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第 05 讲 二次函数与一元二次方程
【知识点1：二次函数与一元二次方程的关系】
【知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解】
【知识点3：抛物线与不等式关系】
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数 (a≠0)的图象与 x 轴的交点坐标，就是令 y＝0，求
中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方
程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
一元二次方程
判别式
二次函数
图象 与x轴的交点坐标 根的情况
抛物线 与 x 一元二次方程
轴交于 ， 两
△＞0 有两个不相等的实数根
点，且 ，
此时称抛物线与x轴相交
一元二次方程
抛物线 与 x
△＝0 有两个相等的实数根
轴交切于 这一点，此时称
抛物线与x轴相切一元二次方程
抛物线 与 x
△＜0
轴无交点，此时称抛物线与x轴相
在实数范围内无解（或
离
称无实数根）
注意：
二次函数图象与x轴的交点的个数由 的值来确定的.
(1) 当二次函数的图象与x轴有两个交点时， ，方程有两个不相等的实根；
(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时， ，方程有两个相等的
实根；
(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时， ，方程没有实根.．
【题型1：求抛物线与x轴交点坐标】
【典例1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交
点的坐标是（ ）
A．(−1,0)，(3,0) B．(1,0)，(−3,0) C．(−1,0)，(−3,0) D．(1,0)，(3,0)
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性
质是解题关键．
令y=0，解方程求出x的值，即可得得答案．
【详解】解：令y=0，则−x2+2x+3=0，
解得x =3，x =−1，
1 2
∴二次函数的图象与x轴交点的坐标是的图象与x轴交点的坐标是(−1,0)，(3,0)，
故选：A．
【变式1】（24-25九年级上·北京·期中）抛物线y=x2−4x−5与x轴的交点坐标为 ．【答案】(−1,0)或(5,0)
【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把y=0，代入
y=x2−4x−5，求出x=−1或x=5，即可得出答案．
【详解】解：当y=0时，0=x2−4x−5，
解得：x=−1或x=5，
∴抛物线y=x2−4x−5与x轴的交点坐标为(−1,0)或(5,0)，
故答案为：(−1,0)或(5,0)．
【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）抛物线y=2x2−4x+c与x轴的一个交
点坐标为(3,0)，则c= ．
【答案】−6
【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点的知识，熟练掌握二次函数图像
与性质是解题关键．将点(3,0)代入抛物线y=2x2−4x+c，求解即可获得答案．
【详解】解：将点(3,0)代入抛物线y=2x2−4x+c，
可得2×32−4×3+c=0，解得c=−6．
故答案为：−6．
【变式3】（24-25九年级上·广东汕头·期末）二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴的交点
坐标是 ．
【答案】(−1,0)，(3,0)
【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，依据题意，令
y=x2−2x−3=0，从而x=−1或x=8，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵令y=x2−2x−3=0
∴x=−1或x=3，
∴二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴的交点坐标是(−1,0)，(3,0)．
故答案为：(−1,0)，(3,0)．
【题型2：求抛物线与y轴交点坐标】
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线y=(x−2) 2+1与y轴的交点坐标是（ ）
A．(0,2) B．(−2,0) C．(0,5) D．(0,1)
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令x=0，求出y的值即可，掌握y
轴上点的坐标特点是解题的关键．【详解】解：由y=(x−2) 2+1得，当x=0时，y=(0−2) 2+1=5，
∴与y轴的交点坐标是(0,5)，
故选：C．
【变式是1】（2025·广东清远·一模）抛物线y=(x+4)(x−2)与y轴相交的坐标为（ ）
A．(0,8) B．(0,−8) C．(8,0) D．(−8,0)
【答案】B
