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专题 23.1 旋转
目录
求旋转角......................................................................................................................................................1
求长度...........................................................................................................................................................3
求相关角度..................................................................................................................................................5
综合运用......................................................................................................................................................7
求最值........................................................................................................................................................11
旋转的变化过程......................................................................................................................................13
确定旋转中心...........................................................................................................................................15
判断中心对称图形.................................................................................................................................17
中心对称与坐标......................................................................................................................................19
作图题........................................................................................................................................................20
网格中的作图题......................................................................................................................................22
综合运用....................................................................................................................................................24
求旋转角
在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋
转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
【例1】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD（点C落在△AOB外），若
∠AOB＝30°，∠BOC＝10°，则旋转角度是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，
∴∠AOC是旋转角，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝30°+10°＝40°，∴旋转角度为40°，
故选：C．
【变式训练1】如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段
AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【解答】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，
∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，
1
∴∠A＝∠ACB= （180°﹣40°）＝70°，
2
∵∠CBD＝32°，
∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，
∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．
故选：D．
【变式训练2】如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转，得△COD，若∠AOB＝45°，∠AOD
＝110°，则旋转角度数是（ ）
A．45° B．55° C．65° D．110°
【解答】解：将△AOB绕着点 O顺时针旋转，得△COD，∠AOB＝45°，∠AOD＝
110°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝110°﹣45°＝65°，
∴旋转角度数是65°，
故选：C．
【变式训练3】如图，已知△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝25°，△ABD
经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）A．65° B．60° C．55° D．50°
