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第 01 讲 一元二次方程
知识点1：一元二次方程的概念
知识点2：一元二次方程的一般式
知识点3：一元二次方程的解
等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方
程，叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
（1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母
上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且
未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数项的最高次数是2。
【题型1一元二次方程的概念】
【典例1 】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x−3=0 B．x2−6x−3=0
C．x2−3x−4 D．4xy+1=0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一
元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、2x−3=0，不是一元二次方程，故选项不符合题意；B、x2−6x−3=0，是一元二次方程，故选项符合题意；
C、x2−3x−4，不是方程，故选项不符合题意；
D、4xy+1=0，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
故选：B．
【变式1】下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+ =2 B．x2+xy=3 C．x2+3x=4 D．3(x−2)=5x
x
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即
可求解．只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二
次方程．
1
【详解】解：A． x2+ =2，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符
x
合题意；
B． x2+xy=3，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C． x2+3x=4，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D． 3(x−2)=5x，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列方程属于一元二次方程的是（）
1
A．2(x−1)=x B．x2−xy−1=0 C．x2−2=3x D． +x=1
x2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未
知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A．2(x−1)=x未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正
确，不符合题意．
B．x2−xy−1=0，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题
意；
C．x2−2=3x，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元
二次方程，故该选项正确，符合题意；1
D． +x=1，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
x2
故选：C．
【变式3】下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．x2+1=0 B．x2+ =0
x
C． D．
(x+1) 2=x2 x2+ y+1=0
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的
最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、原方程化简得：2x+1=0，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】
【典例2】若关于x的方程 是一元二次方程，则m= ．
(m−3)x|m−1|+2x=0
【答案】−1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．根据题意列出关
于m的等式求解即可．
【详解】解：根据题意可知{m−3≠0)
|m−1)=2
解得m=−1．
故答案为：−1．
【变式1】方程 是关于 一元二次方程，则 的值为 ．
(a−2)x|a|+2x−7=0 x a
【答案】−2
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程定义确定方
程中未知数的最高次数以及二次项系数的条件．根据一元二次方程的定义，方程中未知数最高次数为2且二次项系数不为0，据此确
定a的值．
【详解】根据题意可得：
未知数x的最高次数|a|=2，即a=±2，
二次项系数a−2≠0，即a≠2，
综合以上两个条件，a只能取−2，
故答案为：−2．
【变式2】若xm+1−2=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关
键．根据一元二次方程的定义得m+1=2，求出m的值即可．
【详解】解：若xm+1−2=0是关于x的一元二次方程，则m+1=2，
解得m=1．
故答案为：1．
【变式3】已知关于x的方程 是一元二次方程，则 ．
(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0 m=
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出m+1≠0且
|4m)−2=2，再求出答案即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
(m+1)x|4m)−2+27mx+5=0
∴m+1≠0且|4m)−2=2，
解得：m=1，
故答案为：1．
一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²
叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数
项。
注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程
（2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程
各项系数时不要漏掉前面的性质符号。
【题型3 一元二次方程的一般形式】
【典例3】把一元二次方程(x+1)(1−x)=2x化成一般式为（ ）
A．−x2+1=2x B．−x2+2x+1=0
C．x2+2x+1=0 D．x2+2x−1=0
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解
题的关键：一元二次方程的一般形式是 ，它的特征是等号左边是
ax2+bx+c=0(a≠0)
一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中ax2是二次项，a是二次项系数，
bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项．
将方程左边展开，然后移项，化成一元二次方程的一般形式即可．
【详解】解：(x+1)(1−x)=2x，
∴1−x2=2x，
∴x2+2x−1=0，
故选：D．
【变式1】将一元二次方程3x2−x=2化成一般形式是（ ）
A．3x2−x+2=0 B．3x2+x−2=0
C．−3x2−x+2=0 D．3x2−x−2=0
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为 的
ax2+bx+c=0(a≠0)
形式即可．
【详解】解：3x2−x=2，
∴3x2−x−2=0；
故选D．【变式2】一元二次方程3x2−4x−6=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
（ ）
A．3，−6，4 B．3，−4，6 C．3，−6，−4 D．3，−4，−6
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0 （a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中
容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，
b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次
项系数、常数项的定义，即可进行解答．
【详解】解：一元二次方程3x2−4x−6=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别
是3，−4，−6，
故选：D．
【变式3】将一元二次方程 化为 的形式，则 ， ， 的值分别
(x−1) 2+4=0 ax2+bx+c=0 a b c
为（ ）
A．1，−2，5 B．1，−1，4 C．−1，5，2 D．1，2，5
【答案】A
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式
是解题关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将 化为 的形式为 ，
(x−1) 2+4=0 ax2+bx+c=0 x2−2x+5=0
故a=1，b=−2，c=5，
故选：A．
1.能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决
此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解.
