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专题 21.1 一元二次方程的相关概念（五大题型）
【题型1一元二次方程的概念】........................................................................................3
【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】....................................................................5
【题型3 一元二次方程的一般形式】................................................................................7
【题型4 已知一元二次方程的解求参数】.........................................................................10
【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】..............................................................12
【题型1一元二次方程的概念】
1．（24-25八年级下·浙江·期中）下列方程中，一元二次方程是（ ）
A．x+2y=4 B．3x=4 C．x=2x3+6 D．x2-2=9
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2
的整式方程，叫做一元二次方程；一元二次方程的三要素：①整式方程；② 只含有一
个未知数；③ 未知数的最高次数是2；根据概念判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、3x=4是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、x=2x3+6最高次数是3次，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、x2-2=9符合一元二次方程概念，是一元二次方程，故符合题意．
故选：D．
2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．3x+5 y=0 B．5x+2=0
1
C．3x2-2025=0 D．2x- =0
x
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误．
故选：C．
3．（24-25八年级下·重庆·期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）．
A．x+5=0 B．x3-x=0 C．x2-x-1=0 D．xy=1
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解
题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2
的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为熟记： ．
ax2+bx+c=0(a≠0)
【详解】解：A、x+5=0是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
B、x3-x=0中含有一个未知数，但未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，此选
项不符合题意；
C、x2-x-1=0是一元二次方程，此选项符合题意；
D、xy=1中，有2个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
故选：C．
4．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
1
A．3x+2=9 B．x2+3x=7 C．y2+2x-3=0 D． =1
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是含有一个未知数，未知项的
最高次数是2的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断．
【详解】解：A选项：方程3x+2=9中只含有一个未知数，且未知项的最高次数为1，
∴这是一元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意；
B选项：方程x2+3x=7中只含有一个未知数，且未知项的最高次数为2，∴这是一元二
次方程，故B选项符合题意；
C选项：方程y2+2x-3=0中含有两个未知数，且未知项的最高次数为2，∴这是二元
二次方程，故C选项不符合题意；1
D选项：方程 =1的未知数在分母的位置，这是一个分式方程，不是整式方程，∴这不
x
是一元二次方程，故D选项不符合题意．
故选：B．
5．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．x2-4x-1=0
C． D．
x2-2x-3=x(x-1) x+1=0
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，
注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次
方程．
根据一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：A、a=0时，是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是一元二次方程，故B符合题意；
C、原方程化简为-x-3=0，是一元一次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次方程，故D不符合题意；
故选：B．
【题型2 根据一元二次方程的概念求参数】
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的方程 是一元二次方
x (k-2)x|k|+x+4=0
程，则k的值应为（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可，注意二次项
系数不为0的隐含条件．
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
x (k-2)x|k|+x+4=0
∴|k|=2且k-2≠0，
∴k=-2，故选：C．
2．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方
(m+2)x2+3x=0 x
程，则m的取值范围是（ ）
A．m>-2 B．m≠2 C．m<-2 D．m≠-2
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
方程 是一元二次方程，二次项系数不能为零，由此即可求解．
(m+2)x2+3x=0
【详解】解：根据方程 是关于 的一元二次方程得，
(m+2)x2+3x=0 x
∴m+2≠0，
解得m≠-2，
故选：D．
3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）若关于 的方程 是一元二次方程，
x (4-a)x2-x=0
则a的取值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠4 C．a<4 D．a>4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的
关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整