【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，令x=0，求出此时的函数值即可
得到答案．
【详解】解：在y=(x+4)(x−2)中，令x=0，则y=4×(−2)=−8，
∴抛物线y=(x+4)(x−2)与y轴相交的坐标为(0,−8)，
故选B．
【变式2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为(1,3)，
抛物线与y轴交于一点，则该点坐标是 ．
( 9)
【答案】 0,
4
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐
标轴交点的计算是解题的关键．
根据顶点坐标设二次函数解析式为y=a(x−1) 2+3(a≠0)，运用待定系数法得到解析
式，令x=0解得函数值即可．
【详解】解：抛物线与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为(1,3)，
∴设二次函数解析式为y=a(x−1) 2+3(a≠0)，
把点(3,0)代入得，a(3−1) 2+3=0，3
解得，a=− ，
4
3
∴二次函数解析式为y=− (x−1) 2+3，
4
3 9
当x=0时，y=− ×(0−1) 2+3= ，
4 4
( 9)
∴抛物线与y轴交于一点，则该点坐标是 0, ，
4
( 9)
故答案为： 0, ．
4
【题型3：求抛物线与x轴交点问题】
【典例3】（24-25八年级下·福建福州·期末）关于二次函数y=x2−3x−5的图象与x轴交
点个数的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与x轴交点个数的情况，二次函数的性质，正确掌握
方程的根的情况和抛物线与轴交点的个数间的关系是解题的关键．
二次函数与判断二次函数图象与x轴的交点个数，需计算对应的一元二次方程的判别式
Δ．若Δ>0，则有两个交点；Δ=0，有一个交点；Δ<0，无交点．
【详解】解：令y=0，得方程x²−3x−5=0．计算判别式
Δ=(−3)²−4×1×(−5)=9+20=29．
因Δ>0，方程有两个不相等的实数根，
故二次函数图象与x轴有两个交点．
故选A．
【变式1】（2025·宁夏银川·三模）若二次函数y=x2−4x+c的图象与x轴只有一个交点，
则实数c的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数的图象与x轴个数由判别式Δ决定．当
Δ=0时，图象与x轴有且仅有一个交点．【详解】解：二次函数y=x2−4x+c，其判别式为：
Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×c=16−4c，
由题意，图象与x轴仅有一个交点，故Δ=0，即：
16−4c=0，
解得：
c=4，
因此，实数c的值为4，
故选：A．
【变式2】（2025·吉林长春·二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x+c（c是常
数）与x轴有两个交点，则c的取值范围是 ．
【答案】c>−4
【分析】本题考查二次函数图象与x轴交点问题，根据b2−4ac的大小与抛物线与x
轴交点个数的关系求解．
【详解】解：抛物线y=−x2+4x+c（c是常数）与x轴有两个交点，即方程
−x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=42−4×(−1)c=16+4c>0，
解得c>−4，
故答案为：c>−4．
【变式3】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）关于x的二次函数y=x2−3x+k的图象与x
轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
9 9 9 9
A．k≥ B．k≤ C．k> D．k<
4 4 4 4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题
的关键．运用根的判别式Δ=b2−4ac，代入系数，可直接求解．
【详解】解：∵y=x2−3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2−4ac=(−3) 2−4k>0，
9
∴k< ．
4
故选：D．用图象法解一元二次方程 的步骤：
1.作二次函数 的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；
2. 确定一元二次方程 的根的取值范围．即确定抛物线
与x轴交点的横坐标的大致范围；
3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大
依次取值，用表格的形式求出相应的y值．
4.确定一元二次方程 的近似根．在(3)中最接近0的y值所对应的
x值即是一元二次方 的近似根．
注意：
求一元二次方程 的近似解的方法（图象法）：
(1)直接作出函数 的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程
的根；
(2)先将方程变为 再在同一坐标系中画出抛物线 和直线
图象交点的横坐标就是方程的根；(3)将方程化为 ，移项后得 ，设 和 ，
在同一坐标系中画出抛物线 和直线 的图象，图象交点的横坐标即为
方程 的根.
