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专题07 一元二次方程易错必刷题型专训（60题20个考点）
【易错必刷一 一元二次方程的定义】（共3小题）
1．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于 的方程 是一元二次方程，则
的值是（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定
义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于 的方程和不等式，求解即可得到 的值．
【详解】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
，
解得 ．
故选：C．
2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列式子：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中一定是
一元二次方程的有 （把所有正确选项的序号都填上）
【答案】③④⑦
【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答此题的关键．根据一元
二次方程的概念：含有一个未知数且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程；据此即可判
断得解．
【详解】解：① 虽然是只含有一个未知数的整式，并且未知数的最高次数是2，但它不是等式，
故不是方程；
② 不是整式方程；不是一元二次方程；③ 是整式方程，可整理为 ，符合一元二次方程的概念，故是一元二次方程；
④ 整理为 ，是一元二次方程；
⑤ 不一定是一元二次方程，因为当 时，它不是一元二次方程，只有当 时，它是一
元二次方程；
⑥ 整理为 ，它是一元一次方程，不是一元二次方程；
⑦ 可整理为 ，因为 不可能等于0，所以 是
一元二次方程；
⑧ 不是整式方程，不是一元二次方程．
答案：③④⑦
3．（2022七年级上·浙江·专题练习）已知 是关于x的一元一次方程，求代数式
的值．
【答案】1991
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做
一元一次方程．它的一般形式是 （a，b是常数且 ）．列出等式，求出m的值，代入即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴ 且 ，
解得： ．
则方程变为 ，解得 ，
∴原式 ；
所以所求代数式的值为1991．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视
的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
【易错必刷二 一元二次方程的一般形式】（共3小题）1．（23-24九年级上·四川遂宁·期末）将一元二次方程 化成一般形式后，二次项系数、一次项
系数和常数项分别为（ ）
A． 、 、 B． 、 、 C． 、 、 D． 、 、
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，
一元二次方程的一般形式是： （ ， ， 是常数且 ）特别要注意 的条件，其中
叫二次项， 叫一次项， 是常数项，其中 ， ， 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵方程 化成一般形式是 ，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为 、 、 ，
故选： ．
2．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）把方程 化为 的形式为
．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，展开移项合并同类项即可．
【详解】解：
即
即
故答案为： ．
3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）把方程 先化成一元二次方程的一般形
式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【分析】先括号、移项、合并、系数化为1得 ，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的
定义求解．【详解】去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 ，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ， ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程一般式： ，a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫
常数项．
【易错必刷三 一元二次方程的解】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是
（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解
题的关键．把 代入 ，得 ，然后把所求式子化为 代入计算即可作
答．
【详解】解：∵ 是关于 的方程 的一个根，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·吉林长春·期中）已知 是方程 的根，则式子 的值为
．
【答案】2024
【分析】本题考查了方程的根的定义，求整式的值；由方程的根的定义得 ，代入求值，即可求
解；理解定义，能用整体代换法是解题的关键．【详解】解： 是方程 的根，
，
，
，
故答案： ．
3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）已知 是方程 的根，求代数式 的值．
【答案】7
【分析】根据方程解的定义得到 ，再根据 进行求解即可．
【详解】解：∵ 是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边
相等的未知数的值是解题的关键．
【易错必刷四 一元二次方程的解的估算】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知 ，依据下表，它的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知， 的值随着 的增大而增大，那么在 与 之间必然有一个数使得代数式 的值为0，据此可得答案．
【详解】解：由表格可知， 的值随着 的增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
那么在 与 之间必然有一个数使得代数式 的值为0，
∴方程 的一个解的范围为 ．
故选：B．
2．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）观察表格，一元二次方程 的一个解的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值
的范围，即可得到答案．
【详解】解： 时， ， 时， ，
∴一元二次方程 的解的范围是 ．
故答案为：
3．（23-24九年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读与思考：
下面是小华求一元二次方程的近似解的过程．
如图，这是一张长 、宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底
面积是 的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为 ，列出关于x的方程
，整理得 ．他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程．
探索方程的解：
第一步：
x 0 1 2
17 9
因此：______ ______．
第二步：
x 1.5 1.6 1.7 1.8
0.75 0.36
因此：______ ______.
