2025届高考数学二轮复习：专题三三角函数与解三角形（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题三 三角函数与解三角形 典典例分析 析 考查方式 三角函数及解三角形在高考中通常以简单题和中档题为主，高考对此部分的考查难度略 有提高，更注重综合应用. 高考中有时直接考查三角函数的图象与性质、图象的伸缩变换、 两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等，有时会将其作为数学工 具，隐含在平面向量、立体几何、解析几何、函数等问题中考查. 复习过程中，要贯通三角 函数与基本初等函数、导数方法之间的联系，在函数主题的整体视角下审视三角函数问题， 提高思维的灵活性和分析问题、解决问题的能力. 高考真题 1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知 为锐角， ，则 ( ) A. B. C. D. cos()m 3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D.3m4．[2024年 新课标Ⅰ卷]当 时，曲线 与 的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 5．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数 和 ，下列说法中正 确的有( ) A. 与 有相同的零点 B. 与 有相同的最大值 C. 与 有相同的最小正周期 D. 与 的图象有相同的对称轴 6．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 __________. 7．[2024年 新课标Ⅰ卷]记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， . （1）求B； （2）若 的面积为 ，求c. 8．[2024年 新课标Ⅱ卷]记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 . （1）求A； （2）若 ， ，求 的周长.参考答案 1．答案：B  1 sincoscossin   3  1  cossin 解析：依题意，得  6 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选B. 2．答案：D 解析：法一：由题意， ，得 ， 又 为锐角，所以 ，所以 ，故选D. 法二：由题意， ，得 ，将选项逐个代入验证可知D 选项满足，故选D. 3．答案：A 解析：由 得 ①.由 得 ②， 由①②得 ，所以 ，故选A. 4．答案：C解析：因为函数 的最小正周期 ，所以函数 在 上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数 与 在 上的图 象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 5．答案：BC 解析：对于A，令 ，则 ， ，又 ，故A错误； 对于B， 与 的最大值都为1，故B正确； 对于C， 与 的最小正周期都为 ，故C正确； 对于D， 图象的对称轴方程为 ， ，即 ， ， 图象的 对称轴方程为 ， ，即 ， ，故 与 的图象的对称 轴不相同，故D错误.故选BC. 6．答案：解析：由题知 ，即 ， 又 ，可得 .由 ， ， ， ，得 ， .又 ，所以 是第四象限角，故 . 7．答案：（1） （2） 解析：（1）由余弦定理得 ， 又 ， . ， ， 又 ， . （2）由（1）得 ， 由正弦定理 ，得 ， .的面积 ，得 . 8．答案：（1） （2） 解析：（1）法一：由 ，得 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以 ，故 . 法二：由 ，得 ， 两边同时平方，得 ， 则 ， 整理，得 ， 所以 ，则 . 因为 ，所以 或 . 当 时， 成立，符合条件；当 时， 不成立，不符合条件. 故 . 法三：由 ，得 ， 两边同时平方，得 ， 则 ， 整理，得 ， 所以 ，则 . 因为 ，所以 . （2）由 ，得 ， 由正弦定理，得 ，所以 ， 因为 ，所以 . ， 所以 .法一：由正弦定理 ，得 ， . 所以 的周长为 . 法二：由正弦定理 ， 得 ， 所以 ， 所以 的周长为 . 重难突破 1.已知扇形面积为 ，半径是1，则扇形的圆心角是( ) A. B. C. D. 2.若角 为第二象限角， ，则 ( )A. B. C. D. 3.在 中， ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 1 cos 4.已知 2， ，则 ( ) A. B.2 C. D. 5.已知函数 ，若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.将函数 (其中 )的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于 对称， 则 的最小值是( ) A.6 B. C. D. 7.