A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，证明 平面 ，再根据面面平行
的性质可得 的轨迹为线段 ，即可得解.
【详解】如图，
取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 为 的中点，所以 ，
又 面 ， 面 ，所以 平面 ，
又 ， 面 ， 面 ，所以平面 平面 ，
又因为 是侧面 上一点，且 平面 ，
所以 的轨迹为线段 ，
，
所以点 的轨迹的长度为 .
故选：B.
2．（23-24高三下·甘肃武威·阶段练习）如图所示，在正方体 中，E，F分别为 ，AB
上的中点，且 ，P点是正方形 内的动点，若 平面 ，则P点的轨迹长度为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取 的中点 ， 的中点为 ，连接 ，可得四边形 是平行四边
形，可得 ∥ ,同理可得 ∥ .可得面面平行，进而得出P点的轨迹.
【详解】如图所示，取 的中点 ， 的中点为 ，连接 ，
则 ∥ ， ，且 ∥ ， ，
可得 ∥ ，且 ，可知四边形 是平行四边形，则 ∥ ，
且 平面 ， 平面 ，可得 ∥平面 ，
同理可得： ∥平面 ，
且 ， 平面 ，可知平面 ∥平面 ，
又因为P点是正方形 内的动点， 平面 ，
所以点 在线段 上，
由题意可知： ，可得 ，
所以P点的轨迹长度为 .
故选：C.
3．（23-24高三上·福建福州·期末）已知长方体 ， ， ， 是 的中
点，点P满足 ，其中 ， ，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成
的轨迹长度是（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据给定条件 ，可得点 在矩形 及内部，结合 平面 ，利用面
面平行的知识找出点 的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案.
【详解】在长方体 中，由 ， ， ，得点 在矩形
及内部，又 平面 ，故点 在过 且平行于平面 的平面内，
连接 交 于点 ，取 中点 ，连接 ，在 上取点 ，使得 ，连接 ， ，
，
由 是长方体，可知对角面 为矩形， 且 ，
因为 ， ，
所以 且 ，四边形 为平行四边形，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可得 平面 ，
因为 是平面 内的相交直线，
故平面 平面 ，即平面 是过 且平行于平面 的平面，
所以点 的轨迹是四边形截面 与平面 的交线，即线段 .
因为矩形 中， ， ，可知 ，
所以 ，可得 中， ，
所以 ，即动点 的轨迹所形成的轨迹长度为3.
故选：A
4．（24-25高三上·北京西城·期末）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点，
为正方体表面上的动点，且 .设动点 的轨迹为曲线 ，则（ ）A． 是平行四边形，且周长为
B． 是平行四边形，且周长为
C． 是等腰梯形，且周长为
D． 是等腰梯形，且周长为
【答案】D
【分析】分别取 的中点 ，先分别在面 、面 上确定动点 的轨迹 、 ，
进而得到 是过点 的平面与正方体各表面的交线（梯形 ），再通过计算确定 是等腰
梯形及其周长.
【详解】分别取 的中点 ，连接 ，
则 ∥ ∥ ，∴ 四点共面
若 为面 上的动点，
由正方体 易得，平面 平面 ，且平面 平面 ，要使
，则只需 ，此时 的轨迹为线段 ；
若 为面 上的动点，
由正方体 易得，平面 平面 ，且平面 平面 ，要使
，则只需 ，因为 分别是 的中点，易证 ，故此时 的轨迹为线段
；
所以动点 的轨迹曲线 为过点 的平面与正方体各表面的交线，即梯形 .
因为正方体的棱长为2，所以 .
所以曲线 为等腰梯形，且周长为 .
故选：D.
5．（2025高三·全国·专题练习）已知正三棱锥 的底面 的边长为4，直线AC与平面BCD所
成角的余弦值为 ，动点M在以BC为直径的球面上，且直线 平面MAB，则点M的轨迹长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出 ，进而利用正四面体的性质求出点M
的轨迹，取CD的中点E，连接AE，BE，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的判定定理及性
质得 平面ABE，再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求解圆的周长.
【详解】设点A在底面BCD上的投影为H，连接AH，CH，
则 平面BCD，所以 为直线AC与平面BCD所成的角，
则 ，
因为 ，所以 ，所以三棱锥 为正四面体，
因为动点M在以BC为直径的球面上，且直线 平面MAB，
所以点M的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以BC为直径的球面所得的圆，
由正四面体的性质可得 ，如图所示，取CD的中点E，连接AE，BE，
则 ， ，AB、 平面ABE，
故 平面ABE，取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则 ，
由 平面ABE，故 平面ABE， ，
又 ，即F为以BC为直径的球的球心，则该球半径为2，
则点M的轨迹所形成的圆的半径为 ，
则其轨迹长为 .