（1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围；
（2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数）
【答案】（1） ， ， ， ， （2）
【分析】
（1）第一步: 代入 及 , 可求出 的的值, 进而可得出 ;第二步: 根据 及
时, 的值，进而可得出 ；
（2）由 的结论, 可得出 的值约为 .
【详解】解：（1）第一步: 当 时,
，
当 时,
,
∴ ；
第二步: 当 时, ，
当 时, ，
∴ .
故答案为： ， ， ， ；（2）通过以上探索, 的值约为 .
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是
解题的关键.
【易错必刷五 直接开平方法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·广西梧州·期中）已知方程 的解也是方程 的一个解，则m的
值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次方程，方程的解等知识点，先求出方程
的解，再把x的值代入方程 ，求出m的值即可，先求出x的值，再代入方程
是解决此问题的关键．
【详解】 ，
解得： ，
把 代入方程 得：
，
解得： ，
故选：C．
2．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：
∴
解得： ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键；
（1）根据直接开平方法可进行求解方程；
（2）根据直接开平方法可进行求解方程
【详解】（1）解：移项，得 ，
根据平方根的意义，得 ，
即 ．
（2）解：移项，得 ，
两边同除以3，得 ，
根据平方根的意义，得 ，
即 ．【易错必刷六 配方法】（共3小题）
1．（2024·山东聊城·二模）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形式，则
的值为（ ）
A．3 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次
项系数一半的平方进行配方，据此求出m、n的值即可得到答案．
【详解】解：
，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）把关于 的一元二次方程 配方，得 ，则
．
【答案】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数8的一
半的平方得 ，进而得出 ，即可求解．
【详解】解：
配方，得
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．3．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项得 ，再配方得 ，然后运
用完全平方公式以及直接开平方法作答即可．
【详解】解： ，
移项，得 ，
配方，得 ．
整理，得 ，
开方，得 ．
∴ ， ．
【易错必刷七 配方法的应用】（共3小题）
1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）阅读材料：数学课上，老师在求代数式 的最小值时，利用
公式 ，对式子作这样的变形： ，因为
，所以 ，当 时， ，因此 的最小值是1．类似地，代
数式 有（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】D
【分析】本题考查的是配方法的应用，把 化为 ，再结合 可得答案，
掌握配方法的步骤与方法是解本题的关键．
【详解】解：；
∵ ，
∴ ，
∴代数式 有最大值 ．
故选D
2．（23-24九年级上·山东青岛·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其它
重要应用．
例如：求代数式 的最小值？解答过程如下：
解： ．
，
当 时， 的值最小，最小值是0，
，
当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值为1．
根据上述方法，可求代数式 当 时有最 （填“大”或“小”）值，为 ．
【答案】 3 小 3
【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴当 时，代数式 的最小值是3．
故答案为：3，小，3．3．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方式
以及 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用．比如：已知 满足
，求 的值．我们可以这样处理：
解：∵ （拆项），
∴ ，
∴ （配方），
又∵ ，
∴ ， ，
∴
上面主要是采用了拆项后配成完全平方式的方法，再利用非负数的性
质来解决问题．
请利用拆项配方解题思路，解答下列问题：
(1)若 ，则 ___________ ， ___________ ；
(2)已知 满足 ，求 ， 的值；
(3)直接写出 的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) 的最大值
【分析】本题主要考查了配方法，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
（1）先将条件配方成 ，根据完全平方式的非负性即可解答；
（2）先将条件配方成 ，根据完全平方式的非负性即可解答；（3）先将代数式 配方成完全平方式，即可求出最大值．
【详解】（1）解：∵ （拆项），
∴ ，
∴ （配方），
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）∵ （拆项），
∴ ，
∴ （配方），
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴ 的最大值为5．
【易错必刷八 根据判别式判断一元二次方程根的情况】（共3小题）
1．（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的根的情况，下列说
法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的
判别式与根的关系式解答本题的关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一
元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴方程两个不相等的实数根．
故选A．
2．（23-24九年级上·西藏林芝·期末）一元二次方程 根的判别式的值为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式，根据 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
3．（2023·贵州黔东南·一模）已知：关于x的一元二次方程 ，
(1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式；
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】
此题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的判别式，正确求出一般形式和根的判别式是解
题的关键．
（1）把方程右边的项移项到左边，即可得到答案；
（2）列出方程根的判别式，根据判别式的范围即可证明结论．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
