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期末重难点真题特训之易错必刷题型（上册）（78题26个考点）
【精选2023年最新考试题型专训】
易错必刷题一、一元二次方程
1．（2023上·广东惠州·九年级校考阶段练习）若a是关于一元二次方程 的一个实数根，
则 的值是（ ）．
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，整体代入是解题的关
键．
由题意知， ，即 ，根据 ，代值求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（2023上·上海徐汇·八年级校联考阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程 的一个根，
则 的值等于 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数
的值得到 ，进而得到 ，再把所求式子转化为 ，据
此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程 的一个根，∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
3．（2023上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）请阅读下列材料：已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)己知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
(2)已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
(3)已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为3， ，求一元二次方程
的两根．【答案】(1)
(2)
(3)两个实数根分别是 ，4；
【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为 ，则 ，即 ，把 代入已知方程即可；
（2）设所求方程的根为 ，则 ，即 ，把 代入已知方程即可；
（3）一元二次方程整理可得： ，再与一元二次方程 比较即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根为 ，则 ，即 ，
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
则所求方程为 ；
故答案为： ；
（2）解：设所求方程的根为 ，则 ，即 ，
把 代入已知方程 ，得 ，
化简，得 ，
则所求方程为 ；
（3）解：一元二次方程整理可得： ，
令 ，则 ，
则方程 的两根比 的两个实数根大1，
∴ 的两个实数根分别是 ，4；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．易错必刷题二、配方法
1．（2023上·江苏南京·九年级校考阶段练习）用配方法解方程 时，原方程应变形为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】同加上一次项系数一半的平方，计算即可．
【详解】∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）已知 ，
则点 关于 轴的对称点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是配方法的应用，关于 轴、 轴对称的点的坐标，利用配方法把原式化为平方和的
形式，根据偶次方的非负性分别求出 、 根据关于 轴对称的点的坐标特征解答，掌握完全平方公式，
偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：
∴ ，
∴ ，
则 ， ，解得： ， ，
则点 关于 轴的对称点坐标是 ，
故答案为： ．
3．（2023上·山西大同·八年级校联考阶段练习）读下面的材料
并解答后面的问题：
小李：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小华：能．求解过程如下：
因为
而 ，所以 的最小值是 ．
问题：
(1)你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程．
(2)你能否求出 的最大值？如果能，写出你的求解过程．
【答案】(1)能，求解过程见解析．
(2)能，求解过程见解析．
【分析】（1）本题考查配方法的运用，解题关键在于同时加上且减去一次项系数一半的平方，配成一个
完全平方公式，并结合完全平方式的非负性，即可解题．
（2）本题同样考查配方法的运用，只是注意二次项系数为负，配方前要先提，再配成完全平方公式．
【详解】（1）解：
．
而 ，所以 的最小值是 ．（2）解：
．
而 ，则 ，所以 的最大值是7．
易错必刷题三、公式法
1．（2023上·湖南·九年级校联考阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等
的实数根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数 的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式 ，当方程有两个不相等的实数根时， ；当方程有两个相
等的实数根时， ；当方程没有实数根时， ．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ 的取值范围是 且 ，
故选： ．
2．（2024下·全国·八年级假期作业）已知关于x的一元二次方程 有一个根为x＝
0，则m的值为 ．【答案】3
3．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）已知关于 的方程 有两个实数根．
(1)求证：无论 取何值，方程总有两个实数根．
(2)若 的两边 的长是已知方程的两个实数根，当 为何值时， 是菱形？求此菱形
的边长．
【答案】(1)见解析
(2)当 时， 是菱形，此时菱形的边长为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 的根与 有
如下关系：① ，方程有两个不相等的实数根，② ，方程有两个相等的实数根，③ ，方程没
有实数根，也考查了菱形的性质．
（1）计算出 ，由此即可得出结论；
（2）当 时， 是菱形，即可求出 的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的
边长．
【详解】（1）证明： ，
，
无论 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解： 是菱形，
，
的两边 的长是已知方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，
解得： ，当 时，原方程为： ，
解得： ，
此时菱形的边长为 ．
易错必刷题四、因式分解法
1．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）关于 的方程 的两个根 满足
，且 ，则 的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．正确的解方程是解题的关键．
因式分解法解方程得 或 ，由 ，可得 ， ，由 ，可得
，计算求解即可．
【详解】解： ，
，
解得， 或 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
故选：D．
2．（2023下·上海·八年级专题练习）已知关于 的方程 ，那么 的值为．
【答案】 或2
【分析】本题考查了完全平方公式、换元法和十字相乘法，由于 ，所以原方程可变形
为 ，把 看成一个整体，解关于 的二元一次方程求出它的根，把
变形为 ，利用换元法是解决本题的关键．
【详解】解： ，
所以 ，
即 ，
设 ，则原式变形为 ，
解得， ， ，
所以 或 ，
故答案为： 或2．
3．（2023上·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）提出问题：
为解方程 ，我们可以令 ，于是原方程可转化为 ，解此方程，得
（不符合要求，舍去）．
当 时， ．原方程的解为 ．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题：运用上述换元法解方程： ．
【答案】 ， ， ，
【分析】本题考查换元法解高次方程，根据材料提示，令 ，利用换元法解方程即可求解．
【详解】解：令 ，
则原方程可转化为 ，
因式分解得 ，
解得 ， ．
当 时，解得 ， ，
当 时，解得 ， ，
原方程的解为 ， ， ， ．
易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系
1．（2023上·湖北·九年级校考周测）已知 为关于 的方程 的
三个实数根，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】题目主要考查因式分解解一元二次方程及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关
系是解题关键．
【详解】解：方程即 ，
∴它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，
∵
∴其中必有一根小于1，另一根大于1，
∴ ， ，
∴
，
故选：A．
2．（2023上·山东聊城·九年级校考阶段练习）若 ， 是方程 的两根，则
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，先得出 ，
，再将 整理为 ，即可解答，解题的关
