文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：等比数列的有关概念.........................................................................................................4
知识点2：等比数列的有关公式.........................................................................................................5
知识点3：等比数列的性质.................................................................................................................5
解题方法总结........................................................................................................................................6
题型一：等比数列的基本运算............................................................................................................7
题型二：等比数列的判定与证明......................................................................................................10
题型三：等比数列项的性质应用......................................................................................................13
题型四：等比数列前n项和的性质..................................................................................................15
题型五：奇偶项求和问题的讨论......................................................................................................18
题型六：等差数列与等比数列的综合应用......................................................................................22
题型七：等比数列的范围与最值问题..............................................................................................24
题型八：等比数列的实际应用..........................................................................................................28
题型九：公共项与插项问题..............................................................................................................31
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................36
05课本典例·高考素材........................................................................................................................38
06易错分析·答题模板........................................................................................................................41
易错点：不能灵活运用等比数列的性质..........................................................................................41考点要求 考题统计 考情分析
（1）等比数列的有关 2023年甲卷（理）第5题，5 高考对等比数列的考查相对稳定，考查
概念 分 内容、频率、题型、难度均变化不大．重点
（2）等比数列的通项 2023年II卷第8题，5分 是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的
公式与求和公式 2023年乙卷（理）第15题，5 计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，
（3）等比数列的性质 分 或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标：
（1）理解等比数列的概念．
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（3）了解等比数列与指数函数的关系．知识点1：等比数列的有关概念
（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个
数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示，定义的表达式为 ．
（2）等比中项：如果 ， ， 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项．
即 是 与 的等比中项⇔ ， ， 成等比数列⇒ ．
【诊断自测】某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久.甲上台阶时，可以一步上一个台阶，也可以一步
上两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为 ，每步上两个台阶的概率为 ，为了简便描述问题，我们约
定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的
概率为 ，其中 ，且 . 证明：数列 是等比数列.
【解析】证明：由题可得 ， ，
则 ， ，
∴ ，
由于 ， ，∴ ，
故 ，则 ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
知识点2：等比数列的有关公式
（1）等比数列的通项公式设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则它的通项公式 ．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列 的公比为 ，其前 项和为
注①等比数列的前 项和公式有两种形式，在求等比数列的前 项和时，首先要判断公比 是否为1，
再由 的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比 是否为1时，要分 与 两种情况讨论求解．
②已知 （项数），则利用 求解；已知 ，则利用 求
解．
③ ， 为关于 的指数型函数，且系数与常数互
为相反数．
【诊断自测】若数列 是公比为 的等比数列，且 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】数列 中，由 ，知 ，则 ，
又 ，于是 ，而 ，
所以 .
故选：A
知识点3：等比数列的性质
（1）等比中项的推广．
若 时，则 ，特别地，当 时， ．
（2）①设 为等比数列，则 （ 为非零常数）， ， 仍为等比数列．
②设 与 为等比数列，则 也为等比数列．
（3）等比数列 的单调性（等比数列的单调性由首项 与公比 决定）．
当 或 时， 为递增数列；当 或 时， 为递减数列．
（4）其他衍生等比数列．
若已知等比数列 ，公比为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取
为等比数列，公比为 ．
②等长度截取
为等比数列，公比为 （当 时， 不为偶数）．
【诊断自测】在正项等比数列 中， ， 是 的两个根，则 .
【答案】
【解析】由韦达定理得 ，
由于 为正项数列，
故 ，
.
故答案为：
解题方法总结
（1）若 ，则 ．
（2）若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等
比数列．
（3）在等比数列 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 为
等比数列，公比为 ．
（4）公比不为－1的等比数列 的前 项和为 ，则 ， ， 仍成等比数列，其公
比为 ．
（5） 为等比数列，若 ，则 成等比数列．（6）当 ， 时， 是 成等比数列的充要条件，此时 ．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间
项的平方．
（8）若 为正项等比数列，则 为等差数列．
（9）若 为等差数列，则 为等比数列．
（10）若 既是等差数列又是等比数列 是非零常数列．
题型一：等比数列的基本运算
【典例1-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知等比数列 公比为 ，前 项和为 ，且满足 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】等比数列 中 ，又 ，可得 ，解得 ，故C错误；
又 ， ，故D正确；
又 ， ，所以 ，故B错误；
又 ， ， ，
故 不成立，故A错误．
故选：D．
【典例1-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列 的前三项和为28且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意设公比为 ，则 ，即 ，
解得 （负值舍），所以 .