即关于x的一元二次方程 的一般形式为 ；
（2）对于 来说，
，
∵ ，
∴ ，
∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根
【易错必刷九 根据一元二次方程根的情况求参数】（共3小题）
1．（2024·安徽六安·一模）关于x 的一元二次方程 有两个不相等实数根，则k 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 ，然后求出不等式的解集即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得： ．
故选：B．
2．（2024·江苏南京·三模）若关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 /【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．分 和
两种情况，分别求解即可．
【详解】解：对于关于 的方程 ，
当 时，可有 ，解得 ；
当 时，该方程为一元二次方程，
则有 ，
解得 ，
∴ 的取值范围是 ．
故答案为： ．
3．（2024·四川南充·一模）关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)如果 是符合条件的最大整数，且一元二次方程 与方程
有一个相同的根，求此时 的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（ ）根据 ，解不等式即可求解；
（ ）求出 ，解方程求出 或 ，代入方程求出 的值即可；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解和定义，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解
题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
∴ ；
（2）解：∵ ， 是符合条件的最大整数，
∴ ，∴方程 为 ，
解得 ， ，
∵一元二次方程 与方程 有一个相同的根，
当 时， ，
解得 ；
当 时， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 舍去；
∴ ．
【易错必刷十 公式法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于 的一元二次方程的根为 ，则这个
方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程的根为 ，
∴二次项系数为1，一次项系数为 ，常数项为 ，
∴这个方程为 ．
故选：D2．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，
且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个
根是 ， ，则方程 是“邻根方程”．若关于 的方程 是“邻根方
程”，令 ，则 的最大值是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查一元二次方程的知识，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解
“邻根方程”的定义．根据“邻根方程”的定义求出 ，代入 进行配方求出最大值即可．
【详解】解：设 、 是方程 的两根，
解得 ， ，
∵原方程是“邻根方程”，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）对于实数a，b，定义新运算“ ”： ，例如：
，因为 ，所以 ．
(1)求 的值；
(2)若 ， 是一元次方程 的两个根，求 的值．【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题为新定义问题，考查了一元二次方程的解法等知识，理解新定义是解题关键．
（1）根据定义的新运算即可求解；
（2）先解方程 得 或 ，再分 ， 和 ， 两种情况分类讨论，
根据定义的新运算即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：解方程 得 或 ，
当 ， 时，∵ ，
∴ ；
当 ， 时，∵ ，
．
∴ 的值为 或 ．
【易错必刷十一 因式分解法】
1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）关于 的一元二次方程 的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D． 和2
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故选：D．
2．（2024·江西萍乡·二模）已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，则这个方程的另一个
根为 ．
【答案】
【分析】根据 是关于 的一元二次方程 的一个根得到 的值，进而解答即可．本题考查了
一元二次方程的根，因式分解解一元二次方程，掌握一元二次方程的根的概念是解题的关键
【详解】解：∵ 是关于 的一元二次方程 的一个根，
∴ ，
∴解得： ，
∴一元二次方程的一般式为 ，
∴解得 ， ，
∴这个方程的另一个根为 ，
故答案为 ．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个直角三角形，它的两边长是方程
的两根，且第三条边长为5，求 的值？
【答案】 或
【分析】本题考查了解一元二次方程 因式分解法，以及勾股定理．利用因式分解法求出已知方程的解，
得到直角三角形的两条边，然后分两种情况考虑：5为斜边时，利用勾股定理列出关系式，求出 的值；
当5为直角边时，利用勾股定理列出关系式，求出 的值，综上，得到满足题意 的值．
【详解】解： ，
分解因式得： ，
可得 或 ，解得： ， ，
可知 ，分两种情况考虑：
①当5为斜边时，由勾股定理得： ，
解得： ； ，
； 都大于0，
；
②当 为斜边时，由勾股定理得 ，
解得： ，
综上所述， 或 ．
【易错必刷十二 换元法】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于x的方程 的解是 ， （a，
m，b均为常数， ），那么方程 的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D．无法求解
【答案】B
【分析】本题主要考查了方程的解，整体思想的运用，已知方程 的解，对比所求方程
，两者在结构上是一致的，因此只需要把 看作一个整体对应已知方程的解，即
可求解．【详解】解： ， ，是方程 的解，
令 ， ，满足方程 ，即 ．
， ，
方程 的解是： ， ．
故选：B．
2．（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足 ，那么 的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的
关键．
利用完全平方公式把方程变形为 ，利用换元法，设 ，则 ，
转化为解一元二次方程，求出 可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
，
设 ，则 ，
因式分解得： ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
当 时，则 ，
整理得： ，∴ ，
解得： ， ，
经检验， ， 都是方程 的解，
∴ 的值为 ；
当 时，则 ，
整理得： ，
，
∴ 时，方程无解．
