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期末重难点真题特训之易错必刷题型（126题37个考点）
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、认识一元二次方程
1．（24-25九年级上·江西九江·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程
叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、方程 是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、方程 是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、方程 含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、方程 不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）m是方程 的根，则式子 的值为 ．
【答案】2024
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，能够运用整体思想进行求解是解题的关键．先将
m代入方程，进而变形得 ，再将原式变形，代入求解即可．
【详解】解：∵m是方程 的根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为：2024．
3．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有 ，其
中等式右边是常用的乘法和减法运算．如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于x的方程 的一个根为2，求m的值．
【答案】(1)10；
(2) ．
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键．
（1）根据定义计算即可；
（2）先根据定义化简，再将 代入，即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
又因为方程的一个根为2，
所以 ，
解得 ．
易错必刷题二、用配方法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·广东珠海·阶段练习）解一元二次方程 ，配方后得到 ，则p
的值是（ ）
A．13 B．9 C．5 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法进行计算即可解答．
【详解】解： ，
，
，
，
．
故选： ．
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）新定义：关于 的一元二次方程 与
称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有
关于 的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式
能取的最小值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本
题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，
求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可．
【详解】解： 与 是“同族二次方程”，
，
∴ ，
，
∴ ，，
最小值为 ，
最小值为 ，
即 最小值为 ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．
观察下列式子：
① ，
．因此．代数式 有最小值−2；
② ．
．
因此，代数式 有最大值4；
阅读上述材料并完成下列问题：
(1)代数式 的最小值为____________；代数式 的最大值为____________．
(2)求代数式 的最小值．
【答案】(1)−2，
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用；
（1）先配方，再根据非负数的性质求解；
（2）先配方，再根据非负数的性质求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
故答案为：−2， ；
（2）∵ ，∴代数式 的最小值为 ．
易错必刷题三、用公式法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）若 是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方
程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是解题的关键；因此此题可根据公式法进行
求解．
【详解】解：由一元二次方程的求根公式 ，结合 ，可知：
；
∴这个一元二次方程可以是 ；
故选D．
2．（24-25九年级上·福建三明·期中）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确
答案小1，则正数a的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程 ，利用公式法解方程即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故答案为：
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）按要求解下列方程：(1) ；（公式法）
(2) ．（配方法）
【答案】(1) ， ;
(2) ， .
【分析】此题考查一元二次方程，解题的关键是根据题目要求按照步骤进行计算求解．
（1）根据公式法的求解步骤进行求解即可；
（2）按照配方步骤即可解得．
【详解】（1）解：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
易错必刷题四、用因式分解法求解一元二次方程
1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）方程 的根是（ ）
A． ， B． ，C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，直接利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：
x=0或
∴ ， ，
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东河源·期中）定义新运算： ，例如：
．若 ，则x的值为 ．
【答案】0或 / 或0
【分析】根据题意列得方程并解方程即可．本题考查实数的新定义，解一元二次方程，结合已知条件列得
正确的方程是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得： ，
即 ，
解得： 或 ，
故答案为：0或 ．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程特点灵活运算解一元二次方程的方法是关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1） ，
，
或 ，
解得 ， ．
（2） ，
，
，
，
．
易错必刷题五、一元二次方程的根与系数的关系
1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）若m、n是关于x的方程 的两个根，则 的
值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知 是一元二次方程 的
两根时， 是解答此题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系求出
，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，∴ ，
故选：A．
2．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）一元二次方程 的两根和为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到 ，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得： ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）若关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，
且 ，则称这样的方程为“伴根方程”．例如：一元二次方程 的两个根是 ，
且 ，则方程 是“伴根方程”，
(1)方程 ______“伴根方程”；（填“是”或“不是”）
(2)已知关于x的一元二次方程 （m是常数）是“伴根方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“伴根方程”，证明： ．
【答案】(1)是
(2)1或
(3)见解析
【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据“伴根方程”的定义进行判断；
（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到 ， ，再根据“伴根方程”的定义得到 ，
然后解关于 的方程即可．
（3）先设一元二次方程 的两根分别为 ，则 ，整理得，则 ，即 ，整理得 ，即可作答．
本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根，则 ，
．也考查了因式分解法来解一元二次方程，平方差公式．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
得 ， ，
，
方程是“伴根方程”，
故答案为：是；
（2）解： ，
，
或 ，
， ，
∵方程 是常数）是“伴根方程”，
，
或 ．
（3）证明：设一元二次方程 的两根分别为 ，
则 ，
∴ ，
，
，，
，
．
易错必刷题六、一元二次方程的应用（营销、数字、传播）问题
1．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）化学是一门以实验为基础的学科，小华在化学老师的帮助下，学会
了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，第一节课手把手教会了同一个学习小组的 名同学做该实验，
第二节课小华因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了 名同学，这样全班43
名同学恰好都会做这个实验了．求 的值．
【答案】 的值为6
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解题目中数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关
键．
小华第一节课手把手教会了同一个学习小组的 名同学做该实验，班上其余会做该实验的每名同学又手把
手教会了 名同学，全班43名同学恰好都会做，由此数量关系列式即可求解．
【详解】解：由题意得 ，
解得 （不符合题意，舍去），
答： 的值为6．
2．（24-25九年级上·江西南昌·期中）据统计，某红色博物馆开馆的第一个月进馆75000人次，由于红色
文化深入人心，进馆人次逐月增加，第三个月进馆108000人次．若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，该红色博物馆月接纳能力不能超过120000人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件
下，该红色博物馆能否接纳第四个月的进馆人次？并说明理由．
【答案】(1)进馆人次的月平均增长率为
(2)红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设进馆人次的月平均增长率为x，列式 ，进行计算，即可作答．
（2）根据月平均增长率为 ，算出第四个月的进馆人次为 ，再与 进行比较，即可作答．
【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x，根据题意得 ，
解得： ， （不合题意，舍去）
答：进馆人次的月平均增长率为 ；
（2）解：不能，理由如下：
依题意，第四个月的进馆人次 ，
答：红色博物馆不能接纳第四个月的进馆人次．
3．（24-25九年级上·四川成都·期中）某商场以每件 元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品
每天的销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种
商品每天获利 （元）．
(1)求 与 之间的函数关系式；
(2)该商场规定这种商品每件售价不得高于40元，商品要想获得 元的利润，每件商品的售价应定为多少
元？
【答案】(1)
(2) 元
