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专题21.3 一元二次方程的应用（7个考点2个易错点）
【考点1一元二次方程应用-变化率问题】
【考点2一元二次方程应用传染、枝干问题】
【考点3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
【考点4 一元二次方程应用-销售利润问题】
【考点5 一元二次方程应用-每每问题】
【考点6 一元二次方程应用-几何面积问题】
【考点7 一元二次方程应用-动点与几何问题】
【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】
【易错点2 一元二次方程的应用】
【题型1一元二次方程应用-变化率问题】
1．（2023秋•蓬江区期末）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第
一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个
数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程（ ）
A．300（1+2x）＝500 B．300（1+x2）＝500
C．300（1+x）2＝500 D．500（1﹣x）2＝300
2．（2023秋•城关区校级期末）某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书
400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为x，根据题意，下列方
程正确的是（ ）
A．1525（1﹣x）2＝400
B．400（1+x）2＝1525
C．400+400（1+x）+400（1+x）2＝1525
D．400x2＝1525
3．（2023秋•汉中期末）在“乡村振兴”工作中，某养殖场加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，2021年10月份和12月份的产蛋量分别是4万千克与4.84万千克，
求养殖场这两个月蛋鸡产蛋量的月平均增长率．
4．（2023秋•罗定市期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头
盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售
3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发
现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能
将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的
条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
5．（2023秋•中山市校级期末）“读书，使人思想活跃，聪颖智慧；使人增长见识，谈吐
不凡；使人目光远大，志存高远”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社
会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆384人次，进馆人次逐月增加，到第三个月
末累计进馆1824人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过1350人次，在进馆人次的月平均增
长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】
6．（2023秋•湛江期末）新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（ ）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
7．（2023秋•麦积区期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很
快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均
一个人传染m人，则m的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
8．（2023春•台江区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同
样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个枝干长出x小分支，列方
程为 ．
9．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】
10．（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共
比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10
C． x（x﹣1）＝10 D． x（x+1）＝10
11．（2022秋•耿马县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比
赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
12．（2023秋•绥棱县期末）在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，
统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝630 B．x（x﹣1）＝630
C．2x（x﹣1）＝630 D．x（x﹣1）＝630×2们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某
次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人
参加这次会议，则可列方程为 ．
14．（2023秋•林芝市期末）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行 1
场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？
【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】
15．（2023秋•楚雄州期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台
上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/kg，销售价格不高于14元/kg，且每售
卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日
销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数解析式．
（2）当猕猴桃的销售价格定为多少元/kg时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？
16．（2023秋•电白区期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带
货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件8元的
日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣
10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）．
（1）求W与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？17．（2023秋•虹口区校级期末）为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，
蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤
40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）与销售单价x（元/公
斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出定义域；
（2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元．
18．（2023秋•青羊区校级期末）某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3
个B种足球，共需450元．若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元．
（1）购进A、B两种足球每个各需多少元？
（2）该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天
可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，
多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况
良好，每天可获利7000元．为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球
每个降价多少元？
19．（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每
千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降
价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？【题型5 一元二次方程应用-每每问题】
20．（2023秋•绥中县期末）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜欢．某商
店销售一批吉祥物，每个吉祥物进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于
30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨
1元，每天销售量减少10个，现商店决定提价销售．设每天销售量为y个，销售单价为
x元．当每个吉祥物销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
21．（2023秋•金塔县期末）某商店进了一批服装，每件成本50元，如果按每件60元出售，
可销售800件，如果每件提价5元出售，其销售量就将减少100件，如果商店销售这批
服装要获得利润12000元，那么这种服装的售价应定为多少元？该商店应进这种服装多
少件？
22．（2024•深圳模拟）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售
量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售
价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
（1）平均每天的销售量为 （ 100+1 0 x ） 本（用含x的代数式表示）；
（2）商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到 2240元，且要求每本售价不低于55
元，求每本画册应降价多少元？23．（2023秋•白银期末）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500
元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每
次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降
50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到
5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
24．（2023秋•孟津区校级期末）我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240
元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每
降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平
均每周获利41600元，请回答：
（1）每千克茶叶应降价多少元？
（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售
价的几折出售？
25．（2023秋•定西期末）一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后
以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售
价每降低0.2元，每天可多售出40千克．
（1）若将这种水果每千克的售价降低x元，则每天的销售是多少千克（用含x的代数式
表示）？
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，且保证每天至少售出230千克，那么水果店
需将每千克的售价降低多少元？【题型6 一元二次方程应用-几何面积问题】
26．（2023秋•阳城县期末）学校课外实践小组有一块长 32cm，宽20cm的矩形试验田，
为了方便管理，准备沿平行于两边的方向开劈二横一纵的三条等宽的小道，要使种植面
积为540cm2，小道的宽是多少？若设小道的宽为x cm，根据题意，列方程（ ）
A．32×20﹣20x﹣32x+2x2＝540 B．32×20﹣2x⋅32﹣20x＝540
C．（32﹣x）（20﹣2x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝540
27．（2023秋•李沧区期末）如图，在一个长为 80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相
同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相
同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为（ ）
A．（80﹣x）（50﹣x）＝2520 B．（80﹣4x）（50﹣x）＝2520
C．（80﹣4x）（50﹣2x）＝2520 D．（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520
28．（2023秋•永修县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样
宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道
路的宽为 米．
29．（2023秋•新兴县期末）如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一
边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为
48平方米？
30．（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为 42m，宽为30m的长方形花园内修建
一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温
室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草
坪，设小路宽度为x m．
（1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
（2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度．
【题型7 一元二次方程应用-动点与几何问题】
31．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B
出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，
P、Q两点同时出发，一点先到达终点时 P、Q两点同时停止，则（ ）秒后，
△PCQ的面积等于4．A．1 B．2 C．4 D．1或4
32．（2023秋•佛山期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P
从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s
的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当运动时间为t（s）时，CP＝ cm，CQ＝ cm；（用含t的代数式表
示）
（2）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值．
33．（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD
＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到
达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
（2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？
34．（2023秋•青白江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P
从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向
点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C
时，两点停止运动，问：
（1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？
（2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不
会，请说明理由．【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】
1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份
平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182
D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
2．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统
计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数
为x人，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90
C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90
3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，
则列出方程正确的是（ ）
A．x（x﹣1）＝10 B． ＝10
C．x（x+1）＝10 D． ＝10
4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，
赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请
x各队参赛，可列出的方程为 ．
【易错点2 一元二次方程的应用】
5．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成
一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位
长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度
沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运
动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一
个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为
秒．
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之
气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，
第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608人次，若进馆
人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增
长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的
一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材
料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米
的矩形花园，为什么？9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，点P、Q同时由A、B两点出发
分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度
是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的 ？
10．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每
辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为
500元，未租出的车辆每月只需维护费100元．
（1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益
（租金收入扣除维护费）是多少万元？
（2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司
的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？
11．某淘宝网店销售台灯，成本为每个 30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为
40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每
月能售出 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预
计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．12．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天
的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速
度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
13．某电子商店在销售某型号电话手表时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售
该型号电话手表8块与将标价直降100元销售7块获利相同．
（1）求该型号电话手表每块进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号电话手表的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51
块；若每块电话手表每降价20元，每月可多售出3块．若希望尽量减少库存，每月获
利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价多少元？