键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，以及一元二次方程
根与系数关系： ．
【详解】解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴
，
故答案为： ．
3．（2023上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）已知：关于x的一元二次方程 （m为常数）．
(1)证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是正确理解 若 ， 是
一元二次方程 的两根时， ， 根的判别式 ， 时
有两个不相等的实数根， 时有两个相等的实数根， 时无实数根．
（ ）根据判别式的值得到 ，然后根据判别式的意义得到结论；
（ ）利用两根之积为 ，即可确定方程的另一根．
【详解】（1）
，
∵ ， ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴无论 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为 ，
∴ ，
∴ ，
即方程的另一个根为 ．
易错必刷题六、实际问题与一元二次方程1
1．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）某品牌手机经过11，12月份连续两次降价，每部售价由5000元
降到3600元，且第一次降价的百分率是第二次的2倍，设第二次降价的百分率为x，根据题意可列方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．
设第二次降价的百分率为x，根据“手机经过11，12月份连续两次降价每部售价由5000元降到3600元，
且第一次降价的百分率是第二次的2倍”，列出方程，即可求解．
【详解】设第二次降价的百分率为x，则第一次降价的百分率为2x，
根据题意，得： ．
故选：A
2．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食
安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对原有的小麦品种进行改良种植研究．在保持去年种植面积
不变的情况下，今年预计小麦平均亩产量将在去年的基础上增加 ，因为优化了品种，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，全部售出后预计总收入将增加 ，则列式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系正确列出关于a的一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
3．（2023上·江苏泰州·九年级泰兴市洋思中学校考期中）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50
元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适
当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽
快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设每次下降的百分率为 ，根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列出方程进行求解
即可；
（2）设每千克应涨价 元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为 ，由题意，得： ，
解得： （舍去）；
答：每次下降的百分率为 ；
（2）设每千克应涨价 元，由题意，得： ，
解得： ，
∵要尽快减少库存，
∴ ，
答：每千克应涨价5元．易错必刷题七、实际问题与一元二次方程2
1．（2023上·广东深圳·九年级校联考期中）如图，一次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点
，点 在线段 上 不与点 ， 重合 ，过点 分别作 和 的垂线，垂足为 ， ．当矩形
的面积为 时，点 的坐标为( )
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】由点 在线段 上可设点 的坐标为 ， ，进而可得出 ，
，结合矩形 的面积为 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再
将其代入点 的坐标中即可求出结论．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元
二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及矩形的面积，找出关于 的一元二次方程是解题的关键．
【详解】解： 点 在线段 上 不与点 ， 重合 ，且直线 的解析式为 ，
设点 的坐标为 ， ，
， ．
矩形 的面积为 ，
，
， ，
点 的坐标为 ， 或 ， ．
故选：D．
2．（2022上·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，点 从 点
出发，沿射线 方向以 的速度移动，点 从 点出发，沿射线 方向以 的速度移动，如果
、 两点同时出发，问：经过 秒后 的面积等于 ．【答案】 或 或
【分析】过点 作 于点 ，则 ，当运动时间为 秒时， ， ，
， ，根据 的面积等于 ，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符
合题意的值即可得出结论．
【详解】解：过点 作 于点 ，则 ，如图所示．
当运动时间为 秒时， ， ， ， ，
依题意得： ．
当 时， ，
解得： ， ；
当 时， ，
解得： 不符合题意，舍去 ， ．
经过 或 或 秒后， 的面积等于 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2023上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形 中， ， ，点 从点
出发沿 以 的速度向点 移动；同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 移动，当其中
一点到达终点运动即停止．设运动时间为 秒．
(1)在运动过程中， 的长度能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中， 的面积能否为 ？若能，求出 的值，若不能，请说明理由；
(3)取 的中点 ，运动过程中，当 时，求 的值；
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3) ，
【分析】（1）根据题意可知： ， ， ，根据勾股定理及一元
二次方程根的判别式，即可判定；
（2）设运动 秒钟后 的面积为 ，则 ， ， cm，
cm，利用分割图形求面积法结合 的面积为 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出结
论；
（3）以B点为坐标原点， 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设 ， ，则
，取 的中点 ，连接 ，则 ，根据直角三角形的性质可得 ，
再根据两点间的距离公式，可得 ，解方程即可求得．
【详解】（1）解：根据题意可知： ， ， ，∵四边形 是矩形，
，
在 中， ，
，
解得： （舍去）或
（2）解：设运动 秒钟后 的面积为 ，则 ， ， ，
，
，
，
，
即 ，
，
方程无实数根，
的面积不能为 ；
（3）解：如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
设 ， ，，
又 ， ，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
，
，
，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理、直角三角形的性质，矩形的性质，坐标与图形等知
识点，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握所涉及到的知识点并灵活运
用．
易错必刷题八、二次函数
1．（2023上·广东广州·七年级广州大学附属中学校考期中）已知 和 时，多项式
的值相等，且 ，则当 时，多项式 的值等于( )
A．7 B．9 C．3 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质及多项式求值，难度中等．将 和 时，多项式
的值相等理解为 和 时，二次函数 的值相等是解题的关键．
【详解】解：∵ 和 时，多项式 的值相等，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，
又∵二次函数 的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ， ，∴当 时，
．
故选：C．
2．（2023上·安徽滁州·九年级统考期中）若 是关于 的二次函数，则一次函数
的图象不经过第 象限．
【答案】四
【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出 即可得到答案．
【详解】解：由于 是关于 的二次函数，
且 ，
，
故一次函数的解析式为 ，
故一次函数过一、二、三象限，
故答案为：四．
3．（2023上·九年级课时练习）已知函数 ，
(1)当 为何值时，此函数是一次函数？
(2)当 为何值时，此函数是二次函数？
【答案】(1)
(2) 且
【分析】（1）一般地，形如 （ ， 为常数）的函数，叫做一次函数，根据一次函数的定
义进行作答即可．
