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专题 21.3 一元二次方程的实际应用（六大题型）
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】.........................................................................
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】...................................................................
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】...................................................................
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】.....................................................................
【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】 ....................................................................
【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】..................................................................
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
1．（2025·云南红河·三模）中国人口普查自1990年开始每十年一次，据了解，第五次全国
人口普查总人口约为12.95亿，第七次全国人口普查总人口约为14.12亿．若每次人口
普查人口的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．12.95(1+x) 2=14.12−12.95 B．12.95(1+x) 2=14.12
C．12.95(1+2x)=14.12 D．14.12(1−x) 2=12.95
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，弄清题意、找准等量
关系是解题的关键．
根据题意可知第五次人口总数约是12.95亿，第七次全国人口普查总人口约为14.12亿，
再根据两次的增长率为x，据此列出一元二次方程即可．
【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为x，
根据题意得：12.95(1+x) 2=14.12，
故选：B．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一
盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔三月份到五月份的销量，该品牌头盔三月份销售500个，五月份销售720个，三月份到五月份销售量的月增长率相同．设月
增长率为x，则可列方程为 ．
【答案】500(1+x) 2=720/500(x+1) 2=720
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方
程．设月增长率为x，根据品牌头盔三月份销售500个，五月份销售720个，列出方程
即可．
【详解】解：依题意得：500(1+x) 2=720，
故答案为：500(1+x) 2=720．
3．（24-25九年级下·重庆大足·阶段练习）“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在重
庆迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今
年4月份，某零售公司实现月纯利润为5万元，第二季度就突破到纯利润为23万元，
若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．根据题意，列出方程为
．
【答案】5+5(1+x)+5(1+x) 2=23
【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，该公司由4月份到6月份纯利润的
月平均增长率为x．再结合“第二季度就突破到纯利润为23万元”列出一元二次方程
即可得解，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x．
根据题意，列出方程为5+5(1+x)+5(1+x) 2=23，
故答案为：5+5(1+x)+5(1+x) 2=23．
4．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持
下，原价为每辆25万元的纯电动新能源汽车经过两次价格下调后，售价变为每辆16
万元，求平均每次降价的百分率．
【答案】20%
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关
系列出方程．
设平均每次降价的百分率为x，根据两次降价后的价格列出方程求解即可．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意得25×(1−x) 2=16，
解得x=20%，（不合题意值已舍去）
所以，平均每次降价的百分率为20%．
5．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校
友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为60元，经过校友意见征集后，
连续两次降价，最终每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．
(1)求该文化衫每次降价的百分率；
(2)若该文化衫每件的成本价为40元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不
低于4300元？
【答案】(1)该文化衫每次降价的百分率为10%；
(2)至少要售出500件，总利润才能不低于4300元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列
出方程和不等式是解题的关键．
（1）设该文化衫每次降价的百分率为x，根据题意得到60(1−x) 2=48.6，解得
x =0.1=10%，x =1.9（舍去），即可得到答案；
1 2
（2）设至少要售出y件，总利润才能不低于4300元，得到(48.6−40)y≥4300，解
得y≥500，即可得到答案．
【详解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为x，
根据题意得60(1−x) 2=48.6，
解得x =0.1=10%，x =1.9（舍去），
1 2
答：该文化衫每次降价的百分率为10%；
（2）解：设至少要售出y件，总利润才能不低于4300元，
根据题意得(48.6−40)y≥4300，
解得y≥500，
答：至少要售出500件，总利润才能不低于4300元．
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】
