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第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量
音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音
分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成
一个公比为 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若 ，
则 =（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，
，则使得 成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列 满足 ，则
（ ）
A．40 B．81 C．121 D．156
6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足 ， ，数列 的前 项积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．648．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列 ，满足 ，若存在两
项 ， ，使得 ，则 最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下
尺，第二天截取剩下的一半后剩下 尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下 尺，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是
（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了
一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了
12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新
生的老鼠数量为 ，每个月老鼠的总数量为 ，数列 ， 的前n项和分别为 ，可知
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ，
，则（ ）
A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
13．（2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 _______．14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列 的前 项和为 ，则使
成立的 的最小值为__________.
15．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件： ，且 ，恒有
，则 ______．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，当 时， 是线段 的中
点，点 在所有的线段 上，则 _________.
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在① ，② 这两个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
________．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，
且 成等比数列.
(1)求 和 .
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 和 满足： ， ，
（ 为常数，且 ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 的表达式．20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依
次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列
的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差
数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数
列 ，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
22．（2023·广东·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.1．（2022•乙卷（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
2．（2021•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2021•甲卷（理））等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ，乙： 是递增数列，
则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2020•新课标Ⅰ）设 是等比数列，且 ， ，则
A．12 B．24 C．30 D．32
5．（2020•新课标Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C． D．
6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
7．（2023•乙卷（理））已知 为等比数列， ， ，则 ．
8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 ．
9．（2023•甲卷（理））记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
10．（2019•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
11．（2019•新课标Ⅰ）设 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
12．（2020•北京）已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ， ，在 中都存在一项 ，使得 ；②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项 ， ，使得 ．
（Ⅰ）若 ，2， ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若 ，2， ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列．
