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专题 21.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】
【人教版】
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】.............................................................................1
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】.................................................................................2
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】.....................................................................................2
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】.................................................................................................3
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】.........................................................................................................4
【题型6 根的判别式与新定义的综合】..................................................................................................................4
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】.................................................................................................5
【题型8 根的判别式与三角形的综合】..................................................................................................................5
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2-4ac．
①当∆=b2-4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2-4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】
【例1】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【变式1-1】（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【变式1-2】（2022春•长沙期末）关于x的一元二次方程x2-4√2x+9=0的根的情况，下列说法正确的
是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．不能确定【变式1-3】（2022•保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【题型2 由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】
【例2】（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
【变式2-1】（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（ ）
A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根
B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根
C．当p＜0时，方程没有实数根
D．方程的根的情况与p的值无关
1
【变式2-2】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程 x2-(k+2)x+2k2+5k+5=0的根
4
的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
【变式2-3】（2022春•平潭县期末）对于任意实数k，关于x的方程x2﹣2（k+5）x+2k2+4k+50＝0的根的
情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．无实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判定
【题型3 由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】
【例3】（2022•桥西区校级模拟）探讨关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0总有实数根的条件，下面三名
同学给出建议：甲：a，b同号；乙：a﹣b﹣1＝0；丙：a+b﹣1＝0．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确
C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
【变式3-1】（2022•肥西县模拟）已知三个实数a，b，c满足a+b﹣c＝0，3a+b﹣c＞0，则关于x的方程
ax2﹣cx+b＝0的根的情况是（ ）A．无实数根 B．有且只有一个实数根
C．两个实数根 D．无数个实数根
【变式3-2】（2022春•德阳月考）函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝
0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
{
x-a＞0
【变式3-3】（2022•咸安区模拟）已知不等式组 1 有3个整数解，则关于x的方程ax2+（2a﹣
x-3＜1
2
1）x+a＝0根的情况为（ ）
A．无法判断 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【题型4 由方程根的情况确定字母的取值范围】
【例4】（2022春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1
【变式4-1】（2022•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取
值范围是（ ）
9 9 9 9
A．k≤ B．k≥ C．k＞ D．k＜
4 4 4 4
【变式4-2】（2022•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣3√k+1x+1＝0有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣9 B．k＞﹣9且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【变式4-3】（2022•定海区一模）直线y＝x﹣a不经过第二象限，且关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有实数解，
则a的取值范围是（ ）A．0≤a≤1 B．o≤a＜1 C．0＜a≤1 D．0＜a＜1
【题型5 由方程有两个相等的实数根求值】
【例5】（2022•合肥模拟）若关于x的一元二次方程x（x﹣2）＝2mx有两个相等的实数根，则实数m的
值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．﹣1或0 D．4或1
【变式5-1】（2022•高新区校级二模）已知一元二次方程ax2+√bx+1=0有两个相等的实数根，则a，b
的值可能是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣4 B．a＝0，b＝0 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝4
1
【变式5-2】（2022•江夏区模拟）已知关于x的一元二次方程（3a﹣1）x2﹣ax+ =0有两个相等的实数根，
4
1
则代数式a2﹣2a+1+ 的值（ ）
a
A．.﹣3 B．.3 C．2 D．﹣2
【变式5-3】（2022春•余杭区月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
且满足4a﹣2b+c＝0，则（ ）
A．b＝a B．c＝2a C．a（x+2）2＝0 D．﹣a（x﹣2）2＝0
【题型6 根的判别式与新定义的综合】
【例6】（2022•烟台一模）定义新运算a⋆b，对于任意实数a，b满足a⋆b﹣（a+b）（a﹣b）﹣2．例如
3⋆2＝（3+2）（3﹣2）﹣2＝5﹣2＝1，若x⋆ （2x﹣1）＝﹣3是关于x的方程，则它的根的情况是（
）
A．有一个实根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【变式6-1】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．
若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（ ）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1
【变式6-2】（2022•宁远县模拟）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，
其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22，若关于 x的方程
（x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
5 5 5 5
A．k≤ 且k≠0 B．k≤ C．k＜ 且k≠0 D．k≥
4 4 4 4【变式6-3】（2022•郑州模拟）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其
中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k
为实数）是关于x的方程，则方程的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【题型7 由根的判别式证明方程根的必然情况】
【例7】（2021秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实
数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式7-1】（2021秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根．
【变式7-2】（2021秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由．
【变式7-3】（2022•东城区校级模拟）已知关于x的方程mx2+nx﹣2＝0（m≠0）．
（1）求证：当n＝m﹣2时，方程总有两个实数根；
（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．
【题型8 根的判别式与三角形的综合】
【例8】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2
﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【变式8-1】（2022春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 ．
【变式8-2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）判断方程的根的情况；
（2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长．
【变式8-3】（2021秋•揭西县期末）等腰三角形的三边长分别为 a、b、c，若a＝6，b与c是方程x2﹣
（3m+1）x+2m2+2m＝0的两根，求此三角形的周长．