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于60°．
故选：B．
求长度
对应点到旋转中心的距离相等，对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转
前后的两个图形全等。
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，将△ABC绕点A顺时针旋转
90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．13 B．13√2 C．2√13 D．√26
【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴AC=√AB2+BC2=√122+52=13，
由旋转得：AC＝AC'，∠CAC'＝90°，
∴CC'=√AC+C' A2=√132+132=13√2．
故选：B．
【变式训练1】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，若点C′在AB上，则AA′的长为（ ）
A．√13 B．4 C．2√5 D．5
【解答】解：如图，连接AA'，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得△A′BC'，
∴∠A'C'B＝∠C＝90°，A'C'＝AC＝4，AB＝A'B，
根据勾股定理得：
AB=√BC2+AC2=5，
∴A'B＝AB＝5，
∴AC'＝AB﹣BC'＝2，
在Rt△AA'C'中，由勾股定理得：
AA'=√AC'2+A'C'2=2√5，
故选：C．
3
【变式训练2】如图，在△AOB中，AO=1，BO=AB= ．将△AOB绕点O逆时针方向
2
旋转90°，得到△A'OB'，连接AA'，BB'，则BB'﹣AA'＝（ ）√2 3 3
A．1 B． C． D． √2
2 2 2
3
【解答】解：由旋转性质可知，OB＝OB'= ，∠AOA'＝90°，
2
则△BOB'为等腰直角三角形，
3 3
∴BB'=√2OB=√2× = √2，
2 2
由旋转性质可知，OA＝OA'＝1，∠AOA'＝90°，
则△AOA'为等腰直角三角形，
∴AA'=√OA2+OA'2=√2．
3 √2
∴BB'﹣AA'= √2−√2= ．
2 2
故选：B．
【变式训练3】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等
于（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝BE＝3cm，
故选：B．求相关角度
【例3】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线
上，则∠B的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
1
∴∠B＝∠ADB= （180°﹣∠BAD）＝50°，
2
故选：B．
【变式训练1】如图，将△ABC绕顶点C顺时针旋转35°得到△DEC，点A、B的对应点分
别是点D和点E．设边ED，AC相交于点F．若∠A＝30°，则∠EFC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72.5° D．115°
【解答】解：∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠A＝∠D＝30°，∠ACD＝35°，
∴∠EFC＝∠D+∠ACD＝65°，
故选：B．
【变式训练2】如图，将△ABC绕着点 A逆时针旋转 65°，得到△AED，若∠E＝35°，
AD∥BC，则∠EAC的度数为（ ）A．35° B．25° C．15° D．5°
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，
∴∠BAE＝∠CAD＝65°，∠E＝∠B＝35°，
∴∠AOB＝180°﹣65°﹣35°＝80°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠AOB＝80°，
∴∠EAC＝80°﹣65°＝15°．
故选：C．
【变式训练3】如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB'C'，若点B'在线
段BC的延长线上，则∠BB'C'的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．100°
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，
∴∠BAB'＝100°，AB＝AB'，∠B＝∠AB'C'，
∴∠B＝∠AB'B＝40°＝∠AB'C'，
∴∠BB'C'＝80°，
故选：C．综合运用
【例4】如图，O是等边△ABC内一点，OA＝3，0B＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋
转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：
①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′ ＝6+3√3；
⑤S△AOC +﹣S△AOB ＝6+√3．
其中结论正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
【解答】解：连接OO′，过点O作OD⊥BO′，垂足为D，
由旋转得：
∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBO′﹣∠ABO＝∠ABC﹣∠ABO，
∴∠O′BA＝∠COB，
∴ΔO′BA≌△OBC（SAS），
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故①正确；由旋转得：
∠OBO′＝60°，BO＝BO′，
∴△BOO′是等边三角形，
∴OO′＝OB＝4，
∴点O与O′的距离为4；
故②正确；
∵△BOO′是等边三角形，
∴∠BOO′＝60°，
∵ΔO′BA≌△OBC，
∴AO′＝OC＝5，
∴AO2+OO′2＝AO′2，
∴△AOO′是直角三角形，
∴∠AOO′＝90°，
∴∠AOB＝∠BOO′+∠AOO′＝150°，
故③正确；
√3
在Rt△BOD中，OD＝BOsin60°＝4× =2√3，
2
∴S四边形AOBO′ ＝S△BOO′+S△AOO′
1 1
= BO′•OD+ AO•OO′
2 2
1 1
= ×4×2√3+ ×3×4
2 2
＝4√3+6，
故④不正确；
将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至点的位置，连接
