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专题 15 角
【思维导图】
◎考点题型1 角的概念
（1定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两
条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2
所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止
位置OB是角的终边．
备注：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，
所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
例．（2022·山东聊城·七年级阶段练习）如图，下列说法错误的是（ ）A． 也可用 来表示
B． 与 是同一个角
C．图中共有三个角： ， ，
D． 与 是同一个角
【答案】A
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要
写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母
究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，
∠2…）表示进行分析即可．
【详解】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，不可用∠O来表示，说法错误；
B、∠β与∠BOC是同一个角，说法正确；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，说法正确；
D、∠1与∠AOB是同一个角，说法正确；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
变式1．（2022·河南信阳·七年级期末）钟表上，下午3：40时时针和分针之间形成的角（小于平角）的度
数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°
【答案】C
【分析】根据题意可得：时针在钟面上每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：时针在钟面上每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上3：40，时针与分针的夹角可以看成6°×40-3×30°-0.5°×40=130°，
故选：C．
【点睛】本题考查了钟表时针与分针的夹角．熟练掌握时针在钟面上每小时转30°，每分钟转0.5°，分针
每分钟转6°是解题的关键．变式2．（2022·山东威海·七年级期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠B与∠CBA表示同一个角 B．∠α可以用∠O表示
C．∠ACO是∠ACB与∠OCB的差 D．∠1可以用∠ACO表示
【答案】B
【分析】直接根据角的表示方法以及角的概念：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角逐一判断即可．
【详解】解：A、∠B与∠CBA表示同一个角，故A说法正确，不符合题意；
B、点O处有三个角，∠ 可以用∠BOC表示，故B说法不正确，符合题意；
C、∠ACO是∠ACB与∠OCB的差，故C说法正确，不符合题意；
D、∠1可以用∠ACO表示，故D说法正确，不符合题意；．
故选：B．
【点睛】此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
变式3．（2022·广西贺州·七年级期末）如图，从 的顶点引出两条射线OC，OD，图中的角共有
（ ）
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】按一定的规律数角的个数即可．
【详解】解：以OA 为一边的角有： ，
以OD为一边的角有： ，
以OC为一边的角有： ，
所以，图中共有6个角，故选：C．
【点睛】本题通过数角的个数，巩固角的概念，难度适中．
◎考点题型2 角的表示方法
角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
图1
备注：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字
母．
例．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，下列各个图形中，能用 ， ， 三种方法表示同一个
角的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法判断即可．
【详解】解：A、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
B、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
C、图形中的∠1，能用∠AOB，∠O表示，本选项符合题意；
D、图形中的∠1，能用∠AOB表示，但不能用∠O表示，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是角的表示方法，注意：唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母
来记这个角．
变式1．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，下列说法不正确的是（ ）A．∠BAC和∠DAE是同一个角B．∠ABC和∠ACB不是同一个角
C．∠ABC可以用∠B表示D．∠AED可以用∠E表示
【答案】D
【分析】根据角的表示方法，对四种说法逐一甄别．
【详解】解：A、∠BAC和∠DAE两边相同，顶点相同，故是同一个角，选项正确，不符合题意；
B、由∠ABC和∠ACB顶点不同即可判断二者并非同一角，选项正确，不符合题意；
、点 处只有一个角，故 可以用 表示，选项正确，不符合题意；
D、由于以点 为顶点的角有三个，故不可用 表示，选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了角的表示方法，解题的关键是要明确，在同一顶点处有多个角时，只能用三个字母表
示．
变式2．（2021·河北承德·七年级期末）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A． 与 是同一个角B． 也可用 来表示
C．图中共有三个角： ， ， D． 与 是同一个角
【答案】B
【分析】根据角的表示方法依次判断．
【详解】解：A、 与 是同一个角，故该项不符合题意；
B、 也不可用 来表示，故该项符合题意；
C、图中共有三个角： ， ， ，故该项不符合题意；
