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专题21.1 一元二次方程（5个考点3个易错点）
【考点1一元二次方程的概念】
【考点2 根据一元二次方程的概念求参数】
【考点3 一元二次方程的一般形式】
【考点4 已知一元二次方程的解求参数】
【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
【易错点1 一元二次方程的定义】
【易错点2 一元二次方程的一般形式】
【易错点3 一元二次方程的解】
【考点1一元二次方程的概念】
1．（2023秋•浦东新区校级期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2+ ＝1 B．x2+1＝（x﹣1）2
C．x2＝2 D．2x2﹣1＝y
【答案】C
【解答】解：A．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意；
B．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意；
C．是一元二次方程，符合题意；
D．含有两个未知数，不符合题意．
故选：C．
2．（2023秋•巨野县期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝x+1 B．y2+x＝1 C．2x+1＝0 D． +x＝1
【答案】A【解答】解：A．关于x的方程x2＝x+1是一元二次方程，选项A符合题意；
B．∵方程y2+x＝1含有两个未知数，
∴方程y2+x＝1不是一元二次方程，选项B不符合题意；
C．∵关于x的方程2x+1＝0的未知数的最高次数是1，
∴关于x的方程2x+1＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意；
D．∵关于x的方程 +x＝1不是整式方程，
∴关于x的方程 +x＝1不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：A．
3．（2023秋•伊犁州期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①3x2+x＝20，②2x2﹣3xy+4＝0，③x2﹣ ＝4，④x2＝0．
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】D
【解答】解：①3x2+x＝20是一元二次方程；
②2x2﹣3xy+4＝0是二元二次方程；
③x2﹣ ＝4是分式方程；
④x2＝0是一元二次方程．
故选：D．
4．（2023秋•武侯区校级月考）在下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．
C．5x2﹣3＝0 D．x（x﹣1）2＝3+x2
【答案】C
【解答】解：A．ax2+x+1＝0，a＝0时是一元一次方程，不符合题意；
B．该方程是分式方程，不符合题意；
C．5x2﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；
D．x（x﹣1）2＝3+x2，化简后是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
5．（2023秋•金凤区校级期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）A．3（x+1）2＝2（x+1） B．
C．ax2+bx+c＝0 D．3x﹣xy＝1
【答案】A
【解答】解：A、去括号整理可得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、没有明确a是否为0，若a为0，则不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程3x﹣xy＝1中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：A．
6．（2024春•池州校级月考）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
【答案】（1）k≠±1；（2）k＝﹣1．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程，
∴k2﹣1≠0，
∴k≠±1，
所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程；
（2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程，
∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
∴k＝﹣1，
∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程．
7．（2023秋•东乡区校级月考）已知关于x的方程 ，试问：
（1）m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
（2）m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】（1） 或m＝±1；
（2）x＝ ．
【解答】解：（1）要使关于x的方程 是一元一次方程，分3种情况：①m2﹣1＝1，解得： ，该方程是一元一次方程；
②m+1＝0，解得：m＝﹣1，该方程是一元一次方程；
③m2﹣1＝0，解得：m＝±1，该方程是一元一次方程；
所以当 或m＝±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）要使关于 x 的方程 是一元二次方程，必须 m2﹣1＝2 且
m+1≠0，
解得： ，都满足m+1≠0，
所以 时，该方程是关于x的一元二次方程．
【考点2 根据一元二次方程的概念求参数】
8．（2023秋•翠屏区校级月考）若 是一元二次方程，则m的值
为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．1
【答案】A
【解答】解：∵ 是一元二次方程，
∴m2﹣2＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故选：A．
9．（2023秋•西城区校级期末）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元
二次方程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：由关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，得