1．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每
人传染的人数为（ ）
A．5人 B．6人 C．7人 D．8人
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染x人，第一轮共传染(x+1)人，
第二轮共传染(x+1) 2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．
【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，
3(x+1) 2=192，
解得：x =7，x =−9（不合题意，舍去），
1 2
故选：C．
2．（22-23九年级上·福建莆田·期中）某数学活动小组在开展野外项目实践时，发现一种植
物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分枝，主干、枝干和小分
枝的总数是 31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】先是有1个主干，设长出枝干有x枝，每个枝干又长出枝干x枝，则第二次长出
的数量是x2，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，主干是1，设长出的枝干有x枝，
∴1+x+x2=31，即x2+x−30=0，解方程得，x =5，x =−6（舍去），
1 2
∴这种植物每个枝干长出的小分枝个数5，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解枝干长出的数量关系是解题的关
键．
3．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病
毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数
为 ．
【答案】6
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程
是解题的关键．设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感
染建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x，
由题意得：4+4x+x(4+4x)=196，
整理得：x2+2x−48=0，
解得x =6，x =−8（舍），
1 2
故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台．
故答案为：6
4．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81
个人患了流感．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人
(2)经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据两轮传染后共有81个人患了流感，
列出方程进行求解即可；
（2）用81加上第三轮传染的人数，求出总人数，进行判断即可．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人．根据题意得，
1+x+x(1+x)=81，
解得x =8,x =−10（不合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
（2）81+81×8=729人，
∵729<800，
∴经过三轮传染后，累计患流感的人数不能超过800．
5．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，
每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出
多少个小分支？
【答案】每个枝干长出8个小分支．
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．由
题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【详解】试题解析：解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=73，
解得：x=8或x=−9（不合题意，应舍去）；
答：每个枝干长出8个小分支．
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手
28次，有多少人参加聚会？（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有x人参加聚会，根据题意列出一元二次
方程是解题的关键．
【详解】解：设有x人参加聚会，根据题意，
1
得 x(x−1)=28，
2
解得：x =8,x =−7（舍去）
1 2
∴有8人参加聚会
故选：C．
2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）初中毕业时，某班学生都将自己的照片向全班其
他同学各送一张表示留念，全班共送2550张照片．设全班有x名同学，可列方程为
（ ）
A．x(x−1)=2550 B．x(x+1)=2550
C．x(x−1)=2550×2 D．x(x+1)=2550×2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，题意得每个人要送出(x−1)张照片，据此即
可求解．
【详解】解：由题意得：每个人要送出(x−1)张照片，
∵全班有x名同学，
∴可列方程为x(x−1)=2550，
故选：A．
3．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于
基础题型．
设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设有x个队参赛，
1
根据题意，可列方程为： x(x−1)=15，
2
解得：x=6或x=−5（舍去），
答：参赛的球队数为6．
故答案为：6．
4．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制
取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会
做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实
验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了x
名同学，可列方程为 ．
【答案】(1+x) 2=49
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了x名同学，
根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设一个人每节课手把手教会了x名同学，
根据题意得：1+x+(1+x)x=49，即(1+x) 2=49
故答案为：(1+x) 2=49．
5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之
间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有x个商家参加了交易会，利用签订
合同的总数=参加会议的商家数×(参加会议的商家数−1)÷2，即可得出关于x的一元