OE，过点A作AF⊥OE，垂足为F，如图：∴AO＝AE，∠OAE＝60°，OB＝EC＝4，
∴△AOE是等边三角形，
∴OE＝AO＝3，
∵OC＝5，
∴OE2+EC2＝OC2，
∴△OEC是直角三角形，
√3 3√3
在Rt△AOF中，AF＝AOsin60°＝3× = ，
2 2
∴S△AOC +S△AOB
＝S△AOC +S△ACE
＝S△AOE +S△OCE
1 1
= OE•AF+ OE•EC
2 2
1 3√3 1
= ×3× + ×3×4
2 2 2
9√3
＝6+ ，
4
故⑤不正确；
所以，上列结论，正确的结论是①②③，
故选：D．
【变式训练1】如图，点D为等边三角形ABC内的一点，DA＝10，DB＝8，DC＝6，将线
段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离
为10；②△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合；③CD⊥CD'；④S四边形ADCD′
＝24+25√3，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①连接DD′，如图，
∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，
∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°，∴△ADD′为等边三角形，
∴DD′＝10，
所以①正确；
②∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合，
∴△ACD'绕点A顺时针旋转60°会和△ABD重合，
所以②正确；
③由②可知；
D′C＝DB＝8，
∵DC＝6，
在△DD′C中，
∵62+82＝102，
∴DC2+D′C2＝DD′2，
∴△DD′C为直角三角形，
∴∠DCD′＝90°，
即CD⊥CD′，
所以③正确；
√3 1
④S四边形ADCD ＝S△ADD′+S△D′DC =
4
×102+
2
×6×8＝24+25√3，
所以④正确．
故选：D．
求最值
【例5】如图，在三角形ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB＝2，AC＝4，以
BC为边在BC的下方作等边三角形PBC，则AP的最大值是 6 ．【解答】解：以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，
∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA＝60°，A′B＝AB，AP＝A′C，
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A＝AB＝BA′＝2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′、A、C三点共线时，A′C＝AA′+AC＝6，
即AP的最大值为6，
故答案为：
【变式训练1】如图，△ABC是等边三角形，且AB＝4，点D在边BC上，连接AD，将线
段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE，BE．则△BED的周长最小值是
4+2√3 ．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，
∴∠BAE＝∠CAD，
又∵AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD＝BE，
∴△BED的周长＝BE+BD+ED＝CD+BD+ED＝BC+DE，
∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AD，
当AD⊥BC时，DE最小，即△BED的周长有最小值，
∵AD⊥BC，BC＝4，
∴BD＝CD＝2，
∴AD=√AB2−BD2=2√3，
∴△BED的周长最小值是BC+DE＝4+2√3，
故答案为：4+2√3．
旋转的变化过程
【例6】有一个正n边形旋转90°后与自身重合，则n为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【解答】解：A．正六边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
B．正九边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
C．正十二边形旋转90°后能与自身重合，符合题意；
D．正十五边形旋转90°后不能与自身重合，不合题意；
故选：C．
【变式训练1】如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的
角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（ ）
A．60° B．72° C．75° D．90°【解答】解：因为五角星的五个顶点等分圆周，
所以360°÷5＝72°，
所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，
那么这个角度至少为72°．
故选：B．
【变式训练2】下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，逆时针旋转
∠ ，要使这个∠ 最小时，旋转后的图形也能与原图形完全重合，则这个图形是（ ）
α α
A． B． C． D．
360°
【解答】解：A、最小旋转角度= =72°；
5
360°
B、最小旋转角度= =120°；
3
360°
C、最小旋转角度= =90°；
4
360°
D、最小旋转角度= =180°；
2
综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是A．
故选：A．
【变式训练3】一个正三角形绕其中心至少旋转 12 0 度，才能与自身重合．
【解答】解：连接OA，OB，
∵正三角形的每个角的度数都是60°，
∴∠AOB＝2×60°＝120°，
∴一个正三角形绕其中心至少旋转120度，才能与自身重合，
故答案为：确定旋转中心
旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点
【例7】如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段
AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，
则它的旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）
【解答】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心