故选：C.
【方法技巧】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量 ， ， ， ，
，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论：
当 时， ；当 时，
【变式1-1】（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列 的公比为 ，由 得 ，所以 ，
又因为各项均为正数， 所以 ，
由 得 ，所以 ，
故 ，
故选：A.
【变式1-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知等比数列 的前三项和为13， ，则
（ ）
A．81 B．243 C．27 D．729
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，
由 的前三项和为13，得 ，解得 ，
因此等比数列 的通项 ，所以 .故选：B
【变式1-3】（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列 中， ，且 成等差数列，
则 （ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【答案】D
【解析】由等比中项性质知 .
由 成等差数列，得 ，所以 ，
所以等比数列 的公比 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
【变式1-4】（2024·陕西渭南·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，则其公比
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，若 ，由 ，得到 ，不满足 ，所以 ，
由 ，得到 ①，由 ，得到 ②，
由① ②得 ，整理得到 ，解得 ，
故选：C.
题型二：等比数列的判定与证明
【典例2-1】（2024·河南·三模）已知数列 的各项均不为0，其前 项和为 ， 为不等于0的常数，
且 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)若 成等差数列，则对于任意的正整数 ， ， ， 是否成等差数列？若成等差数列，请
予以证明；若不成等差数列，请说明理由．【解析】（1）证明：因为 ，①
所以 ，②
② ①，得 ，即 ．
当 时， ，即 ，所以 ，
所以对 ， ，即 是公比为 的等比数列．
（2）对任意正整数 成等差数列．证明如下：
由 成等差数列，得 ，且 ，
即 ，
化简得 ，即 ．
因为 ， ，
所以 ，
故对于任意的正整数 成等差数列．
【典例2-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列 中， ， .证明： 是
等比数列；
【解析】因为数列 中， ， ，
所以 ，且 ，
所以 是等比数列，公比为2，首项为2
【方法技巧】
等比数列的判定方法
定义法 若 （ 为非零常数， 或 （ 为非零常数且 ， ），则
是等比数列中项公式法
若数列 中， 且 ，则 是等比数列
通项公式法 若数列 的通项公式可写成 （ 均为非零常数， ），则 是
等比数列
n
前 项和公式法
若数列 的前 项和 （ 为非零常数， ），则 是等比数列
【变式2-1】（2024·河北石家庄·二模）已知数列 满足
(1)写出 ;
(2)证明:数列 为等比数列;
【解析】（1）由
可得 ； ； ；
（2）证明：由题可得 ，
则数列 是首项为1，公比为2的等比数列；
【变式2-2】（2024·青海海南·一模）记等差数列 的前 项和为 ， 是正项等比数列，且
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)证明 是等比数列．
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
则 ；
设正项等比数列 的公比为 ，则 ， ，
由题意，可得 ，解得 或 （舍去），
故 .
（2）令 ，则 ，故 是以 为首项,公比为 的等比数列.
【变式2-3】已知数列 和 满足 ， ， .证明：
是等比数列， 是等差数列.
【解析】由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列；
因为 ，
所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列．
【变式2-4】已知点 ， ，设 ，当 时，线段 的中点为 ， 关
于直线 的对称点为 .例如， 为线段 的中点，则 ， .设 ，
证明： 是等比数列.
【解析】证明：当 时，线段 的中点为 ， ，
则 .
由 得 ，
所以 ，即 .
因为 ，所以 是以2为首项， 为公比的等比数列.
