文档内容
专题 22.2 二次函数 y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质
目 录
一.知识梳理与题型精析........................................................................................................................1
知识点（一）二次函数 的图象与性质..................................................................1
【题型1】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值...........2
【题型2】二次函数 的与几何图形综合...............................................................2
知识点（二）二次函数 的图象与性质............................................................3
【题型3】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值......4
【题型4】二次函数 的与几何图形综合.........................................................4
知识点（三）二次函数 的图象与性质......................................................5
【题型5】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值
.................................................................................................................................................................5
【题型6】二次函数 的与几何图形综合...................................................6
知识点（四）二次函数 的平移.................................................................7
【题型7】二次函数 的性质与平移综合...................................................7
【题型8】二次函数 的性质与几何综合...................................................8
二．同步练习.........................................................................................................................................9
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）..................................................................9
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）................................................................12
3. 直通中考（选择题5题，填空题5题）.......................................................................................15
一.知识梳理与题型精析
知识点（一）二次函数 的图象与性质函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 轴 轴
当 时， 随 的增大而增大； 当 时， 随 的增大而减小；
增减性
当 时， 随 的增大而减小. 当 时， 随 的增大而增大.
最值
当 时， 当 时，
【题型1】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值
【例题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知抛物线 过点 和点
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当x为何值时，函数y随x的增大而减少．
【变式1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数 的图象是一条抛物线，则下列说
法错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线经过点
C．抛物线的顶点是 D．当 时， 随 的增大而增大
【变式2】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数 以及二次函数 （其中 、 、
均为常数，且 ），当 时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则 的值
为 ．
【题型2】二次函数 的与几何图形综合
【例题2】（2025·江西·二模）如图，抛物线的顶点为 ，平行于 轴的直线与该抛物线交于点 ，
（点 在点 左侧），根据对称性可知， 为等腰三角形．我们规定：当 为等腰直角
三角形时，就称 为该抛物线的“完美三角形”．（1）与 的“完美三角形”的斜边长相等的抛物线是___________；（填序号）
① ；② ；③
（2）若抛物线 的“完美三角形”的斜边长为8，求 的值；
（3）若抛物线 的“完美三角形”的斜边长为 ，抛物线 的“完美三角形”的
斜边长为 ，且 ，求 与 的数量关系．
【变式1】（2025·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系 中，点P、 分别是抛物线 第
二、一象限上一点， 轴且 . 点Q在直线 上方的抛物线M上，点 和点Q关于直
线 对称，在以点 为顶点且过点 与点R的抛物线N上， ．若 ，则点
Q坐标为 ．
【变式2】（2022·吉林·三模）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，抛物线y＝a（x﹣2）2
＋1（a＞0）的顶点为A，过点A作y轴的平行线交抛物线 于点B，连接AO、BO，则
△AOB的面积为 ．知识点（二）二次函数 的图象与性质
开口 顶点
的符号 对称轴 性质
方向 坐标
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上
增大而减小； 时， y 有最小值0．
时， 随 的增大而减小； 时 随 的增
向下
大而增大； 时， y 有最大值0．
【题型3】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值
【例题3】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知函数 是关于x的二次函数．
求：
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）对于二次函数 的图象，下列说法不正确
的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当 时， 有最大值0 D．当 时， 随 的增大而减小
【变式2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线 和
（ ）相交于点A，B，C，D．若 ， ， ，则h的值为
．
【题型4】二次函数 的与几何图形综合
【例题4】（24-25九年级上·北京·期中）如图，正三角形 的边长为1，动点D从点B开始沿边向点C移动，过点D作 边的垂线，交 于G，连接 ．
（1）随着点D的移动，随之而变化的量有_________（至少写三个）；
（2）请你用函数表示上述变化过程中某两个变量之间的关系，并利用函数的有关知识分析变化的
规律．