式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为 ．
ax2+bx+c=0(a≠0)
【详解】解：∵关于 的方程 是一元二次方程，
x (4-a)x2-x=0
∴4-a≠0，解得：a≠4，
故选：B．
4．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）关于 的方程 是一元二次方
x (a2-1)x2-x-2=0
程，则a值是（ ）
A．a≠1 B．a≠-1
C．a≠1或-1 D．为任意实数
【答案】C【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整
式方程叫做一元二次方程，本题根据一元二次方程的定义求解．
【详解】解：由题意得：
a2-1≠0，
解得a≠±1．
故选：C．
5．（24-25九年级上·北京·期中）若方程 是关于x的一元二次方程，则a
(a+1)x|a|+1-x=2
的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．不存在
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出
|a|+1=2，a+1≠0，即可求出a的值．
【详解】解：若方程 是关于x的一元二次方程，
(a+1)x|a|+1-x=2
则|a|+1=2，
解得a=±1，
a+1≠0，
∵a≠-1，
∴a=1，
∴故选：A．
6．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）若 是关于x的一元二
(m+5)x|m|-3-4x-8=0
次方程，则m的值为（ ）
A．5 B．-5 C．±5 D．±3
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关
键．根据一元二次方程的定义可得|m|-3=2且m+5≠0，即可求出m的值．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
∵(m+5)x|m|-3-4x-8=0
∴|m|-3=2且m+5≠0，
解得：m=5．故选：A．
【题型3 一元二次方程的一般形式】
1．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一
次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1，-5 C．2，0，-5 D．2，0，5
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数
项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程2x2+x-5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是
2，1，-5．
故选：B．
2．（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程x(2x-1)=4x化成一般式，则a，b，
c的值分别是( )
A．1，4，1 B．2，-5，0 C．3，4，0 D．-2，-5，1
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0 (a，b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中
容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、
b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出a，b，c
的值即可．
【详解】解：方程整理得：2x2-5x=0，
则a，b，c的值分别是2，-5，0．
故选：B．
3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于一元二次方程x=-2x2+1，化为一般
式后二次项系数为2，则一次项系数为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且
a≠0），特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此求解即可．
【详解】解：一元二次方程x=-2x2+1化为一般式为2x2+x-1=0，
则一次项系数为1，
故选：A．
4．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程x(x+1)=-7化成一般形式后为
．
【答案】x2+x+7=0
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式： ，熟记一元二次
ax2+bx+c=0(a≠0)
方程的一般形式是解题的关键．去括号，将-7移到方程的左边即可．
【详解】解：去括号，得x2+x=-7，
移项，得x2+x+7=0，
故答案为：x2+x+7=0．
5．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）一元二次方程x2-2x-6=0的常数项是 ．
【答案】-6
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程 ，
ax2+bx+c=0(a≠0)
a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解．
【详解】解∶ 一元二次方程x2-2x-6=0的常数项是-6，
故答案为： -6．
6．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）一元二次方程2x2-8x=5化成一般形式后，二
次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
【答案】 2 -8 -5
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如
的式子叫做一元二次方程是解题的关键．
ax2+bx+c=0(a≠0)
先将方程化为一般形式，即可求解．
【详解】解：将方程2x2-8x=5化成一般形式为2x2-8x-5=0，
∴二次项系数为2，一次项系数为-8，常数项为-5．
故答案为：2,-8,-5．
【题型4 已知一元二次方程的解求参数】1．（2025·湖南·模拟预测）已知一元二次方程(x+3)(x+k)=0有一个根是2，则k的值为
（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右
两边相等的未知数的值，据此把x=2代入原方程中计算求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程(x+3)(x+k)=0有一个根是2，
∴(2+3)(2+k)=0，
∴k=-2，
故选：B．
2．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）已知x =-2是关于x的一元二次方程x2-2x-4n=0
1
的一个根，则n的值为（）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查一元二次方程解的概念，熟练掌握一元二次方程的解是解题的
关键；
将x=-2代入一元二次方程即可求得答案．
【详解】解：∵x =-2是关于x的一元二次方程x2-2x-4n=0的一个根，
1
∴把 代入得
x=-2 (-2) 2-2×(-2)-4n=0
解得：n=2．
故选：C．
3．（2025·四川资阳·三模）x=-1是关于x的一元二次方程2x2-mx-3=0的解，则m等于
（ ）
A．1 B．-3 C．5 D．-1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右