D、 与 是同一个角，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了角的表示方法：一个角可以用三个大写字母，一个大写字母，一个希腊字母或一个数
字表示，正确掌握角的几种表示方法的特点是解题的关键．变式3．（2022·安徽亳州·七年级期末）下列角中，能用 ， ， 三种方法表示同一个角的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，据此分析即可
【详解】根据角的表示方法，顶点只存在一个角时，可以用一个字母表示角，
A、B、D选项中，点 为顶点的角存在多个，故不符合题意
故选C
【点睛】本题考查了角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键．角的表示方法有三种：（1）用三
个字母及符号“∠”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一
个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总
之表示要明确，不能使人产生误解．
◎考点题型3 角的分类
例．（2022·山东枣庄·七年级期末）下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）连接两点间的线段叫做这两点间的距离；
（3）射线 与射线 是同一条射线；
（4）射线比直线小一半；
（5）平角是直线．
其中正确的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】C
【分析】根据直线、射线、角、两点间的距离的定义和性质逐个判断即可得．
【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线；原说法正确；
（2）连接两点间的线段的长度叫做这两点间的距离；原说法错误；
（3）射线 与射线 的端点不同，方向也不同，所以它们不是同一条射线；原说法错误；
（4）射线和直线都是无限长，不可度量；原说法错误；
（5）平角是角，与直线不是同一概念；原说法错误；
综上，说法正确的个数为1个，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线、射线、角、两点间的距离，熟练掌握这些概念以及它们之间的联系与区别是解
题关键．
变式1．（2022·湖南娄底·七年级期末）在一幅七巧板中，有我们学过的（ ）
A．8个锐角，6个直角，2个钝角 B．12个锐角，9个直角，2个钝角
C．8个锐角，10个直角，2个钝角 D．6个锐角，8个直角，2个钝角
【答案】B
【分析】根据一副七巧板图形，查出锐角，直角和钝角的个数即可．
【详解】5个等腰直角三角形，5个直角，10个锐角，1个正方形，4个直角，1个平行四边形，2个钝角，
2个锐角，
在一幅七巧板中根据12个锐角，9个直角，2个钝角．
故选择B．
【点睛】本题考查角的分类，平面图形，掌握角的分类，平面图形是解题关键．
变式2．（2020·重庆·七年级阶段练习）如图，直线 与直线CD交于点O， 于点O，则 与
的关系是（ ）A．互为对顶角B．相等C．互补D．互余
【答案】D
【分析】根据垂线定义及平角定义可得 ，再根据两角互余的定义即可解答．
【详解】解： ，
，
又 ，
，即 与 互为余角．
故选D．
【点睛】本题考查了垂线定义、平角定义、两角互余定义，熟练掌握两角互余的定义是解答的关键．
变式3．（2021·江苏·七年级专题练习）将一个直角分成1:2:3的三个角，那么这三个角中，最大的角与最
小的角相差（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【分析】将直角按照1：2：3进行分配，那么最大角和最小分别占直角的 和 ，然后列式计
算即可．
【详解】最大角为： ，
最小角为： ，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角的概念、按比例分配，熟练掌握角的计算是解题的关键．
◎考点题型4 方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线 OA的方向是北偏东60°；射线OB的
方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．备注：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点
的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
例．（2021·河北承德·七年级期末）如图，∠AOB=34.3°，点A位于点O的（ ）
A．南偏东34.3°方向上B．北偏西55°42′方向上
C．南偏东55°42′方向上D．北偏西55°18′方向上
【答案】C
【分析】结合图形，根据方位角的意义，求得 的余角即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠AOB=34.3°，
∴ ．
∴点A位于点O的北偏西55°42′方向上．
故选C．
【点睛】本题考查了方位角的定义，求一个角的余角，角度值的转化，掌握方位角的定义是解题的关键．
变式1．（2020·江苏·苏州市吴江区实验初级中学七年级开学考试）船的停靠点在指定地点的南偏西 的
方向上，下面选项中，正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据地图上的方向，上北下南，左西右东，以指定地点的位置为观察点，停靠点在指定地点的南
偏西40°的方向上，也就是在左下方，与下方的夹角为40°，由此可知B图符合．
【详解】由题意得：
故选：B．
【点睛】此题考查了利用方向与角度在平面图中确定物体位置的方法的灵活应用．
变式2．（2022·湖南娄底·七年级期末）如图，点B在点A北偏东60°的方向，点C在点B北偏西30°的方
向，且 ，则点C到直线AB的距离是（ ）
A．6cm B．12cm C．3cm D．24cm
【答案】B
【分析】根据方向角的概念及点到直线的距离定义即可求解．
【详解】解：延长AB，如图所示：∵点B在点A北偏东60°的方向，点C在点B北偏西30°的方向，
∴∠BAE=60°，∠CBF=30°，
又∵ ,
∴∠DBF=∠BAE=60°，
∴∠DBC=∠DBF+∠CBF=30°+60°=90°，
∴BC⊥AB，
∴点C到直线AB的距离为BC=12cm，
故选B．
【点睛】本题考查了方向角及点到直线的距离、平行线的性质，熟练掌握方向角及点到直线的距离的定义
是解题的关键．
变式3．（2022·山东聊城·七年级期末）如图，点A位于点O的（ ）
A．北偏西 方向上B．南偏西 方向上C．北偏西 方向上 D．南偏西 方向上
【答案】A
【分析】求出图中25度角的余角，根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断．
【详解】解：
如图， ，
因此点A位于点O的北偏西65°的方向上．
故选A．
【点睛】本题主要考查了方向角，结合图形，正确认识方位角是解决此类问题的关键．方向角是表示方向