故选：B．
6．（23-24高三下·江苏南京·期末）已知正方体 的棱长是2，点 是棱 的中点，Q是
正方体表面上的一动点， ，则动点Q的轨迹长度是（ ）
A．3 B．5 C． D．【答案】D
【分析】分别取 的中点 ，连接 ，先证明
六点共面，再证明 平面 ，从而可得点 的轨迹即为六边形 ，即
可得解.
【详解】如图所示，分别取 的中点 ，
连接 ，
因为 且 ，
所以四边形 时平行四边形，
所以 ，
因为 分别时 的中点，
所以 ，
所以 ，同理可得 ，
所以 六点共面，且六边形 为边长为 的正六边形，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
同理可得 ，
又 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ，
所以点 的轨迹即为六边形 ，其轨迹长度为 .故选：D.
7．（2024·山东·模拟预测）在直四棱柱 中， ， ，点 在侧
面 内，且 ，则点 轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，结合已知得 ，再结合平面几何知识即可求解.
【详解】
如图所示，过点 作 ，过点 作 ，
因为四棱柱 是直四棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为直线 平面 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为点 在侧面 内，
所以在平面直角坐标系中来研究点 轨迹的长度，如图所示：
点 的运动轨迹为以点 为圆心、半径为2的圆在正方形 内部的弧 ，
显然 ， ，所以 ，
所以 .
故选：C.
题型 05 距离、角度相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
①距离有关的轨迹问题的解题策略
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；
2.利用空间坐标计算求轨迹.
②角度有关的轨迹问题的解题策略
1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;
2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;
3.利用空间坐标系计算求轨迹.
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·云南保山·二模）已知正方体 ，Q为上底面 所在平面内的动点，当直线
与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C【分析】建系，利用空间向量结合线线夹角分析运算.
【详解】以点D为原点， ， ， 为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则 ，设 ，
可得 ， ，
因为直线 与 的所成角为 ，
则 ，化简可得 ，
所以点Q的轨迹为抛物线.
故选：C.
2．（24-25高三上·天津·期中）在棱长为2的正方体 中，点P是侧面正方形 内的动
点，点Q是正方形 的中心，且PQ与平面 所成角的正弦值是 ，则动点P的轨迹图形的
面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取正方形 的中心 ，利用线面垂直及线面角可求得 ，进而确定轨迹并求出面积.
【详解】在棱长为2的正方体 中，取正方形 的中心 ，连接 ，
由Q是正方形 的中心，得 平面 ，则 是PQ与平面 所成的角，
则 ，而 ，于是 ， ，
因此动点P的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，其面积为 .
故选：A3．（2024·四川宜宾·三模）在直三棱柱 中， ， ，点P在四边形
内（含边界）运动，当 时，点P的轨迹长度为 ，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 ，其中 ，从而根据题意列方程可求得 ，根据棱
柱表面积公式即可求解.
【详解】
设 ，因为 ，所以由棱柱的性质可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
点P在四边形 内（含边界）运动，当 时，
，这意味着点 是在以 为圆心 为半径的圆弧上运动，
该圆弧弧长是 圆周周长，由题意 ，解得 ，
所以该三棱柱的表面积为 .
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为4，点 平面 ，且 ，则点M的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到 平面 ， ，故 ，在平面 内建立平面
直角坐标系，设 ，表达出 ，根据 得到方程，求出点M的轨迹是半径为 的
圆，求出轨迹长度.
【详解】设E为 ， 的交点，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为点 平面 ，故 平面 ，
所以 ，所以 ，
因为正方体的棱长为4，所以 ，即 ，
在平面 内建立平面直角坐标系，如图，
则 ．设 ，则 ，
，
所以 ．
又 ，故 ，即 ，
整理得 ，即 ，
故点M的轨迹是半径为 的圆，
所以点M的轨迹长度为 ．
故选：C．
5．（2024·全国·模拟预测）如图，正方体 的棱长为3，点P是平面 内的动点，M，N
分别为 ， 的中点，若直线BP与MN所成的角为 ，且 ，则动点P的轨迹所围成的图形
的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ，得到 ，把BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，在正方
体 中，证得 平面 ，得到 ，设 与平面 的交点为G，连接
PG，结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，根据圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ， ，则N为 的中点，又M为 的中点，所以 ，
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，可得 ，又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，则 ．
设 与平面 的交点为G，连接PG，所以 ，
在直角 中， ，因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积为 .