两边相等的未知数的值，据此把x=-1代入原方程中计算求解即可．
【详解】解：∵x=-1是关于x的一元二次方程2x2-mx-3=0的解，
∴ ，
2×(-1) 2-m⋅(-1)-3=0
∴m=1，故选：A．
4．（2025·浙江台州·二模）已知一元二次方程x2+2mx+1=0的一个根为1，则m=
．
【答案】-1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，因为一元二次方程x2+2mx+1=0的一个根
为1，可得关于m的一元一次方程，解一元一次方程可以求出m的值．
【详解】解：∵一元二次方程x2+2mx+1=0的一个根为1，
∴1+2m+1=0，
解得：m=-1．
故答案为：-1．
5．（2025·江苏无锡·一模）若关于 的一元二次方程 的一个解是
x mx2+nx-2024=0(m≠0)
x=1，则m+n+1的值是 ．
【答案】2025
【分析】本题考查了一元二次方程的解．把x=1代入原方程，可得m+n=2024，即可
求解．
【详解】解：∵一元二次方程 的一个解是 ，
mx2+nx-2024=0(m≠0) x=1
∴m+n-2024=0，
∴m+n=2024，
∴m+n+1=2025．
故答案为：2025．
6．（2025·上海宝山·二模）如果x=1是一元二次方程x2+x+a=0的解，那么a= ．
【答案】-2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把x=1代入x2+x+a=0，进而可求出
a的值．
【详解】解：把x=1代入x2+x+a=0，
得：1+1+a=0，
解得：a=-2，
故答案为：-2
7．（2025·广东江门·一模）若x=1是方程2x2-3x+5-a=0的根，则a的值是 ．
【答案】4【分析】此题考查了一元二次方程根的定义，把x=1代入方程求解即可．
【详解】解：∵x=1是方程2x2-3x+5-a=0的根，
∴2×12-3×1+5-a=0
解得a=4
故答案为：4
【题型5 已知一元二次方程的解整体带入求值】
1．（2025·浙江丽水·二模）已知a是方程x2+2x+1=0的一个根，则代数式2a2+4a+3的
值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得a2+2a=-1，将原式变形后
代入数值计算即可．
【详解】解：∵a是方程x2+2x+1=0的一个根，
∴a2+2a+1=0，
∴a2+2a=-1，
∴ ，
2a2+4a+3=2(a2+2a)+3=2×(-1)+3=1
故选：B．
2．（24-25八年级下·安徽滁州·期中）若x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一
个根，则-2a+2b的值为（ ）
A．2 B．-1 C．-2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先把x=-1代入ax2+bx-1=0，
得a-b=1，故-2a+2b=-2(a-b)=-2，即可作答．
【详解】解：∵x=-1是关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0的一个根，
∴ ，
a×(-1) 2+b×(-1)-1=a-b-1=0
∴a-b=1，
∴-2a+2b=-2(a-b)=-2×1=-2，
故选：C
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若m是方程x2-3x+1=0的一个根，则m2-3m+2025的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右
两边相等的未知数的值，据此把x=m代入原方程得到m2-3m=-1，据此利用整体代
入法计算求解即可．
【详解】解：∵m是方程x2-3x+1=0的一个根，
∴m2-3m+1=0，
∴m2-3m=-1，
∴m2-3m+2025=-1+2025=2024，
故选：B．
4．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）若x=-2是关于x的方程ax2+bx=4的解，则
2025+2a-b的值为 ．
【答案】2027
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，理解一元二次方程的解的意义是
解题的关键．
把x=-2代入方程ax2+bx=4，求得2a-b=2，再把2a-b=2整体代入2025+2a-b
计算即可．
【详解】解∶把x=-2代入方程ax2+bx=4，得
4a-2b=4，
∴2a-b=2，
∴2025+2a-b=2025+2=2027．
故答案为∶2027
5．（24-25八年级下·重庆·期末）若a是关于x的方程x2-4x+1=0的一个根，则
2024-8a+2a2
=
【答案】2022
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，熟练掌握整体代入法是解题的关
键．
将x=a代入x2-4x+1=0得出a2-4a=-1，再作为整体代入2024-8a+2a2即可．
【详解】解：∵a是方程x2-4x+1=0的一个根，
∴a2-4a+1=0，∴a2-4a=-1，
，
∴2024-8a+2a2=2(a2-4a)+2024=2×(-1)+2024=2022
故答案为：2022 ．
1．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）若关于x的一元二次方程为
的解是 ，则 的值是（ ）
ax2+bx+5=0(a≠0) x=1 a+b
A．1 B．-5 C．5 D．-2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解．利用一元二次方程解的定义得到a+b=-5即可．
【详解】解：把 代入方程 得 ，
x=1 ax2+bx+5=0(a≠0) a+b+5=0
所以a+b=-5．
故选：B．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于 的方程 是一元二次方程，
x (m-3)x|m-1|-4=8x
则m的值是（ ）
A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为
2的整式方程是一元二次方程，其一般形式为： ；根据一元二次
ax2+bx+c=0(a≠0)
方程的概念得|m-1|=2，且m-3≠0，即可得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
(m-3)x|m-1|-4=8x
∴|m-1|=2，且m-3≠0，
∴m=-1．故选：B．
3．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k2-4=0的常数
项为0，则k的值为（ ）
A．-2 B．4 C．2或-2 D．4或-2
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程
的定义可得k2-4=0，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：k2-4=0，
解得：k=±2．
故选：C．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若m是方程x2-3x-1=0的一个根，则
-2m2+6m+19的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解
的定义是解题的关键．
根据一元二次方程根的定义可得m2-3m-1=0，即m2-3m=1，整体代入代数式即
可求解．
【详解】解：∵m是方程x2-3x-1=0的一个根，
∴m2-3m-1=0，即m2-3m=1，
∴-2m2+6m+19
=-2(m2-3m)+19
=-2+19=17．
故答案为：17．