【分析】本题考查了一次函数、一元二次方程的实际应用，注意计算的准确性是解题关键．
（1）设 与 之间的函数关系式为： ，将点 代入即可求解；
（2）根据 即可求解；
【详解】（1）解：设 与 之间的函数关系式为： ，
将点 代入得： ，解得： ，
∴ 与 之间的函数关系式为： ，
（2）解：由题意得： ，
令 ，则 ，
解得： ，
∵商场规定这种商品每件售价不得高于40元，
∴ ，
∴商品要想获得 元的利润，每件商品的售价应定为 元
易错必刷题七、一元二次方程的应用（图形、动态几何、行程）问题
1．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，设计修建一个矩形花坛，已知花坛长150米，宽80米．设计
在花坛中修建一条横向通道和两条纵向通道，各通道的宽度相等且为x米．
(1)用含x的式子表示横向通道的面积；
(2)当三条通道的面积是矩形面积的八分之一时，求通道的宽．
【答案】(1)
(2)通道的宽是5米
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）根据横向通道的面积等于矩形长乘以通道宽计算即可；
（2）根据题意得出甬道总面积为各通道面积之和，即可根据当三条通道的面积是矩形面积的八分之一列
方程求解即可．
【详解】（1）解：横向通道的面积为： ；
（2）解：横向通道的面积为： ，通道总面积为 ，
依题意： ，
整理得： ，
， （不符合题意，舍去），
∴通道的宽为5米．
2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速
直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平
均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？
(2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1， ， ）
【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少
(2)小球滚动 约用了 秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据以 的速度开始向前滚动，并且均匀减速， 后小球停止运动列式计算即可；
（2）设小球滚动 约用了 秒，由时间 速度 路程，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少 ，
答：小球的滚动速度平均每秒减少 ．
（2）解：设小球滚动 约用了 秒，此时速度为 ，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，不符题意，舍去，
，
答：小球滚动 约用了 秒．
3．（23-24九年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点P从点A开始沿 边向点B以 的速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的度移动．当
点Q到达C点时，点P，点Q停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ？
(2)在（1）中，当 的面积等于 时，求P点的运动时间．
【答案】(1)3秒
(2)P点的运动时间2秒或3秒．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，勾股定理．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设经过t秒后，PQ的长度等于 ，利用勾股定理列出方程，求解即可；
（2）设经过x秒后， 的面积等于 ，表示出 ， ，则 ，再由
三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】（1）设经过t秒后，PQ的长度等于 ．
∵点P的速度为 ，点Q的速度为 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去）， ，
∴3秒后， 的长度为 ；（2）设经过x秒后， 的面积等于 ，
∴ ， ，则 ，
∵ 的面积等于
∴ ，
解得 ， ，
∴P点的运动时间2秒或3秒．
易错必刷题八、二次函数的概念
1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，把形如 （a、b、c是常数，且 ）的函数
叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．据此逐项判断即可．
【详解】解：A. ，是正比例函数，不符合题意；
B. ，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
C. ，是一次函数，不符合题意；
D. ，是二次函数，符合题意；
故选：D．
2．（23-24九年级上·上海松江·期末）某件商品原价为100元，经过两次涨价后的价格为 元，如果每次
涨价的百分率都是 ，那么 关于 的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1+涨价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】由题意得： ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，
请指出二次项、一次项系数及常数项．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(2)不是；
(3)是，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
(4)不是
【分析】根据二次函数的概念求解即可．
【详解】（1）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
（2） ，不含二次项，故不是二次函数；
（3）是二次函数，二次项是 、一次项系数是 、常数项是 ；
（4） 中 不是整式，故不是二次函数．
【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知
识点．形如 （ ）的函数叫做二次函数，其中 叫做二次项、 叫做一次项系数、 是
常数项．易错必刷题九、二次函数的图像
1．（23-24九年级上·山西晋城·期末）如图，二次函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，牢记： ，图象开口向下 ，图象与y轴的交
点在 x轴的上方，是解题关键．
根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案．
【详解】解：由二次函数 可知二次函数 的图象的对称轴为y轴，
，
∴图象开口向下，故A、B错误；
，图象的顶点在y轴的正半轴上，故C正确；
故选：C．
2．（24-25九年级上·上海·期中）如果二次函数 的图象在它对称轴左侧部分是上升的，那么a
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线在它对称轴左侧部分是上升的，得到抛物线的开口
向下，即可得出结果．
【详解】解：∵二次函数 的图象在它对称轴左侧部分是上升的，
∴抛物线的开口向下，∴ ；
故答案为：
3．（23-24九年级·上海·假期作业）将函数 、 与函数 的图像进行比较，函数
、 的图像有哪些特征？完成下表．
开口方
抛物线 对称轴 顶点坐标
向
【答案】见解析
【分析】根据抛物线 与抛物线 的性质进行比较即可．
【详解】抛物线 （其中 、 是常数，且 ）的对称轴是 轴，即直线 ；顶点坐标是
．抛物线的开口方向由 所取值的符号决定，当 时，开口向上；当 时，开口向下．
开口方
抛物线 对称轴 顶点坐标
向
向上 轴
向上 轴
向上 轴
【点睛】本题考查了 的性质，掌握抛物线 与抛物线 的性质是解题的关键．
易错必刷题十、二次函数图象与各项系数符号
1．（24-25九年级上·上海·期中）已知二次函数 的图象如图所示，那么a、b、c的符号为（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据 的图象的开口向下，得出 ，抛物线的
对称轴在 的负半轴，得 ，整理得 ，因为函数 与 轴的交点在正半轴，得
，即可作答．
【详解】解：∵ 的图象的开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴在 的负半轴，
∴对称轴 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵函数 与 轴的交点在正半轴，
∴ ，
故选：A．
2．（2024·上海虹口·一模）已知抛物线 如图所示，那么点 在第 象限．【答案】二
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定 的符号，抛物线与
轴的交点确定 的符号，即可确定点 所在的象限．
【详解】解：由抛物线的图象得， ， ，
，
在第二象限．
故答案为：二．
3．（23-24九年级上·吉林·期末）已知抛物线 ，如图所示，直线 是其对称轴．
(1)确定a、b、c的符号；
(2)当x取何值时， ；当x取何值时， ．
【答案】(1) ， ，
(2) ； 或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系：
（1）根据抛物线开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，利用二次函数图象与系数的关系求解；
（2）根据抛物线与x轴交点位置，利用数形结合思想求解．
【详解】（1）解： 抛物线开口向下，
，
对称轴为直线 ，，
，
抛物线与y轴交点位于y轴的正半轴，
，
综上可知， ， ， ；
（2）解：由所给图象可得，抛物线与x轴交点坐标为 ， ，
当 时，抛物线在x轴上方，当 或 时，抛物线在x轴下方，
当 时， ；当 或 时， ．
易错必刷题十一、二次函数图象综合判断
1．（2024·上海闵行·一模）已知反比例函数y＝ ，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，下列四个选
项中，可能是二次函数y＝2kx2﹣x﹣k图象的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝ ，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，
∴k＜0，
∴二次函数y＝2kx2﹣x﹣k中，2k＜0，则图象开口向下，
﹣k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，
又∵b＝﹣1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，
符合题意的只有选项D．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．
2．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试） 如图，已知抛物线 （a，b均不为0）与双曲线
的图象相交于 ， ， 三点．则不等式 的解是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式
，再结合函数图像即可得出答案．
【详解】解：不等式 可以转化为不等式 ，
根据函数图像可知不等式的解集为： 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）如图，抛物线 与直线 相交于点A(−2,0)和点
．
(1)求 和 的值；(2)求点 的坐标，并结合图象写出不等式 的解集．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ．
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键．
（1）根据抛物线和直线都经过点 ，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式；
（2）首先联立抛物线和直线求出点 的坐标为 ，然后根据图象求解即可．
【详解】（1）解：因为抛物线 经过点 ，
所以 ，
所以 ．
因为直线 经过点 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为 ，直线 的解析式为 ．
联立
解得 或
所以点 的坐标为 ．
结合图象可知，不等式 的解集为 ．
易错必刷题十二、抛物线与x轴的交点问题
1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）二次函数 的图像如图所示，现有以下结论：
① ；② ；
③ ；
④ ；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知 即可判定①、抛物线对
称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，可判定 ， 则可判定②；令 ，由抛物线可知当 时，
函数值大于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性