综上所述， 的值为 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程 的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程 ．
【答案】(1) ，(2) ， ；
【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
（1）结合材料，利用 ，再换元，求出 的值，再代入求出 即可；
（2）结合材料，利用 ，再换元，求出 的值，再代入求出 即可．
【详解】（1）解：设 ，则原方程变为 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解；
故原方程的解为： ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：设 ，则原方程变为 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ， ；
当 时， ，即 ，
，
方程无解；
故原方程的解为： ， ．
【易错必刷十三 一元二次方程根与系数的关系】
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．
根据 ，方程 除以 得 ，从而得到 是方程
的两个根，根据根与系数关系定理，得 ，故 是 ．
【详解】解：根据 ，方程 除以 得 ，
故 是方程 的两个根，
根据根与系数关系定理，得 ，
故 是 ．
故选：A．
2．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根 ，且 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质和一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程 有两个不相等的实数根 ，
，可以得到a的取值范围，再根据 得出 ，利用根与系数的关系得出
， ，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个不相等的实数根 ， ，∴ ，
解得 ，
∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，
当 时，解不等式 得： ，
∴ ；
当 时，解不等式 得： ，
∴此时无解；
综上分析可知： ．
故答案为： ．
3．（2024·山东潍坊·二模）已知 ， 是关于x的一元二次方程 的两根．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解二元一次方程组，解一元一次不等
式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，再根据已知条件解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
解得
（2）由根与系数的关系，得 ，
∵
即
，得
解得
将 代入①，得
∴原方程组得解为
∵
∴ ．
【易错必刷十四 构造一元二次方程解决问题】（共3小题）
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若 ，且有 ，及 ，则 的值是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．
根据 ，方程 除以 得 ，从而得到 是方程
的两个根，根据根与系数关系定理，得 ，故 是 ．
【详解】解：根据 ，方程 除以 得 ，
故 是方程 的两个根，
根据根与系数关系定理，得 ，
故 是 ．
故选：A．
2．（2024·四川内江·二模）已知实数 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键．
由题意知， ， ，则 是 的两个根，即 ，根据
，代值求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∴ 是 的两个根，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·广西贺州·期中）阅读材料：
材料：关于x的一元二次方程 的两个实数根 ， 和系数a，b，c有如下关系：
， ；
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)类比：一元二次方程 的两个实数根为m，n，则 ； ；
(2)应用：已知一元二次方程 的两个实数根为m，n，求 的值；
(3)提升：已知实数s，t满足 ， 且 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 的值为
【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系及巧妙使用整体思想是解题的关键．
（1）利用根与系数的关系即可解决问题．
（2）将所给代数式转化为m与n的和与积的形式即可解决问题．
（3）将s和t看作方程 的两个根即可解决问题．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为： ，
（2）解：根据题意，一元二次方程 的两个实数根为m，n，
∴ ，∴ ；
（3）解：∵实数s，t满足 ， 且 ，
∴实数s，t是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴
．
【易错必刷十五 传播问题】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人
患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根
据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式 ，即可作答．【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病，
∴ ，
故选：A．
2．（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠送卡片共
1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
设全班有 人．根据互赠卡片一张，则 人共赠卡片 张，列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为： ．
3．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）有两人患了流感，经过两轮传染后共有 人患了流感，每轮
传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】10人
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了 个人，则第一轮传
染 人，第二轮传染 人，再根据经过两轮传染后共有 人患了流感列出方程求解即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了 个人，
由题意，得 ，
解得： 舍去 ， ，
答：每轮传染中平均一个人传染了 个人．
【易错必刷十六 增长率问题】（共3小题）
1．（2024年黑龙江省龙东地区部分学校中考四模数学试题）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣
欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注．据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘
龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈．某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上