的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．◎考点题型5 钟面角
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转
30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
例．（2022·山东青岛·七年级期末）下午3：40，时针和分针的夹角是（ ）
A．130° B．135° C．140° D．145°
【答案】A
【分析】根据时针与分针相距的格数乘以每格的度数，可得答案．
【详解】解：钟面被12个数字分成了12个大格，每个大格的度数为 ，
下午3：40，分针指向数字8，时针指向3和4之间的 处，
时针和分针相距的格数是 ，
此时钟面上的时针与分针的夹角是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查钟表指针间角度的计算，解题的关键是计算出时针和分针相距的格数．
变式1．（2022·辽宁葫芦岛·七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时
针与分针所夹的的角为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： 6×30°- ×30°=180°-15°=165°，
∴时针与分针所夹的的角为165°，
故选：B．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
变式2．（2022·山东滨州·七年级期末）2点半时，时针与分针所成的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：3×30°＋ ×30°＝105°，
∴2点半时，时针与分针所成的夹角为105°，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键．
变式3．（2022·山西阳泉·七年级期末）小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此
时时钟的分针与时针所成角的度数是（ ）
A．90° B．92.5° C．97.5° D．102.5°
【答案】C
【分析】根据钟面平均分为12份，每份的圆心角度数为30°，再根据时针和分钟相距的份数乘以30°即可
求解．
【详解】解：6点15分时，时针和分钟相距的份数是3+ = ，
∴6点15分时时钟的分针与时针所成角的度数是 ×30°=97.5°，
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角，确定时针和分钟相距的份数是解答的关键．
◎考点题型6 角的度量
角度制及其换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°
1 1
的60为1分，记作“1′”，1′的60为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫
做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
备注：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，
从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进
位．
例．（2022·陕西咸阳·七年级阶段练习）若 ，则 用度、分、秒表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用度分秒之间的换算关系进行计算即可求解．
【详解】
故选D
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握 是关键．
变式1．（2022·河北·石家庄市栾城区教育局教研室七年级期末）下面等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据角度制的换算和运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、 ，计算错误，不符合题意；
B、 ，计算错误，不符合题意；
C、 ，计算错误，不符合题意；
D、 ，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了角度制的换算和角度制的四则运算，熟知角度制的进率以及相关计算法则是解题
的关键．
变式2．（2022·河北唐山·七年级期末）用度、分、秒表示20.21°为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可．
【详解】因为 ，
所以20.21°=故选：C
【点睛】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60．
变式3．（2022·安徽铜陵·七年级期末）下列关系式正确的是 （ ）
A．45.5°=45°5′ B．45.5°=45°50′ C．45.5°<45°5′ D．45.5°>45°5′
【答案】D
【分析】根据度分秒的进制进行计算即可判断．
【详解】解：∵1°＝60′，
∴0.5°＝30′，
∴45.5°＝45°30′，
A、45.5°≠45°5′，故A不符合题意；
B、45.5°≠45°50′，故B不符合题意；
C、45.5°＞45°5′，故C不符合题意；
D、45.5°＞45°5′，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
◎考点题型7：角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：
∠1＝∠AOB-∠2．
备注：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度
尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，
120°，135°，150°，165°的角．
备注：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
例．（2021·全国·七年级专题练习）下列度分秒运算中，正确的是（ ）
A．48°39′+67°31′＝115°10′
B．90°﹣70°39′＝20°21′
C．21°17′×5＝185°5′
D．180°÷7＝25°43′（精确到分）【点睛】本题主要考查【答案】D
【分析】逐项计算即可判定．
【详解】解： ，故A选项错误；
，故B选项错误；
，故C选项错误；
，故D选项正确．
故选：D．
度分秒的换算，掌握 是解题的关键．
变式1．（2018·全国·七年级单元测试）有两个角，它们的比为 ，它们的差为 ，则这两个角的关系
是（ ）
A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】求出两个角的度数，即可得出两个角的关系.