为点E，E（2，1），
故选：B．
【变式训练1】如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ．则旋
转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：如图，
∵△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ，
∴连接ER、FP、GQ，
作FP的垂直平分线，作ER的垂直平分线，作GQ的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过C，
即旋转中心是C．
故选：C．
【变式训练2】如图，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋
转中心应是（ ）
A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
【解答】解：∵正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，
∴连接对应点A和点E，点G和点C，
分别作线段GC和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．故选：D．
【变式训练3】如图，在 6×6 的正方形网格中，△ABC 绕某点旋转一定的角度，得到
△ABC，则旋转中心是点（ ）
A．O B．P C．Q D．M
【解答】解：如图，连接BB′，AA′可得其垂直平分线相交于点P，
故旋转中心是P点．
故选：B．
判断中心对称图形
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成
中心对称图形。中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形
重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
【例8】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【变式训练1】民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，是轴对称图形但不是中心
对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C．既不是轴对称，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练2】下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．
故选：C．【变式训练3】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是A，
因为B是轴对称图形不是中心对称图形，
C不是轴对称图形是中心对称图形，
D是轴对称图形不是中心对称图形，
故选：A．
中心对称与坐标
点P（x，y)关于原点对称点的坐标是（－x，－y)
【例9】若P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，则xy的值是（ ）
A．12 B．﹣12 C．64 D．﹣64
【解答】解：∵P（x，3）与点Q（4，y）关于原点对称，
∴x＝﹣4，y＝﹣3，
∴xy＝
故选：A．
【变式训练1】已知点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，则m的取值
范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点P（m﹣3，m﹣1）关于原点的对称点P′在第四象限，
∴点P在第二象限，
{m−3＜0
∴ ，
m−1＞0
解得：1＜m＜3，
故选D．【变式训练2】已知点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，则a与b的值分别
为（ ）
A．﹣3；1 B．﹣1；3 C．1；﹣3 D．3；﹣1
【解答】解：∵点A（a+b，4）与点B（﹣2，a﹣b）关于原点对称，
{ a+b=2
∴
a−b=−4
{a=−1
解得 ．
b=3
故选：B．
【变式训练3】已知点M（a，b）在第二象限内，且|a|＝1，|b|＝2，则该点关于原点对称点
的坐标是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）
【解答】解：∵M（a，b）在第二象限内，
∴a＜0，b＞0，
又∵|a|＝1，|b|＝2，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴点M（﹣1，2），
∴点M关于原点的对称点的坐标是（1，﹣2）．
故选：D．
作图题
【例10】在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对
称性，按要求回答．
（1）请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．
选出的三个图案是 ①③⑤ （填写序号）；
它们都是 轴对称 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
（2）请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
【解答】解：（1）①③⑤三个图案是轴对称图形，
故答案为：①③⑤；轴对称；
（2）如图所示，
【变式训练1】如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个
四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解答】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
网格中的作图题
【例11】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A ，A 分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A ，A 的
1 2 1 2
坐标，并在图中描出点A ，A
1（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．
【解答】解：（1）A （﹣2，2），A （﹣2，﹣2），如图，
1 1
（2）设P点坐标为（t，0），
OA=√22+22=2√2，
当OP＝OA时，P点坐标为（﹣2√2，0）或（2√2，0）；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为（﹣2√2，0）或（2√2，0）或（4，0）或（2，0）．
