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专题 21.3 一元二次方程的实际应用（六大题型）
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】.........................................................................
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】...................................................................
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】...................................................................
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】.....................................................................
【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 ....................................................................
【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】..................................................................
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
1．（2025·云南红河·三模）中国人口普查自1990年开始每十年一次，据了解，第五次全国
人口普查总人口约为12.95亿，第七次全国人口普查总人口约为14.12亿．若每次人口
普查人口的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
12.95(1+x) 2=14.12−12.95 12.95(1+x) 2=14.12
C． D．
12.95(1+2x)=14.12 14.12(1−x) 2=12.95
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一
盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔三月份到五月份的销量，该品牌头盔
三月份销售500个，五月份销售720个，三月份到五月份销售量的月增长率相同．设月
增长率为x，则可列方程为 ．
3．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重
庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今
年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，
若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为
．4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持
下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16
万元，求平均每次降价的百分率．
5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校
友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为60元，经过校友意见征集后，
连续两次降价，最终每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该文化衫每次降价的百分率；
(2)若该文化衫每件的成本价为40元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不
低于4300元？
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】
1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人
被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每
人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植
物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分
枝的总数是 31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病
毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数
为 ．
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
5．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，
每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出
多少个小分支？
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手
28次，有多少人参加聚会？（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其
他同学各送一张表示留念，全班共送2550张照片．设全班有x名同学，可列方程为
（ ）
A．x(x−1)=2550 B．x(x+1)=2550
C．x(x−1)=2550×2 D．x(x+1)=2550×2
3．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．
若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ．
4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制
取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会
做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实
验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了x
名同学，可列方程为 ．
5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之
间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会．6．（22-23八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川
县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛
一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14
分的积分，至少要取得多少场胜利？
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】
1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调
查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，
35≤x≤55，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调
查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销
售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销
售利润为1000元．
(1)当销售单价降低为x元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含x的代数式表
示）
(2)求黄油年糕每盒的成本价；
(3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单
价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音
平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70
元销售，第一天卖出了80件．
(1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；
(2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定
为多少时，日销售利润为1950元？
4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况
如下：
店面 甲店 乙店
日销售 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元．
情况
市场调 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多
查 售出2件． 售出1件．
情况设 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元．
置
任务解
决
任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）．
乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）．
总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两
任务2
家分店一天的盈利额相等．5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲
产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值y（元/吨）与周次x之间近似的
符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值：
周次x 1 2 3 …
甲产品出厂价上调值y（元/吨） 160 180 200 …
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调10元，
日销量即减少10吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为3860元/吨，相应的日销
量为1140吨．甲产品的日销售额能否达到6400000元？如果能，求出当日甲产品的出
厂价；如果不能，请说明理由．
6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价
时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营
业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房
间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每
日的营业额可为13500元？
【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】
1．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地
ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，
中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是
．2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可
用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，
在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2．
(1)求此时花圃AB边的长；
(2)花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由．
3．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层
长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是
等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200
元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个
车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400
元？
4．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴
趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为
28米，长方形场地面积是250平方米．(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且
两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行
装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不
变，求场地的宽AB为多少米？
【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】
1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，
AC=8cm，BC=6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C
出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
(1)根据题意知：CE=____________，CD=____________；（用含t的代数式表示）
1
(2)t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的 ？
3
2.（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，
BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），
动点Q从B点开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分
别从A、B同时出发，问四边形APQC的面积能否等于172m2，若能，求出运动时间；若不能，说明理由．
3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=10cm，
AC=16cm，点M从点B出发，以1cm/s的速度沿着BA运动；点N从点A出发，以
2cm/s的速度沿着AC运动．已知两点同时出发，当点N运动到点C时，点M和点N
的运动停止．
(1)经过多长时间，MN的长为4❑√5cm？
(2)经过多长时间，△AMN的面积为24cm2？
(3)△AMN的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不
会，请说明理由．
4．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，点P
从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边
BC向终点C以4cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（0