【变式2-5】（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ．
证明： ，使得数列 成等比数列；
【解析】若 ，数列 成等比数列，
则存在非零实数 ，使得 ，
即 ，整理得 ①．因为 ，所以 ②．
由①②对应项系数相等得 解得
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以数列 的各项均不为0，所以 ．
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
即 ，使得数列 成等比数列．
题型三：等比数列项的性质应用
【典例3-1】（2024·浙江金华·模拟预测）已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，若
， ，则 ．
【答案】
【解析】由等差数列的性质可知， ，即 ，而 ，
根据等比数列的性质可知， ，则 ， ，
所以 .
故答案为：
【典例3-2】（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知数列 为正项等比数列，若
， ，则 ．
【答案】【解析】由
，
由等比数列的性质可得： ，
，
∴ ，又 ，∴ ．
故答案为: ．
【方法技巧】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质 “若
，则 ．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时
注意设而不求思想的运用．
【变式3-1】在各项均为正数的等比数列 中， ，则 .
【答案】3
【解析】 .
故答案为：3
【变式3-2】若等比数列 满足 ，则 等于 ．
【答案】
【解析】等比数列 满足 ，
则 ，
所以 .
故答案为： .
【变式3-3】已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ，
．
【答案】 3 9
【解析】由等比中项的性质可得 ，
又等比数列 的各项均为正数，则 ．
由对数的运算性质得，．
故答案为：3，9
【变式3-4】（2024·陕西·模拟预测）等比数列 满足： ，则 的最小值为
．
【答案】
【解析】依题意，等比数列 满足： ，
所以 ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，此时 .
所以 的最小值为 .
故答案为：
题型四：等比数列前n项和的性质
【典例4-1】记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 ．
【答案】 或
【解析】设 的公比是 ，
，同理 ，
由已知 ，否则公比 ， ，与已知矛盾，
所以 也成等比数列， ，
又 ， ，所以 ，解得 或 ，
又 ，所以 与 同号，因此 ，
所以 ， ， ，
若 ，则 ， ，即 ，
若 ，则 ， ，即 ．
故答案为： 或 ．【典例4-2】设等比数列 的前 项和是 .已知 , ，则 .
【答案】13
【解析】因为 是等比数列 的前 项和且 ，
所以 ， ， 也成等比数列，
则 .
因为 , ，
所以 ，解得 .
所以 .
故答案为： .
【方法技巧】
（1）等比数列 中，所有奇数项之和 与所有偶数项之和 具有的性质，设公比为 ．
①若共有 项，则 ；②若共有 项， ．
（2）等比数列 中， 表示它的前 项和．当 时，有 也成等比数列，
公比为 ．
【变式4-1】已知正项等比数列 共有 项，它的所有项的和是奇数项的和的 倍，则公比 .
【答案】
【解析】设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，
则 ，
由 ，得 ，因为 ，所以 ，所以 ， .
故答案为： .
【变式4-2】已知等比数列 的前n项和 ，则 ．
【答案】2
【解析】由题设， ，
若 时， ，故与 矛盾，
∴ ，即 ，显然成立.
故答案为：2.【变式4-3】（2024·高三·江苏苏州·期末）设Sn是等比数列 的前n项和，若 ，则
.
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为q，由已知 ，因为 ， ，
， ， ，
．
∴ ．
故答案为： ．
【变式4-4】数列 是等差数列，数列 是等比数列，公比为q，数列 中， ， 是数列
的前n项和．若 ， ， （m为正偶数），则 的值为 ．
【答案】
【解析】令 ， ， ，
q为等比数列 的公比，设d为等差数列 的公差，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，结合 ， ， ，
可得： ，解得 或 ，
由于m为正偶数，故 不合题意；
设 ，同理可知 ，
可得 ，
∴ ，
故答案为：题型五：奇偶项求和问题的讨论
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）数列 满足： ，数列 的
前 项和记为 ，则 ．
【答案】2191
【解析】 数列 是以 公差 的等差数列;
.
, 数列 是以 公比 的等比数列;
.
.
故答案为：2191.
【典例5-2】（2024·河南·模拟预测）已知数列 满足 ， 是数列 的前 项和，
若已知 ，那么 的值为（ ）
A．322 B．295 C．293 D．270
【答案】A
【解析】∵ ，由 可知，数列 的前 项是首项为 ，公比为 的等比数列，
故 为奇数， 为奇数，所以从第 项开始是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 .