故选：A.
6．（23-24高三上·广东东莞·期中）在棱长为1的正方体 中， 是 的中点，点 在侧
面 所在的平面上运动.现有下列命题：
①若点 总保持 ，则动点 的轨迹是直线；
②若点 到点A的距离为 ，则动点 的轨迹是圆；
③若点 到点 与点 的距离比为2：1，则动点 的轨迹是圆；
④若点 到直线 与直线 的距离比为2：1，则动点 的轨迹是椭圆.
其中真命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B【分析】证明 平面 ，判断①，由 平面 ，得 ，从而得 为定值，确定轨迹，
判断②，利用平面解析几何知识求解轨迹判断③，问题转化为平面 上的轨迹问题判断④．
【详解】①，如图正方体中， 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， 平面 ，∴ 平面 ，
而 平面 ，∴ ，同理 ，
又 平面 ，∴ 平面 ，
而 ，则 平面 ，又 在平面 上，所以 ，正确；
②， 平面 ， 平面 ，∴ ，
∴ ，
∴ 点轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，正确；
③，在平面 上，以 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，设 ，
由 得 ，
整理得 ，∴ 点轨迹是圆，正确；④， 平面 ，垂足为 ，因此 到直线 的距离就是 的长，
因此 点为平面 内到点 的距离等于到直线 的距离的点，轨迹为抛物线，④错误；
正确的有3个，
故选：B．
7．（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为 内部
及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得三棱锥为正三棱锥，即可得三棱锥的高，设点 在底面 上的射影为 ，即可得
，进而可得点 的轨迹及其长度.
【详解】
如图所示，
由 ， ，
可知三棱锥 为正三棱锥，
设 中点为 ，
则 ， ， ，
设点 在底面 上的射影为 ，
则 平面 ， ，
又 为 内部及边界上的动点， ，
所以 ，
所以点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆在 内部及边界上的部分，
如图所示，，
，
即 ， ，
所以点 的轨迹长度为 ，
故选：B.
8．（23-24高三下·吉林通化·期末）在三棱柱 中， 平面
是棱 上的动点，直线 与平面 所成角的最大值是 ，点
在底面 内，且 ，则点 的轨迹长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，则 为直线 与平面 所成角，从而得到 ，所以当 取最
小值时 取得最大值，求出 的最小值，即可求出 ，连接 ，由勾股定理求出 ，即可得到
点 在以 为圆心， 为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为 ，即可求出轨迹长.
【详解】连接 ，因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角，
所以 ，又直线 与平面 所成角的最大值是 ，
所以 ，当且仅当 取最小值时 取得最大值，
因为 ，所以当 时 取最小值，此时 ，
所以 ，
又点 在底面 内，且 ，连接 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，所以点 在以 为圆心， 为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为 ，
所以点 的轨迹长为 .
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出 的长度，再由勾股定理求出 ，即可确定 的轨
迹.
题型 06 翻折相关的轨迹问题
【解题规律·提分快招】
翻折有关的轨迹问题的解题策略
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）如图，已知在 中， ， 是 边上
一点，且 ，将 沿 进行翻折，使得点 与点 重合，若点 在平面 上的射影在
内部及边界上，则在翻折过程中，动点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点 作 ，得到动点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径且圆心角为 的圆弧，在
所在平面建立平面直角坐标系，求得直线 和 的方程，联立方程组，求得 ，得到
的长，进而求得 ，结合弧长公式，即可求解.【详解】如图（1）所示，过点 作 ，分别交 于点 ，
则动点 在平面 上的射影轨迹为线段 ，
设当 与 重合时，有 ；当 与 重合时，有 ，
则由 为定长，可知动点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径且圆心角为 的圆弧，如图
（1）所示，
在 所在平面建立如图（2）所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，直线 ，直线 ，
联立方程组 ，解得 ，即 ，则 ，
又由 ，可得 ，所以 ， ，
所以动点 的轨迹长度为 .
故选：A．
【点睛】方法点睛：求解立体几何中的动态问题与存在性问题的策略：
1、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出
动点的轨迹，有时也可以利用向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定
理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否
有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示
未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.
二、填空题
2．（23-24高三上·重庆·期中）如图，已知菱形 中， 为边 的中点，将
沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 为 的中点，则在翻折过
程中， 与 的夹角为 ，点 的轨迹的长度为 ．【答案】 /
【分析】
通过证明 面 得 ，故 与 的夹角为 ；设 是 的中点，可证 的轨迹与 的
轨迹相同，求得 的轨迹之后再求 的轨迹.