衣1月份销售量为150件，3月份销售量为216件，则该款上衣销售量的月平均增长率为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设该款上衣销售量的月平均增长率为 ，利用该款上衣3月份的销售量 该款上衣1月份的销售
量 该款上衣销售量的月平均增长率） ，可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即
可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设该款上衣销售量的月平均增长率为 ，
根据题意得： ，
解得： ， （不符合题意，舍去）．
答：该款上衣销售量的月平均增长率为 ．
故选：A．
2．（23-24九年级下·重庆·期中）某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，
2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率
为x，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关
键．
根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得
出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于
的一元二次方程，此题得解．
【详解】解： 年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资
金的年平均增长率为 ，
年投入此项工程的专项资金为 万元，2022年投入此项工程的专项资金为 万元．
根据题意得： ．
故答案为： ．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据
统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，
售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售
该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【答案】(1)月平均增长率是
(2)售价应降低20元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是 ，利用3月份的销售量 月份的销售量 月平均增长率） ，即可得出关于
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，利用每天销
售该公仔获得的利润 每件的销售利润 日销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可求出 的值，
再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
【详解】（1）设月平均增长率是 ，
依题意得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是 ．
（2）设售价应降低 元，则每件的销售利润为 元，每天的销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 要尽量减少库存，
．
答：售价应降低20元．【易错必刷十七 营销问题】（共3小题）
1．（23-24九年级下·山东淄博·期中）某连锁超市购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒
的售价为 元时，每天可售出 盒，每盒的售价每降低 元，每天的销量增加 盒，要使该款大礼包每
天的销售额达到 元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价 元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价 元，根据题意列出一
元二次方程，即可求解．
【详解】若设该款大礼包每盒降价 元，则可列方程为
故选：D．
2．（2024·广东佛山·一模）香云纱作为广东省佛山市特产，中国国家地理标志产品，是世界纺织品中唯一
用纯植物染料染色的丝绸面料，被纺织界誉为“软黄金”，在某网网店，香云纱连衣裙平均每月可以销售
120件，每件盈利200元.为了尽快减少库存，决定降价促销，通过市场调研发现，每件每降价 20元，则每
月可多售出30件.如果每月要盈利2.88万元，则每件应降价 元．
【答案】80
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件
应降价x元，则每件的销售利润为 元，每月可售出 件，利用总利润=每件的销售利润×
月销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】解：设每件应降价x元，则每件的销售利润为 元，每月可售出
件，
根据题意得： ，
整理得：解得：
又∵要尽快减少库存，
∴ ，
∴每件应降价80元．
故答案为：80．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某水果商店经销一种名为“阳光玫瑰”水果，现进行春日促销，原
价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出250千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取
适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利3000元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】(1)每次下降的百分率为 ；
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系正确列出方程
（1）设每次降价的百分率为a，则两次降价的百分率为 ，再列出方程即可，
（2）根据总盈利＝每千克盈利×数量，列出方程即可解答；
【详解】（1）解：设每次降价的百分率为a，则两次降价后的百分率为 ，
或 （舍去），
答：每次下降的百分率为 ；
（2）解：设每千克涨价x元，
依题意得：
解得： ， ，
要尽快减少库存，
则 ，答：每千克应涨价5元，
【易错必刷十八 与图形有关的问题】（共3小题）
1．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，一张长宽比为 的长方形纸板，剪去四个边长为 的正
方形，用它做一个无盖的长方体包装盒．要使包装盒的容积为 （纸板的厚度略去不计），问这张长
方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张矩形纸板的长为 厘米，则由题意可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题
意设这张长方形纸板的长为 ，宽为 ，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进
而得出等式求出答案．
【详解】解：设这张长方形纸板的长为 ，宽为 ，根据题意可得：
．
故选：D．
2．（23-24八年级下·浙江·期中）如图是一块长方形菜地ABCD， ， ，面积为 ．现将
边AB增加 ，边AD增加 ，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为 ，则S的值是
．【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，
根据一元二次方程的解法解答即可．