二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数．
【详解】解：设共有x个商家参加了交易会，1
依题意得： x(x−1)=45，
2
整理得：x2−x−90=0，
解得：x =10，x =−9（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：10．
6．（22-23八年级下·广西贺州·期中）为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川
县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛
一场，共比赛了45场．
(1)问该校八年级共有几个班？
(2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14
分的积分，至少要取得多少场胜利？
【答案】(1)10个班
(2)5场
【分析】（1）该校八年级共有x个班，利用比赛的总场数=该校八年级的班数×（该校
八年级的班数−1)÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可
得出结论；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了y场，则负了(9−y)场，利用积分=2×胜的场数
+1×负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中
的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：该校八年级共有x个班，
1
根据题意得： x(x−1)=45，
2
整理得：x2−x−90=0，
解得：x =10，x =−9（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该校八年级共有10个班；
（2）设小奉同学所在的2101班胜了y场，则负了(9−y)场，
根据题意得：2y+(9−y)≥14，
解得：y≥5，
∴y的最小值为5．
答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】
1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）某商店销售一种商品，进价为每件30元．经市场调
查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，
35≤x≤55，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若日销售毛利润为300元，求该商品销售单价．
【答案】(1)y=−x+70；
(2)该商品销售单价为每件40元．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的应用，熟练掌握
以上知识点是解题的关键．
（1）设y=kx+b(k≠0)，代入(35,35)，(50,20)，然后解方程组即可；
（2）根据“销售利润=单个利润×销售量”列出方程，然后解方程即可进行求解；
【详解】（1）解：设y=kx+b(k≠0)，代入(35,35)，(50,20)，
{35k+b=35)
则 ，
50k+b=20
∴k=−1，b=70，
∴y=−x+70；
（2）解：根据题意，得(x−30)(−x+70)=300，
∴x =40，x =60，
1 2
∵35≤x≤55，
∴x=40．
答：该商品销售单价为每件40元．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调
查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销
售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销
售利润为1000元．(1)当销售单价降低为x元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含x的代数式表
示）
(2)求黄油年糕每盒的成本价；
(3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单
价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？
【答案】(1)(100+25x)盒
(2)黄油年糕每盒的成本价为8元
(3)销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元
【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确的列出
代数式和方程是解题的关键：
（1）根据销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒，列出代数式即可；
（2）设成本为a元，根据当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元，列出
方程进行求解即可；
（3）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：当销售单价降低为x元/盒时，黄油年糕的日销售量是
(100+25x)盒；
（2）设成本为a元，由题意，得：(17−1−a)(100+25)=1000，
解得：a=8；
答：黄油年糕每盒的成本价为8元；
（3）由题意，得：(17−x−8)(100+25x)=1050，
解得：x=2或x=3，
∵为了尽可能让利顾客，扩大销售，
∴x=3，
此时售价为：17−3=14元；
答：销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元．
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音
平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70
元销售，第一天卖出了80件．
(1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率；
(2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定
为多少时，日销售利润为1950元？【答案】(1)第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%；
(2)售价应定为65元或63元．
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用：
（1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率x，根据第三天的销售利润为2500
元，列出一元二次方程求解即可；
（2）设应降价x元，根据售价每降低1元，日销售量增加10件，日销售利润为1950
元列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率x，
则(70−50)×80(1+x) 2=2500，
1 9
解得：x = =25%，x =− （舍去），
1 4 2 4
答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%；
（2）解：设应降价x元，
则(20−x)(80+10x)=1950，