（2）形如 （ 为常数，且 ）的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义进行作
答即可．
【详解】（1）解：若函数 为一次函数，
则有 ，解得 ，
所以，当 时，此函数是一次函数；
（2）解：若函数 为二次函数，
则有 ，
解得 且 ，
所以，当 且 时，此函数是二次函数．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义、解一元二次方程及解不等式等知识，理解并掌握一
次函数和二次函数的定义是解题关键．
易错必刷题九、二次函数y=ax2的图象与性质
1．（2023上·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）已知抛物线 ，直线 ，将抛物线在
直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数
m，使得点 在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当
的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得 的范围．
【详解】解：如图，把 代入 ，
∴ ，由图象可得直线 ，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点 在G上，
∴ ；
故选A
2．（2023上·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）已知抛物线 具有如下性质：该抛
物线上任意一点到定点 的距离与它到 轴的距离始终相等．若点 的坐标为 是抛物线
上的一个动点，则 周长的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，勾股定理，垂线段最短等等，过点M作 轴于H，过点
P作 轴于E，连接 ，利用勾股定理求出 ，根据题意推出 的周长 ，
则当 三点共线时， 最小，即此时 的周长最小，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点M作 轴于H，过点P作 轴于E，连接 ，
由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∵ ，∴当 三点共线时， 最小，即此时 的周长最小，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长最小值为 ，
故答案为：5．
3．（2023上·河南驻马店·九年级统考期中）已知函数 是关于 的二次函数．
(1)求满足条件的 的值；
(2)m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
【答案】(1) 或
(2)当 时，抛物线有最高点，最高点坐标为 ，当 时， 随 的增大而减小；当 时，随
的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质是解题
的关键．
（1）根据二次函数的定义得到 且 ，进而可得到满足条件的m的值；
（2）根据二次函数的性质得到当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 ，然后根据二次
函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）根据题意得， 且 ，
解得 或
（2）当 时， ，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
当 时， 抛物线开口向下，该抛物线有最高点．此时抛物线解析式为 ，则最高点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而减小；当 时，随 的增大而增大．
易错必刷题十、二次函数y=（x-h）2+k的图象与性质
1．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市惠兴中学校考期中）关于 的图象，下列叙述正确的是
（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当 时， 随 增大而增大 D．函数的最大值为
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，形如 （ ，a、h、k为常数），顶点坐标为 ，
对称轴为直线 ，当 时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下；当 ， 时，y随
x的增大而减小， 时，y随x的增大而增大，当 ， 时，y随x的增大而增大， 时，y随x
的增大而减小．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵ ，
∴该函数的开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴函数有最小值 ，当 时，y随x增大而增大，
∴当 时，y随x增大而增大，
故选：C．
2．（2023上·江苏扬州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 随着 的增大
而增大．当 时， 随 的增大而减小，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可得二次函数的对称轴为直线 ，进而可得h的
值．
【详解】解：∵当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
∴二次函数 的对称轴为直线 ，∴h的值为 ，
故答案为： ．
3．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数
（ 是实数）．
(1)当 时，若点 在该函数图象上，求 的值．
(2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线 B．抛物线）上，且表达式为______；
(3)已知点 ， 都在该二次函数图象上，求证： ．
【答案】(1)
(2) ；
(3)见解析
【分析】（1）把 代入得出函数解析式，再把点 坐标代入函数解析式即可得出 的值；
（2）设 ①， ②，可得 ，从而知顶点在一条直线上，且表达式为 ；
（3）由点 ， 都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线 ，从而得出
，则 ，最后得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：当 时， ，
点 在该函数图象上，
，
（2）顶点是 ，设 ①， ②，
由①得 ，由②得 ，
，
顶点在一条直线上，且表达式为 ，故选： ；故答案为 ；
（3）证明：点 ， 都在该二次函数图象上，
对称轴为直线 ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
易错必刷题十一、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1．（浙江省嘉兴经开实验教育集团2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）已知二次函数
，自变量 与函数 的对应值如下表：
0
4 0 0 4
下列说法中，正确的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．当 时， 随 的增大而增大
C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线
，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可，根据二次函数的对称性求出对称轴是解
题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，选项A错误；由图可知， 和 时对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线 ，故选项D正确；
又∵ ，
∴当 时， 先随 的增大而减小，再随 的增大而增大，选项B错误；
∵抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∴当 时，二次函数有最小值，且最小值小于 时对应的函数值，
即二次函数最小值小于 ，故选项C错误．
故选：D．
2．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）二次函数 （ 为常数）的开口
向下且过点 ， ．有以下结论：① ，② ，③
④若方程 有两个小相等的实数根，则 ．其中正确的结论是 （填入
序号）．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等由抛物线开口方向、二次函数对
称轴位置及 ，从而判断①；根据当 时， ，可判断②；由
及 可判断③，将方程 有两个不相等的实数根转化为抛物线与直线 有两
个交点的问题可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵二次函数过点 ，
∴ ，∴ ，故①正确；
∵当 时， ，
∴ ，故②正确；
抛物线开口向下，
，
， ，且当 时， ，
，故③正确．
若 有两个不相等的实数根，
则 ，有两个不相等的实数根，
抛物线开口向下，
抛物线顶点纵坐标大于1，
即 ，
，故④错误．
故答案为：①②③．
3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校考期中）已知二次函数 ( 为常数，
）．若二次函数的图象经过点 和 两点．
(1)求函数 的表达式，并写出函数图像的顶点C的坐标．
(2)试求出 的面积是多少？
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数、二次函数的图象和性质；