【详解】
由 为边 的中点知： 且 ，
易知 ，而 ， 面 ，故 面 ，
又 面 ，所以 ，
故 与 的夹角为 ．
设 是 的中点，又 为 的中点，则 且 ，
而 且 ，所以 且 ，
即 为平行四边形，故 且 ，
故 的轨迹与 的轨迹相同.
因为 面 且 ，所以 的轨迹为以 为圆心，1为半径的半圆，
设 的中点为 ，则 ， ，
又 面 ， 面 ，所以 面 ，
故 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，所以 的轨迹长度为 .
故答案为： ；
【点睛】
关键点点睛：①将 的轨迹转化为 的轨迹；
②若 的轨迹为圆，则 的中点 的轨迹也是圆.
一、单选题
1．（2024高三上·北京·学业考试）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体
交于同一顶点的三条棱的中点分别记为 ，如图1所示，然后截去以 为底面的正三棱锥，截后
几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体
的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）
A．108 B．162 C．180 D．189
【答案】C
【分析】正方体的体积减掉8个以 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.
【详解】设此半正多面体模型的体积为 ，
则 .
故选：C.
2．（24-25高三上·河南南阳·阶段练习）已知正方体 棱长为2，E为棱 的中点，则经过
三点的正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图，确定四边形 为经过 三点的正方体的截面，结合梯形的面积公式计算即可求
解.
【详解】正方体 中， 平面 ，则平面 与平面 的唯一交线与 平行.
取BC中点 ，连接 ，
则四边形 即为经过 三点的正方体的截面，
梯形 中， ，
则梯形的高为 ，
所以梯形 的面积为 ，
故选：A.
3．（23-24高三下·河南三门峡·期末）在正四棱柱 中， ， 分别是
的中点，则平面 截该四棱柱所得截面的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到五边形C QNMF即为平面 截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相
1
似得到各边长，相加得到截面周长.
【详解】直线 分别与 相交于点T,E，连接C T,C E，分别与 交于点 ，
1 1
连接FM,QN，故五边形C QNMF即为平面 截该四棱柱所得截面，
1
其中 分别是 的中点，故AM=AN=BT=BM=2，
BT 2 1 1
= = ，故BF= CC =2，由勾股定理得MF=√BM2+BF2=2√2，
CT 2+4 3 3 1
MN=√AM2+AN2=2√2，
同理可得QN=MF=2√2，
又D Q=B F=4，故 ，
1 1
故平面 截该四棱柱所得截面的周长为2√2×3+4√2×2=14√2.故选：A
4．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）在正四棱锥 中， ．用一个平行于底面的平
面去截该正四棱锥，得到几何体 ，则几何体 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可知，几何体 为正四棱台，求出正四棱台高，再由台体的体积公式即可得
出答案.
【详解】设正四棱锥 的侧棱长为 ，
连接 与 交于点 ，连接 ，则 平面 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以在 中， ，
解得： ，所以 ，
又因为用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体 ，
则几何体 为正四棱台，
连接 交于点 ，所以 为 的中点，
所以 ，所以几何体 的体积为：
.故选：C.
5．（23-24高三上·上海普陀·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体 中，E、F分别是棱
， 的中点，M为底面 上的动点，若直线 平面 ，则线段 的长度的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】找出点 在平面 内的轨迹，再根据过直线外一点垂线段最短，求出线段 的长度的最
小值即可.
【详解】设点 分别为棱 ， 的中点，连接 ，可证明点 ，
事实上，在底面正方形 中，可知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
在底面正方形 中，可知 且 ，又因为 且 ，所以 且 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
又因为 平面 ，所以平面 平面 ，
因为 平面 且 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 且点 平面 、 平面 ，
所以 ，即M点的轨迹为线段 ；
由于正方体棱长为2，故三角形 为等腰直角三角形，且 为斜边， ，
所以当点 为 的中点时，即 时，线段 的长度最小且最小值为 .
故选：A
6．（24-25高三上·重庆·期末）已知正方体 ，E，F，G分别为棱AB， ， 的中点，
若平面EFG截该正方体的截面面积为 ，点P为平面EFG上动点，则使 的点P轨迹的长度为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过平行可知截面为正六边形，然后截面面积可求得正方体边长.再结合正方体中 截面EFG
可得 ，进而可判断点P的轨迹是以O为圆心，半径为 的圆，轨迹长度即可求解.
【详解】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，
由截面面积为 及三角形面积公式可得 ，解得 ，∴正方体的棱长 .
