文档内容
专题 26.4 反比例函数与几何图形【九大题型】
【人教版】
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】.........................................................................................................1
【题型2 反比例函数与平行四边形的综合应用】.................................................................................................2
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】..............................................................................................................4
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】..............................................................................................................5
【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】.........................................................................................................7
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】..............................................................................................................9
【题型7 反比例函数中的定值问题】....................................................................................................................10
【题型8 反比例函数中的存在性问题】................................................................................................................12
【题型9 反比例函数中的最值问题】....................................................................................................................14
【题型1 反比例函数与三角形的综合应用】
【例1】（23-24九年级·上海松江·阶段练习）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−3,5)，B(−3,0)
，C(2,0)，将ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C落在点C′处，则过点C′
k
的反比例函数y= 中，k的值为（ ）
x
A．12 B．−12 C．−4 D．−3
k
【变式1-1】（2024·山东日照·模拟预测）如图，点A、B是反比例函数y= (k≠0)图象上的两点，延长
x
线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC的中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE0)的图象经过点B、D，若 ▱OABC的面积为24，则
x
k的值为 ．【变式2-3】（2024·山东临沂·模拟预测）如图，一次函数y=kx−4k(k≠0)的图象与反比例函数
m−1
y= (m−1≠0)的图象交于点C， 与x轴交于点A，过点C作CB⊥y轴，垂足为B，连接OC,AB．
x
已知四边形ABCO是平行四边形，且其面积是12．
(1)求点A的坐标及m和k的值．
(2)①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；②请结合图象，直接写出不等式
m−1
≥kx−4k的解集．
x
(3)若直线y=x+t与四边形 ABCO有交点时，直接写出t的取值范围．
【题型3 反比例函数与矩形的综合应用】
【例3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C在坐标轴
k
上，B在第一象限，反比例函数y= (k>0)的图像经过OB中点E，与AB交于点F，将矩形沿直线EF翻
x
折，点B恰好与点O重合．若矩形面积为8❑√2，则点B坐标是（ ）A． B． C． D．
(2❑√2,4) (4,2❑√2) (4❑√2,2) (2,4❑√2)
【变式3-1】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴
k
的负半轴上，反比例函数y= (x<0)的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接
x
EF，AF，若点E为AC的中点，△AEF的面积为2，则k值为（ ）
A．−6 B．−5 C．−3 D．−2
4
【变式3-2】（2024·广西·模拟预测）如图，点A是反比例函数y=− (x<0)上一动点，点C的坐标为
x
(1,0)，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，以BA、BC为边作矩形ABCD，将矩形ABCD绕点C顺时针旋
转90°得到矩形FECG，在点A运动的过程中，点A的对应点F坐标为(m,n)，则m与n满足的关系式为
．
【变式3-3】（2024·广西·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点k
重合，点E是x轴上一点，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y= （k>0，x>0）的图象经过AE
x
上的两点A、F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．14
【题型4 反比例函数与菱形的综合应用】
【例4】（23-24九年级·山东滨州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正
k
半轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过对角线OB的中点D和顶点C，若菱形OABC的面积为9，则k
x
的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式4-1】（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶
4❑√3
点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，则菱形OABC的面积为 ．
xk
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）如图，反比例函数y= （k≠0）的图像与正比例函数
x
y=2x的图像相交于A(1,a)、B两点，点C在第四象限，BC∥x轴．
(1)求k的值；
(2)以AB、BC为边作菱形ABCD，求D点坐标及菱形的面积．
k
【变式4-3】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，一次函数y=k x+1的图象与反比例函数y= 2点
1 x
的图象相交于A、B两点，点C在x轴正半轴上，点D(1,−2)，连接OB、OA、OD、DC、AC，四边形
OACD为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
1
(4)设点P是直线AB上一动点，是否存在点P，使S = S ，若存在，请直接写出满足条件点P
△OAP 2 菱形OACD
的坐标，若不存在，请说明理由．【题型5 反比例函数与正方形的综合应用】
1
【例5】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图，在正方形ABCD中，边AB在x轴上，OA= ，AC=❑√2
4
k
，点D在反比例函数y= (k≠0，x>0)的图象上，BC交反比例函数的图象于点E，则CE的长为（ ）
x
3 3 4
A．1 B． C． D．
4 5 5
【变式5-1】（23-24九年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与
k
原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图像与正方形的两边AB，BC
x
分别交于点M，N，连接OM，ON，MN，若∠MON=45°，MN=2，则k的值为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC的
k
顶点B(2,4)在反比例函数y= 的图象上，AB⊥x轴于点A．点D为边AB中点，过点D作DE⊥AB交该
x
函数图象于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，过点E的正比例函数y=ax的图象与该函数的另一个交点为