【变式训练1】如图，在平面直角坐标系内，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，﹣2），
B（4，﹣1），C（3，﹣3）（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）．
（1）若△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，则点A 的坐标为 （﹣ 1 ， 2 ）
1 1 1 1
；
（2）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A B C ，则点A 的
2 2 2 2坐标为 （ 2 ， 1 ） ；
（3）求出（2）中线段AC扫过的面积．
【解答】解：（1）∵△A B C 与△ABC关于原点O成中心对称，A（1，﹣2），
1 1 1
∴点A 的坐标为（﹣1，2）．
1
故答案为：（﹣1，2）；
（2）如图，△A B C 即为所求，
2 2 2
点A 的坐标为（2，1）．
2
故答案为：（2，1）；
（3）∵OA=√22+12=√5，OC=√32+32=3√2，
∴线段AC扫过的面积＝扇形OCC 的面积﹣扇形OAA 的面积
2 2
90π×(3√2) 2 90π×(√5) 2
= −
360 360
9π 5π
= −
2 4
13π
= ．
4综合运用
【例12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AO⊥BC于点O，在△ABC的外部以
AB为边作等边△ABD，点E是线段AO上一动点（点E不与点A重合），将线段BE绕点B
顺时针方向旋转60°得到线段BF．
（1）若BF＝2√3，求证：C，E，F三点共线；
（2）连结DF，若△BDF的面积为3，求BF的长．
【解答】（1）证明：如图，连接CE，EF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，AO⊥BC，
∴CO＝BO＝3，AO是BC的中垂线，
∴BE＝CE，
∵将线段BE绕点B顺时针方向旋转60°得到线段BF，
∴BE＝BF＝2√3，∠FEB＝60°，∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝EF，∠F＝∠FEB＝∠EBF＝60°，
∴BE＝CE＝2√3，
CO 3 √3
∴sin∠CEO= = = ，
CE 2√3 2
∴∠CEO＝60°，
∵CE＝BE，EO⊥BC，
∴∠CEO＝∠BEO＝60°，
∴∠CEB＝120°，
∴∠CEB+∠FEB＝180°，
∴点C，点E，点F三点共线；
（2）解：如图，当点E在线段AO上时，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ABD＝∠EBF＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵BE＝BF，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴S△ABE ＝S△DBF ＝3，
1
∴ ×AE×BO＝3，
2
∴AE＝2，
∴OE＝AO﹣AE＝2，
∴BE=√EO❑ 2+BO❑ 2=√4+9=√13，
∴BF＝BE=√13；
【变式训练1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针
旋转一定角度 （45°＜ ≤90°）得到△ADE，点B、C的对应点分别是D、E．连结BD、
CE交于点F，连α 结AD、αCE交于点G．（1）用含 的代数式表示∠AGC的度数；
（2）当AEα∥BD时，求CF的长．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度 （45°＜ ≤90°）得到
△ADE， α α
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，∠CAE＝ ＝∠BAD，
∵AB＝AC， α
∴AC＝AE＝AB＝AD，
180°−α
∴∠AEC＝∠ACE= ，
2
180°−α α
∴∠AGC＝∠DAE+∠AEC＝45°+ =135°− ；
2 2
（2）∵AB＝AD，∠BAD＝ ，
180°−α α
∴∠ABD= ，
2
∵AE∥BD，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
180°−α
∴ + +45°＝180°，
2
α
∴ ＝90°，
∴α∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴CE=√2AC=√2，∠AEC＝45°，
∵∠BAE＝135°，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，
∴AB∥CE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF＝1，
∴CF＝CE﹣EF=√2−【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转
90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于
点G．
（1）求证：BE＝FG；
（2）如果AB⋅DM＝EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠ECD＝90°，
∴∠BAE+∠BEA＝90°，
又∵FG⊥BC，
∴∠BGF＝∠B＝90°，
∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF＝90°，
∴∠GEF+∠BEA＝90°，
∴∠BAE＝∠GEF，
在△ABE与△EGF中，
{
∠B=∠BGF
∠BAE=∠GEF
AE=FE
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴BE＝FG；
（2）如图，连接AM，DE，
∵∠B＝∠ECD，∠BAE＝∠GEF，
∴△ABE∽△ECM，AB AE
∴ = ，
EC EM
∵AB⋅DM＝EC⋅AE，
AB AE
∴ = ，
EC DM
AE AE
∴ = ，
EM DM
∴EM＝DM，
在Rt△AEM与Rt△ADM中，
{EM=DM
，
AM=AM
∴Rt△AEM≌Rt△ADM（HL），
∴AD＝AE．
∴点A在线段DE的垂直平分线上，
∵EM＝DM，
∴点M在线段DE的垂直平分线上，
∴AM垂直平分DE．
【变式训练3】如图，矩形ABCD绕B点旋转，使C点落到AD上的E处，AB＝AE，连接
AF，AG．
（1）求证：AF＝AG；
（2）求∠GAF的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵矩形ABCD绕B点旋转，
∴∠GBE＝∠FEB＝90°，BG＝EF，