|k|﹣1＝2且k﹣3≠0．
解得k＝﹣3．
故选：C．
10．（2023秋•内江期末）如果（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程，则（ ）A．m≠0 B．m≠﹣1 C．m≠1 D．m≠﹣1且m≠0
【答案】B
【解答】解：∵（m+1）x2﹣mx+1＝0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故选：B．
11．（2023秋•衡山县期末）方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m
的取值范围是（ ）
A．m＝﹣2 B．m＝2 C．m＝±2 D．m≠±2
【答案】A
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣3x﹣7＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2，
∴m＝±2．
∵m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
【考点3 一元二次方程的一般形式】
12．（2024•江西模拟）将一元二次方程3x2﹣8x＝﹣10化成一般形式正确的是（ ）
A．3x2﹣8x+10＝0 B．3x2﹣8x﹣10＝0
C．3x2﹣8x＝10 D．3x2＝8x﹣10
【答案】A
【解答】解：3x2﹣8x＝﹣10
3x2﹣8x+10＝﹣10+10即3x2﹣8x+10＝0，
故选：A．
13．（2023秋•铜梁区期末）一元二次方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数、一次项系数、常
数项分别是（ ）
A．3，﹣5，﹣4 B．3，﹣4，5 C．3，﹣4，﹣5 D．3，﹣5，4
【答案】C
【解答】解：一元二次方程方程3x2﹣5﹣4x＝0的二次项系数是3，一次项系数﹣4、常
数项﹣5，故选：C．
14．（2023秋•信宜市期末）一元二次方程3x2+2x+1＝0一次项的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解答】解：一元二次方程3x2+2x+1＝0一次项的系数是2．
故选：C．
15．（2023秋•庄浪县期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项
是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】B
【解答】解：由题意， ，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
16．（2023秋•商河县期末）将一元二次方程（x+a）2＝b，化成x2﹣8x﹣5＝0的形式，则
a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【答案】A
【解答】解：（x+a）2＝b，
则x2+2ax+a2＝b，
∴x2+2ax+a2﹣b＝0，
由题意得：2a＝﹣8，a2﹣b＝﹣5，
解得：a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
17．（2023春•临淄区期中）下列说法正确的是（ ）
A．方程8x2﹣7＝0的一次项系数为﹣7
B．一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0
C．当a＝3且b≠﹣1且c≠0时，方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次
方程
D．当m取所有实数时，关于x的方程 （m2+1）x2﹣mx﹣3＝0 为一元二次方程【答案】D
【解答】解：A、方程 8x2﹣7＝0 的一次项系数为0，所以A选项不符合题意；
B、一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c＝0（a≠0），所以B选项不符合题意；
C、当 a＝3 且 b≠﹣1，c≠0 时，方程 （a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0 可化为 （b+1）
x+c＝0 为一元一次方程，所以C选项不符合题意；
D、当 m 取所有实数时，关于 x 的方程 （m2+1）x2﹣mx﹣3＝0 为一元二次方程，所
以D选项符合题意．
故答案为：D．
18．（2023秋•成武县期中）若关于x的一元二次方程（3a+6）x2+3（a2﹣4）x＝2没有一
次项，则a的值等于（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．0
【答案】C
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（3a+6）x2+3（a2﹣4）x＝2没有一次项，
∴3（a2﹣4）＝0，3a+6≠0，
∴a＝2，
故选：C．
【考点4 已知一元二次方程的解求参数】
19．（2024•常州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为
（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，
∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，
解得：m＝﹣3．
故选：A．
20．（2023秋•固始县校级月考）已知x＝2是方程x2+3x﹣c＝0的解，则2c﹣1的值为（
）
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
【解答】解：由题意得：把x＝2代入方程x2+3x﹣c＝0中得：22+3×2﹣c＝0，
解得：c＝10，∴2c﹣1＝2×10﹣1＝20﹣1＝19，
故选：C．
21．（2023秋•方城县期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个
解为0，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【答案】B
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0中，得
m2﹣4＝0，
解得m＝﹣2或2，
当m＝2时，原方程二次项系数m﹣2＝0，舍去，
故选：B．
22．（2023秋•阿克苏市期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则