质成为解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，故①正确．
∵抛物线对称轴在y轴右侧，且交y轴正半轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故②错误，
当 时， ，
即 ，故③错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故④正确，
综上①④正确，
故选：B．
2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）抛物线 与x轴的两个交点之间的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．令，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线 与
x轴两个交点之间的距离．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴当 时， ，
解得： ， ．
∵ ，
∴抛物线 与x轴两个交点之间的距离为5．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于
A，B两点．抛物线 经过点A且交线段 于点C．
(1)求k的值．
(2)求点C的坐标．
(3)直接写出当x在何范围时， ．
【答案】(1)
(2)(3) 或
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合：
（1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案；
（3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
把 代入 中得： ，解得 ；
（2）解：由（1）可得 ，
联立 ，解得 或 ，
∴ ；
（3）解：由函数图象可知，当 或 时， ．
易错必刷题十三、待定系数法求二次函数解析式
1．（2024·上海奉贤·一模）已知二次函数 的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对
应值如下表：
x … 0 1 3 4 5 …
y … …
关于它的图象，下列判断正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．一定经过点 D．在对称轴左侧部分自左至右是下降的
【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的解析式，由表格中点 ， ，可知抛物
线的对称轴为直线 ．设抛物线的解析式为 ，将 ， 分别代入，可解得
，再进一步解答即可．
【详解】解：∵点 ， 在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线 ．
设抛物线的解析式为 ，将 ， 分别代入，
，
可解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分自左至右是上升的．
将 代入，得 ．
故选C．
2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）二次函数 中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，
则m的值为 ．
0 1 2 3 4
7 2 2 7【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握用待定系数法求出二次函数的解析式的方法是解
题的关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，即可求解．
【详解】解：把点 代入 ，得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
当 时， ．
故答案为： ．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，已知二次函数 图象经过点 和 ．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1) ，顶点坐标为
(2) 或
【分析】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．
（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；
（2）求出 、B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．
【详解】（1）把 和 代入 得：
，解得 ，
二次函数的表达式为 ，
，
顶点坐标为 ；
（2）如图：
点 关于对称轴直线 的对称点 ，点 关于对称轴直线
的对称点 ，
由图像可得，当 时， 的范围是 或
易错必刷题十四、利用不等式求自变量或函数值的范围
1．（2024·甘肃武威·二模）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为
，对称轴为直线 ，将抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，则当
时， 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴
的另一个交点．
首先根据二次函数的对称性得到抛物线 与x轴的另一个交点为 ，然后根据平移的性质得到抛物线
与x轴的两个交点坐标为 和 ，再根据抛物线的开口方向即可求得当 时的x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线 与x轴的另一个交点为 ，
∵抛物线 沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线 ，
∴抛物线 与x轴的两个交点坐标为 和
∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C．
2．（23-24九年级上·上海·自主招生）不等式 对于一切实数 都成立，则 的最大值为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易
得要使不等式 对于一切实数 都成立，则需满足 ，进而根据二次函数的最
值问题可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 时，函数 的最小值是当 时取得， 即为9；
当 时，函数 的最小值是当 时取得，即为5；
∴ ，∴ ，
即a的最大值为5．
3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，已知抛物线 经过 两点，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线解析式；
(2)观察图象：当 时，直接写出y的取值范围_______．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数函数值的范围：
（1）直接利用两点式写出函数解析式即可；
（2）观察图象，可知当 时，取最大值，顶点处取最小值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 两点，
∴解析式为： ；
（2）∵ ，
观察图象可知：当 时，取最大值0，顶点处取最小值，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为： ，
∴当 时，y的取值范围 ．
故答案为： ．易错必刷题十五、已知二次函数的函数值求自变量的值
1．（2024·山西阳泉·三模）数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现
数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为 轴，以伞骨 ， 的交点 为坐标原点建立平面
直角坐标系．点 为抛物线的顶点，点 ， 在抛物线上， ， 关于 轴对称．抛物线的表达式为
，若点A到 轴的距离是 ，则 ， 两点之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知 ，将其代入函数
关系式求出x的值，进而得出答案．
【详解】根据题意可知 ，
当 时， ，
解得 ，
∴ （ ）．
故选：A．
2．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．
（1）方程ax2+bx+c=0的根为 ；
（2）方程 的根为 ；
（3）方程 的根为 ；【答案】 ， ，
【分析】（1）根据图象，利用抛物线与x轴交点的横坐标是方程的根求解即可；
（2）根据图象，利用抛物线与直线 交点的横坐标是方程的根求解即可；
（3）根据图象，利用抛物线与直线 交点的横坐标是方程的根求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得：抛物线与x轴的两个交点为 ，
∴方程ax2+bx+c=0的根为 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：由图象可得：抛物线与直线 的两个交点为 ，
∴方程 的根为 ， ，
故答案为： ， ；
（3）解：由图象可得：抛物线与直线 的一个交点为 ，
∴方程 的根为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用图象法求一元二次方程的根，熟练掌握方程ax2+bx+c=0的根为抛物线与x轴交点
的横坐标，方程 的根为抛物线与直线 交点的横坐标是解题的关键．
3．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为 ，矩形 的顶点
C、F在抛物线上，点D、E在x轴上， 交y轴于点 ，且矩形面积为8．(1)求此抛物线的解析式；
(2)求当 时，y的取值范围；
(3)直接写出当 时，x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3) 时， 或
【分析】（1），由矩形面积及 长度，求出点F坐标，根据顶点 设抛物线顶点式，然后将点F坐
标代入解析式求解；
（2），抛物线开口向上，对称轴为直线 ，离对称轴越远的点，y值越大；
（3），先求出 时一元二次方程的解，然后根据抛物线开口方向求解．
【详解】（1）解：∵ 为抛物线顶点，
∴抛物线对称轴为y轴.
∵点C，F在抛物线上，
∴ .
∵矩形 面积为 ，
∴ ，
∴ ，
∴点F坐标为 .
设抛物线解析式为 ，
把 代入解析式得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当 时，y取最小值为1.∵ ，
∴ 时y取最大值.
把 代入 ，
得 ．
∴ ；
（3）解：把 代入 ，
得 ，
解得 或 ，
∴ 时， 或 ．
【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，矩形的性质，二次函数图象的性质，二次函数与一元二次方
程，灵活选择二次函数的关系式是解题的关键．
易错必刷题十六、二次函数（销售、增长、图形）问题
1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为 ，
预计今年比去年的年增长率为 ，设今年的总产值为 万元．
(1)求 与 的关系式；
(2)当 时，求今年的总产值为多少万元？
【答案】(1)
(2)当 时，今年的总产值为 万元．
【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式；
（2）代入 ，求出y值即可得出结论．
【详解】（1）依题意得： ；
（2）当 时， ，
答：当 时，今年的总产值为 万元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有 ．
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）某商店销售一种商品，平均每天可以销售20件，每件盈利12元．
为了扩大销售量，增加盈利，该商店决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件商品降价1元，平
均每天可以多卖5件．
(1)若每件商品降价5元，每件商品盈利_____元，则平均每天可卖_____件商品，所得利润是_____元；
(2)该商店想要一天的盈利最大，应降价多少元？所得的最大利润是多少？
【答案】(1)7；45；315
(2)当降价4元时，盈利最大，所得的最大利润是320元
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意，列出函数关系式．
（1）根据每件盈利12元，可得每件商品降价5元，列式可得每件商品的盈利，根据每件商品降价1元，
平均每天可以多卖5件，可得平均每天可卖商品件数，根据售量 每件盈利 利润，可得所得利润；
（2）设每件商品降价x元时，利润为w元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，每件商品盈利 元
平均每天可卖 件商品
所得利润是 元．