已知角 ， 满足 ， ，则 ( ) A. B. C. D.2 8.在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则 面积的最大值为( ) A. B. C. D. 9.已知函数 （ ）在 上单调，在 上存在极值点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 10.已知函数 的最小正周期为T.若 ，且曲线 关于点 中心对称，则 ( ) A. B. C. D. 11.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基 础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接 触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分 别测量球体建筑物的最大仰角为 和 ，且 ，则该球体建筑物的高度约为 ( )( ) A. B. C. D.12.已知函数 的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是( ) A.函数 的图象关于点 中心对称 B.函数 的单调增区间为 C.函数 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到 D.函数 在 上有2个零点，则实数t的取值范围为 13.（多选）已知 ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.若 ，则 D.若 ，则 14.（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是( ) A.当 时， 的最小正周期为 B.函数 过定点C.将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 是偶函 数，则 的最小值为 D.函数 在区间 上恰有5个零点，则 的取值范围为 15.（多选）若 的内角A，B，C对边分别是a，b，c， ，且 ，则( ) A. 外接圆的半径为 B. 的周长的最小值为 C. 的面积的最大值为 D.边 的中线 的最小值为 π  1 tan     16.已知 2  2，则 _____________. f xcos2x 3sin2x 17.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函 数是偶函数，则 的最小值为________. 18.已知 ， ， ， ，则 ___________. 19.已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边， ，且 ，则 面积的最大值为___________. 20.如图，已知函数 （其中 ， ， ）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， ， ， ， .则函数 在 上的值域为___________. 21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ， . （1）求c； （2）设D为 边上一点，且 ，求 的面积. 22.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到 的图象，求 曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形面积. 23.已知函数 的部分图象如图所示. (1)求函数 的解析式；(2)求 在 上的值域. 24.在① ；② ；③ ，这三个条件中 任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在 中，内角A，B，C的对 边分别为a，b，c.已知______. （1）求角A； （2）若 ， ，求 边上的中线 的长. 注：若选择多个条件分别进行解答，则按第一个解答进行计分. 25.设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . （1）求A； （2）若 的最大值为 ，求a的值.答案以及解析 1.答案：B 解析：因为扇形面积为 ，半径是1，所以扇形的弧长为 ，所以扇形的圆心角为 .故选： C. 2.答案：B 解析：因为 ， ，又角 为第二象限角， 解得 .故选：B 3.答案：C 解析：设 ， ， ， ， ， ， ，故选：C 4.答案：C 解析：由 ，得 ，而 ， 因此 ，所以 .故选：C 5.答案：C 解析： ，由函数 在 上单调递减.且 ， ，解 得： ， ，因为 ，当且仅当 时，有满足要求的取值，即 .故选：C. 6.答案：D 解析：将 的图象向左平移 个单位，可得 所得图象关于 ，所以 ， 所以 ， 即 ， 由于 ，故当 时取得最小值 .故选：D. 7.答案：B 解析：因为 ， ， 所以 ， 即 ，则 ， 因为 ，所以 ，其中 ， 故 ，解得 .故选：B. 8.答案：C 解析：在 中，由 及正弦定理得 ， 即 ，由余弦定理得 ， ， 则 ，当且仅当 时取等号，因此 ， 的面积 ， 所以当 时， 的面积取得最大值 .