解得：x =5，x =7，
1 2
答：售价应定为65元或63元．
4．（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）根根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况
如下：
店面 甲店 乙店
日销售 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出30件，每件盈利35元．
情况
市场调 每件衬衫每降价1元，甲店一天可多 每件衬衫每降价1元，乙店一天可多
查 售出2件． 售出1件．
情况设 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元．
置
任务解
决
任务1 甲店每天的销售量________（用含a的代数式表示）．
乙店每天的销售量________（用含b的代数式表示）．总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两
任务2
家分店一天的盈利额相等．
【答案】任务1：(20+2a)，(30+b)；任务2：每件衬衫下降5元时，两家分店一天
的盈利额相等．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
任务1：由每件衬衫每降价1元，甲店一天可多售出2件，乙店一天可多售出1件，即
可得出结论；
任务2：设每件衬衫下降x元时，两家分店一天的盈利额相等列出一元二次方程，解方
程即可．
【详解】解：任务1：甲店每天的销售量为：(20+2a)件，
乙店每天的销售量为(30+b)件，
任务2：设两家分店下降的价格为x元，列方程得：
(40−x)(20+2x)=(35−x)(30+x)，
整理得，x2−55x+250=0
解得：x =5，x =50（舍去）
1 2
答：每件衬衫下降5元时，两家分店一天的盈利额相等．
5．（23-24九年级下·辽宁沈阳·期中）随着国际原油价格的不断走高，国内某石化公司的甲
产品出厂价也在不断地上调，该产品的出厂价上调值y（元/吨）与周次x之间近似的
符合一次函数关系．表格给出了该产品近期的价格上调值：
周次x 1 2 3 …
甲产品出厂价上调值y（元/吨） 160 180 200 …
(1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)随着甲产品出厂价的上调，其销量相应减少．市场表现为甲产品出厂价每上调10元，
日销量即减少10吨．已知该产品基于上表调价前的出厂价为3860元/吨，相应的日销
量为1140吨．甲产品的日销售额能否达到6400000元？如果能，求出当日甲产品的出
厂价；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)y=20x+140
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）由表格可知，每增加1周次，甲产品出厂价上调值较前1周增加20元，据此即可列出函数关系式；
( y )
（2）由题意可得(3860+ y) 1140− ×10 =6400000， 再根据方程解的情况即可
10
判断求解；
本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：由表格可知，每增加1周次，甲产品出厂价上调值较前1周增加20
元，
∴y=160+20(x−1)=20x+140，
即y=20x+140；
（2）解：不能，理由如下：
( y )
由题意得，(3860+ y) 1140− ×10 =6400000，
10
整理得，y2+2720 y+1999600=0，
∵Δ=27202−4×1×1999600=−600000<0，
∴该方程无解，
∴甲产品的日销售额不能达到6400000元．
6．（24-25九年级下·辽宁丹东·开学考试）某宾馆有若干间标准房，平时以200元/间定价
时（定价不得超过680元/间），平均每日可入住50间．在去年国庆期间为了增加营
业额，该宾馆决定上调房价，经市场调查表明，每间房定价每提高20元，每日入住房
间数就减少1间，若不考虑其他因素，问国庆期间宾馆标准房的价格定为多少时，每
日的营业额可为13500元？
【答案】国庆期间宾馆标准房的价格定为300元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解总营业额与房间入住数和房价之间的
关系是解题的关键．设国庆期间宾馆标准房的价格定为x元，根据总营业额=房间入住
数×房价列方程解答即可．
【详解】解：设国庆期间宾馆标准房的价格定为x元．
x−200
x(50− ×1)=13500
20
解得：x =200 ，x =900（舍去）
1 2
答：国庆期间宾馆标准房的价格定为300元．【题型5 一元二次方程应用-几何面积问题】
1．（2025·吉林通化·模拟预测）如图，小区物业规划在一个长60m，宽22m的矩形场地
ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽xm的道路，
中间是宽2xm的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是
．
【答案】(60−2x)(22−2x)=600
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴
影部分）可合成长为(60−2x)m，宽为(22−2x)m的矩形，结合阴影部分的总面积是
600m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵矩形场地ABCD的长为长60m，宽22m，且所修建停车位的两侧是宽
xm的道路，中间是宽2xm的道路，
∴停车位（即阴影部分）可合成长为(60−2x)m，宽为(22−2x)m的矩形．
根据题意，得(60−2x)(22−2x)=600，
故答案为：(60−2x)(22−2x)=600
2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可
用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花
圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2．
(1)求此时花圃AB边的长；
(2)花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)花圃AB边的长为4米．
(2)花圃的面积不能达到50m2，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键．
（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为(22−3x)米，由墙的最大可用长度
11
为11m，可知x≥ ，再根据题意列一元二次方程求解即可；
3
（2）令x(22−3x)=50，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答．
【详解】（1）解：设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为(22−3x)米，
∵墙的最大可用长度为11m，
11
∴22−3x≤11，解得：x≥
3
由题意可得：x(22−3x)=40，
10 11
整理得：3x2−22x+40=0，解得：x=4或 < （舍弃）．
3 3
答：花圃AB边的长为4米．
（2）解：花圃的面积不能达到50m2，理由如下：