2.一元二次方程的重要结论：
（1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。
（2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11
是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。
【题型4 已知一元二次方程的解求参数】
【典例4】已知关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是1，则m的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意将x=1代入原方程，得出关于m的
一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程x2+mx−3=0的一个根是1，
∴1+m−3=0
解得：m=2，
故答案为：2．
【变式1】关于x的一元二次方程x2−5x−2k=0的一个根是1，则k的值是 ．
【答案】−2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出12−5×1−2k=0，解方程即
可得解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−5x−2k=0的一个根是1，
∴12−5×1−2k=0，
∴k=−2，
故答案为：−2．
1
【变式2】已知关于x的方程 x2−kx+4=0的一个根为x=2，则k= ．
2
【答案】3
【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把x=2
代入原方程求k．
【详解】解：把x=2代入原方程：
1
∴ ×4−2k+4=0，
2
∴k=3，
故答案为：3．【变式3】已知x=2是关于x的方程x2+2a=10的解，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的
关键．把x=2代入方程，解之即可得到a的值．
【详解】解：∵x=2是关于x的方程x2+2a=10的解，
∴22+2a=10，
解得a=3．
故答案为：3．
【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
【典例5】已知a是方程x2+2x=3的一个根，则代数式2a2+4a+2025的值为 ．
【答案】2031
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的
根的定义得出 ，然后把 变形为 ，再把
a2+2a=3 2a2+4a+2025 2(a2+2a)+2025
a2+2a=3整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2+2x=3的一个根，
∴a2+2a=3，
∴2a2+4a+2025
=2(a2+2a)+2025
=2×3+2025
=2031，
故答案为：2031．
【变式1】m是方程2x2+3x−1=0的根，则式子4m2+6m+2025的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解
是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得2m2+3m=1，再根据
计算求解即可．
4m2+6m+2025=2(2m2+3m)+2025
【详解】解：∵m是方程2x2+3x−1=0的根，
∴2m2+3m−1=0，∴2m2+3m=1，
∴ ，
4m2+6m+2025=2(2m2+3m)+2025=2×1+2025=2027
故答案为：2027．
【变式2】已知a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式−2a2−2a+2025的值是
．
【答案】2023
【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，掌握理解一元二次方程的根的
定义是解题关键．
先根据一元二次方程的根的定义可得a2+a=1，再作为整体代入即可得．
【详解】解：由题意得：a2+a−1=0，即a2+a=1，
则
−2a2−2a+2025=−2(a2+a)+2025
=−2×1+2025
=2023，
故答案为：2023．
【变式3】若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个解，则2a2+4a−1的值为 ．
【答案】5
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2+2a=3，
然后将其代入所求的代数式并求值即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义．
【详解】】解：∵x=a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个解，
∴a2+2a=3，
∴ ，
2a2+4a−1=2(a2+2a)−1=2×3−1=5
故答案为：5
一、单选题
1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（ ）
1
A． ax2+bx−c=0 B．3x2− −1=0
xC． D．
x2+2x−3=0 x2−x(x−7)=0
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键．根
据一元二次方程的定义逐一判断即可．一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方
程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个