点G．(1)k= ．
(2)求点E的坐标及四边形ADEF的面积．
k
(3)当正比例函数y=ax的值大于反比例函数y= 的值时，直接写出x的取值范围．
x
【变式5-3】（2024·辽宁盘锦·二模）如图，正方形ABCD在第一象限，点A(2，4)，B(4，4)，反比例
k
函数y= (x>0)的图象与正方形ABCD的边有交点．
x
(1)接写出k的取值范围；
k
(2)当反比例函数y= (x>0)图象与AB交于点E，且E是AB中点，连接OE，点F在第一象限反比例函数
x
k
y= (x>0)图象上，点X为x轴上一点，且OF平分∠EOX，求点F的坐标．
x
【题型6 反比例函数与梯形的综合应用】
k
【例6】（2024·广东佛山·二模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 2图象交于点B（﹣1，6）、
1
x
点A，且点A的纵坐标为3．(1)填空：k＝ ，b＝ ；k＝ ；
1 2
k
(2)结合图形，直接写出kx+b＞ 2时x的取值范围；
1
x
(3)在梯形ODCA中，AC∥OD，且下底DO在x轴上，CD⊥x轴于点D，CD和反比例函数的图象交于点
M，当梯形ODCA的面积为12时，求此时点M坐标．
【变式6-1】（2024·辽宁盘锦·模拟预测）如图，梯形OABC的一个顶点为平面直角坐标系的坐标原点O，
k
OA∥BC，反比例函数y= (k>0，x>0)经过点A、点B，已知OA=2BC，若△OAB的面积为9，则k
x
的值为 ．
【变式6-2】（23-24九年级·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+b的图像
k
与x轴交于点A(2,0)，与y轴交于点B，与反比例函数y= (x>0)的图像交于点C(m,2)．
x(1)求b和k的值：
(2)如果直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点D，求直线BD的表达式；
(3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形ADEC是梯形时，求点E的坐标．
k
【变式6-3】（23-24九年级·浙江·阶段练习）如图，直线y=k x+b与反比例函数y= 2的图象交于A
1 x
(1,6)，B(a,3)两点．
（1）求k 、k 的值？
1 2
k
（2）直接写出k x+b− 2>0时x的取值范围？
1 x
（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反
比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由．
【题型7 反比例函数中的定值问题】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、
y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（4，2）．点M是边BC上的一个动点（不与B、C重合），反比例函数
k
y＝ （k＞0，x＞0）的图象经过点M且与边AB交于点N，连接MN．
x
（1）当点M是边BC的中点时．
①求反比例函数的表达式；
②求 OMN的面积；
△ MB
（2）在点M的运动过程中，试证明： 是一个定值．
NBk
【变式7-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）已知双曲线y= 的图象过点（1，2）．
x
（1）求k的值，并求当x>3时y的取值范围；
k
（2）如图1，过原点O作两条直线与双曲线y= 的图象交于A、C与B、D．我们把点（x，y）的横坐标
x
与纵坐标都是整数的点称为整点，若A、B、C、D都是整点，试说明四边形ABCD是矩形；
k
（3）如图2，以过原点O的线段BD为斜边作一个直角三角形，且三个顶点A、B、D都在双曲线y=
x
上，若点A的横坐标为a，点B的点横坐标为b，问：ab是否等于定值？若是，求出这个定值；若不是，
请说明理由．
【变式7-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别为
k k
(m,0)、(0,n)，顶点C在反比例函数y= 1 (x>0)上，顶点D在反比例函数y= 2 (x>0)上．
x x(1)如图1，当D点坐标为(4,1)时．
①求k 的值；
2
②求m，n的值；
(2)如图2，当m，n满足什么关系时，k >k ，并说明理由；
1 2
(3)如图3，当k =k 时，在AD的延长线上取一点E，过点E作EF⊥EA交x轴于点F，交反比例函数图象
1 2
于点G，当G为EF的中点，对于每一个给定的m值，点E的纵坐标总是一个定值，则该定值为______．
（用含m的代数式表示）
【变式7-3】（23-24九年级·福建泉州·期末）如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y
4
轴、x轴的正半轴上，△AOB的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数y= 的图象
x
上．
(1)求点P的坐标；
(2)若OA=OB，求∠P的度数；
1 n
(3)如果直线AB的关系式为y=kx+ n，且00)的图像交于
x
A、B两点，且A点坐标为(m,4)，又与坐标轴分别交于M、N两点，且M的坐标为(0,6)．(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)已知△BON的面积为3，求点B的坐标；
(3)平面内是否存在一点P，使得以点P、A、O、B为顶点的四边形是平行四边形若存在，请直接写出P点
的坐标；若不存在，在请说明理由．
2
【变式8-1】（23-24九年级·山西临汾·期中）如图，一次函数y=− x+6的图象与x轴，y轴交于F，E两
3
k
点，与反比例函数y= 的图象交于点A(a,4),B(b,2),AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C．
x
(1)求a，b的值及反比例函数的表达式．
9
(2)若P为线段CD上的一点，连接PA，PB，当S = 时，求点P的坐标．
△ABP 2
(3)在x轴上是否存在点Q，使得△ABQ为等腰三角形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于
A，BC⊥y轴于C，BA=3，BC=5，有一反比例函数图象刚好过点B．(1)分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
(2)动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的
点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理
由．
【变式8-3】（2024·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，8)，AB⊥x轴于点
AB 4 k
B， = ，反比例函数y= 的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数图象的
OB 3 x
另一支于点E，已知点D的纵坐标为2．
(1)求反比例函数的解析式及点E的坐标；
(2)连接CD，OD，求S ；
△OCD
(3)在x轴上是否存在两点M，N（M在N的左侧），使以点E，M，C，N为顶点的四边形为矩形？若存
在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
【题型9 反比例函数中的最值问题】
k
【例9】（2024·四川泸州·模拟预测）直线y=−x+2a(常数a>0)和双曲线y= (k>0,x>0)的图像有且
x
只有一个交点B．(1)求点B的坐标（用含a的式子表示）；
(2)如图1，一次函数y=−x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图像上，且
满足∠BPO=∠QPA．
①若a=1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；
OM−BP
②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求 的值．
PM
【变式9-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）如图1，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于
m
A(1,0)和B(0,2)，以AB为对角线作矩形OACB，点C恰好在反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如图2，作线段BC的垂直平分线，交反比例函数图象于点E，连接AE、BE，求△ABE的面积；
(3)如图3，若点D是x轴上一点，则△BCD周长的最小值为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在
k
x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线y= 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点
x
D，交边BC于点E．若点C的坐标(2,2)．则阴影部分面积S最小值为 ．【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A(1,6) 和B(3,2)都在反比例
6
函数y= 的图像上．
x
(1)在y轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．）