因为 截面EFG，O为 的中点，也是截面EFG的中心，且 ，
，即 ，解得 .∴使得 的点P的轨迹是以O为圆心，半径为 的圆，所以轨迹长度为 .
故选：C.
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）如图， 在四棱锥 中， 底面 是边长为3的正方形，
平面 ，点 为底面上的动点， 到 的距离记为 ，若 ，则点 在底面正方形
内的轨迹的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图建立空间直角坐标系，由 ，可得点 在底面正方形内的轨迹方程，据此可得答案.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则 ，
设 ，其中 ，则 .
又因 平面 ，则 到 的距离等于 ，
则 ，其中 .
则点 在底面正方形内的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆在底面正方形内的弧.
如图，设圆弧与DC，DA交于E，F点，因 ，
则 ，则相应轨迹对应弧长为 .
故选：B8．（24-25高三上·北京·期末）在正方体 中，点Q为底面 （含边界）上的动点，满
足平面 平面 ，则点 的轨迹为（ ）
A．一段圆弧 B．一段抛物线
C．一段椭圆 D．一条线段
【答案】D
【分析】取 的中点M，连接 并延长交 的延长线于N，由条件得 平面 ， ，
所以 平面 ，从而平面 平面 ，结合题意可得 ，即可得解.
【详解】取 的中点M，连接 并延长交 的延长线于N，
由 ，可得 ，所以 ，所以A为 的中点．
连接 ，由正方体 可得 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ．
因为 ， ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
又因为点Q为底面 （含边界）上的动点，满足平面 平面 ，
所以 ，即点Q的轨迹是线段 ，
故选：D．9．（24-25高三上·湖北·阶段练习）点P是正方体 的表面及其围成的空间内一点，已知正
方体的棱长为2，若 ， 与平面 所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，由 易知 ，根据线面角的定义可得点 坐标满
足双曲线方程，进而可得结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则A(0,0,0)， ，所以 ， ，
故 ，即 ，所以点 在面 （四点均为所在边的中点），
过点 作 于点 ，易知 面 ，
即 ，所以 ，即 ，
化简得： ，即点P的轨迹的形状是双曲线，
故选：C.
10．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）在棱长为 的正方体 中， 分别为
的中点，点 在正方体表面上运动，且满足 ，点 轨迹的长度是（ ）.
A． B． C． D．【答案】A
【分析】建立空间直角坐标系设点 ，利用 以及 两点的位置关系可得点 的轨迹为
四边形 ，求出该矩形周长即可得结果.
【详解】在正方体 中，以 为坐标原点，分别以 为 轴， 轴， 轴建立空
间直角坐标系， ，
设 ，则 ，
，可得 ；
当 时， ，当 时， ，
取 ，
连结 ，
则 ，
四边形 为矩形，则 ，
即 ，又 和 为平面 中的两条相交直线，
平面 ，又 ，
为 的中点，则 平面 ，
为使 ，必有点 平面 ，
又点 在正方体表面上运动，所以点 的轨迹为四边形 ，
又 ，则点 的轨迹不是正方形，
则矩形 的周长为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间
直角坐标系可简化求解过程，得出点 的轨迹形状即可求得周长.二、多选题
11．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，若正方体 的棱长为2，点 是正方体
在侧面 上的一个动点（含边界），点 是棱 的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A．平面 截该正方体的截面面积为
B．若 ，则点 的轨迹是以 为半径的半圆弧
C．若 为 的中点，则三棱锥 的体积为1
D．若 ，则 的最大值为
【答案】ACD
【分析】对于A：取 的中点 ，可知平面 截该正方体的截面为矩形 ，即可得结果；对于
B：可得 ， ，即可得结果；对于C：利用转换定点法求三棱锥的体积；对于D：可证
平面 ，则点M的轨迹是线段 ，即可得结果.
【详解】对于选项A：取 的中点 ，连接 ，
因为点 是棱 的中点，则 ∥ ， ，
又因为 ∥ ， ，则 ∥ ， ，且 ，
由正方体的性质得 平面 ， 平面 ，所以 ，
可知平面 截该正方体的截面为矩形 ，其面积为 ，故A正确；
对于选项B：因为 平面 ， 平面 ，所以 .又 ，正方体的棱长为2，所以 .
所以点 的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，故B错误；
对于选项C：因为 ，且 ，
则 ，故C正确；
对于选项D，在面 上，过点P作 ，则点Q是 的中点.
连接 ，取 的中点N，连接 ， ， ， ，
则 ， .
因为 平面 ， 平面 ，所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点M的轨迹是线段 .