故答案为：7；45；315；
（2）解：设每件商品降价x元时，利润为w元，
则 ，
∴当 时，w最大 ．
答：该商店想要一天的盈利最大，应降价4元，所得的最大利润是320元．
3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在 中， ，P点在BC上，
从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为 ；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括
A点），速度为 ．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并
写出探索的主要过程．(1)当t为何值时，P、Q两点的距离为 ？
(2)当t为何值时， 的面积为 ？
(3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形 的面积最小？最小面积是多少？
【答案】(1)1
(2)2或1.5
(3)点P运动 时间时，四边形 的面积最小，最小面积是
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理：
（1）根据题意可得 ，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解；
（3）根据四边形 的面积为 ，进而求出四边形的面积最
小值．
【详解】（1）解： 根据题意得： ，
∵P、Q两点的距离为 ，且 ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；，
即当t为1时，P、Q两点的距离为 ；
（2）解：根据题意得： ，
∵ 的面积为
∴ ，
解得： 或1.5，即当t为2或1.5时， 的面积为 ；
（3）解：根据题意得： ，
∴ 的面积为 ，
∴四边形 的面积为 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 的面积取得最大值，最大值为 ．
即点P运动 时间时，四边形 的面积最小，最小面积是 ．
易错必刷题十七、二次函数（拱桥、喷水、投球）问题
1．（24-25九年级上·广东东莞·期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，
发现实心球飞行高度 （米）与水平距离 （米）之间的关系式为 ，小宇此次实心球训
练的成绩为多少米．
【答案】10米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出当 时的x值即可求解．
【详解】解：对于 ，
令 ，由 得 ， （舍去），
∴小宇此次实心球训练的成绩为10米．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是拋物线的一部分，
如图2是棚顶的竖直高度 （单位： ）与距离停车棚支柱 的水平距离 （单位： ）近似满足函数关
系 的图象，点 在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高 的矩形，
（1） ________；
（2）可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【答案】 ，能
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，
（1）根据题意代点 求出 值，
（2）根据题意求出当 时，y的值，若此时y的值大于 ，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，
据此求解即可．
【详解】（1）∵点 在 图象上，
，
解得：
故答案为：
（2）
在抛物线 中，
当 时，
故可以判断货车能完全停到车棚内．
故答案为：能
3．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦
相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问
题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶 流下，呈抛物线型落
到院中地面上 点．以地面为 轴，过点 且垂直于地面的直线为 轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数 的部分图象．已知屋檐 高为 ，雨水落点距屋檐的水平距
离 为 ．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若墙面与屋檐下端 的水平距离 为 ，现计划在院中安装一个高为 的圆柱形洗手池，洗
手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的
顶部中心到墙面的水平距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）由题意知，抛物线过点 ， ，用待定系数法即可求解；
（2）将 代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点 ， ，
将 ， 分别代入 ，
得 ，
解得 ，该二次函数的表达式为 ；
（2）解：由题意，将 代入 ，
得 ，
解得 （舍去），
，
洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为 ．
易错必刷题十八、找旋转中心、旋转角、对应点
1．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，点 ， ， ， ， 都在方格纸的格点上，若 可以
由 旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点 逆时针旋转 B．绕点 顺时针旋转
C．绕点 逆时针旋转 D．绕点 逆时针旋转
【答案】C
【分析】本题考查了旋转性质根据图形所反映的特点，利用旋转的性质逐个判断即可得出答案．
【详解】解：根据图形可知： ，
∴图形是以 为旋转中心，旋转90°后 和 重合， 和 重合， 和 重合，
∵ 可以由 旋转得到，
∴正确的旋转方式是绕点 逆时针旋转90°，
故选C．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图，E是正方形 中 边上的点，以点A为中心，把
顺时针旋转，得到 ，其中 ．那么旋转角的度数是【答案】90°/90度
【分析】本题主要考查了正方形的性质，找旋转角等知识点，牢记旋转角的定义是解题的关键：旋转角是
指对应线段的夹角．
根据正方形的性质可得 ，由旋转角的定义即可解答．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
以点 为中心把 顺时针旋转得到 ，而旋转角是指对应线段的夹角，
就是旋转角，
旋转角的度数是 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，且点
落在线段 上
(1)旋转中心是点______，旋转角是________和_____；
(2)当旋转角为 时，求 的度数．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，
（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解： 将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，
旋转中心是点 ，旋转角是 和 ，
故答案为： ， ， ；（2） 将 绕点 顺时针旋转一定角度得到 ，
， ， ，
，
．
易错必刷题十九、根据旋转的性质求解
1．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图， 中， ，将 绕点C逆时
针旋转到 的位置，当 时，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟
练掌握性质和定理是解题的关键．根据旋转的性质，得到等腰 ， ，根据等腰三角形的
性质，余角的性质解答即可．
【详解】解：∵ ，将 绕点C逆时针旋转到 的位置，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
2．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，将线段 绕点O顺时针旋转 ，得到线段 ．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质得 ， ，
，即可求解；掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解： 将线段 绕点O顺时针旋转 ，
，
，
，
；
故答案： ．
3．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转得到
，使点 在 的延长线上．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角；由旋转的性质得 ，由等边对等角
得 ，则有 ，从而得证．
【详解】解：∵ 绕点A逆时针旋转得到 ，
∴ ，而点 在 的延长线上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题二十、坐标与旋转规律问题
1．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点 顺
时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形 ，那么
点 的坐标是（ ）
A． B．(1,0) C． D．(0,1)
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转及点的坐标规律变化，由题意可得每旋转八次点 的对应点重
复出现，结合 即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴每旋转八次点 的对应点重复出现，
∵ ，
∴点 的坐标与点 的坐标相同，
∵点 与点 重合，且点 的坐标为 ，
∴点 的坐标是 ，
故选：D．
2．（23-24九年级上·广东佛山·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 绕点顺时针旋转 后得到正方形 ，依此方式，绕点 连续旋转 次得到正方形 ，那么点
的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据图形可知：点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，再根据旋转可知：将正方形
绕点 顺时针旋转 后得到正方形 ，相当于将线段 绕点 顺时针旋转 ，可得对应 的坐标，
然后发现规律 次一循环，进而得出答案．
【详解】解： 四边形 是边长为 的正方形，
，
将正方形 绕点 顺时针旋转 后得到正方形 ，相当于将线段 绕点 顺时针旋转 ，
， ， ， ， ， ， ， ，
， ，
发现是 次一循环，则 ，
的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，坐标与图形的变化，正方形的性质，勾股定理，解题关键是学会从
特殊到一般的探究规律的方法．
3．（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，在方格纸中，已知顶点在格点处的△ABC，请画出将△ABC绕点C旋转180°得到的△A'B'C'．（需写出△A'B'C'各顶点的坐标）．
【答案】A'（-1，-3），B'（1，-1），C'（-2,0），画图见解析．
【分析】先画出点A，B关于点C中心对称的点A'，B'，再连接A'，B'，C即可解题．
【详解】解： A关于点C中心对称的点A'（-1，-3），B关于点C中心对称的点B'（1，-1），C关于点C
中心对称的点C'（-2,0），如图，△A'B'C'即为所求作图形．
【点睛】本题考查中心对称图形，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
易错必刷题二十一、旋转综合题
1．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，分别以正方形 的边 和 为直径画两个半圆交于点
，若正方形的边长为 ，求阴影部分的面积．【答案】
【分析】连接 交于点O，将①顺时针旋转 恰与③重合，将②逆时针旋转 恰与④重合，化零
为整求解即可；
【详解】解：如图，连接 交于点O，
将①顺时针旋转 恰与③重合，将②逆时针旋转 恰与④重合，
∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半，即 ；
【点睛】本题主要考查图形的旋转，应用图形旋转的性质求面积是解题的关键．
2．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）已知四边形 中， ， ， ，
， ， 绕B点旋转，它的两边分别交 ， （或它们的延长线）于E，
F．当 绕B点旋转到 时，如图1，易证 ．（不用证明）