未知数； ③未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、 是一元二次方程，故该选项不符合题意；
ax2+bx−c=0(a≠0)
1
B、3x2− −1=0不是整式方程，故该选项不符合题意；
x
C、x2+2x−3=0是一元二次方程，故该选项符合题意；
D、 不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
x2−x(x−7)=x2−x2+7x=7x=0
故选：C
2．关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为
（ ）
A．3,−5,−2 B．3,−5x,2 C．3,5x,−2 D．3,−5,2
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二
次方程的一般式是关键．
根据一元二次方程的概念及一般式“ ”判定即可．
ax2+bx+c=0(a≠0)
【详解】解：关于x的一元二次方程3x2−5x+2=0的二次项系数，一次项系数和常数
项分别为3,−5,2，
故选：D ．
3．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
x (k−2)x2+3x−1=0 k
A．k≠0 B．k≠2 C．k>2 D．k>0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如 的方程是一元二
ax2+bx+c=0(a≠0)
次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
x (k−2)x2+3x−1=0
∴k−2≠0，
∴k≠2，
故选：B．
4．已知a是方程x2+3x−1=0的一个根，则(a+4)(a−1)的值为（ ）
A．1 B．3 C．−3 D．−5
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据
a是方程x2+3x−1=0的一个根，可得出a2+3a=1，再化简代数式，整体代入即可求
解．
【详解】解：∵a是方程x2+3x−1=0的一个根，
∴a2+3a=1
∴
(a+4)(a−1)=a2+4a−a−4=a2+3a−4=1−4=−3
故选：C．
二、填空题
5．关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，则k= ．
【答案】−1
【分析】本题考查一元二次方程根的定义，将x=1代入x2−kx−2=0得到关于k的一
元一次方程，求解即可．解题的关键掌握一元二次方程根的定义：使方程左右两边相
等的未知数的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−kx−2=0的一个根为x=1，
∴12−k×1−2=0，
解得：k=−1．
故答案为：−1．
6．若a是方程x2+x−1=0的根，则代数式2−a2−a的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到a2+a=1，再将
a2+a=1整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键．【详解】解：∵ a是方程x2+x−1=0的根，
∴ a2+a−1=0，即a2+a=1，
∴ 2−a2−a
=2−(a2+a)
=2−1
=1，
故答案为：1．
2020n
7．已知n为方程x2−4x+1=0的根，则 = ．
n2+1
【答案】505
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，熟练运用整体思想是解题的关键．
根据一元二次方程的解的定义得到n2+1=4n，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由题意可知：n2−4n+1=0，
∴n2+1=4n
2020n 2020n
∴ = =505．
n2+1 4n
故答案为：505．
8．已知x=3是关于x的方程ax2−bx=6的解，则6a−2b−7的值 ．
【答案】−3
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，代数式求值等知识，先把x=3代入
ax2−bx=6得出3a−b=2，再把代数式变形得出2(3a−b)−7，然后整体代入求值
即可．
【详解】解：把x=3代入ax2−bx=6可得出：9a−3b=6，
即3(3a−b)=6，
即3a−b=2，
∴6a−2b−7=2(3a−b)−7=2×2−7=−3，
故答案为：−3．
三、解答题
9．已知一元二次方程(3x−2)(x+1)=8x−3．
(1)将方程化成一般形式；(2)写出二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】(1)3x2−7x+1=0
(2)二次项系数为3，一次项系数为−7，常数项为1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般式为
ax2+bx+c=0（其中a、b、c是常数，a≠0），其中a叫做二次项系数，ax2叫做二
次项，b叫做一次项系数，bx叫做一次项，c叫做常数项．
（1）根据一般式的定义，先利用多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后移项，合
并同类项即可得到答案；
（2）根据（1）所求即可得到答案．
【详解】（1）解：∵(3x−2)(x+1)=8x−3，
∴3x2−2x+3x−2=8x−3，
∴3x2−2x+3x−2−8x+3=0，
∴3x2−7x+1=0；
（2）解：由（1）得原方程的一般式为3x2−7x+1=0，
∴二次项系数为3，一次项系数为−7，常数项为1．