故选：A
【方法技巧】
求解等比数列的前 项和 ，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数 的值；
对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从 为奇数、偶数进行分类．
【变式5-1】已知数列 满足 ，若 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，当 为奇数时， ，
此时 为偶数，则 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，即 .
故选：B.
【变式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）记 为数列 的前n项和，当 时, ．
且 ．
(1)求 ， ；
(2)（i）当n为偶数时，求 的通项公式；
（ⅱ）求 ．
【解析】（1）令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
因为 ，可得 ， .
（2）（i）当n为偶数时，则 ， ，
可得 ，且 ，
可知数列 的偶数项成首项为 ，公比为 的等比数列，
则 ，所以 （n为偶数）；
（ⅱ）当n为偶数时，则 ，即 ，
可得 ，
所以
，所以 .
【变式5-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知 为等差数列 的前n项和， ，
， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，若 ，求n的最小值.
【解析】（1）设数列 的公差为d，
依题意， ， 即 ，解得 ，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
恒成立，
令 ，
由 ，由于 ，所以 .
所以
所以 的最小值为4.
【变式5-4】已知数列 满足 ， ， 为参数且 .
(1)求 、 的值（用 表示），并探究是否存在 使得数列 成等比数列，若存在，求 的值，无需证
明.
(2)当 时，求 的前 项和 ；试给出 前 项和 表达式.
【解析】（1）由递推式可得 ；
；要使得 为等比数列，则必有 ，
即 ，且 ，解得 ，
此时 ，
即 ，而
所以当 时，数列 为等比数列；
（2）当 时 ， ， ；
当 时， ，
即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
设 ，则 ，
所以数列 的前 项和 ；
当 时， ，
即 ，
所以数列 是以 ， 为公比的等比数列，
设 ，
则数列 前 项和 ，
故 ，
即 ，
又 ；
令 ，即 ， 代入 ，得 ；
令 ，即 ，代入 ，得 ；故 .
题型六：等差数列与等比数列的综合应用
【典例6-1】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 是公差不为0的等差数列， ，且满足
成等比数列，则数列 前6项的和为 .
【答案】
【解析】设数列 公差为 ，由 成等比数列可得 ，
即 ，即 ，因为公差不为0，故 .
故 .
故 前6项的和为 .
故答案为：
【典例6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列 为各项均不相等的等比数列，其前 项和为 ，且
成等差数列，则 .
【答案】
【解析】设数列公比为 ，则 ，
成等差数列， ，
即 ，整理得 ，
解得 ，或 （舍去），
∴
故答案为：
【方法技巧】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列
通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式6-1】（2024·湖北荆州·三模）若实数 成等差数列， 成等比数列，则 = .
【答案】
【解析】实数 成等差数列，则等差数列的公差为 ，
成等比数列，则 ，
由于等比数列奇数项同号，所以 ，所以 ，则 .
故答案为： .
【变式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差为正数的等差数列 的前n项和为 ， 是等比数列，
且 ， ，则 的最小项是第 项．
【答案】2
【解析】设 的公比为 ，故 ，
，可得 ，
设 的首项为 ，公差为 ，故得 ，
化简得 ，解得 ，故 ，
故当 最小时， ，故得 是 的最小项，即 的最小项是第2项．
故答案为：2
【变式6-3】记 为公差不为0的等差数列 的前n项和，已知 ，且 ， ， 成等比数列，
则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， 成等比数列，得 ， ，
即 ，解得 ，即 ，
因此
所以当 或 时， 有最小值 .
故答案为：【变式6-4】（2024·陕西安康·三模）已知方程 的四个根组成以1为首项的等
比数列，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】设方程 的四个根由小到大依次为 ， ， ， ，
不妨设 的一根为1，则另一根为27，所以 ，
由等比数列的性质可知 ，所以 ， ，
所以等比数列 ， ， ， 的公比为 ，所以 ， ，由韦达定理得
，可得 .
故选：C.