在 中， ， ， ，
所以 的最大值为3，故D正确；故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：对于D：根据垂直关系将线线垂直转化为线面垂直，可得 平面 ，进而
可得点M的轨迹.
12．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，正方体 的棱长为2， 分别是棱
上的中点，点 为平面 内的动点，则下列命题正确的有（ ）
A．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹是椭圆
B．若点 到直线 与到直线 的距离相等，则点 的轨迹是抛物线
C．若 与 所成的角为 ，则点 的轨迹是双曲线
D．以 为球心， 为半径的球面与平面 相交所得曲线的面积为
【答案】BCD
【分析】根据线线角可得 ，即可判断A；将问题转化为点 到定点 的距离与到定直线
的距离相等，得到点 的轨迹是抛物线即可判断B；根据点 的轨迹是平面 截圆锥面所得的图
形，又平面 与轴 平行，所以点 的轨迹是双曲线即可判断C；利用等体积法求出点 到平面
的距离，进而得到球面与平面 相交所得到的小圆的半径，求出曲线面积即可判断D．
【详解】对于A，由于 与 所成的角为 ，故 与 所成的角为 ，即 ,
由于 底面 ,只需要 ，故点 的轨迹是圆，故A错误．对于B，由 平面 ，知 ，即 是点 到 的距离，
在平面 中，点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等，
则点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，故B正确；
对于C，因为 与 所成的角为 ，则 或 ，
则点 在以 为顶点， 或 的反向延长线为轴、 为母线的圆锥面上，
又 在平面 内，所以点 的轨迹是平面 截圆锥面所得的图形，
又平面 与轴 平行，所以点 的轨迹是双曲线，故C正确．
对于D，设点 到平面 的距离为 ，
因为正方体 的棱长为2， ， 分别是棱 ， 上的中点，
所以 ， ， ，
故 ，故 ，
，
由 ，得 ，又球的半径 ，
所以球面与平面 相交所得到的小圆的半径 ，
所以面积为 ，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及
了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过
计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，
即线段型，平面型，二次曲线型，球型.
13．（24-25高三上·吉林松原·阶段练习）如图，棱长为2的正方体 中， 为 的中点，
动点 在平面 内的轨迹为曲线 .下列结论正确的是（ ）A．当 时， 是一个点
B．当 平面 时， 是一条线段
C．当直线 与平面 所成的角为 时， 是圆
D．当直线 与平面 所成的角为 时， 是双曲线
【答案】ACD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求解判断A；利用线面关系的向量表示求出动点
的轨迹方程判断B；利用线面角的向量公式列式求得动点轨迹判断CD.
【详解】如图建立空间直角坐标系，因为正方形的棱长为2，
则有 ，
又 为 的中点，所以 ，设 ，
选项A，因为 ，又 ，
所以 ，即 ，
也即 ，
所以 ，此时，曲线 为点 ，故A正确；
选项B，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，令 得 ， ，
当 平面 时， ，即 ，动点 在平面 内的轨迹为一条直线
（ 是连接 和 中点的直线），故B错误；
选项C，易知平面 的一个法向量为 ，
所以当直线 与平面 所成的角为 时，
有 ，化简得 ，此时曲线 为 ，故C正确；
选项D，易知平面 的一个法向量为 ，
所以当直线 与平面 所成的角为 时，
有 ，化简得 ，
此时曲线 为 ，故D正确.
故选：ACD.
14．（23-24高三下·山东日照·期末）已知正方体 的棱长为1，M，P分别为 ，AB的中
点，点N满足 ，设平面 截正方体所得截面为 ，其面积为S，设该截面将正方
体分成两部分的体积分别为 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A．截面 可能为五边形 B．当 时，
C．存在 ，使得 D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】作图说明判断A；由 时截面形状并求出面积判断B；由 时截面形状，结合对称性判断
C；由 从0变化到1的截面变化情况，得到 的变化情况，求出 和 的两部分体积判断D.
【详解】对于A，当 ，即点 与 重合时，直线 与 的延长线分别交于点 ，
连接 分别交 于点 ，连接 ，得截面 ，截面 为五边形，A正确；
对于B，当 时，点 是 的中点，此时截面 为正六边形，
其边长为 ，则截面 的面积 ，B错误；对于C，当 时，由对称性知，截面 分成的两部分是全等的，则体积相等，C正确；
对于D，当 ，即点 与 重合时，连接 并延长交 延长线于 ，连接 ，
显然 是 的中点，则 ≌ ， ，点 共线，
连接 ，此时截面 为梯形 ，当 从0变化到1时，截面从四边形 变成五边形 ，
由选项C知，截面 将正方体分成的两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，
因此 取最大值时对应的 或 ，当 时，记 为几何体 的体积，
则 ， ， ，
当 时，记 为几何体 的体积，在选项A中， ，
则 ，即 ， ，
， ，所以 的最大值为 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】思路点睛：求解体积差的绝对值，利用特殊到一般的思想，先考虑点 为 的中点时的截面和
分割成的几何体体积的关系，再考虑点 分别与点 ，点 重合时的截面形状以及分割成的两部分的体
积，总结出体积变化规律即可.