(1)当 绕B点旋转到 时，如图2，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；
(2)当 绕B点旋转到 时，如图3，（1）中结论是否成立？若不成立，线段 ， ，
又有怎样的数量关系？请给予证明．
【答案】(1)图2成立， ，证明见解析(2)图3不成立， 、 、 的关系是 ，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中求证 是关键．
（1）将 顺时针旋转 ，可得 ，证 ，即可求解；
（2）将 顺时针旋转 ，可得 ，证 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 顺时针旋转 ，如图，
∵ ， ，
∴A与点C重合，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：不成立，新结论为 ，
将 顺时针旋转 ，如图，
∵ ， ，∴A与点C重合， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
3．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）已知在△ABC中， ，AC＝BC＝ ．
（1）如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，直接写出点B，C的坐标；
（2）如图2，过点C作∠MCN＝45°交AB于点M，N，且AM=1，求MN的长度；
（3）如图3，过点C作∠MCN＝45°，当点M，N分布在点B异侧时，线段AM，BN和MN满足怎样的数
量关系？并给予证明．
【答案】（1）B（4，0），C（2，2）；（2）MN=；（3）AM2+BN2＝MN2；证明见解析．
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于D，由勾股定理，可得AB=4，再由等腰直角三角形的性质，可得AD＝
CD＝ AB＝＝2，即可求解；
（2）把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，由旋转的性质得，
从而得到 ，进而得到
，然后设 ，则BN= ，由勾股定理，即可求解；
（3）把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到 ，利用等腰直角三角形和旋转的性质，可证得
，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于D，
∵在△ABC中， ，AC＝BC＝ ，
∴ ，
∴点B（4，0），
∵CD⊥AB，
∴AD＝CD＝ AB＝ ×4＝2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（2）如图，把△ACM绕点C逆时针旋转90°得到△BCM′，连接M′N，
∵ ，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
由旋转的性质得，
∴ ，
∵∠MCN＝45°，
∴ ，
∴ ，
在△MCN和△M′CN中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
设 ，则BN= ，
，
解得： ，
；
（3）AM2+BN2＝MN2，证明如下：
如图3，把△BCN绕点C顺时针旋转90°得到 ，
∵ ，AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
由旋转的性质得， ，
∴
∴点 在y轴上，
∵∠MCN＝45°，∴
∴ ，
在△MCN和△MCN′中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的判定
和性质是解题的关键．
易错必刷题二十二、中心对称
1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图， 与 关于点 中心对称，则下列结论不一定正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质．
根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直
线上）且相等，逐一判断．
【详解】解：∵ 与 关于点 成中心对称，
，
而 不一定成立，
观察四个选项，C选项符合题意，
故选：C．2．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ，B(−2,1)，若 与 关于
某点成中心对称，且 的对应点 的坐标为 ，则 的对应点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查中心对称的特点，熟练掌握中心对称点的特征是解题的关键；
根据中心对称点的特征即可求解；
【详解】解： 的对应点 的坐标为 ，
的对应点 的坐标为 ，
故答案为：
3．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）已知 ．
(1)在图中画出 ；
(2) 与 关于原点对称，画出 ．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查平面直角坐标系下的中心对称，点的坐标．（1）在坐标系中描出 ，依次连接起来即可；
（2）利用网格特点和对称的性质画出点 的对应点 ，依次连接从而得到 ．即可作答．
【详解】（1）解： 如图所示：
（2）解： 如图所示．
易错必刷题二十三、中心对称图形
1．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部
分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合；根据轴对称图形与中心对
称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项正确，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知矩形的长为 ，宽为 ，则图中阴影部分的面积
为 ．
【答案】
【分析】本题考查了中心对称．根据中心对称的性质可知，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，
据此求解即可．
【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积 ，
再根据中心对称的性质得：
图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，
则图中阴影部分的面积 ．
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正六边形 是由边长为2厘米的六个等边三角形拼成，
那么图中
(1)三角形 沿着___________方向平移_________厘米能与三角形 重合；
(2)三角形 绕着点______顺时针旋转________度后能与三角形 重合；
(3)三角形 沿着BE所在直线翻折后能与________重合；
(4)写一对中心对称的三角形：_________．
【答案】(1)射线 、2厘米
(2)O、120
(3)
(4) 与 （答案不唯一）【分析】（1）根据平移的性质解答即可；
（2）根据旋转的定义，结合图形可得出答案；
（3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与△CBO重合；
（4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可．
【详解】（1）解：∵ 经过平移得到 ，
∴平移的方向是沿着射线 方向，点A与点F是一组对应点，
∴平移的距离为 ，
∵ 是边长为2厘米的等边三角形，
∴ 厘米，
故三角形 沿着射线BO的方向平移2厘米能与三角形 重合，
故答案为：射线 、2厘米；
（2）解：三角形 绕着点O顺时针旋转120度后能与三角形 重合；
故答案为：O、120；
（3）解：三角形 沿着 所在直线翻折后能与 重合；
故答案为： ；
（4）解： 与 是中心对称的两个三角形．
故答案为： 与 （答案不唯一）．
【点睛】此题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基
础题，关键是掌握几种变换的定义和特点．
易错必刷题二十四、关于原点对称的点的坐标
1．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知点 的坐标为 ，菱形 的对角线交于坐标
原点 ，则点 的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，由菱形的性质可知点 和点 关于原点对称，结合条
件可求得点 点的坐标．
【详解】解： 四边形 为菱形，
， ，
点 为坐标原点，
点 和点 关于原点对称，点 和点 关于原点对称，
点 的坐标为
点坐标为
故选：D．
2．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）点 关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为
．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数即可得解．
【详解】解：∵点 关于原点的对称点为点B，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系， 的
三个顶点均在格点上．(1)画出 关于原点对称的 ；
(2)画出 绕点A逆时针旋转 得到的 ，并写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标．
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
；
（2）解：如图， 即为所求， ；
．
易错必刷题二十五、圆的周长和面积问题
1．（23-24九年级上·北京海淀·期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：若圆半径为1，当任务完成的百分比为x时，
线段MN的长度记为d（x）．下列描述正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】D
【分析】根据已知，利用图象判断即可．
【详解】解：如图，当 时，
当 时， ；
A、 ，本选项不符合题意；
B、当 时， ，本选项不符合题意；
C、当 时， 与 可能相等，可能不等，本选项不符合题意；
D、当 时， ，本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了圆知识的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2024·河北秦皇岛·一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加．先到的 个同学均匀围成一个以
点为圆心， 为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）．（1）若 ，则相邻两人间的圆弧长是 ．（结果保留 ）
（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移 米，再左右调整位置，使这 个同学之
间的圆弧长与原来 个同学之间的圆弧长相等．这 个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，
重复前面的操作，则每人须再往后移 米，才能使得这 个同学之间的圆弧长与原来 个同学之间的
圆弧长相同，则 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的周长和弧长，
（1）先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可；
（2）先计算出半径往后移 米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a，再计算出b，
即可得到答案．
【详解】解：（1）当 时，圆的周长为： ，
∴相邻两人间的圆弧长是 ，
故答案为： ；
（2）又来了两个同学后圆的周长为： ，
∴ ，
∴ ，
当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为： ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·广东茂名·期末）综合与实践
【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游
客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明
进行了如下操作调研．
【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶 与伞柄顶端点 重合，两边
主骨架的端点 与 重合；如图3，在撑开过程中，骨架 的中点 到点 的距离始终等于 的一半，
；如图4，当伞完全张开时， ．
【计算与分析】
图1 图2 图3 图4
(1)当伞完全张开后，求 的长度；