（1）利用待定系数法可求函数 的表达式，将一般式化成顶点式可得函数图像的顶点C的坐标；
（2）画出图形，设 与 轴交于点D，连接 ，求出直线 的解析式，然后可得点D坐标，再根据可知 ， 轴，进而根据 进行计算．
【详解】（1）解：把 、 代入 得： ，
解得： ，
∴函数 的表达式为 ，
∴函数图像的顶点坐标为 ；
（2）解：如图，设 与 轴交于点D，连接 ，
设直线 的解析式为 ，
代入 、 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 轴，∴ ．
易错必刷题十二、二次函数与一元二次方程
1．（2023上·广西玉林·九年级统考期中）已知二次函数 与一次函数 的图象相交
于点 （如图所示），则能使 成立的 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的
取值范围即可．
【详解】解：由图可知， 时， ．
故选D．
2．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）若抛物线 的顶点在 轴
上，且关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，根据抛物线 的
顶点在 轴上得出 ，再根据不等式 的解集为 可以得出 或 是关于
的方程 的解，然后解方程组即可求出 的值．
【详解】解： 抛物线 的顶点在 轴上，
，，
不等式 的解集为 ，
或 是关于 的方程 的解，
，
解得 ，
的值为4，
故答案为：4．
3．（2023上·北京朝阳·九年级北京八十中校考阶段练习）已知抛物线 的对称轴为直线 ．
(1)若点 在抛物线上，求 的值
(2)若点 在抛物线上；
①当 时，求 的取值范围；
②若 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① 或 ；②
【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性
质是本题解题的关键．
（1）将点 代入抛物线表达式得： ，则 ，即可求解；
（2）①当 时， ，即可求解；当 时， 即 ，，同理可解；
②将点 代入抛物线表达式得：整理得到 ，进而求解．
【详解】（1）解：将点 代入抛物线表达式得： ，则
（2）解：①当 时， ，
则抛物线的表达式为： ，
顶点坐标为
∵点 在抛物线上
当 时，
解得： ；
当 时， 即 ，
解得： ，
故 或 ；
②∵点 在抛物线上，
∴ 在对称轴的右边，且 随 的增大而增大，
∴
将点 代入抛物线表达式 得：
得 ，
由 ，整理得
则 ，
∵ ，
则 ，
∵则 ，
则
则 ，
综上
易错必刷题十三、实际问题与二次函数
1．（2023上·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）杭州亚运会的吉祥物“宸宸”以机器人的造型代表世界遗
产——京杭大运河受到人们的推崇．某文创商店有关“宸宸”的纪念品每件进价为20元，调查表明：在某
段时间内若以每件 元（ ，且 为整数）出售，可卖出 件，要使利润最大，每件的售价
应为（ ）
A．24元 B．25元 C．28元 D．30元
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，设利润为 ，先根据“利润 （售价 进价） 销售量”得出
与 的关系式，再根据二次函数的性质求解是解题关键．
【详解】解：设利润为 ，由题意可得，
，
， ，
则当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小，
∴当 时， 有最大值，
故选B．
2．（2023上·河南濮阳·九年级统考期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，
销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方式销售，
调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个） 满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
销量y（个） … 400 30 200 …0
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进
“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，
最大利润是 元（不计其它成本）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出 与 的函数表达式为
然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润 线下销售利润 线上销售利润列出函数
解析式找最值．
【详解】设 与 的函数表达式为 ，
则 ，
解得： ，
∴ 与 的函数表达式为 ，
当线下销量为 )个时，线上销量为 个,
设全部售完后获得的利润为 元，根据题意得：
，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的 ，
，
解得： ，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 元，
故答案为为： .
3．（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）如图，抛物线 上的点 ， 的坐标分别为 ，
，抛物线与 轴负半轴交于点 ，点 为 轴负半轴上一点，且 ，连接 、 ．(1)求此抛物线的解析式；
(2)点 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接 、 ，当 时，求点 的横坐标；
(3)将抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度，得到新抛物线，点 的对应点为点 ，点 的对应
点为点 ，在抛物线平移的过程中，
①当点 在线段 上时，求 的值；
②当 的值最小时，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)①8；② ．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设点 的横坐标为 ，则 ，点 ，则
，即可求解；
（3）①由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，即可求解；
②作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时
取得最小值，即为 的长度，即可求解．
【详解】（1）将 ， 代入 ，得：，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）过点 作 轴于点 ，交线段 于点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得；
，解得：
∴直线 的解析式为： ；
设点 的横坐标为 ，
则 ，点 ，
∴ ，
∵ ，
解得 ，∴ ，
故答案为： ；
（3）①由题意得，点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
故答案为：8；
②设抛物线沿 轴的负方向平移 个单位长度得到新抛物线，将点 向右平移 个单位长度得到点 ，
作出图形如下：
由平移的性质可知， ，
∴ 的值最小就是 最小值，
由题意得，点 在直线 上运动，
作出点 关于直线 对称的对称点 ，连接 交直线 于点 ，连接 ，则此时
取得最小值，即为 的长度，∵点 关于直线 对称的点是点 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式是： ，
将点 ， 的坐标得，直线 的解析式是： ，
令 ，解得： ，
∴ ，
∴平移的距离是 ．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问
题，三角形面积公式等知识，难度较大，综合性大，作出辅助线和掌握转 思想是解题的关键．
易错必刷题十四、图形的旋转
1．（2021上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）如图，将 绕顶点C逆时针旋转角度α得到 ，
且点B刚好落在 上．若 ， ，则α等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据旋转的性质得出 ， ， ，根据等腰三角形的性质得出
，根据三角形外角的性质得出 ，最后三角形内角和定
理得出 ，即可得出答案．
【详解】解：∵ 绕顶点C逆时针旋转得到 ，且点B刚好落在 上，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等
边对等角．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，点 在 内部， 逆时针旋转得到 ，请添加一个条
件： ．使得 是等边三角形．
【答案】 或 或 或者
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，全等三角形的性质定理和等边三角形的判定即可得到结论．
【详解】解： 逆时针旋转得到 ，则 ，
，
若添加条件： 或者 ，则 是等边三角形；
若添加条件： ，则 是等边三角形；
若添加条件： ，
，
， ，
，
是等边三角形；
故答案为： 或 或 或者 ．
3．（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，过等边 的顶点A作 的垂线l，点P为l上点
（不与点A重合），连接 ，将线段 绕点C逆时针方向旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)连接 并延长交直线 于点D，若 ．判断 和 的数量关系，并证明.