令x(22−3x)=50，
整理得：3x2−22x+50=0，
因为Δ=(−22) 2−4×3×40=−116<0，
所以方程3x2−22x+50=0无解，即花圃的面积不能达到50m2．
3．（2025·广西贵港·一模）某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层
长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是
等宽的通道，已知每层喷漆面积为1196平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，小区停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200
元时，可全部租出：当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个
车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400
元？
【答案】(1)通道的宽是2米(2)40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的
关键．
（1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答；
（2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众
选择较小的y的值即可解答．
【详解】（1）解：设通道的宽是x米，
由题意得，(50−2x)(30−2x)=1196，
解得：x =2，x =38（不符合题意，舍去），
1 2
答：通道的宽是2米．
（2）解：设每个车位的月租金上涨y元，
( y )
由题意得，(200+ y) 64− =14400，
10
解得：y =40，y =400，
1 2
又∵能优惠大众，
∴y=40，
答：当每个车位的月租金上涨40元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入
为14400元．
4．（24-25九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴
趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为
28米，长方形场地面积是250平方米．
(1)据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建，并且
两年的增长率相同，请求出这个增长率；
(2)如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行
装饰，装饰板材共用去51米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不
变，求场地的宽AB为多少米？
【答案】(1)这个增长率为25%
(2)场地的宽AB为10米【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设这个增长率为x，根据该场地2022年的面积只有160平方米，连续两年扩建后
面积是250平方米，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为(51+2×2−3 y)米，根据养鸡
场的面积是250平方米．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设这个增长率为x，
由题意得：160(1+x) 2=250，
解得：x =−2.25（不合题意舍去），x =0.25=25%，
1 2
答：这个增长率为25%；
（2）解：设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为(51+2×2−3 y)米，
由题意得：y(51+2×2−3 y)=250，
整理得：3 y2−55 y+250=0，
25
解得：y = ，y =10，
1 3 2
25 25
当y= 时，BC的长为：51+2×2−3 y=51+2×2−3× =30（米）>28米，不
3 3
合题意，舍去：
当y=10时，BC的长为：51+2×2−3 y=51+2×2−3×10=25（米）<28米，符合
题意：
∴AB=10米，
答：场地的宽AB为10米．
【题型6 一元二次方程应用-动点与几何问题】
1．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，△ABC中，∠C=90°，
AC=8cm，BC=6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C
出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．(1)根据题意知：CE=____________，CD=____________；（用含t的代数式表示）
1
(2)t为何值时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的 ？
3
【答案】(1)3tcm,(8−4t)cm
(2)t=1
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．
（1）根据路程=速度×时间，即可求解；
1
（2）根据题意可得△CDE面积等于△ABC面积的 ，根据△CDE的面积等于三角形
4
1
ABC的面积的 列方程求解即可．
4
【详解】（1）解：∵动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从C出
发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts．
∴CE=3tcm，AD=4tcm，
则CD=AC−AD=(8−4t)cm；
故答案为：3tcm,(8−4t)cm．
1
（2）解：∵△CDE的面积等于四边形ABED的面积的 ，
3
1
∴△CDE面积等于△ABC面积的 ，
4
1 1 1
∴ CE⋅CD= × AC⋅BC，
2 4 2
1 1 1
即 ×3t×(8−4t)= × ×8×6，
2 4 2
解得t =t =1．
1 2
1
答：当t=1时，△CDE的面积等于四边形ABED的面积的 ．
3
2.（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，
BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），
动点Q从B点开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分
别从A、B同时出发，问四边形APQC的面积能否等于172m2，若能，求出运动时间；
若不能，说明理由．【答案】不能，理由见详解
【分析】本题主要考查了利用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找
准等量关系并判断自变量的取值范围．
根据题目要求假设出时间来，根据面积的间接求法列出等量关系，求解并进行判断取
值即可．
【详解】解：不能，理由如下：
假设运动时间为xs，根据题意得，
S =S −S
四边形APQC △ABC △PBQ
1 1
即 ×12×24− (12−2x)4x=172
2 2
整理得，x2−6x−7=0
解得，x=7或x=−1
12÷2=6，24÷4=6，所以自变量的取值范围为0