故选：C 9.答案：B 解析：函数 ，令 ， 则其减区间为 ，增区间为 ， ， 由函数 在 上单调，则 ，解得 ， ①当函数 在 上单调递减时，则 ，解得 ，由 ，则 ， ； ②当函数 在 上单调递增时，则 ，解得 ， 由 ，则不符合题意；易知当 ，即 时，函数 取得 极值，可得 ，解得 ，由 ，则 ， ，综上所述， .故选：B. 10.答案：B 2π f xcosx T  解析：由 ，则 ，由2πT 4π， 2π 1 2π 4π 1 则  ，解得2 ， 由 ，则当 时，函数 取得对称中心， 由题意可得 ，化简可得 ， 当 时， ，显然当 时， ， 所以 ，则 . 故选：B.11.答案：B 解析：如图，设球的半径为R， 则 ， ， 所以由题 ，又 ， 故 ， 所以 ，即该球体建筑物的高度约为 . 故选：B. 12.答案：C 解析： ，由图可知， ，可得 ， ， ， ，故A正确； ，解得 ， 所以函数 在 单调递增，故B正确； 函数 的图象向左平移 个单位长度得 ， ，故C错误； ， ， 当 时， ，此时 有两个零点， 即 ，可得 ，故D正确. 故选：C. 13.答案：ABD 解析：对于A： ，故A正确；对于B： ，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D：因为 ，所以 ，又 ， ， 所以 ，则 ， 所以 ，故D正确. 故选：ABD 14.答案：BC 解析：A选项错误，当 时，最小正周期 ； B选项正确， ，与 的取值无关； C选项正确，向左平移 个单位长度后的函数解析式 ， 令 ， ，解得 ，当 时， 的最小正值为 ； D选项错误，令 ，即 ，解得 或， ，即 或者 ，要使得在区间 上恰 好有5个零点，令 ，满足 ，解得 .故选BC. 15.答案：ACD 解析：对于A： ，由正弦定理得 ， 即 ， 3sinBsin Asin AcosB sin A 即 ， 因为 ，所以sin A0，  π 2sin B 1   所以 ，  6 ， 2π B  因为 ，则 3 ， 令 外接圆的半径为R， 根据正弦定理可得 ， 即 ，故A正确； 对于C：由余弦定理知 ， ， 因为 ， ，所以 ， ， 当且仅当 时等号成立，因为 ， 所以 的最大值为 ，故C正确； 对于B：由C知 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最大值为 ，故B错； 对于D：因为 为 边上的中线， 所以 ， ， 得 ，因为 ， 所以 的最小值为 ，故D正确； 故选：ACD 16.答案： 解析：由诱导公式得 ， 故 ，所以 . 故答案为： . 17.答案： 解析： ， 图象向右平移 个单位长度后得到 是偶函数， π ， ， ，0， 的最小值为6 . 18.答案： 解析：由 ，两边平方得 ，所以 ， 故 ，因为 ，所以 ， 解得 ，又因为 ，所以 . 故答案为： . 19.答案： 解析： ， ， .由正弦定理，得 ， .由余弦定理，得 ， 且 ， ，当且仅当 时等号成立， ， ， 面积的最大值为 . 20.答案： 解析：由题意得， ， ， ， ， ， ， . ， ，把 代入上式可得， ， 又 ， ， ， ，又 ， ， ，又 ， ， 函数 ，当 时， ， ， ，故答案为. 21.答案：（1） ； （2） 解析：（1）因为 ，所以 ， ，所以 .在 中， 由余弦定理得 ， 即 ，解得 （舍去）， . （2） 因为 ， ， ，由余弦定理得 ， 又 ，即 是直角三角形，所以 ， 则 ， ，又 ，则 ， 所以 的面积为 . 22.答案：（1） 且（2） 解析：（1）由题设 ，则 ， 所以 且 ，可得 且 ， 所以解集为 且 . （2）由题意 ，则 ， 所以 ， ， 所以曲线 在点 处的切线为 ， 显然切线过 ， ，故其与坐标轴围成的三角形面积为 . 23.答案：(1) ； (2) . 解析：（1）观察图象知， ， ，即 ， 又 ，且0在 的递增区间内， 则 ， ，由 ，得 ， ，解得 ， ，又 且 ，解得 ，因此 ， ， 所以函数 的解析式是 . （2）由（1）知， ，当 时， ， 而正弦函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 于是 ， ， 所以 在 上的值域为 . 24.答案：（1）任选一个，答案均为 ； （2） . 解析：（1）选① ， 由正弦定理得 ， ， ， ，三角形中 ，所以 ， 又 ，所以 ；选② 由正弦定理得 ，三角形中 ， 所以 ，又三角形中 ，所以 ， ， 所以 ，即 ； 选③ ， 由余弦定理得 ，整理得 ， 所以 ，而 ， ； （2）由（1） ， ， 由余弦定理得： ，又 ， ， 所以 ， 所以 ， . 25.答案：（1）a  3 （2） cosA cosBcosC  解析：（1）由题设及正弦边角关系，有 sin A sinBsinC ， 所以sinBcosAsinCcosAsin AcosBsin AcosC， 整理得sinBcosAsin AcosB sin AcosCsinCcosA，即 sin(BA)sin(AC) ， 显然 不合题设，则 ， 所以 ，而 ，可得 . （2）由 ，可得 ， ， 所以 ， 由（1）知： ，则 ， 由 ，则 ，又 的最大值为 ， 所以 ，可得 （负值舍）， 综上， .