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握
相关判定和性质是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质可得 ， ，，由旋转得 ， ，则
，再由全等三角形的性质求解即可；（2）连接 ，旋转得 ， ，则 是等边三角形，则 是 垂直平分线，即可
得到 ；
【详解】（1）证明：在等边 中， ， ，
由旋转可得 ， ，
∴ ，
∴
即 ，
∴
∴
（2） ．理由如下：
连接 ，如图：
由旋转，得 ， ，
∴ 是等边三角形
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线
∵点B在 上，
∴ ；
易错必刷题十五、中心对称
1．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）如图，在平行四边形 中， 与 交于点 ，下列说法
不一定正确的是（ ）A．平行四边形 是中心对称图形
B．将 绕点 旋转 后可与 重合
C． 与 关于点 对称
D． 绕点 旋转一定角度后可与 重合
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形知识、平行四边形的性质，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原
图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据平行四边形的性质以及中心对称图形的概念逐项分析
即可得到答案，理解平行四边形是中心对称图形是解此题的关键．
【详解】解：A、绕点 旋转 后，能够与原图形重合，故平行四边形 是中心对称图形，故原说
法正确，不符合题意；
B、平行四边形 是中心对称图形，对称中心为点 ，故将 绕点 旋转 后可与 重合，
故原说法正确，不符合题意；
C、平行四边形 是中心对称图形，对称中心为点 ，故 与 关于点 对称，故原说法正
确，不符合题意；
D、平行四边形 是中心对称图形，对称中心为点 ，故 绕点 旋转一定角度后可与 重
合，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
2．（2023上·河南漯河·九年级统考期中）将抛物线 绕坐标原点旋转 后，得到的抛物线
的解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将 化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为
，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为 ，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋
转后抛物线的解析式为 ．【详解】解：∵ ，
∴原抛物线的顶点坐标为 ，
∴绕坐标原点旋转 后，得到的抛物线的顶点坐标为 ，
∴旋转后抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
3．（2022上·广东东莞·九年级校考期中）如图， 三个顶点的坐标分别为 ．
(1)画出将 绕原点O按逆时针方向旋转 ，所得的 ；
(2)请画出 关于原点O成中心对称的图形 ；
(3)在x轴上找一点P，使 的周长最小，请求出点P的坐标．
【答案】(1)图形见解析
(2)图形见解析
(3)点P的坐标
【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决
问题，属于中考常考题型．（1）分别作出A，B，C的对应点 即可；
（2）分别作出A，B，C 的对应点 即可；
（3）作点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，连接 ，此时 的值最小．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图， 即为所求
（3）解：如图，取点A关于x轴的对称点 ，交x轴于点P，
此时 ，为最小值，
∴ 最小，
即 的周长最小，
∴点P的坐标为 ．
易错必刷题十六、圆
1．（2023上·河北石家庄·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ，点
D是半径为4的 上一动点，点M是 的中点，则 的最大值是（ ）A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，如图，
取 的中点 ，连接 ， ．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出 ， ，
再利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， ， ，
，
点 是 的中点，
，
点 是 的中点，点 是 的中点，
，
，
，即 的最大值是7．
故选：A．
2．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
的半径为2，点C为 上一动点，D为 的中点，连接 ，则 的最大值为 ．
【答案】3.5
【分析】本题考查了图形与坐标：中位线的性质，勾股定理：先作点B关于x轴的对称点 ，连接 ，
得 是 的中位线，即当 最大时， 有最大值，结合图形，最大值为 ，即可作答．
【详解】解：∵点A的坐标为 ，点B的坐标为
∴ ，
如图1，作点B关于x轴的对称点 ，连接 ，
∴ ，
∵D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴∴当 最大时， 有最大值，
如图2，当 ，C，A共线时， 有最大值，
由勾股定理得：
∴ ，
此时 有最大值是 ，
故答案为：3.5．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）如图，在 中， 是直径， 是弦，延长 ， 相交于点 ，
且 ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外
角的性质求解；连接 ，由 可得出 ，故可得出 的度数，根据三角形外角
的性质求出 的度数，由三角形内角和定理求出 的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：连接 ，
， ，，
．
是 的外角，
．
，
，
，
．
易错必刷题十七、垂直于弦的直径
1．（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，点 在 上， 平分弦 ，连接 ， ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂径定理，根据等边对等角可得 ，
由， 平分弦 ，可得 ，从而得到 ，最有由等腰三角形的性质结合三角形内角和
定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】 ， ，
，
平分弦 ，
，
，
，
，故选：C．
2．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，在 中，半径为5， 是两条弦， ，
， 于点 ， 于点 ．点 在 上运动，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，轴对称-最短路径问题等知识，作 于A点，连接 ，
， 首先根据题意得到 ，得到当点C，P，H 共线时， 有最小值，
即 的长度，然后利用垂径定理得到 ， ，然后利用勾股定理结合线段
的和差得到 ，然后证明出四边形 是矩形，得到 ， ，
最后利用勾股定理求解即可．解题的关键是根据题意得到当点C，P，H 共线时， 有最小值，即
的长度．
【详解】作 于A点，连接 ， ，
∵ ， 是 的直径
∴点G和点H关于 对称
∴
∴
∴当点C，P，H 共线时， 有最小值，即 的长度，∵在 中，半径为5，
∴
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴四边形 是矩形
∴ ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
3．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，点P是 内一定点．
(1)过点P作弦 ，使点P是 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 的半径为10， ，
①求过点P的弦的长度m范围；
②过点P的弦中，长度为整数的弦有 条．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②8
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
（1）连接 并延长，过点P作 即可；
（2）①过点P的所有弦中，直径最长为20，与 垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出 ，
即可得出答案；②过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，长度为17、18、19的弦有2条，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图1，连接 并延长，过点P作 ，则弦 即为所求；
（2）解：①过点P的所有弦中，直径最长为20，与 垂直的弦最短，
连接 ，如图2所示：
，
，
，
∴过点P的弦的长度m范围为 ；
②∵过P点最长的弦为直径20，最短的弦16，
∴长度为17、18、19的弦各有两条，
∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有8条，
故答案为：8．
易错必刷题十八、弧、弦、圆心角
1．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图， 是 的直径，点D是弧 的中点，过点D作