【题型4:图像法确定一元二次方程的根】
【典例4】（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，以(2,5)为顶点的二次函数
y=ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c=0的正数解
的范围是（ ）
A．2|3−2)=1，
∴x=−1时，y有最大值，最大值为(−1−2) 2−1=8，
∴当−1−29
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数y=−2(x+1) 2+3可得，
抛物线的对称轴为直线x=−1，顶点坐标为(−1,3)，再根据函数图像特点求出最大值
和最小值即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=−2(x+1) 2+3，
∴函数图象的顶点坐标为(−1,3)，对称轴为直线x=−1，开口向下，
∴当x=−1时，函数有最大值y=3；
∵−23−2,
∴当x=−3时，y取得最小值，最小值为−(−3−2) 2+1=−24，
∴当−3≤x≤3时，−24≤ y≤1，
故答案为：−24≤ y≤1．
（2）y=−x2+4x−3，
当y=−8时，即−x2+4x−3=−8，
解得：x =−1,x =5，
1 2
当y=−3时，即−x2+4x−3=−3，
解得：x =0,x =4，
1 2
∴当−8≤ y≤−3时，x的取值范围为−1≤x≤0或4≤x≤5，
故答案为：−1≤x≤0或4≤x≤5．
【题型7：根据交点确定不等式的解集】
【典例7】（2025·山东滨州·二模）抛物线y =x2+mx与直线y =−x+b相交于点A(2,0)和
1 2
点B.则当y 2 D．x<−1或x>2
【答案】B
【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线y =x2+mx与直线y =−x+b的
1 2
解析式，联立求得点B的坐标，再根据y y 时x的取值范围为（ ）
1 2A．x<−2 B．x>4
C．−24
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线y 图象在直线y 图象上方部分对
1 2
应x的范围即为y >y 时x的取值范围，利用交点坐标即可解答．
1 2
【详解】解：根据图象：当y >y 时x的取值范围为−2P B．mkx−c成立时，x的取值范围是 ．
【答案】−2kx−c的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问
题．
【详解】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c与直线y=kx+ ℎ相交于(−2,m),(2,n)两点，
∴由图可知，当ax2+bx+c>kx+ ℎ时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时
−2kx−c的解集为−2kx−c的解集为−20，
故抛物线与x轴的交点个数为2，
故应选：C．
5．（24-25九年级上·广西南宁·期中）若二次函数y=5x2+x−4m的图象与x轴有两个交点，
则关于x的一元二次方程5x2+x=4m的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，正确理解二次函
数与一元二次方程的关系．
根据题意和二次函数与一元二次方程之间的关系可即可求解．
【详解】解：∵y=5x2+x−4m的图象与x轴有两个交点，
∴当y=0时，此时使得5x2+x−4m=0成立的x的值有两个，
∴关于x的一元二次方程5x2+x=4m的根的情况是有两个不相等的实数根，
故选：A．
6．（2025·河北保定·二模）已知抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，则
(a+1)(b+1)的值为（ ）
A．－5 B．－1 C．3 D．7
【答案】A
【分析】根据韦达定理可知a+b=−2，ab=−4，然后将其代入所求的代数式求值即
可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标
特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大．
【详解】解： 由抛物线y=x2+2x−4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0)，
知a+b=−2，ab=−4．
∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=−4−2+1=−5．
故选：A．二、填空题
7．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图抛物线y =ax2+c与直线y =kx+b交于点
1 2
A(−4,p)，B(2,q)，则关于x的不等式ax2+c+kx−b<0的解集是 ．
【答案】x<−2或x>4
【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关
键．根据题意可得出ax2+c<−kx+b，设y =−kx+b，即求抛物线位于一次函数
3
y =−kx+b的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得
3
出抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于点(4,p)，(−2,q)，进而即可解答．
1 3
【详解】解：∵ax2+c+kx−b<0，
∴ax2+c<−kx+b．
设y =−kx+b，
3
∵抛物线y =ax2+c与直线y =kx+b交于点A(−4,p)，B(2,q)，直线y =−kx+b
1 2 3
与直线y =kx+b关于y轴对称，抛物线y =ax2+c关于y轴对称，
2 1
∴抛物线y =ax2+c与直线y =−kx+b交于点(4,p)，(−2,q)，
1 3
∴当x<−2或x>4时，抛物线位于直线y =−kx+b的下方，即此时ax2+c<−kx+b，