15．（23-24高三下·浙江·开学考试）如图，已知棱长为2的正方体 ，点 是棱 的中点，
过点 作正方体 的截面，关于下列判断正确的是（ ）A．截面的形状可能是正三角形
B．截面的形状可能是直角梯形
C．此截面可以将正方体体积分成1：3
D．若截面的形状是六边形，则其周长为定值
【答案】AC
【分析】对于A：取相应棱 的中点分析判断；对于B：假设成立，结合面面平行的性质以及线面垂
直分析判断；对于C：Q为所在棱 中点，结合棱柱的体积分析判断；对于D：设 为 的中点，
，结合几何性质求周长，进而分析判断.
【详解】假设正方体的棱长为2.
对于选项A：如图，M，N分别为所在棱中点，
可知 ，即截面的形状是正三角形，故A正确；
对于选项B：由面面平行的性质可知： ∥ ，
如果为直角梯形，例如 ，
由正方体的性质可知： ，可知 平面 ，
又因为 平面 ，则 ∥ 或 重合，
由图可知不成立，即截面的形状不可能是直角梯形，故B错误；对于选项C： Q为所在棱中点，如图，
则正方体的体积为8，三棱柱 的体积为 ，
所以截面将正方体分成 ，故C正确；
对于选项D：如图所示，假设 为 的中点， ，
则 ，
，
可得 ，
则六边形的周长为 ，
显然周长与 有关，即六边形的周长不是定值，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于选项D：取特殊位置，假设 为 的中点， ，结合几何形
状求周长，进而分析判断.
16．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）如图，已知矩形 为 中点， 为线段
（端点除外）上某一点．沿直线 沿 翻折成 ，则下列结论正确的是（ ）A．翻折过程中，动点 在圆弧上运动
B．翻折过程中，动点 在平面 的射影的轨迹为一段圆弧
C．翻折过程中，二面角 的平面角记为 ，直线 与平面 所成角记为 ，则 ．
D．当平面 平面 时，在平面 内过点 作 为垂足，则 的范围为
【答案】AD
【分析】A选项，由题可知点P为以D为顶点的圆锥底面圆周上的点，即可判断选项正误；B选项，如图，
可证动点 在平面 的射影在过A点且与DF垂直的线段上，即可判断选项正误；C选项，结合B选
项分析，可知 与 为同一等腰三角形的顶角和底角，即可判断选项正误；D选项，由题可得K点为 在
平面 的射影轨迹与DC交点，如图建立平面直角坐标系，表示出K点坐标，即可判断选项正误.
【详解】A选项，注意到翻折过程中，点P到D点距离不变，
则P为以D为顶点，DP为母线的圆锥底面圆周上的点，
即动点 在圆弧上运动，故A正确；
B选项，如图，作 ，连接PH，则 ，
因 平面PHA，则 平面PHA.
作 ，又 平面PHA，则 PI，
又 ， 平面 ，则 平面 .
则在翻折过程中，动点 在平面 的射影在过A点且与DF垂直的直线上，
即动点 在平面 的射影的轨迹为一段线段，故B错误；
C选项，由B选项分析可知，二面角 的平面角为 ，
直线 与平面 所成角为 ，
则可知 与 为同一等腰三角形的顶角和底角，则 .
则当 时， ，故C错误；
D选项，结合B选项分析，当平面 平面 时，点P在线段DC正上方.
则K点为 在平面 的射影轨迹与DC交点，
即为DF过A点垂线与DC交点.
如图，建立以D为原点的平面直角坐标系，则 .
又由题设 ，其中 ，则 ，因 ，则 ，令 ，
则 ，故D正确.
故选：AD
三、填空题
17．（23-24高三下·安徽·期末）在正方体 中， 分别是 的中点， ，则
过点 的平面截该正方体所得的截面周长为 ．
【答案】
【分析】过 且过 的平面与面 的交线 平行于 即为 ，由此能求出过点 的平面截
该正方体所得的截面 的周长．
【详解】 正方体 中， 分别是棱 的中点，
．
平面 平面 ，
平面 ，
由正方体的棱长为4，
所以截面是以 为腰， 为上底， 为下底的等腰梯形，
故周长为 ．
故答案为： .