k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
【答案】C
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，
得k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k＝﹣1．
故选：C．
23．（2022秋•建昌县期末）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x＝﹣1，则
b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x＝﹣1，
所以将x＝﹣1代入方程可得1﹣b﹣2＝0，
解得b＝﹣1，
故选：A．
24．（2023秋•黄岩区期末）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解，则代数式2a2﹣4a的值为（ ）
A．3 B．6 C．﹣3 D．﹣6
【答案】B
【解答】解：把x＝a代入x2﹣2x﹣3＝0，得a2﹣2a﹣3＝0，
所以a2﹣2a＝3，
所以2a2﹣4a＝2（a2﹣2a）＝6．
故选：B．
25．（2022秋•福州期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，若4a﹣2b+c＝0，则该方
程必有一个根是（ ）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0满足4a﹣2b+c＝0且a≠0，
∴当x＝﹣2时，代入方程ax2+bx+c＝0，有4a﹣2b+c＝0；
综上可知，方程必有一根为﹣2．
故选：A．
【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
26．（2024春•新昌县期中）若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2024的值
为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】C
【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴6m2﹣9m+2024＝3（2m2﹣3m）+2024＝3+2024＝2027；
故选：C．
27．（2024春•瑶海区期中）已知一元二次方程 x2﹣x﹣2＝0的一个根为m，则2023﹣
m2+m的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2023 D．2025
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的一个根为m，∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴2023﹣m2+2m＝2023﹣（m2﹣m）＝2023﹣2＝2021．
故选：B．
28．（2023秋•常熟市校级月考）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2022的值
为（ ）
A．2021 B．﹣2023 C．2019 D．﹣2019
【答案】A
【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
即a2＝a+1，
∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，
﹣a3+2a+2022＝﹣（2a+1）+2a+2022＝﹣2a﹣1+2a+2022＝2021．
故选：A．
29．（2023秋•孝感月考）若a是方程3x2﹣6x﹣4＝8的一个解，则2a2﹣4a﹣2031的值是
（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．2022 D．﹣2022
【答案】B
【解答】解：∵a是方程3x2﹣6x﹣4＝8的一个解，
∴3a2﹣6a﹣4＝8，
整理得：a2﹣2a＝4，
∴2a2﹣4a﹣2031＝2（a2﹣2a）﹣2031＝2×4﹣2031＝8﹣2031＝﹣2023，
故选：B．
【易错点1 一元二次方程的定义】
1．（2023秋•西安期末）若关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，则a的值为
（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．±3
【答案】D【解答】解：∵关于x的方程x|a|﹣1﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴|a|﹣1＝2，
解得：a＝±3，
∴a的值为±3．
故选：D．
2．（2023秋•南海区月考）下列等式是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数）
B．x（x+1）（x﹣2）＝x2
C．x2＝0
D．
【答案】C
【解答】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，选项A不符合题意；
B．该方程整理可得x3﹣2x2﹣2x＝0，含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，
选项B不符合题意；
C．x2＝0是一元二次方程，选项C符合题意；
D．该方程是分式方程，不是一元二次方程，选项D不符合题意．
故选：C．
3．（2023•晋城模拟）若（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（
）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2
【答案】A
【解答】解：∵（m+4）x|m|﹣2﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
解得m＝4．
故选：A．
4．（2023秋•牡丹区期中）下列等式是一元二次方程的为（ ）
①x2﹣2x+1＝0；
②2t2＝t﹣4；③px2﹣5x＝6+x（px+1）；
④ ．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】B
【解答】解：①x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程；
②2t2＝t﹣4，是一元二次方程；
③px2﹣5x＝6+x（px+1），是一元一次方程；
④ ，不是一元二次方程；
所以，上列等式是一元二次方程的为①②，
故选：B．
【易错点2 一元二次方程的一般形式】