【详解】∵72°÷（7-3）=18°，
∴7×18°=126°，3×18°=54°，
∵126°+54°=180°，
∴这两个角的关系是互为补角.
故选B.
【点睛】本题考查了角的计算及补角的定义，如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角.
变式2．（2016·湖北恩施·七年级期末）计算15°23′×4的结果是（ ）
A．60°92′ B．60.92° C．60°32′ D．61°32′
【答案】D
【详解】试题分析：根据度分秒的乘法，先从小单位算起，满60时向上一单位近1，可得答案．
解：15°23′×4=60°92′=61°32′，
故选D．
考点：度分秒的换算．
变式3．（2014·全国·七年级课时练习）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 （α+β）的结果
依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B
【详解】∵ 大于90°小于180°的角叫做钝角，
∴ 90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴ 30°＜ （α+β）＜60°，
∴ 满足题意的角只有48°，故选B．
◎考点题型8 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是
1
2
∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC = ∠AOB．
例．（2022·辽宁沈阳·七年级期中）如图， ，EF平分 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，可得到∠GEC的度数，进而可得到其邻补角的度数，根据EF平分 可
得到∠2的度数．
【详解】解：∵ ，
∴∠1=∠GEC=50°，
∴∠GED=180°－∠GEC= 130°，
∵EF平分
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，能够根据图形找到相等的角是解决本题的关键 ．变式1．（2022·山东烟台·七年级期中）如图，直线 ，直线c分别交a，b于点A，C， 的平分线
交直线b于点D，若 ，则 的度数是（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
【答案】A
【分析】直接利用角平分线的定义及平行线的性质得出 ，即可得出答案．
【详解】解： 的平分线交直线 于点 ，
，
直线 ， ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确得出 ．
变式2．（2022·山东临沂·七年级期中）如图，在 中，∠ABC =36°，CB平分∠DCE，则∠AEC
的度数为（ ）
A．36° B．52° C．72° D．108°
【答案】C
【分析】由两直线平行，内错角相等得到∠BCD=36°，由角平分线的定义得到∠DCE=2∠BCD=72°，最后
根据两直线平行，内错角相等即可得解．
【详解】解：∵AB CD，∠ABC=36°，
∴∠BCD=∠ABC=36°，
∵CB平分∠DCE，
∴∠DCE=2∠BCD=72°，
∵AB CD，∴∠AEC=∠DCE=72°．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
变式3．（2022·云南昭通·七年级期中）如图，已知直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOE，
，则∠BOE的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据邻补角定义求出 ，再根据角平分线的定义求出 ，然后根据对顶角相等解答即可．
【详解】 ，
，
由OC平分∠AOE，
，
故选：A．
【点睛】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记概念与性质并准确识图是关键．
◎考点题型9 余角和补角
1、余角和补角定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是
另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
2、余角和补角性质：（1）等角的余角相等．（2）等角的补角相等．
备注：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐
角的补角比它的余角大90°。
例．（2022·山东济宁·七年级期中）如图，把一块含 直角三角板的直角面点放在直尺的一边上，如果，那么 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用两直线平行，得到同旁内角互补，再由邻补角定义及互余性质得到∠1与∠2互余，由∠1的
度数求出∠2的度数即可．
【详解】解：∵a b，
∴∠2=∠3，
∵∠1=38°，∠3+∠1=90°，
∵∠3=52°，
∴∠2=∠3=52°，
故选B．
【点睛】此题考查了平行线的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
变式1．（2022·黑龙江·逊克县教师进修学校七年级期末）如图，直线 ，c是截线．若∠2＝5∠1，则
∠1的余角的度数为（ ）
A．60° B．30° C．40° D．150°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，可得∠2+∠1=180°，再结合已知可求出∠1的度数，然后根据余角的定义进行计算即可解答．
【详解】解：∵a b，
∴∠2+∠1=180°，
∵∠2=5∠1，
∴5∠1+∠1=180°，
∴∠1=30°，
∴∠1的余角=90°-30°=60°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，和等于90度的两角互为余角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
变式2．（2022·贵州六盘水·七年级期中）已知 ，则 的补角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】两个角的和为 ，则这两个角互为补角，根据互为补角的含义列式计算即可．