(2)当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，圆的面积的计算，掌握矩形的判定，勾股定理的实
际运用是解题的关键．
（1）根据题意，连结 ，过点 作 于 ，可证四边形 是矩形，根据勾股定理可求出
的长度，由此即可求解；
（2）根据圆的面积的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连结 ，过点 作 于 ，
，
，
又 如图3，连接 ，
伞在撑开过程中， 点是 中点， 等于 一半，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，，
，
∴ 的长度为 ．
（2）解： ，
所以遮挡住的阴影部分的面积是 ．
易错必刷题二十六、利用垂径定理求值
1．（2024·云南昆明·一模）如图，AB是 的直径，弦 于点E，如果 ，那么线
段 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
由题意得， ， ，由勾股定理得， ，计算求解即可．
【详解】解：∵AB是 的直径，弦 ，
∴ ， ，
由勾股定理得， ，
故选：B．
2．（2024·云南昆明·一模）如图， 的直径为 ，弦 是弦 上一动点，则 长的取值范
围是 ．【答案】
【分析】本题主要考查了圆中求半径，勾股定理，垂径定理，解决本题的关键是确定 的最小值，所以
求 的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距
和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解．
先求出圆的半径，进而求出 的最大值， 的最小值就是弦 的弦心距的长，过点 作弦 的弦心
距 ，利用勾股定理求解．
【详解】解：如图：连接 ，作 与 ．
∵ 的直径为 ，
∴半径为10，
∴ 的最大值为10，
∵ 与 ，
．
，
．
在 中，
，
的长即为 的最小值，
．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）如图， 是 的直径，弦 于点 ，若 ， ．(1)求线段 的长；
(2)求弦 的长．
【答案】(1)线段 的长为 ；
(2)线段 的长为 ．
【分析】（ ）根据 ， ，则 ，故有 ，然后利用线段和差即可
求解；
（ ）由 得 ， ，然后由勾股定理求出 的长即可；
本题考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴线段 的长为 ；
（2）解：由（ ）得 ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴由勾股定理得： ，
∴ ，
∴线段 的长为 ．
易错必刷题二十七、垂径定理的实际应用
1．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段练习）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，
为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解．
【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两
条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃
故选：B．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 ，
水面宽 ，某天下雨后，水面宽度变为 ，则此时排水管水面上升了 ．
【答案】10或70
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是垂径定理，易错点是分类讨论水面在直径是
下方和上方．
根据半径为 ，则直径为 ；又根据水面宽度为 ，则有两种情况， 水面在水面平行的直径
下方，过点 作 于点 ； 水面在水面平行的直径上方，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，根据垂径定理，勾股定理，即可求出．
【详解】连接
∵
∴圆的直径为
∴ 水面在水面平行的直径下方
∴过点 作 于点
∴ 且 与 交于点
∵ ，
∴ ，∴在直角三角形 中，
∴
∴ ；
在直角三角形 中，
∴
∴
∴上升的距离为
水面在水面平行的直径上方，过点 作 于点 ，过点 作
于点
同理可得，上升的距离为： ．
故答案为：10或70．
3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），如图2是根据
某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 桥的跨度（弧所对的弦长）
，设 所在圆的圆心为 ，半径 ，垂足为 ，拱高（弧的中点到弦的距离） ．
求这座石拱桥主桥拱的半径．【答案】这座石拱桥主桥拱的半径为
【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；连接 ，设 ，然后根
据勾股定理可建立方程求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则有 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
∴这座石拱桥主桥拱的半径为 ．
易错必刷题二十八、弧、弦、圆心角
1．（24-25九年级上·天津南开·期中）如图所示， 的三个顶点在 上，其中 ， ，
则 等于（ ）
A．72° B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，根据等弧对等弦，得到 ，
等角对等边求出 即可．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：A．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知 是 的直径，点 是 的中点， ，
则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得 ，再由
计算 的度数即可．
【详解】解：∵点D是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图， ， 是 的半径，且 ，弦 分别经过
， 的中点D，E．
(1)求证： ；(2)求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质．
（1）根据弧与圆心角的关系，可得 ，又由点D，E分别是 ， 的中点，可得
，继而可证得 ，则可得 ；
（2）由 得到 ，推出 ，再得到 ，则 ．
【详解】（1）解： ，理由如下，
证明：过点 作直径 ，如图，
， ， 是 的半径， ，
，
点D，E分别是 ， 的中点， ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，
∴ ．
易错必刷题二十九、圆周角
1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，点 、 、 是 上三点， ，则
等于（ ）
A． B． C．60° D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；在 上取一点
E，连接 ，根据圆周角定理可求 ，再根据圆内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：如图，在 上取一点E，连接 ，
，
，
四边形 是圆内接四边形，
，
，
故选：B．2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．
点A，B处对读数分别为 ， ，则 的度数是 °．
【答案】28
【分析】本题主要考查了圆周角定理．先根据A、B的度数得到 ，再根据同圆中同
弧所对的圆周角度数是圆心角度数的一半即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设量角器的中心为O，连接 ，
∵点A，B的读数分别为 ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，如图，在 中， ，以腰 为直径作半圆
O，分别交 于点D，E．
(1)求证： ；
(2)若 ，求圆弧 所对的圆心角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)圆弧 所对的圆心角的度数为 ．
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再利用等腰三角形的三线合一性质，即
可解答；
（2）连接 ，利用 ， ，得到 ，再利用圆周角定理即可解答．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是半 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴圆弧 所对的圆心角的度数为 ．
易错必刷题三十、点和圆的位置关系
1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）根据尺规作图的痕迹，可以判定点 为 外心的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，线段垂直平分线的尺规作图，三角形的外心是三角形三边垂
直平分线的交点，据此求解即可．
【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，
∴由作图方法可知只有A选项的作图中点 为 三条边的垂直平分线的交点，
故选：A．
2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 外接圆的圆心坐标是 ．
【答案】(0,3)
【分析】本题考查三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，结合网格的
特点，画出圆心，即可．
【详解】解：如图，点 即为 外接圆的圆心；
故答案为：(0,3)．
3．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在 中， ， ， ， ，
分别是 ， 的中点， 是以 为圆心， 为半径的圆，判断点D，E与 的位置关系，并说明理
由．
【答案】点D在 内，点E在 外，理由见解析
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，利用勾股定理求出 ，再由线段中点的定义求
出 的长，最后比较出 与 的长短关系即可得到结论．
【详解】解：点D在 内，点E在 外，理由如下：
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
点D在 内，
∵ ，
∴ ，
点E在 外．易错必刷题三十一、切线的应用
1．（2024·四川乐山·模拟预测）如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴
都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝y或x＝﹣y，再
判断一元二次方程解的情况即可求解．
【详解】解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得到x＝y或x＝﹣y是解题的关
键．
2．（23-24九年级·浙江杭州·）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知 ，
，点A在中轴线 上运动，点B在以O为圆心， 长为半径的圆上运动，且
，如图3，当点B按逆时针方向运动到 时， 与 相切，则 ．【答案】
【分析】由题意得到A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
A′A=OA-OA′=AB+OB-OA′=12+4- = = ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形重要点的位置关系．
3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，点 为 上一点，点 在直径 的延长线上，且
，过点 作 的切线，交 的延长线于点 .
判断直线 与 的位置关系，并说明理由；
若 ，求:① 的半径，② 的长.
【答案】(1) 直线 与 相切；见解析（2）①3；②6.
【分析】（1）首先由圆的性质得出 ，然后由圆内接直角三角形得出 ，
，进而得出 ，即可判定其相切；
（2）①首先根据根据元的性质得出 ， ，进而可判定 ，即可得
出半径；
②首先由OP、OB得出OC，然后由切线性质得出 ，再由 判定进而利用相似性质构建方程，即可得解.
【详解】 直线 与 相切；
理由:连接 ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
即 ，
为 上的一点，
直线 与 相切；
① ，
，
，
，
，
，
，圆的半径为 ;
② ，
，
∵过点 作的 切线交 的延长线于点 ，
，
，即
【点睛】此题主要考查直线和圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握。即可解题.
