文档内容
考点 17 导数与函数的单调性（3 种核心题型+基础保分练
+综合提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调
性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大
小，求参数的取值范围等简单应用
【知识点】
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上________
函数y＝f(x)在区间(a，
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上________
b)上可导
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是________
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的 ；
第2步，求出导数f′(x)的 ；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的
正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
常用结论
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，
b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在
(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解
【核心题型】
题型一 不含参函数的单调性
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不
能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递
增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则当 时， 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时
，且 .则 的单调增区间为 .
【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值．
题型二 含参数的函数的单调性
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断
点
【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数
（ ）的大致图象可能为（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2024·天津·二模）已知 ，
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数 存在极大值，且极大值为1，求证： ．
【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若函数 和 的图象在 上有交点，求实数 的
取值范围．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．（参考数据： ）
题型三 函数单调性的应用
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解
集
命题点1 比较大小或解不等式
【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数 对任意的 都有 恒成立，
则 与 的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较大小
【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数 .
(1)证明：当 时， 对 恒成立.
(2)若存在 ，使得 ，比较 与 的大小，并说明理由.
【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，比较 与 的大小；
(2)若函数 ，且 ，证明： .
命题点2 根据函数的单调性求参数
【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的 ， ，且 ，
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设 ，若函数 在
递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，下列命
题正确的是（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 ，则 在 上的最小值为0
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是 ．
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小
值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设 在 上为增函数，则实数
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南楚雄·一模）若 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若有且只
有两个整数 使得 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．函数 是偶函数 B． 是曲线 的切线
C．存在正数 在 不单调 D．对任意实数 ，
7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间 上是减函数的是
（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
8．（2024·云南大理·模拟预测）函数 的最大值为 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若方程 有三个不同的
实根，则实数 的取值范围是 .四、解答题
10．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 的最大值.
11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围.
综合提升练
一、单选题
1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：
①函数 恰有两个零点；
②若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是 ；
③若函数 满足 ，则 ；④若关于x的方程 有解，则实数m的取值范围是 .
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
2．（2023·江西·模拟预测）已知函数 的大致图象如图所示，则
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，
则a的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， 为 的导函数，
，则（ ）
A． 的极大值为 ，无极小值
B． 的极小值为 ，无极大值
C． 的极大值为 ，无极小值
D． 的极小值为 ，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则它们之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数 有两个大于1的零点，则 的取
值范围可以是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A．函数的极大值点为 B．函数的极小值点为
C．函数在 上单调递增 D．函数在 上单调递减
10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，其中 ，下列选项中，
能使函数 有且仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，11．（2023·山东泰安·一模）已知函数 有两个极值点 ，
，则（ ）
A． B． C． D． ，
三、填空题
12．（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， 的单调递增区间为 ．
13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数 ，对于任意 ，都有
，则实数 的取值范围为 .
14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 恰有两个零
点，则 .
四、解答题
15．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 ， 时，求 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值 ，求曲线 在点 处的切线方程．
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
18．（2024·青海·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有3个不同的零点，求 的取值范围．
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 在区间 上不是单调函数，求 的取值范围．
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 且 在区间
上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃兰州·三模）函数 ，若 在 是减函数，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 为 上的单调函数，则B．若 时， 在 上有最小值，无最大值
C．若 为奇函数，则
D．当 时， 在 处的切线方程为
6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，且 ，则a，b，
c的大小关系为 ．（用“ ”连接）
8．（2023·安徽·二模）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值
范围为 ．
四、解答题
9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数 ，当 时， 取得极
值 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最值．
10．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，函数
在区间 上为增函数．(1)确定 的值，求 时曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 在 上是单调函数，求实数 的取值范围．
11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，数列 满足 ，
①求证： ；
②求证： ．