3
∴不等式ax2+c+kx−b<0的解集是x<−2或x>4．
故答案为：x<−2或x>4．
8．（2025·山东滨州·一模）将抛物线y=(x+1) 2−2向右平移3个单位长度，所得抛物线与
y轴的交点的坐标是 ．
【答案】(0,2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换，掌握二次函数的平移规律是解题的关键．先根据二次函数的平移规律得到向右平移3个单位后的抛物线解析式，再令
x=0，即可求解．
【详解】解：将抛物线y=(x+1) 2−2向右平移3个单位，
得到抛物线的解析式为：y=(x−2) 2−2，
令x=0，则y=(0−2) 2−2=2，
∴平移后的抛物线与y轴的交点的坐标是(0,2)，
故答案为：(0,2)．
9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数y=x2+2x+c的图象与坐标轴恰
有两个交点，则c= ．
【答案】0或1/1或0
【分析】本题主要考查了二次函数的图象，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元
二次方程根的判别式b2−4ac是解题关键．
根据二次函数y=x2+2x+c的图象与坐标轴恰有两个交点，存在2种情况，分类讨论：
①当c=0时，可得二次函数与坐标轴有两个交点，符合题意；②当c≠0时，则Δ=0，
可得c的值，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x+c的图象与坐标轴恰有两个交点，
①当c=0时，二次函数y=x2+2x+c与x轴有两个交点，即(0,0)，(−2,0)，符合题意；
②当c≠0时，当x=0时，y=c，即二次函数y=x2+2x+c的图象与y轴交于点(0,c)，
∴二次函数y=x2+2x+c的图象与与x轴必有一个交点，
∴Δ=22−4×c×1=0，
解得c=1．
∴综上所述，c的值为0或1．
故答案为：0或1．
10．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）已知抛物线y=x2−4x−5与x轴交于A，B两点，
若A的坐标是(−1,0)，则B的坐标是 ．
【答案】(5,0)
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出抛物线的对称轴方程．
先求出抛物线的对称轴方程，然后根据点A和点B关于对称轴对称，即可求解．
【详解】解：∵y=x2−4x−5，∴抛物线的对称轴方程为x=2，
∵点A(−1,0)和点B关于对称轴x=2对称，
∴点B的坐标为(5,0)，
故答案为(5,0)．
11．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，直线y =kx+2和抛物线y =x2+bx+c都经
1 2
过点A(2,0)和点B(0,2)，当y 2
【分析】本题考查了根据直线和抛物线交点确定不等式的解集．解题的关键在于对知
识的熟练掌握与数形结合．
由题意知，当y 2，
1 2
故答案为：x<0或x>2．
三、解答题
12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)，
B(3,0)两点．(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)当−3≤x≤2时，求y的取值范围．
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2−2x−3，顶点坐标为(1,−4)
(2)−4≤ y≤12
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图
象上点的坐标特征，综合性较强，难度适中．
（1）将A(−1，0)B(3，0)两点代入y=x2+bx+c求出b、c即可；
（2）根据函数图象，结合−3≤x≤2，写出函数值取值范围即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)两点，
{1−b+c=0
)
{b=−2)
∴ ，解得 ，
9+3b+c=0 c=−3
∴抛物线解析式为y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴顶点坐标为(1,−4)；
（2）∵y=(x−1) 2−4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，当x>1时，y随x的增大而增大，
当x=−3时，函数值y=12，当x=2时，函数值y=−3，
∴当x=−3时，y有最大值为12，当x=1时，y有最小值为−4，
∴当−3≤x≤2时，−4≤ y≤12．
13．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知抛物线y=x2−4x+c的顶点A在直线
y=−4x−1上 ，
(1)抛物线的顶点坐标．
(2)B，C是抛物线与x轴的两个交点（点B在点C的左侧），求△ABC的面积．
【答案】(1)(2,−9)
(2)27
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握运算法则、
正确运用数形结合是解本题的关键．
（1）由抛物线解析式求出顶点横坐标，代入直线y=−4x−1中求出纵坐标，即可确
定出顶点坐标；（2）由顶点坐标确定出c的值，进而确定出抛物线解析式，求出B、C坐标，画出函
数图像，连接AB，AC ，得到△ABC，求出面积即可．
−4
【详解】（1）解：抛物线y=x2−4x+c的顶点横坐标为：x=− =2，
2
将x=2代入y=−4x−1中，
得y=−−4×2−1=−9，
则顶点坐标为：(2,−9)；
（2）解：将(2,−9)代入y=x2−4x+c，
得−9=22−4×2+c，
∴c=−5，
∴抛物线的表达式为∶ y=x2−4x−5，
令y=0，得0=x2−4x−5，
解得x =5,x =−1，
1 2
∴B(−1,0),C(5,0)，
∴BC=6，
连接AB，AC ，如图：
∵A(2,−9)
，
∴△ABC的高为9，
1
∴S = ×6×9=27．
△ABC 2