【详解】解：根据题意，得起始矩形的面积 ，变化后矩形的面积为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵有且只有一个a的值，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴S的值是 ．
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），
其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
(1)若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
(2)围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米
(2)不能
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，
列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围．
（1）先设养鸡场的宽为 ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符
合题意；
（2）先设养鸡场的宽为 ，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得
出答案．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为 ，根据题意得：
，
解得： ，
当 时， ，
当 时， ，（舍去），
则养鸡场的宽是 ，长为 ．
（2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
，
整理得： ，
，
∵方程没有实数根，
∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米．
【易错必刷十八 动态几何问题】（共3小题）
1．（23-24九年级上·河北廊坊·期末）如图，在 中， ， ， ，点P从点
A开始沿 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线 匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当 的面积等于 时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】
解：由题意 ， ，运动时间 ，
，
，
，
解得 或5，
∴运动时间为5秒或20秒时， 的面积等于 ．
故选：C．
2．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P从
点A出发沿 边向点C以 的速度移动，点Q从C点出发沿 边向点B以 的速度移动，当
一点停止移动时，另一点也随之停止移动．如果P，Q两点同时出发， 秒后，可使 的面积为
．
【答案】
【分析】设 秒后，可使 的面积为 ．可列一元二次方程 求解，再进行检验即可．
【详解】解：设 秒后，可使 的面积为 ．
则： ，
解得：
∵当 时，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程的应用．注意实际问题中的限制条件．
3．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在矩形 中， ，点P从点A
出发沿 以 的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿 以 的速度向点C运动，点P运
动到点B时，点Q也停止运动；当 的面积等于 时，求运动时间．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设运动时间为 ，则
，利用三角形面积的计算公式结合 的面积等于 ，即可得出关
于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为 ，则 ，依题意，得：
，
整理，得： ，
解得： （不合题意，舍去）．即当 的面积等于 时，运动时间为 ．
【易错必刷二十 一元二次方程多结论问题】（共3小题）
1．（23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）对于一元二次方程 ，下列说法错误的是
( )
A．若 ，则方程必有一根为 ；
B．若 是一元二次方程 的根，则
C．若方程 两根为 ，且满足 ，则方程 ，必有
实根
D．若方程 有两个不相等的实根，则方程 无实根；
【答案】D
【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，由 ，
可得出方程必有一根为 ，即可判断A；利用求根公式得出 ，变形即可判断B；由一
元二次方程根与系数的关系可得 ， ，变形即可判断C；根据一元二次方程根的判别式
即可判断D；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解： ，
当 时， ，
若 ，方程必有一根为 ，故A说法正确，不符合题意；
是一元二次方程 的根，
，，
，故B说法正确，不符合题意；
方程 两根为 ，且满足 ，
， ，
， ，
方程 ，必有实根 ，故C说法正确，不符合题意；
方程 有两个不相等的实根，
，
，
方程 有两个不相等的实根，故D说法错误，符合题意；
故选：D．
2．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根为 ，
，且 ．下列说法正确的个数为（ ）
① ；
② ， ；
③ ；
④关于 的一元二次方程 的两个根为 ， ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系得 ，利用 消去 得到，从而即可对①进行判断；由于 ， ，利
用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到 ，即
，则可对③进行判断；利用 把方程 化为
，由于方程 可变形为 ，所以 或
，于是可对④进行判断．
【详解】解：根据根与系数的关系得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ ， ，
∴ ， ，所以②正确；
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，所以③错误；
∵ ，
∴方程 化为 ，
即 ，
∵方程 可变形为 ，
∴ 或 ，解得 ， ，所以④正确．
故选： ．
【点睛】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若 ， 是一元二次方程
的两根，则 ， ．
3．（21-22八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程 两根为-1和2，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则方程 一定无解；
④若方程 的两个实根中有且只有一个根为0，那么 ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求
得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【详解】①若方程 两根为-1和2，
则 ，则 ，即 ；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝ ＞1或a＝ ＞1，
∴1﹣a＜0，
∴ ；此选项符合题意；
③∵ ，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关
系等，熟记各计算方法是解题的关键．