18．（24-25高三上·天津河北·阶段练习）已知棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为 ; 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，Q是
平面ABCD 内一动点，若A₁Q与A₁D所成角为 则动点Q 的轨迹是 (写曲线名称)
【答案】 抛物线
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，再利用点到线的距离公式即可求得结果；利用向量数量积的定义
即可得到方程，进而得到轨迹是什么曲线.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，则 ,
又因为 ，所以 .
因动点Q是平面ABCD 内一点，若A₁Q与A₁D所成角为 设 ， , ,
又
即 ，
整理得 ，所以动点Q 的轨迹是抛物线.
故答案为： ，抛物线.
19．（2024高三·全国·专题练习）已知在直三棱柱 中， ， ， ，
， 分别是 ， 上的点，且 ，现沿平面 将该三棱柱截成两部分，则几何体
的体积为 ．
【答案】96
【分析】由勾股定理和已知比例式确定 ， 的位置，再分别在 ， 上取点 ，使得，连接 ，由三棱柱和四棱锥的体积公式计算即可；
【详解】由题意知， ， ， ，则 ，
由 ，且 ，所以 ， ， ，
如图，分别在 ， 上取点 ，使得 ，连接 ，
则几何体 可看作由直三棱柱 和四棱锥 组成，
因为 ， ，
故所求几何体体积为 ．
故答案为：96.
20．（23-24高三下·河南·期末）如图所示，在直三棱柱 中， ，
平面 过棱 的中点 且与 平行，若 截该三棱柱所得的截面为等腰梯形，则该截面的面积为
．
【答案】
【分析】根据中点可得线线平行，即可求证平面 即为平面 ，即可利用三角形的边角关系求解长度
求解.
【详解】在直三棱柱 中， ，
即底面 为直角三角形，且斜边 ，
取 的中点 的中点 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 ，即 四点共面，由 平面 平面 ，所以 平面 ，故平面 即为平面 ，
取 的中点 的中点 ，连接 ，则 为等腰梯形 的高，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为：
21．（24-25高三上·上海·期末）已知正方体 的棱长为 ， ， 为体对角线 的三等
分点，动点 在三角形 内，且三角形 的面积 ，则点 的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】由正方体可证 平面 ，及 ，再由三角形面积可知点 到 的距离，即可判断点
轨迹，即可得解.
【详解】
由连接 ，
由正方体可知 ， ， ， ，
且 ， ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，
，
同理 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
即 平面 ，且 ，
设直线 平面 于点 ，
则 ，且 为三角形 中心，
又 ，则 ，
所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
在 中， ，
又 ，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹为圆 上的三段弧，且每段弧所对的圆心角为 ，
则轨迹的长度为 ，
故答案为： .
22．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）正方体 的棱长为5，点 在棱 上，且
，点 是正方体下底面 内（含边界）的动点，且动点 到直线 的距离与点 到点 的
距离的平方差为25，则动点 到 点的最小值是 .
【答案】
【分析】根据动点P到直线 的距离与点P到点M的距离的平方差为25，得到 ，发现点P的
轨迹是抛物线，然后建立平面直角坐标系求解即可.
【详解】如图所示，作 ，Q为垂足，则易知 平面 ，
过点Q作 ，交 于 ，则易知 平面 ，
所以 即为P到直线 的距离．
因为 ，且 ，所以 ．
所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．
如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是 ，点 ，
设 ，所以 ，
所以当 ， 取得最小值 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：根据已知及抛物线定义得到点P的轨迹方程为关键.
23．（23-24高三上·四川内江·期中）如图，已知菱形 中， ， ， 为边 的中
点，将 沿 翻折成 （点 位于平面 上方），连接 和 ， 为 的中点，则
在翻折过程中，点 的轨迹的长度为 .
【答案】【分析】设 是 的中点，可证 的轨迹与 的轨迹相同，求得 的轨迹之后再求 的轨迹.
【详解】由 ， ， 为边 的中点
设 是 的中点，又 为 的中点，则 且 ，
而 且 ，所以 且 ，
即 为平行四边形，故 且 ，
故 的轨迹与 的轨迹相同.
因为 面 ，且 ，所以 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
设 的中点为O，则 ， ，
又 面 ， 面 ，所以 面 ，
故 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
所以 的轨迹长度为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：判断点的轨迹，从圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质出发求解.