于点E，延长 交 于点F，若 ， 的直径为10，则 长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出 ，得
到 ，证明 ，可得 ，利用勾股定理求出 的长，再求出 长，即可得到答
案．
【详解】解：连接 ，如图：
， 是 的直径，
， ，
为 的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，故选：C．
2．（2023上·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，点A是半圆上的一个三等分点，点 是 的中点，
是直径 上一动点， 的半径是2，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆心角的性质，轴对称的性质，勾股定理，解题的关键是作点A关于 的对称
点 ，连接 交 于P，则点P即是所求作的点，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：如图，作点A关于 的对称点 ，连接 交 于P，则点P即是所求作的点，
根据轴对称的性质可知， ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴ 此时 最小，即 最小，
∴ 的最小值为 的长，
∵A是半圆上一个三等分点，
∴ ，
又∵点B是 的中点，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：，
∴ 的最小值是 ．
故答案为： ．
3．（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，A，B，C是 上三点，且 ，过点B作
于点D．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理；
（1）如图，延长 交 于 ，根据垂径定理得到 ， ，求得 ，则 ，
于是得到结论；
（2）如图，连接 ，设 的半径为 ，在 中根据勾股定理列方程得到 ．
【详解】（1）证明：如图，延长 交 于 ，，
， ，
，
，
，
；
（2）如图，连接 ，
设 的半径为 ，
， ，
，
在 中， ，
解得： ．
即 的半径为2．
易错必刷题十九、圆周角
1．（2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 ，点 的坐
标为 ，点 是第三象限内 上一点， ，则 的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】由题意知 ，由 ，可得 为 的直径，由 四点共圆，可求，则 ，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的直径，
∵ 四点共圆，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了 的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含 的直角三角形，三角形
内角和定理等知识．熟练掌握 的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含 的直角三角形
是解题的关键．
2．（2022上·广东东莞·九年级校考期中）如图， 是圆O的直径， ， 所对的圆心角为 ，
点D是弦 上的一个动点，那么 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及垂线段最短等知识点，过点B作 ，过点O作
于点M，作 ，可得 ，进一步可推出 ；由垂线段最短得
出当点E与M重合时 的值最小，据此即可求解．
【详解】解：∵ 所对的圆心角为 ，
∴ ，
∵ 是⊙O 的直径，
∴ ，如图，过点B作 ，过点O作 于点M，作 ，
∵ ，
∴ ，
在Rt DBE中， ，
△
，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时 的值最小．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴
∴ 的的最小值为 ，
故答案为： ．
3．（浙江省嘉兴经开实验教育集团2023-2024学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在 中，
，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)3【分析】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线来解决问题，属于中考常考题型．
（1）连接 ，根据等腰三角形的三线合一即可解决问题；
（2）连接 ，先证明 是等边三角形，再利用直径所对的圆周角是直角和等边三角形的性质求解即
可．
【详解】（1）连接 ，如图，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴易错必刷题二十、点和圆的位置关系
1．（2023上·广东广州·九年级广州市育才中学校考阶段练习）如图， 的半径为 ，圆心 的坐标为
，点 是 上的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关
于原点 对称，则 的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得
出 取得最小值时点P的位置．由 中 ，知要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点P位于 位置时， 取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点P位于 位置时， 取得最小值，过点M作 轴于点Q，
则 ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2、（2023上·福建福州·九年级校联考阶段练习）如图，在 中，直径 ，延长 至 ，使
，点 在 上运动，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 的
最大为 ．
【答案】
【分析】过点 作 的垂线，在垂线上截取 ，连接 ，从而可证 ，进而得到
，将求线段 的最大值转化为求 的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【详解】解：如图，过点 作 的垂线，在垂线上截取 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
连接 ，并延长 交圆于点 ， 即为 最大值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，点与圆的位置关系，解决本题的关键是构造全等三角形，
将 转化为其他线段进而求最大值．
3．（2023上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系 中， 、 、
(1)在图中画出经过 、 、 三点的圆弧所在圆的圆心 的位置，并写出圆心 的坐标__；
(2) 的半径为__；
(3)点 到 上最近的点的距离为__．【答案】(1)见解析，
(2)
(3)
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐
标是解题的关键．
（1）利用网格特点，作 和 的垂直平分线，它们的交点为 点，利用垂径定理的推论可判断点
为经过 、 、 三点的圆的圆心；
（2）利用两点间的距离公式计算出 即可；
（3）过 点的半径可得到点 到 上最近的点，则点 到 上最近的点的距离为 ．
【详解】（1）如图，点 为所作；点 的坐标为 ；
故答案为： ；
（2） ， ，
，
即 的半径为 ，
故答案为： ；
（3） ，点 到 上最近的点的距离为 ．
故答案为： ．
易错必刷题二十一、直线和圆的位置关系
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图， 的半径为2，圆心M的坐标为 ，点P是 上的任意
一点， ，且 、 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 的最小
值（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由 中 知要使 取得最小值，则 需取得最小值，连接 ，交 于点 ，
当P位于 位置时， 取得最小值，故可求解．
此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 取
得最小值时P的位置．
【详解】连接 ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当P位于 位置时， 取得最小值，
过点M作 轴于点Q，
则 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，∴ ，
故选D．
2．（2022上·云南昆明·九年级昆明市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与
轴、 轴分别交于点 、点 ，半径为2的 的圆心 从点 （点 在直线 上）出发以每
秒 个单位长度的速度沿射线 运动，设点 运动的时间为 秒，则当 时， 与 轴相切．
【答案】2或6
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题
的关键．
设 与坐标轴的切点为D，根据已知条件得到 ，推出 是等腰直角三角
形， ，
①当 与x轴相切时，
②如图， 与x轴和y轴都相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：设 与坐标轴的切点为D，
∵直线 与x轴、y轴分别交于点B、C，点 ，
时， 时， 时， ， ，， ， ，
是等腰直角三角形， ，
①当 与x轴相切时，