【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知二次函数 （h是常数），且自变量取
值范围是 ．
（1）当 时，函数的最大值是 ；
（2）若函数的最大值为 ，则h的值是 ．
【变式2】（20-21九年级上·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，点A是抛物线
与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且 轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长
为 ．
知识点（三）二次函数 的图象与性质
开口 顶点
的符号 对称轴 性质
方向 坐标
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的
向上
y
增大而减小； 时， 有最小值 ．
时， 随 的增大而减小； 时 随 的增
向下
y
大而增大； 时， 有最大值 ．
【题型5】二次函数 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值【例题5】（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知函数 ．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当 取何值时， 随 的增大而增大？
（3）当 取何值时，函数取得最值？求出这个最值．
【变式1】（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）对于抛物线 ，下列判断不正确的
是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当 时， 有最大值1
C．对称轴为直线
D．当 时， 随 的增大而增大
【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于抛物线 ，下列结论： 抛
物线的开口向下； 对称轴是过 且平行于 轴的直线； 顶点坐标为 ； 时，
随 的增大而增大，其中正确结论有 ．（填序号）
【题型6】二次函数 的与几何图形综合
【例题6】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，点C为二次函数 的顶点，直线
与该二次函数图象交于 、B两点（点B在y轴上），与二次函数图象的对称轴交
于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若
存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1】（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴
交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，直线 平行于 轴，二次函数
的图像与直线 交于 ， 两点，二次函数 的图像与直
线 交于 ， 两点，其顶点为 ，若 ， ， ，则点 的坐标为 ．
知识点（四）二次函数 的平移
1.平移步骤：
yaxh2k h，k
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；
yax2 h，k
⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2.平移规律：
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左
加右减，上加下减”．
【题型7】二次函数 的性质与平移综合
【例题7】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）已知函数 ．
（1）函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______．
（2）当 ______时， 随 的增大而减小．
（3）当x取什么数时函数能取到最值？是最大值还是最小值？函数的最值是多少？
（4）怎样平移抛物线 可以得到拋物线 ？
【变式1】（2025·新疆喀什·三模）将抛物线 的图象向左平移1个单位，再向上平移
2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·广西南宁·三模）已知点 和点 在抛物线 上，沿x轴向左平
移该抛物线，记平移后点A的对应点为 ，点B的对应点为 ， 是x轴上的一个定点．当
最短时，此时抛物线的解析式为 ．
【题型8】二次函数 的性质与几何综合
【例题8】（2025·上海闵行·二模）定义：如果一条抛物线 的顶点坐标满足条件 ，那么称该抛物线为“优雅”抛物线．例如：抛物线 的顶点坐标为 ，
此时由于 ， ，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线．
（1）如果抛物线 是“优雅”抛物线，求 的值．
（2）如图，把（1）中的抛物线 向下平移得到抛物线 ，抛物线 与 轴负半轴交于点 ，顶
点为点 ，对称轴与 轴交于点 ．
①点 在 延长线上，点 是 轴上一点，且四边形 是矩形，求点 的坐标．
②如果抛物线 为“优雅”抛物线，它的顶点 在 轴上，抛物线 与 交于点
，且 ，求抛物线 的解析式．
【变式1】（2025·河北沧州·一模）已知点 为抛物线 上一点，在透明胶片上描
画出包含点 的抛物线 的一段，向上平移该胶片得到点 和抛物线 ，如图．已知抛物线 的
顶点 的纵坐标为 ，且 ，则平移得到的点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·广西河池·期中）如图，将抛物线 沿y轴向下平移一段距离后，得到一条新的抛物线 ；若曲线段 平移至曲线段 ，曲线段 所扫过的为
阴影部分，则阴影部分的面积是 ．
二．同步练习
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列抛物线中，对称轴为直线 的是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·河南洛阳·一模）点 是抛物线 上的点，且 ，则
与 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．（24-25九年级上·青海西宁·阶段练习）已知二次函数 的图象上，当 时， 随
的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．4．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数 ，当 时，y的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知 的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴
分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·重庆渝中·期末）二次函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）若点 ， 都在二次函数 的图象上，则a与
b的大小关系是：a b（填“ ”，“ ”或“ ”）．
8．（2025·宁夏银川·三模）平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向左平移2个单位，
再向上平移3个单位后得到的图象的关系式为：
9．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知抛物线 与直线 有两个交点 ，，抛物线 与直线 的一个交点是 ，则 的值是 ．
10．（2025·河南平顶山·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“当 时，
函数值y随自变量x的增大而增大”；乙：“函数图象经过点 ”，请你写出一个同时满足这两
个特征的函数表达式： ．
11．（2025·广东肇庆·二模）若点 ， ， 在二次函数 的
图象上，则 ， ， 的大小关系是 ．
12．（2025·四川广元·三模）已知二次函数 的图象向左平移 个单位长度，再向下平
移 个单位长度得到抛物线 ， ， 在抛物线 上，则 （填“ ”“