易错必刷题三十二、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系
1．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 的内切圆与斜边 相切于点D， ，
，则 的面积为（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由切线长定理得出 ， ， ，根据勾股定理，得
．整理得 ，再由三角形面积公式即可得出答案．
【详解】解：设 ，
根据切线长定理，得 ， ， ，
根据勾股定理，得 ，整理，得 ，
∴ ，
则 的面积为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线
长定理和勾股定理是解题的关键．
2．（2024·四川绵阳·一模）如图，在 中， 为 的内切圆，
则图中阴影部分的面积为（结果保留 ） ．
【答案】 /
【分析】
本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键．
先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，
再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴内切圆半径 ，
∴ ，
∴阴影部分的面积为： ，
故答案为： ．3．（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在 中， ，⊙ 是 的内切圆，
半径为 ，切点为 、 、 ，连接 ， ， ．
(1)若 ， ，则 ；
(2)若 的周长为 ，面积为 ，则 ， ， 之间有什么数量关系，并说明理由．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）根据等面积法即可得出结论；
（2）根据 ，结合 ，即可得到 ， ， 之间数量关系．
【详解】（1）连接 、 、 ，
∵
∴
在 中，
∵ ， ，
∴
又∵ ，
代入①得：
（2）∵ ，
代入①得 ，∴ ， ， 之间数量关系为
【点睛】本题考查了用等面积法求三角形的内切圆半径，三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形
三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
易错必刷题三十三、圆的综合问题
1．（2024·安徽六安·三模）如图，已知AB为 的直径，CD为 的弦（不是直径）且交AB于点F，F
为CD的中点，四边形 为矩形， 为矩形的对角线，延长 交BD于点H．
(1)求证： ；
(2)若点F是 的中点， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 交 于点M，由矩形性质得 ， ，由AB为 的直径，F
为弦CD的中点，得 ，求出 ，即可证明；
（2）连接 ，求得 是等边三角形，得到 ．根据矩形性质得 ，得到
，根据 即可求出；
本题为圆的综合问题，考查圆的性质，圆周角，矩形性质，等边三角形等知识．
【详解】（1）证明：如图，连接 交 于点M．
∵四边形 为矩形，∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵AB为 的直径，F为弦CD的中点，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图，连接 ．
∵ ，F为 中点，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∴ ．
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ．
∵F为CD的中点，
∴ ，
∴ ；
∴ 的半径为 ．
2．（2024·广东广州·一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，
弧AD = 弧DC．(1)求边CD的长；
(2)已知△ABE与△ABD关于直线AB对称．
①尺规作图:作△ABE；（保留作图痕迹，不写作法）
②连接DE，求线段DE的长．
【答案】(1)
(2)①图见解析②14
【分析】（1）先求出直径AC，再得到△ADC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求解；
（2）①以B点为圆心，BD为半径，和以A点为圆心，AD为半径画弧，交点为E点，再顺次连接即可；
②过A点作AH⊥BD，先求出BD的长，再证明△BDE是等腰直角三角形，故可求出DE的长．
【详解】（1）∵AB = 6，BC = 8，∠ABC = 90°，
∴AC= ，AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°
∵弧AD = 弧DC
∴AD=CD
∴△ADC是等腰直角三角形
∴AD2+CD2=AC2
解得CD= ；
（2）①如图，△ABE为所求；
②过A点作AH⊥BD，∵弧AD = 弧DC
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=45°
∴△ABH是等腰直角三角形
∵AB2=BH2+AH2，AH=BH
∴AH=BH=3
∵AD=CD=5
∴在Rt△ADH中，DH=
∴BD=BH+DH=
∵△ABE与△ABD关于直线AB对称
∴∠EBD=2∠ABD=90°，BE=BD=
∴△BDE是等腰直角三角形
∴DE= ．
【点睛】此题主要考查圆内的线段长度求解、尺规作图，解题的关键是熟知圆周角的性质、等腰直角三角
形的判定与性质及对称性的应用．
3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线 与 轴交于 两点（ 在 的左
侧），与 轴交于点 ，顶点为 ．(1)若 ，求 三点的坐标；
(2)如图1，若 ，求 的值；
(3)如图2，过点C作 交抛物线于另一点E，以CE为直径作 ，求证：直线 与 相切．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）将 ，代入解析式，分别令 ，解方程即可求解；
（2）设 ， ，则 是方程 的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出
，进而根据 ，过点 作 ，分别求得 的长，根据
建立方程解方程即可求解．
（3）连接 ， ，根据二次函数的性质，得出点 的坐标，进而求得点 的坐标以及顶点 的坐标，
勾股定理以及勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，且 ，即可得证．
【详解】（1）解：当 ，抛物线解析式为 ，
令 ，解得 ，
∴ ，
令 ，则 ，
解得： ，
∵ 在 的左侧，∴ ， ；
（2）解：∵ ，
令 ，解得 ，
∴ ，
设 ， ，
∴ 是方程 的两根，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
即 ，
，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
（3）如图，连接 ， ，
∵ ，
∴对称轴为直线 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， 是 的直径，∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ ，
∴ 是 的半径，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ，
∴ 是 的切线．
【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定
理，切线的判定，综合运用以上知识是解题的关键．
易错必刷题三十四、正多边形和圆
1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，正五边形 内接于 ，P为 上的一点（点P不与点
D重合），则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题主要考查正多边形与圆及圆周角定理，熟练掌握正多边形与圆及圆周角定理是解题的关键；
连接 ，根据正多边形与圆可知 ，然后根据圆周角定理可进行求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵正五边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
2．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， 是 的内接正 边形的一边，点 在 上，
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得
，再根据正边形的边数 中心角求解，即可解题．
【详解】解： ，
，
是 的内接正 边形的一边，
，
故答案为： ．
3．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，正六边形 的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的
圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形 各顶点的坐标．【答案】 ， ， ， ， ，
【分析】根据正六边形的性质得到 ，连接 ，过 作 于 ，根据勾股定理得到
，于是得到结论．
【详解】解： 的半径 ，
，
， ，
多边形 是正六边形，
，
连接 ，过 作 于 ，
， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
，
，， ，
同理 ， ， ， ， ， ．
故答案为： ， ， ， ， ， ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出
辅助线是解题的关键．
易错必刷题三十五、弧长和扇形面积
1．（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均
相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了扇形面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握扇形面积，等边三角形的判定
和性质，勾股定理是正确解答的关键；先证明 是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得
，再根据勾股定理可得 ，再用扇形面积减去等边
三角形的面积即可得解．
【详解】解：如图，过点 作 于点D，由题意知： ， ，
是等边三角形，
，
，
， ，
，
阴影部分的面积为 ，
故选： ．
2．（24-25九年级上·山西大同·阶段练习）山西民居砖雕的起源可以追溯到隋朝，其制作技艺花样繁多，
套路复杂，画工精细，刀工别致，为国家级非物质文化遗产．如图 是一块扇面形的山西砖雕作品，它的
部分设计图如图 所示，其中扇形 和扇形 有相同的圆心 ，且圆心角 ．若 ，
，则阴影部分的面积为 ．（结果用含 的代数式表示）
【答案】 /
【分析】本题考查了求扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解答本题的关键．
利用扇形面积公式，根据 即可求解．
【详解】解： ， ， ，
，
，
，，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在 中，以边 为直径作 分别交 ， 于点
D，E．若点D是中点，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ，求弧 的长和扇形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2) ,
【分析】（1）连接 ，由 为 直径，得到 ，继而得出 是线段 的中垂线，即可
求解；
（2）由等边对等角及三角形外角的性质求出 ， ，再根据弧长公式和扇形面积公
式求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
，
∵ 为 直径，
∴ ，即 ，
又∵D是 的中点，
∴ 是线段 的中垂线，
∴ ，∴ 是等腰三角形．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，
垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
易错必刷题三十六、随机事件与概率
1．（24-25九年级上·云南昭通·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不
同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率是 ，则n为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了概率公式，根据概率等于所求情况数与总情况数之比，列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意可得： ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
故选：C．
2．（24-25九年级上·天津·阶段练习）一个不透明的袋中装有除颜色外无其他任何差别的12个红球和 个
黄球，从中随机摸出一个，摸到红球的概率是 ，则 ．【答案】
【分析】本题考查了概率公式，用红球的个数除以总球的个数得出红球的概率，从而求出n的值．
【详解】解：由题意得 ，
解得 ．
经检验， 是方程的解，且符合题意，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某校运动会田赛部分由 、 、 、 四个项目组成，学生可以任
选一项参加．为了了解学生参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；
(2)求 区域扇形圆心角的度数；
(3)已知每项比赛获奖取前3名，小丽和小杰都参加了 项目的比赛，小丽取得了第一名的好成绩，求小杰
获奖的概率．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求概率，条形统计图，求扇形统计图圆心角的度数，
（1）根据C项目所占百分比和人数，可求出总人数，即可求出B选项的人数，再补全统计图即可；
（2）求出A选项所占的百分比，再乘以 可得答案；
（3）根据概率公式计算即可．
【详解】（1）样本的容量为 ，
则参加B项目的人数为 ．
补全统计图如下：（2）A区域扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据题意可知A项目有5个人参赛，小丽已获得第一名，所以小杰获奖的概率是 ．
易错必刷题三十七、用列举法求概率与用频率估计概率