题型七：等比数列的范围与最值问题
【典例7-1】（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，若 ， ，
且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．数列 中的最大值是 D．数列 无最大值
【答案】ABC
【解析】由 ， ，可得 为单调递减的数列且 ，
由 可得， .
A选项： ，显然A正确；
B选项： ，
根据等比中项可得 ，显然B正确；
C选项：由 ， 为单调递减的数列且 ，
可知 的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1，
所以数列 中的最大值是 ，所以C正确；
D选项：由C正确可知， 有最大值，所以D错误.
故选：ABC.【典例7-2】（多选题）（2024·湖北·二模）无穷等比数列 的首项为 公比为q，下列条件能使 既
有最大值，又有最小值的有（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【解析】 ， 时，等比数列 单调递减，故 只有最大值 ，没有最小值；
， 时，等比数列 为摆动数列，此时 为大值， 为最小值；
， 时，奇数项都相等且小于零，偶数项都相等且大于零，
所以等比数列 有最大值，也有最小值；
， 时，因为 ，所以 无最大值，奇数项为负无最小值，
偶数项为正无最大值.
故选：BC
【方法技巧】
等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列
的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的
性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最
大项或最小项。
【变式7-1】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列 的前 项的积为 ，且公比 ，
若对于任意正整数 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根据题意， 在 时取得最小值，所以 为单调递增数列，所以 ，所以A
正确，B错误；
当 时， ，满足题意，所以C错误；
由 可得 ，即 ，所以 ，所以D正确．
故选：AD．
【变式7-2】（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前n项和为 ，前n项积为 ，且满足条件 ，
， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．C． 是数列 中的最大项 D．
【答案】AB
【解析】 ， 或 ， ，
， 同号，
且 ， ，即数列前 项大于 ，从第 项开始小于1，
对于A， ，且易知 ，故 ，A正确，
对于B，易知 ，故 ， ，B正确，
对于C，由题意知 是递减数列，且 ， ，故 是数列 中的最大项，故C错误，
对于D， ，故D错误，
故选:AB
【变式7-3】（多选题）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ， ，则
（ ）
A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
【答案】AC
【解析】对于A，∵ ， ，∴ ，又 ， ，
∴ ，故A正确；
对于B，C，等比数列 满足 ，公比 ， ，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质， ，
又 ， ，
， ，
∵ ， ，
，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，则 ，
，即 ，为递增数列，故当 时， 最小，故B错误，C正确；
对于D，当 时， ， 为递增数列， ，
故D错误.
故选：AC
【变式7-4】（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】ABD
【解析】A项， 且 ，而 和 异号.
由于 知 ， ，即 ， ， ，故A项正确；
B项，从前面的求解过程知 ， ，说明 是单调递减的正项等比数列，
且 ，所以 ，那么 ，故B项正确；
C项， 是正项数列， 没有最大值，故C项错误；
D项，从前面的分析过程可知 前6项均大于1.从 起全部在 上.
所以 的最大值为 ，故D项正确，
故选：ABD
【变式7-5】（多选题）（2024·福建三明·三模）设等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若满足
， ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． 为递减数列 B．
C．当 时， 最小 D．当 时， 的最小值为4047
【答案】BC
【解析】A.由条件可知， ， 与 同号，所以 ，则 ，
而 ，则公比 ，
若 ，数列单调递减，则 ，那么 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，则那么 ，与已知矛盾，
只有当 ，才存在 ，使 ，所以等比数列 单调递增，故A错误；B.因为 ， 单调递增，所以 ，
则 ，即 ，故B正确；
C.因为 ，且 ，所以当 时， 最小，故C正确；
D.根据等比数列的性质可知， ， ，
所以当 时， 的最小值为4046，故D错误.
故选：BC
题型八：等比数列的实际应用
【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为 ，小张于2024年初存入大额存款10
万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（ ）（单位：万元，结果保留一位小数）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【答案】B
【解析】存入大额存款10万元，按照复利计算，
每年末本利和是以10为首项， 为公比的等比数列，
所以本利和 ．
故选：B．
【典例8-2】（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为 ，
以后按约定自动转存，那么该同学在 年元旦可以得到本利和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】记 年后得到的本利和为 ，根据题意知 ，
即数列 是一个首项为 ，公比为 的等比数列，
∴该同学 年元旦在银行存款 万元， 年元旦即 年后得到的本利和为：
（元）.