”或“ ”）．
三、解答题
13．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于 的二次函数的图象与 轴交于两点
两点，且图象过点 ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
14．（22-23九年级上·浙江绍兴·期中）已知函数
（1）填空：函数图像的开口方向是___________，对称轴是直线___________．
（2）当 ___________时， 随 的增大而减小．
（3）以 轴为对称轴，将拋物线 进行轴对称变换， 求变换后所得到的拋物线解
析式．
15．（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过 轴上一点
．
（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线与 轴的交点坐标；
（3）试说明：当 时，函数值 随着 的增大而变化的情况．
16．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数 的图象与 轴交
于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点C使得 最小，并求出C点的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（2021·山东临沂·二模）下列对二次函数 的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．经过原点 D．在对称轴右侧，抛物线从左到右下降
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线
C．其最小值为5 D．当 时，y随x的增大而增大3．（2024·广东广州·一模）已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，
则 的值为（ ）．
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
4．（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线 与y轴的交点， 轴交抛物
线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若 为等边三角形，则a的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是四
边的中点，若四边形 是矩形，且其周长是 ，则四边形 的面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图，将抛物线 平移到抛物线
，点 ， 分别在抛物线 ， 上．下列结论：①无论 取何值，
都有 ；②若点 平移后的对应点为 ，则 ；③当 时，线段 的长随着
的增大而减小．其中正确的结论为（ ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
7．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知二次函数 ，当 时， 随 的
增大而增大，则 的取值范围是 ．
8．（20-21九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）设A（﹣1，y
1
），B（0，y
2
），C（2，y
3
）是抛物线y
＝﹣x2+2a上的三点，则y
1
，y
2
，y
3
由小到大关系为 ．
9．（2025·广东珠海·一模）抛物线 过 两点，将抛物线L向左或
向右平移后得到抛物线M，设抛物线M的顶点为C．若 是以 为斜边的直角三角形，则点
C的坐标为 ．
10．（24-25九年级下·山东济南·阶段练习）对于一个二次函数 （ 、 、 是常
数）中存在一点 ，使得 ，则称 为该抛物线的“开口大小”，那
么抛物线 的“开口大小”为 ．
11．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，平行于x轴的直线与两条抛物线 和
（ ）相交于点A，B，C，D．若 ， ， ，则h的值为
．12．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数 的图象 ，点
是坐标系的原点，点 是图象 对称轴上的点，图象 与 轴交于点 ，则下面结论：①关于 的
方程 的解是 ， ；②当 时， ；③点 的坐标为 ；④△
周长的最小值是 ．正确的有 ．
三、解答题
13．（21-22九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线 的对称轴为直线 ，与y轴交
于点 ．
（1）求a和h的值；
（2）求该抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式．
14．（24-25九年级上·吉林·期中）已知抛物线 ．
（1）若此抛物线的顶点在直线 上，求 的值；
（2）若点 与点 在此抛物线上，且 直接写出 的取值范围.
15．（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与轴交于点 ，
．
（1）求点 ， ， 的坐标，
（2）在抛物线上是否存在一点 ，使 ？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若
不存在，请说明理由．16．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点A，C为抛物线 为常数，且 上两
定点，点B为点A，C之间的抛物线上一动点（不与点A，C重合），过点B作x轴垂线，交直线
于点 ，过点A，C作直线 的垂线，垂足分别为F，D．
（1）若 ，点A，B，C的横坐标分别为 ，m，1， ，
①求直线 的函数关系式；
② ______；（用含m的代数式表示）
③试猜想 ， ， 之间的数量关系并证明：
（2）若（1）中a的值改为 ，其余条件不变，请直接写出 ， ， 之间的数量关系；
（3）当a的值确定，点B在点A，C之间的抛物线上运动时， ， ， 之间的数量关系是
______．
3. 直通中考（选择题5题，填空题5题）
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数 的最小值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2025·山东威海·中考真题）已知点 都在二次函数 的图象
上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
5．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数 ，当 时， 的最小值
为 ，则 的值为（ ）
A． 或4 B． 或 C． 或4 D． 或4
二、填空题
6．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线 的顶点坐标为
．
7．（2025·上海·中考真题）将函数 的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为
．
8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线y=（x－1）2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位
长度后顶点的坐标是 ．
9．（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 的图象如图所示，若直线y＝kx
﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 ．10．（2020·江苏南京·中考真题）下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①
该函数的图象与函数 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时，y
随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数 的图像上，其中所有正确的结论序号是
．