∵点D是切点， 的半径是2，
轴， ，
是等腰直角三角形，
，
，
∵点P的速度为每秒 个单位长度，
；
②如图， 与x轴和y轴都相切时，
，
，
∵点P的速度为每秒 个单位长度，
；综上所述，则当 或6秒时， 与x轴相切，
故答案为：2或6．
3．（2022上·重庆武隆·九年级校考期末）如图，已知 内接于 ， 是 的直径， 的平
分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，作 ，交 的延长线于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径为 ．
【分析】（1）连接 ，根据 平分 ， ， ，证明 即
可；
（2）设 的半径为 ，则有 ，在 中， ，根据勾股定理建立方程，
解方程即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：设 的半径为 ，
则有 ，
在 中，
，
∴ ，
解得 ．
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，等腰三角形的性质，垂线定义，角平分线的定义，勾股定理，熟
练掌握切线的性质与判定是解题的关键．
易错必刷题二十二、正多边形和圆
1．（2023上·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形
的中心与原点 重合， 轴，将六边形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，则第2024次旋
转结束时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形变化—旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质，连接 、 ，设 交 轴于点 ，由正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理求出
，再根据旋转的性质得出第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，第 次旋转结束时，点 的坐
标为 ，第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，从
而得到 次为一个循环，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接 、 ，设 交 轴于点 ，
，
边长为2的正六边形 的中心与原点 重合， 轴，
， 轴， ， ，
是等边三角形， ，
， ，
，
，
将六边形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，
第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，
…，
为 次一个循环，
，第2024次旋转结束时，点 的坐标为 ，
故选：D．
2．（2023上·湖南湘西·九年级校考期中）如图1，图2，图3⋯，M、N分别是 的内接正三角形 ，
正方形 ，正五边形 ，…的边 上的点，且 ，连接 ，图1中
，图2中 ，图3中 …，根据这样的规律，图n中 的度数是
．
【答案】
【分析】作多边形的半径，根据多边形的性质可证 ，得 ，再根据“等边对等
角”得 ，于是可得 ，从而可证 则 ，因此
．
本题考查了正多边形的性质、全等三角形的判定和性质、等边对等角、正多边形中心角等知识点，解题的
关键综合运用这些性质解题．
【详解】不失一般性，设 时的情形，可以推广到一般情况．连接 ，如下图
由正多边形的性质知：
∴
∴由 得：
∴
即：
又∵
∴
∴
∴
即：
∵
∴
故答案为： ．
3．（2023上·江苏盐城·九年级统考期中）如图，等腰 内接于 ， ．
(1)如图1，若 ，连接 并延长交 于点D，交 于点H．
①弧 的度数为：______； 与 的数量关系是：______．
②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果
用实线表示）；
(2)如图2，若 ，E是 的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个 的内接正五
边形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识．（1）①连接 根据垂径定理逆定理证明 ，再证明 是等边三角形可得
可得 从而可得结论；②连接 延长 交 于点 根据等
边三角形的性质得 可得
，故可得正六边形
；
（2）根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到 ，再根据 是中点得到
，得 根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可
得到五边形 即为所求．
【详解】（1）①连接
∵
∵ 过圆心
∴
∵
是等边三角形，
∴
∴∴ ．
故答案为： ；
②如图，正六边形 即为所作；
（2）如图，正五边形 即为所求作．
易错必刷题二十三、弧长和扇形面积
1．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，在扇形 中， ，点 为弦 上
一动点（不与 两点重合），连接 并延长交 于点 ，当 为最大值时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是垂线段最短的应用，垂径定理的应用，求解弧长，先过 作 交 于 ，
交弧于 ，可得此时 最短，则 最长，即 为 的位置， 为 的位置，再结合垂径定理与弧长公式可得答案．
【详解】解：如图，过 作 交 于 ，交弧于 ，
此时 最短，则 最长，即 为 的位置， 为 的位置，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 的长度为： ，
即 的长度为： ；
故选B
2．（2023上·辽宁营口·九年级校考阶段练习）如图，在 中， ．以点
C为圆心， 长为半径画弧，分别交 于点D，E，则图中阴影部分的面积为 （结果
保留π）．
【答案】
【分析】连接 ，由扇形 面积 面积求解．本题考查扇形的面积与等边三角形的性质与判定，
解题关键是判断出 为等边三角形与扇形面积的计算．
【详解】解：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴阴影部分的面积为 ．
故答案为：
3．（2020·辽宁抚顺·统考一模）如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ，作 交
于点F，点E在 的延长线上， 经过点C，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为1，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算．
（1）连接 ，根据垂直的定义得到 ，根据三角形的内角和得到 ，根据等腰
三角形的性质得到 ，得到 ，于是得到结论；
（2）根据已知推出 ，得到 ，利用勾股定理求出 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到
结论．
【详解】（1）解：证明：连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
，
，
，在 中，
，
．
易错必刷题二十四、随机事件与概率
1．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）从下列4个命题中任取一个：①三点确定一个圆；②平分弦
的直径平分弦所对的弧；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④在半径为4的圆中， 的
圆心角所对的弧长为 ．是假命题的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了概率公式，判断真假命题，圆的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．根据确定
圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；
根据弧长公式对④进行判断，最后利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：①不在同一条直线上的三点可以确定一个圆，①命题错误；
②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，②命题错误；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，③命题错误；
④在半径为4的圆中， 的圆心角所对的弧长为 ，④命题正确，
在4个命题中，假命题有3个，
是假命题的概率是 ，
故选：B．
2．（2023上·山东德州·九年级校考阶段练习）从 ， ， ， ， 这五个数中，任选一个数作为 的值，
则 的图象不经过第二象限的概率是 ．
【答案】 /0.6【分析】从 ， ， ， ， 这五个数中任取一个，共有5种取法，其中函数 的图象不经过第
二象限的有3个，运用概率公式，即可得到答案．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，概率公式．熟练掌握直线 所在的位置与k、b的符号
的关系，概率公式，是解题的关键． 时，直线必经过一、三象限． 时，直线必经过二、四象限．
时，直线与y轴正半轴相交． 时，直线过原点． 时，直线与y轴负半轴相交．
【详解】∵ 的图象一定经过点 ，交y轴负半轴，
当 时，不经过第二象限，
， ，2，3，5这五个数中，有三个数大于0，
∴ 的图象不经过第二象限的概率是， ，
故答案为： ．
3．（2023上·内蒙古乌海·九年级校考期中）乌海市第二中学为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的