【详解】解： ∠α＝54°19′，
∠α的补角为： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是互补的含义，熟练掌握“两个角的和为 ，则这两个角互为补角”，是解题的关
键．
变式3．（2022·陕西咸阳·七年级期中）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足
（ ）
A．∠1﹣∠3＝90° B．∠1+∠3＝90° C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠3
【答案】A
【分析】根据∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，先把∠1、∠3都用∠2来表示，再进行运算．
【详解】解：∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠1，
又∵∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3，
∴180°﹣∠1＝90°﹣∠3，
∴∠1﹣∠3＝90°．
故选：A．
【点睛】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
◎考点题型10 角的比较：
角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得
∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
例．（2022·河南驻马店·七年级期末）在 的内部任取一点C，作射线 ，则一定存在（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边；
∴一定存在∠AOB＞∠AOC．
故选：A．
【点睛】本题考查角的大小比较，解答的关键是明确题意，得出角之间的关系．
变式1．（2022·河南驻马店·七年级期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正
确的是（ ）
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【答案】B
【分析】根据角的比较大小的方法进行比较即可．
【详解】解：∵三角板是等腰直角三角形，每个锐角为45°，根据三角板和角的比较大小的方法可得：∠B＜45°＜∠A，
则 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了角的比较大小，熟练掌握方法是解题的关键．
变式2．（2022·北京石景山·七年级期末）图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点O作EO⊥OD，根据OD是网格正方形的对角线，得出∠DOB=45°，根据∠EOD=90°，得出
∠EOA=180°-∠EOD-∠2=45°，可得∠1＜∠EOA=∠2，对各选项进行一一分析判定即可 ．
【详解】解：过点O作EO⊥OD，
∵OD是网格正方形的对角线，
∴∠DOB=45°，
∴∠EOD=90°，
∴∠EOA=180°-∠EOD-∠2=45°，
∵OC在∠EOA内部，
∴∠1＜∠EOA=∠2，
∴ 不成立，选项A不正确，选项B正确；
∴∠1+∠2＜∠EOA+∠2=90°，故选项C不正确；选项D不正确；
故选项B．
【点睛】本题考查网格与角的关系，网格正方形的性质，对角线定义，两直线垂直，角的比较，余角补角，
掌握网格与角的关系，网格正方形的性质，对角线定义，两直线垂直，角的比较，余角补角是解题关键．
变式3．（2020·河北保定·七年级期末）已知 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将各角的单位统一，继而可得出答案．
【详解】解：∠1=25°24′=1524′，
∠2=25.24°=1514.4′，
∴∠1=∠3，∠2＜∠3，∠1＞∠2，
故选B．
【点睛】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．
◎考点题型11 尺规作图--作线段
“作一条线段等于已知线段”的两种方法：
法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．
法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线
段．
例．（2022·贵州铜仁·七年级期末）（1）如图，点C在线段AB上，线段 ，点M、N
分别是AC、BC的中点，求线段MN的长．
（2）对于（1），如果叙述为：“已知线段 ，点C在直线AB上，点M、N分别是
AC、BC的中点，求线段MN的长．”，结果会有变化吗？如果有，画出图形，求出结果．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】（1）由已知条件可知，MN=MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则MC= AC，
NC= BC，故MN=MC+NC= （AC+BC），由此即可得出结论；
（2）本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上，点C在线段AB的
延长线上，分2种情况讨论即可．【详解】解：（1）∵AC=6cm，且M是AC的中点，
∴MC= AC= =3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，
∴线段MN的长度是5cm；
（2）分2种情况：
当点C在线段AB上，
由（1）得MN=5cm，
当C在线段AB的延长线上时，如图，
∵AC=6cm，且M是AC的中点，
∴MC= AC= ×6=3cm，
同理：CN=2cm，
∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，
∴当C在直线AB上时， 或 ．
【点睛】本题考查了中点的性质，利用中点性质转化线段之间的和差倍分关系，审题时，注意“线段”，
“直线”等关键词，注意分类讨论是解题的关键．