故选：A
【方法技巧】
等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要
的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌
握等比数列的应用具有实际意义。
【变式8-1】在等腰直角三角形ABC中， ， ，以AB为斜边作等腰直角三角形 ，再以
为斜边作等腰直角三角形 ，依次类推，记 的面积为 ，依次所得三角形的面积分别为 ，
……若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题知 ， ， ，…， ，
∴ ，
又 ，∴数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
∴ ，∴ ，
故选：B．
【变式8-2】如图，雪花形状图形的作法是:从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中
间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原
正三角形(图①)的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的
，即 ，
所以 为首项为 ，公比为 的等比数列， .故选：A
【变式8-3】（2024·云南昆明·模拟预测）每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某
种单瓣荷花的花期为3天（第四天完全凋谢），池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后
每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】设第 天水塘中的荷花朵数为 ，则 ，
设第 天池塘内开放荷花的数量为 ，则 ， ，
，
当 时， ，
当 时， ，
所以荷花的数量在第7天达到最大.
故选：B.
【变式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如
图所示，作 ， ， ，再依次作相似三角形 ， ， ，……，直至
最后一个三角形的斜边 与 第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
设第 三角形的斜边长为 ，面积为 ，
由题意可知： ， ， ，则 ， ，
可知数列 是以首项 ，公比为 的等比数列，
所以所作的所有三角形的面积和为 .
故选：D.
题型九：公共项与插项问题
【典例9-1】将数列 与 的公共项由小到大排列得到数列 ，则数列 的前n项的和为 ．
【答案】
【解析】由题意令 ，即2不是数列 与 的公共项；
令 ，即4是数列 与 的公共项；
令 ，即8不是数列 与 的公共项；
令 ，即16是数列 与 的公共项；
依次类推，可得数列 ： ，
即 是首项为4，公比为4的等比数列，
故数列 的前n项的和为 ，
故答案为：
【典例9-2】已知数列 满足 ，在 和 之间插入 个1，构成数列 ，
则数列 的前20项的和为 .
【答案】77
【解析】在 之间插入 个1，构成数列 ，所以共有 个数，
当 时， ，当 时， ，
由于 ，所以 .
故答案为： .
【方法技巧】
公共项与插项问题是数列研究中的重要内容，具有广泛的应用背景。
公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用
数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两
原数列公差的最小公倍数。
插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项
对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的
修正等方面。
综上所述，公共项与插项问题是数列研究中的基础而重要的问题，对于深入理解数列的性质和应用具
有重要意义。
【变式9-1】已知数列 满足 ，在 和 之间插入 个1，构成新的数列 ，则数列 的前
20项的和为 .
【答案】77
【解析】在 之间插入 个1，构成数列 ，而 ，
则数列 中不超过 的数的个数为 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 .
故答案为：
【变式9-2】已知各项均为正数的数列 中， 且满足 ，数列 的前n项和为
，满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ： ， ， ， ， ， ， ， ， ，
，……，求数列 中前50项的和 ．
【解析】（1）由
得：
∵
则 是首项 ，公差为2的等差数列，∴ ，
又当 时， 得 ，
当 ，由 …①
…②
由①－②整理得： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列 是首项为1，公比为3的等比数列，故 ；
（2）依题意知：新数列 中， （含 ）前面共有： 项．
由 ，（ ）得： ，
∴新数列 中含有数列 的前9项： ， ，……， ，含有数列 的前41项： ， ， ，……，
；
∴ ．
【变式9-3】（2024·甘肃张掖·模拟预测）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成
新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列 经过第一次“和扩充”后得
到数列 ；第二次“和扩充”后得到数列 ．设数列 经过 次“和扩充”后得
到的数列的项数为 ，所有项的和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求不等式 的解集；
(3)是否存在数列 ，使得数列 为等比数列？请说明理由．
【解析】（1） ，第一次“和扩充”后得到数列 ，
第二次“和扩充”后得到数列 ，
；
（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，
数列 经过 次“和扩充”后得到的数列的项数为 ，则经第 次“和扩充”后增加的项数为 ，
所以 ，所以 ，
其中数列 经过1次“和扩充”后，得到 ，故 ，
，
故 是首项为4，公比为2的等比数列，
所以 ，故 ，
则 ，即 ，
又 ，解得 ，
（3）因为 ，
， ，
依次类推， ，
故
，
若使 为等比数列，则 或 .