∴∠ABG＝∠AEF，
∴△ABG≌△AEF（SAS），∴AG＝AF；
（2）解：∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEF＝45°，
∴∠ABG＝∠AEF＝45°，
∵矩形ABCD绕B点旋转，
∴AB＝BG，AE＝EF，
1
∴∠BAG＝∠EAF= (180°−45°)=67.5°，
2
∴∠GAF＝360°﹣∠BAE﹣∠BAG﹣∠EAF＝360°﹣90°﹣67.5°﹣67.5°＝135°．
一．选择题（共8小题）
1．小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图
形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形 从当前位置开始进行一次平移操
作，平移后的正方形的顶点仍在图中格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形
的平移方向有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：将正方形 向上平移，向下平移，向右平移，向右上方，向右下方平移，
平移前后的两个正方形组成轴对称图形，
故选： ．
2．观察下列图案，其中旋转角最大的是
A． B． C． D．【解答】解： 、旋转角是 ；
、旋转角是 ；
、旋转角是 ；
、旋转角是 ．
故选： ．
3．下列各图中，既可经过平移，又可经过旋转，由图形①得到图形②的是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 、 这三个图都只能由旋转得到，不能由平移得到，只有 既可经过
平移，又可经过旋转得到，
故选： ．
4．如图， 中， ，将 绕点 旋转，得到 ，点 的
对应点 在 的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为
A．逆时针， B．逆时针， C．顺时针， D．顺时针，
【解答】解： 将 绕点 旋转，得到 ，点 的对应点 在 的延长线上，
，
旋转方向为顺时针，旋转角为 ，
故选： ．5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转 度能与自身重合，则 为
A．30 B．60 C．120 D．180
【解答】解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转 后，能与其自身重合．
故选： ．
6．如图， 的顶点坐标 、 、 ，若 绕点 按逆时针方向旋转
，再向右平移2个单位，得到△ ，则点 的对应点 的坐标是
A． B． C． D．
【解答】解：如图，△ 即为所求．点 的对应点 的坐标是 ．故选： ．
7．如图，点 为矩形 的两对角线交点，动点 从点 出发沿 边向点 运动，
同时动点 从点 出发以相同的速度沿 边向点 运动，作直线 ，下列说法错误的
是
A．直线 平分矩形 的周长
B．直线 必平分矩形 的面积
C．直线 必过点
D．直线 不能将矩形 分成两个正方形
【解答】解：连接 交 于 ，
由题意得： ，四边形 是矩形，
， ， ，
， ， ，即直线 平分矩形 的周长，故
正确；
，故 正确；
， ，
与 重合，即直线 必过点 ，故 正确；
当 ， 垂直 时，直线 将矩形 分成两个正方形，所以原说法错误，
故 错误；
故选： ．
8．最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象
受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对
称的是
A． B． C． D．
【解答】解： 、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
、不是中心对称图形，故此选不符合题意；
、是中心对称图形，故此选符合题意．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．如图是 的正方形网格，要在图中再涂黑一个小正方形，使得图中黑色的部分成为
轴对称图形，这样的小正方形有 5 个．【解答】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对
称图形，只要将1，2，3，4，5处涂黑，都是符合题意的图形．
故答案为：5．
10．如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点 旋转了 ，小孩的位置也从 点运动到了
点，则 4 7 度．
【解答】解：由旋转得：
， ，
，
故答案为：47．
11．小明对小亮说：“你将这4张扑克牌任意抽取一张，将其旋转 后放回原处，我能
猜出你旋转的那一张”，小亮在小明不看的情况下，抽取一张旋转后放回原处．小明很快
猜出了被旋转的那张扑克牌．
小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是 1 0 ．
【解答】解：红桃5，方块7，黑桃9都不是中心对称图形，旋转后都会有变化，梅花 10
是中心对称图形，旋转后没有变化，小亮旋转的那张扑克牌的牌面数字是：10，
故答案为：10．
12．如图，点 为定角 的平分线上的一个定点，且 与 互补，若
在绕点 旋转的过程中，其两边分别与 、 相交于点 、 ，则以下结论：
① 恒成立；② 的值不变；③ 的周长不变；④四边形 的
面积不变，其中正确的序号为 ①④ ．
【解答】解：如图作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
平分 ， 于 ， 于 ，
，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，，
， ，故①正确，
，
定值，故④正确，
，不是定值，故②错误，
定值，
在旋转过程中， 是等腰三角形，形状是相似的，因为 的长度是变化的，所以
的长度是变化的，所以 的周长是变化的，故③错误，
故答案为：①④．
三．解答题（共3小题）
13．在 的网格中已经涂黑了三个小正方形，请在图中涂黑一块（或两块）小正方形，
使涂黑的四个（或五个）小正方形组成一个轴对称图形．
【解答】解：如图中，图形即为
所求．
14．如图，矩形 中， ，将矩形 绕点 顺时针旋转得到矩形 ．当点 恰好落在边 上时，旋转角为 ，连接 ．若 ，求旋转角 及
的长．
【解答】解： 四边形 是矩形，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
即旋转角 为 ；
作 于 ，如图所示：
则 ．
15．（1）计算： ；
（2）一串有趣的图案按一定规律排列．请仔细观察，按此规律画出的第 10个图案是
；在前16个图案中有 个 ；第2008个图案是 ．
【解答】解：（1）原式 ；（2）根据分析，知应分别为 ，5， ．