变式1．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）如图．已知三点A．B．C．
(1)画直线AB．
(2)画射线BC．
(3)画线段AC．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）根据直线的定义作图可得；（2）根据射线的定义作图即可得；
（3）根据线段的定义作图可得；
（1）
如图所示：直线AB为所求；
（2）
如图所示：射线BC为所求；
（3）
如图所示：线段AC为所求；
【点睛】本题考查了作图——复杂作图、直线、射线、线段，解决本题的关键是准确画图．
变式2．（2022·福建福州·七年级期末）如图，点C是线段AB外一点．按下列语句画图：
(1)画射线CB；
(2)反向延长线段AB；
(3)连接AC；
(4)延长AC至点D，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】分别按照要求作图即可．
（1）
解：如图1（2）
解：如图2
（3）
解：如图3
（4）
解：如图4
【点睛】本题主要考查了线段、射线．解题的关键在于理解射线与线段的区别，按要求作图．
变式3．（2022·吉林松原·七年级期末）如图，已知平面内的四点 、 、 、 ．请你按下列语句画图：(1)连接
(2)作射线
(3)作直线
(4)线段 与 相交于点 ．
(5)反向延长 到 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
(5)见解析
【分析】（1）运用直尺连接即可．
（2）用直尺，让直尺的边沿与B、C重合，从B开始，穿过点C画线，要超出点C即可．
（3）用直尺，让直尺的边沿与C、D重合，画线同时穿过C、D两点，且向两方伸展着即可．
（4）用直尺分别连接AC和BD，交点处就是E点．
（5）用直尺，让直尺的边沿与B、C重合，从C开始，穿过点B画线，用圆规截取BF=BC，交点就是所
求．
（1）画图如下：．
（2）画图如下：．（3）画图如下：．
（4）画图如下：．
（5）画图如下：．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线、相交、截取的基本画图，熟练使用直尺和圆规是画图的关键．
◎考点题型12 尺规作图--作角
特殊角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
例．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，将一副三角板摆放在一起，∠CBA=30°，∠CBD=45°．
(1)求∠ABD的度数；
(2)按题意画出图形∶延长线段 CB到E，使BE＝BD，BF为∠ABE的角平分线；
(3)在（2）的前提下，直接写出图中以点B为顶点的所有的角中互余的角．
【答案】(1)15°(2)见解析
(3)∠ABD与∠EBF，∠ABD与∠ABF，∠ABC与∠FBD．
【分析】（1）计算∠CBD-∠CBA即可；
（2）利用几何语言画出对应的几何图形即可；
（3）分别计算∠EBF、∠FBD的度数，然后根据互余的定义进行判断．
(1)
解：∠ABD=∠CBD-∠CBA=45°-30°=15°；
(2)
解：如图，BE、BF为所作；
；
(3)
解：∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=150°，
∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF=∠ABF=75°，
∴∠ABD+∠EBF=15°+75°=90°，
∠ABD+∠ABF=15°+75°=90°，
∠ABC+∠FBD=30°+75°-15°=90°，
∴以点B为顶点的所有的角中互余的角有：∠ABD与∠EBF，∠ABD与∠ABF，∠ABC与∠FBD．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基
本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了余角．
变式1．（2022·辽宁盘锦·七年级期末）借助一副三角尺画出15°角和105°角．
【答案】画图见解析
【分析】由 再利用三角板画 即可.【详解】解：如图，画出15°角和105°角如下：
【点睛】本题考查的是角的和差运算，掌握“利用三角板画特殊角的方法”是解本题的关键.
变式2．（2021·安徽宣城·七年级期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：
①画射线AB；
②画平角∠BAD；
③连接AC．
（2）点B、C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道．若节省管道，则沿着线段BC铺设．这样做
的数学依据是： ．
【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）两点之间，线段最短
【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可；②根据平角的定义，作出图形即可；③根据线段的定
义，作出图形即可；
（2）根据两点之间线段最短解决问题．
【详解】解：（1）①如图，射线AB即为所求；
②如图，∠BAD即为所求；
③如图，线段AC即为所求；
（2）沿着线段BC铺设．这样做的数学依据是：两点之间线段最短．
【点睛】本题主要考查了直线，射线，平角的定义，线段的基本事实，熟练掌握直线是两端都没有端点、
可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有一个端点，它从一个端点向另一边无限延长不可测量长度的线；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；两点之间线段最短是解题的关键．
变式3．（2021·全国·七年级课时练习）凭你的感觉画出 的角，再用量角器量一量，
你画的准确度如何？
【答案】图见解析，基本准确．
【分析】可借助三角板画出 的角，然后利用120°的角等于30°+90°，135°的角等于45°+90°，这
样画起来比较准确，然后可借助量角器量一量．
【详解】解：画出的角度如下，
经测量后，基本准确．
【点睛】本题考查作角．在作一些特殊的角时可借助三角板或者利用三角板上的角的和或者差作比较准确，
本题主要是培养学生对特殊角度的感知．