号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务
植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被
调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整
的条形统计图和扇形统计图．
根据以上统计图，解答下列问题：
(1)本次随机抽取的学生共有______名；
(2)参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为______；
(3)若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数______；
(4)在所调查的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．【答案】(1)50
(2)
(3)720
(4)
【分析】本题考查的知识点是条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，概率公式．
（1）根据参与2项的人数为14名，占参与调查人数的28%，进行除法运算即可得出抽取学生的总人数；
（2）总人数减去参加活动项目个数分别为1项、2项、3项、4项的人数，即可得出参与5项活动的人数，
即可求解；
（3）利用总学生人数乘以参与了4项活动的学生所占的百分比，即可得出答案；
（4）利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次随机抽取的学生共有：
（名）
答：被随机抽取的学生共50名；
故答案为：50；
（2）解：活动数为5项的人数为： 名，
参与了5项活动的学生人所在区域的圆心角度数为 ；
故答案为： ；
（3）解： （人），
∴估计参与了4项活动的学生大约有720人；
故答案为：720；
（4）解：∵共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名，
∴ （选中参与了5项活动的学生） ．
易错必刷题二十五、用列举法求概率
1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）把一元二次方程 和 的根写在四
张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点 的横坐标 ，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点 的纵坐标 ，则点
在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了画树状图计算概率，因式分解法解一元二次方程．先利用因式分解解一元二次方程，
求得方程根，再画树状图，确定符合条件的点的个数，后用概率公式计算即可．
【详解】解：一元二次方程 整理得 ，
∴ 或 ，解得 ， ；
一元二次方程 整理得 ，
∴ 或 ，解得 ， ；
画树状图如下：
，
故坐标有 ， ， ， ，共16
种等可能性．
符合点 在以原点为圆心，5为半径的圆上的的情况只有 和 两种情况，
∴点 在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率是 ．
故选：D．
2．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期中）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“大”、
“美”、“扶”、“风”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“扶”和
“风”的概率是______．
【答案】
【分析】本题主要考查树状图法（或列表法）求随机事件的概率，根据树状图法（或列表法）求解即可，掌握列表或画树状图的方法，求概率的计算方法是解题的关键．
【详解】解：画树状图表示所有等可能结果如下，
共有 种等可能结果，其中文字恰好是“扶”和“风”的结果有 种，
∴文字恰好是“扶”和“风”的概率是 ，
故答案为： ．
3．（2023上·广东茂名·九年级校联考阶段练习）为了解考体育科目训练的效果，九年级学生中随机抽取了
部分学生进行了以此中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，A等：优秀；B等：良好；C等：及
格；D等：不及格），并将结果汇成了如图1、2所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问
题：
(1)本次抽样测试的学生人数是_______；
(2)把图2条形统计图补充完整；若学校九年级有1800名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请
估计不及格的人数为______；
(3)已知得A等的同学有一位男生，体育老师想从4为同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用
列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．
【答案】(1) 人
(2)216人
(3)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合事件 或 的结果数目 ，求出概率．也考查了统计图．
（1）用 等级的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用总人数分别减去 、 、 等级的人数得到 等级人数，再补全条形统计图，利用样本估计总体，
用1800乘以 等级所占百分比即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的两人刚好是一男一女的结果数，然后根据概
率公式求解．
【详解】（1）本次抽样测试的学生人数为 （人）；
（2）D等级的人数为 ，
条形统计图补充为：
（人），
所以估计不及格的人数为216人；
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中的两人刚好是一男一女的结果数为6，
所以选中的两人刚好是一男一女的概率 ．
易错必刷题二十六、用频率估计概率
1．（2023上·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，
C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， ，则估计图中a的值为（ ）A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个
区域面积比估计概率计算即可．
【详解】解： 区域面积为 ， 区域面积为 ，
区域面积为 ，
又 落在这三个区域中的豆子数依次为m，n， ，
，即 ，
，
解得： （不合题意，舍去），
故选：B．
2．（2023上·浙江杭州·九年级杭州市惠兴中学校考期中）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统
计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数
（粒）
发芽频数
发芽频率
估计该麦种的发芽概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．
根据大量试验的前提下，用发芽频数除以试验种子数即可求解．
【详解】解：由表可知，估计该麦种的发芽概率是 ，
故答案为： ．
3．（2024上·北京海淀·九年级首都师范大学附属中学校考阶段练习）在学习《用频率估计概率》时，小明
和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无
其他差别，每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它
放回，在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验，如图显示的是这个试验中摸出一
个球是红球的结果．
(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是
____________，其中红球的个数是____________；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球
的概率；
(3)在袋中再放入 个白球，那么（2）中的概率将变为____________（用 表示）．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据图表中的频率分布可估计概率，再利用总数乘以概率可得红球个数；
列出表格，利用概率公式计算；
由（2）可知可能出现的结果共有 种，且这些结果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有 种结果，计算概率即可．
【详解】（1）解：由图表可知：摸出红球的频率分布在 上下，则可估计随机摸出一个球是红球的概
率是 ，红球的个数是： 个，
故答案为： ， ；
（2）列表格为：
红1 红2 红3 白
红1 / 红1，红2 红1，红3 红1，白
红2 红2，红1 / 红2，红3 红2，白
红3 红3，红1 红3，红2 / 红3，白
白 白，红1 白，红2 白，红3 /
可以看出，从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有 种，且这些结果出现的可能性相等，
其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球共有 种结果，概率为 ．
（3）解：从帆布袋中同时摸出两个球，所有可能出现的结果共有 种，且这些结
果出现的可能性相等，其中摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球（记为事件A）共有
种结果，概率为 ，
故答案为： ．