1．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）如图，小丽在操场上做游戏，她在沙滩上画了一个面积为
的矩形，并在矩形的四个角上画上面积不等的图形，在不远处的固定位置向矩形内部投掷石子（假
设石子落在矩形内各点的概率相同），石子落在空白部分的记录如下表所示（石子未落在矩形外面和各区
域边缘），由此估计空白部分的面积为（ ）
投掷次数 50 100 150 500 1000
石子落在空白部分的频率 0.60 0.62 0.68 0.64 0.64
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出石子落在空白部分的概率为 ，再根
据概率等于空白部分的面积除以总面积，进行求解即可．
【详解】解：由表格可知：石子落在空白部分的概率为 ，
∴估计空白部分的面积为 ；
故选：D．
2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭
合两个开关使小灯泡发光“的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用列举法（列表和树状图）求概率，理解题意，画出树状图是解题关键；由题意列出，
画出树状图，然后计算所有可能出现的结果，再计算能使小灯泡发光的结果，根据概率的定义即可求得．
【详解】解：根据题意，可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有4种，
则小灯泡发光的概率是 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条作下，对某植物种子发芽
率进行研究时所得到的数据：
试验的种子数
100 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数 94 475 954 1906 4748
发芽频率 0.94 0.955 0.95 0.953 0.9496
(1)上表中的 ________， ________．
(2)任取一粒这种植物种子，估计它能发芽的概率是________．（结果精确到0.01）
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估计需要准备多少粒种子进行发芽培育？【答案】(1)191，
(2)
(3)需要准备10000粒种子进行发芽培育．
【分析】本题考查了频数、频率、总数之间的关系，用频率估计概率，掌握频数、频率、总数之间的关系
是解决本题的关键．
（1）根据种子数、发芽的粒数、发芽率之间的关系求解即可；
（2）根据概率与频率的关系解答即可．
（3）用9500除以发芽的概率即可．
【详解】（1）解： ，
．
故答案为：191， ；
（2）解：∵随着实验种子数的增加，频率稳定在 ，
∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是 ．
故答案为： ；
（3）解： ，
答：需要准备10000粒种子进行发芽培育．
1．（24-25九年级上·四川绵阳·阶段练习）2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，下面关
于2024年巴黎奥运会的图标中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与
原图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；
【详解】解：A、该图形绕某点旋转 ，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意；
B、该图形绕某点旋转 ，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意；
C、该图形绕某点旋转 ，旋转后的图形与原图形重合，故该选项不符合题意；
D、该图形绕某点旋转 ，旋转后的图形不与原图形重合，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·河北唐山·期中）关于x的一元二次方程的两个根为 和 ，且 ， ，
则这个一元二次方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：A. 中， ， ，故选项A不符合题意；
B. 中， ， ，故选项B不符合题意；
C. 中， ， ，故选项C不符合题意；
D. 中， ， ，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）近年来我国航天事业取得了一系列的伟大成就，现有3张正面
印有航天飞行任务标识的卡片，它们除标识之外其他完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽
取一张，放回洗匀后，两次抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种，
∴两次抽取的卡片正面相同的概率为 ，
故选：A．
4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，将直角三角板 角的顶点放在圆心O上，斜边和一直
角边分别与 相交于E、F两点，P是优弧EF上任意一点（与E、F不重合），则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理．同弧上圆周角的度数等于圆心角的一半，据此即可进行解答．
【详解】解：由题意可知， ，
由圆周角定理可得 ，
故选：C
5．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一次函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．先由二次函
数 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数 的图象相比较看是否一致．
【详解】解∶A、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选
项不合题意；
B、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；
C由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知 ， ，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知， ， ， ，则 ，由直线可知， ， ，故本选项不合题意．
故选∶B．
6．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，
则 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解
的性质，整体代入求法代数式的值．把 代入一元二次方程，求得 的值，然后整体代入即得结果．
【详解】解：把 代入 ，
得， ，
即 ．
∴．
故答案为： ．
7．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，抛物线 与直线 交于两点，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】根据图象的性质，结合不等式的条件，写出解集即可．
本题考查了一次函数与抛物线的图象关系，熟练掌握运用数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
8．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，把 绕点C按顺时针方向旋转 后能与 重合，
且 交 于点E，若 ，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可得
，再根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵ 绕点C按顺时针方向旋转 后能与 重合，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图， 、 是 的切线， 切 于点E， 的周长为
12，则 ．
【答案】6
【分析】此题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
首先根据切线长定理得到 ， ， ，然后根据 的周长为12得到
，然后等量代换得到 ，进而求解即可．
【详解】解：∵ 、 是 的切线， 切 于点E，
∴ ， ，
∵ 的周长为12，
∴
∴
∴
∴
∴
∴ ．
故答案为：6．
10．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，抛物线 （其中a为常数）的对称轴为
直线 ，与x轴交于点A，点B，则 的长度为 ．【答案】
【分析】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，根据对称轴求得 的值，解方程
，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 （其中a为常数）的对称轴为直线 ，
∴
解得： ，
∴抛物线解析式为： ，
令 ，即 ，
解得： ，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数
根，求证： 是非负数．
【答案】见解析
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到 ，进而得到 ，代入
，得到 ，即可得证．
【详解】证明：∵关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 是非负数．
12．（24-25九年级上·天津河东·期中）如图所示的正方形网格中， 的顶点均在格点上，请在所给直
角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
(1)将 绕点 顺时针旋转90度，得到 ．在图中画出旋转后的 ．
(2)作 关于坐标原点成中心对称的 ．
(3) 的坐标________， 的坐标________．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)
【分析】本题考查坐标与图形变换，旋转和中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质，是解题的关键：
（1）根据旋转的性质，画出 即可；
（2）根据中心对称的性质，画出 即可；
（3）根据图形直接写出两个点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；（2）如图， 即为所求；
（3）由图可知： ．
13．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，
“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如
图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整．
(2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人．(3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的
展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率．
【答案】(1)72；补全条形统计图见详解；
(2)220；
(3) ．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌
握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而可得优
秀等级的百分比用 乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；
求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案；
（3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式
可得出答案．
【详解】（1）解∶抽取的学生人数为 (人)，
扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为
故答案为∶72；
“良好”等级的学生人数为 (人)，
补全条形统计图如图所示
（2）解：成绩良好的学生约有 （人），
故答案为：220；
（3）解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种．
选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为 ．
14．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图， 交 于点 是半径，且
于点F．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径是
【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关
键．
（1）先证明 是等腰三角形，再结合 于点F，得出 因为 是 的半径，
得出 ，即可作答．
（2）由垂径定理得 再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）证明：∵
∴ 是等腰三角形，
∵ 于点F，
∴又∵ 是 的半径，
∴ ，
∴
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ 为 的弦，
∴
∴
设 的半径是r，
∴ ，
解得 ，
∴ 的半径是
15．（24-25九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，抛物线 与直线 交于点 和点
B．
(1)求b和m的值及点B的坐标；
(2)结合图象直接写出不等式 的解集．【答案】(1)
(2) 或
【分析】对于（1），将点 代入 ，可得b，再将点 代入 ，可得m，然后
将两个函数关系式联立得到方程组，求出解即可；
对于（2），根据交点坐标，观察图象，再根据抛物线在直线上方求出自变量取值范围即为不等式的解集．
【详解】（1）∵点 代在二次函数 的图象上，
∴ ，
解得 ；
∵点 在一次函数 的图象上，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 .
将两个函数关系式联立，得
，
解得 或 ，
∴点 ；
（2）当 或 时， ．
【点睛】本题主要考查了求出二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数与一次函数的交点问题，会
根据图象求不等式的解集是解题的关键．