7．（2022秋•费县期末）方程5x2﹣x+2＝3中二次项系数、一次项系数、常数项分别是
（ ）
A．5、﹣1、2 B．5、﹣1、﹣1 C．5、﹣1、3 D．5、﹣1、5
【答案】B
【解答】解：方程5x2﹣x+2＝3整理得：5x2﹣x﹣1＝0，
则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、﹣1、﹣1．
故选：B．
8．（2023秋•鄄城县期中）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0
的常数项为0，则a的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【答案】B
【解答】解：∵一元二次方程程（a﹣1）x2+3x+（a﹣1）（a﹣2）＝0的常数项为0，
∴ ，
∴ ，
解得a＝2，故选：B．
9．（2023春•东阳市期末）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值
分别为（ ）
A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7
【答案】C
【解答】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项
分别为2，﹣4，7，
故选：C．
10．（2023秋•万宁期中）把x2＝2x﹣3化为一般形式，得（ ）
A．x2﹣2x+3＝0 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+3＝2x D．x2+2x＝3
【答案】A
【解答】解：把x2＝2x﹣3化为一般形式，得：x2﹣2x+3＝0，
故选：A．
11．（2023秋•盐池县期末）一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化成一般形式为 x 2 ﹣ 9 x + 3 ＝
0 ．
【答案】x2﹣9x+3＝0．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
故答案为：x2﹣9x+3＝0．
【易错点3 一元二次方程的解】
12．（2023秋•阿克苏市期末）若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0的一个根为0，则
k的值为（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝﹣1 D．k＝1或k＝﹣1
【答案】C
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0，
得k2﹣1＝0，
解得k＝﹣1或1；
又k﹣1≠0，
即k≠1；
所以k＝﹣1．
故选：C．13．（2022秋•建昌县期末）若关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x＝﹣1，则
b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0的一个根为x＝﹣1，
所以将x＝﹣1代入方程可得1﹣b﹣2＝0，
解得b＝﹣1，
故选：A．
14．（2023•金凤区校级三模）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则4a+8b
＝（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．﹣6
【答案】B
【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0中得：
12+a+2b＝0，
解得：a+2b＝﹣1，
∴4a+8b＝4（a+2b）＝4×（﹣1）＝﹣4，
故选：B．
15．（2023秋•福州期中）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为x＝1，则k的值为（
）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】A
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0中得：
12+k﹣3＝0，
k＝3﹣1＝2，
故选：A．
16．（2023秋•前郭县期中）若x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣5＝0的一个根，则
﹣a2﹣3a的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣5 D．5
【答案】C
【解答】解：把x＝a代入方程x2+3x﹣5＝0中得：a2+3a﹣5＝0，∴a2+3a＝5，
∴﹣a2﹣3a＝﹣5，
故选：C．
17．（2023 秋•潜江月考）已知 a+b+c＝0，4a+2b+c＝0，则关于 x 的一元二次方程
ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝1，x ＝2 B．x ＝1，x ＝﹣2
1 2 1 2
C．x ＝﹣1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝﹣2
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0中可得a+b+c＝0，
∴方程一定有一个根是x＝1，
把x＝2代入方程ax2+bx+c＝0中可得4a+2b+c＝0，
∴方程一定有一个根是x＝2，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x ＝1，x ＝2；
1 2
故选：A．
18．（2023秋•新市区校级期末）a是方程x2+x﹣2＝0的一个根，则代数式﹣3a2﹣3a+2030
的值是 202 4 ．
【答案】2024．
【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2+x﹣2＝0中得：a2+a﹣2＝0，
∴a2+a＝2，
∴﹣3a2﹣3a+2030＝﹣3（a2+a）+2030
＝﹣3×2+2030
＝﹣6+2030
＝2024，
故答案为：2024．
19．（2023秋•秦州区期末）若方程2x2﹣3x﹣1＝0有一个根为m，则代数式3m（2m﹣3）
﹣1的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程2x2﹣3x﹣1＝0中得：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴3m（2m﹣3）﹣1
＝3（2m2﹣3m）﹣1＝3×1﹣1
＝3﹣1
＝2，
故答案为：2．