【变式9-4】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
【解析】（1） ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
而 ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ；若数列 满足 ， （ ， ），
则 ，
从而数列 的通项公式为 ；
（2）令 ，解得 ，这表明 ，
从而只能 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
【变式9-5】（2024·全国·模拟预测）设 为等差数列 的前n项和，且 ，数列 满足
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)若将数列 和 的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为d，
由题意得， 解得 ，
所以由等差数列的通项公式可得： ．
由 得数列 是首项为4，公比为4的等比数列，
所以由等比数列的通项公式可得：
（2）令 ，则可得 ，
所以
，
即对于数列 中的任意一项，都在数列 中存在公共项，
所以数列 是数列 的子数列，从而可得 ，
所以 ．1．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列 的各项均为正数，前n项和 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由题知 ,
即 ,即 ,即 .
由题知 ,所以 .
所以 .
故选:C.
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则
（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
3．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则
（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记 为等比数列 的前n项和.若 ， ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵ 为等比数列 的前n项和，
∴ ， ， 成等比数列
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
5．（2024年上海秋季高考数学真题）无穷等比数列 满足首项 ，记
，若对任意正整数 集合 是闭区间，则 的取值范围是 ．【答案】
【解析】由题设有 ，因为 ，故 ，故 ，
当 时， ，故 ，此时 为闭区间，
当 时，不妨设 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，
若 ，则 ，
综上， ，
又 为闭区间等价于 为闭区间，
而 ，故 对任意 恒成立，
故 即 ，故 ，
故 对任意的 恒成立，因 ，
故当 时， ，故 即 .
故答案为： .
1．已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列．
（2）若 ，求满足条件的最大整数n．
【解析】（1）由题意，数列 满足 ，可得 ，
可得 ，即 ，又由 ，所以 ，
所以数列 表示首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）可得 ，所以
设数列 的前 项和为 ，
则
，
若 ，即 ，
因为函数 为单调递增函数，
所以满足 的最大整数 的值为 .
2．已知 是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列 中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项
与公比分别是多少？
（2）取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与
公比分别是多少？
（3）在数列 中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公
比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
【解析】（1）将数列 中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与
公比分别是 ；
（2）取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是
；
（3）在数列 中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是 ，我
们由此可以得到一个结论： 在数列 中，每隔 项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，
它的公比为 .3．已知数列 为等差数列， ， ，前n项和为 ，数列 满足 ，
求证：
（1）数列 为等差数列；
（2）数列 中的任意三项均不能构成等比数列．
【解析】（1）因为等差数列 满足 ， ，所以 ，所以 ，
所以
所以 ，即 ，
即 为公差为 的等差数列；
（2）设数列 中任意三项 ， ，
则 ，假设 成等比数列，则
即
因为
所以 ，所以 ，即 ，与 矛盾，所以数列 中的任意三项均
不能构成等比数列．
4．已知数列 为等比数列， ，公比 ．若 是数列 的前n项积，求 的最大值．
【解析】因为数列 为等比数列， ，公比 ，
所以 ，
所以
当 时， 最大，即 ，解得： ，
此时
易错点：不能灵活运用等比数列的性质
易错分析：解题的过程中要注意把握等比数列的基本性质，以及前n项和的性质，正确运用学过的知
识，进行合理计算即可.
【易错题1】在各项均为正数的等比数列 中， ，则 .
【答案】4
【解析】因为数列 为等比数列，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：4.
【易错题2】等比数列 中， ， ，则
【答案】
【解析】等比数列 中，所有偶数项符号相同
， ，则
所以 .
故答案为：8
