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专题 27.2 相似三角形判定与性质的综合
【典例1】在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，连接AE、DE，
DE=DC．
（1）如图1，若DE⊥DC，连接AC，求证：△ABC∽△DEA；
（2）如图2，点F是边CD的中点；
①若BF∥AD，求CD的长；
②直接写出BG:GH:HF的值．
【思路点拨】
DE ❑√2 AE ❑√2
（1）利用等腰直角三角形的性质、勾股定理可求 = ， = ，∠AED=90°=∠ABC，然后
AB 2 BC 2
利用两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形是相似三角形即可得证；
1
（2）①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，利用三线合一的性质求出EM=CM= CE=1，
2
证明四边形ABND是平行四边形，得出DN=AB=2，利用三角形中位线定理得出∴MF∥DE，
1 EH BE 2 2
MF= DE，可证△BEH∽△BMF，得出 = = = ，设EH=2a，则MF=3a，
2 MF BM 2+1 3
MF MN 3 7
DE=CD=6a，DH=4a，证明△NFN∽△DHN，得出 = ，可求MN= ，DM= ，然后利
DH DN 2 2
用勾股定理即可求解；
②过E作EQ∥MN交BF于Q，可证△BEQ∽△BMN，求出EQ=1，证明△EQH∽△DNH，得出QH EQ 1 BQ BE
= = ，设QH=x，则NH=2x，QN=3x，利用平行线分线段成比例可求 = =2，
NH DN 2 QN ME
BH BE 7 2
= =2，则BQ=6x，HF= x，证明△ABG∽△EQG，可求BG= BQ=4x，GQ=2x，
HF EM 2 1+2
GH=3x，最后代入化简即可．
【解题过程】
（1）证明：∵∠ABC=90°，BC=2AB=4，点E是边BC的中点，
∴BE=AB=2=CE，∠AEB=∠BAE=45°，
∴ ，
AE=❑√AB+BE2=2❑√2
∵DE=DC，DE⊥DC，
∴DE2+DC2=CE2=4，∠DEC=∠DCE=45°，
∴DE=DC=❑√2，
DE ❑√2 AE 2❑√2 ❑√2
∴ = ， = = ，
AB 2 BC 4 2
DE AE
∴ = ，
AB BC
∵∠AEB=45°，∠CED=45°，
∴∠AED=90°=∠ABC，
∴△ABC∽△DEA；
（2）解：①过D作DM⊥BC于M，交BF于N，连接MF，
，
又DE=DC，
1
∴EM=CM= CE=1，
2
又∠ABC=90°，
∴AB∥DM，又BF∥AD，
∴四边形ABND是平行四边形，
∴DN=AB=2，
∵F是AC中点，EM=CM，
1
∴MF∥DE，MF= DE，
2
∴△BEH∽△BMF，
EH BE 2 2
∴ = = = ，
MF BM 2+1 3
设EH=2a，则MF=3a，DE=CD=6a，
∴DH=DE−HE=4a，
∵MF∥DE，
∴△NFN∽△DHN，
MF MN 3a MN
∴ = ，即 = ，
DH DN 4a 2
3
∴MN= ，
2
7
∴DM=DN+MN= ，
2
❑√53
∴CD=❑√DM2+CM2= ；
2
②过E作EQ∥MN交BF于Q，
，
∴△BEQ∽△BMN，
EQ 2
EQ BE =
∴ = ，即 3 3，
MN BM
2
∴EQ=1，∵EQ∥MN，MN∥AB，
∴△EQH∽△DNH， EQ∥AB，
QH EQ 1
∴ = = ，
NH DN 2
设QH=x，则NH=2x，QN=3x，
∵EQ∥MN，
BQ BE
∴ = =2，
QN ME
∴BQ=6x，
∴BH=7x，
∵MF∥DE，
BH BE
∴ = =2，
HF EM
7
∴HF= x，
2
∵EQ∥AB，
∴△ABG∽△EQG，
BG AB
∴ = =2，
GQ EQ
2
∴BG= BQ=4x，GQ=2x，
1+2
∴GH=3x，
7
∴BG:GH:HF=4x:3x: x=8:6:7．
2
1．（2023·安徽滁州·校联考模拟预测）如图，在△ACB和△ABD中，∠C＝∠ABD＝90°，
AC＝BC＝2，AB＝BD，P为AC上一点（不与点A、C重合），连接PB，作PB⊥BQ交AD于点
Q．（1）求证：PB＝BQ；
（2）求证：AP+AQ＝2BC；
（3）如图2，若P为 的中点，连接 分别交 于点 ，求 S 的值．
AC CQ BP、AB E、F △BEF
S
四边形APEF
2．（2023春·安徽·九年级专题练习）已知：菱形ABCD中，AB=❑√3，AC=2，AC与BD交于点O，点E
为BD上一点．
（1）求BD的长；
（2）若AE⊥AB，求证：OE=DE；
（3）若点E在线段OB上（不与O、B重合），以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在
菱形的边上，画出图形并求OE的长．3．（2023·山东临沂·统考二模）综合与实践
问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．老师给同学准备
了一些A4纸，已知A4纸的长宽之比为❑√2:1．
操作探究：如图1，将A4纸ABCD沿过点A的直线折叠，使点D的对应点D′落在边BC上展开后折痕AE
交CD于点E．
（1）∠AD′B的度数；
（2）求证：DE=❑√2CE．
（3）拓展延伸：如图2，在图1的基础上，继续沿过点A的直线折叠，使点B的对应点B′落在AD′上，展
开后折痕交BC于点F，连接EF．请判断△AEF的形状并说明理由．4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的
中点，作BE⊥CD交CD的于F．
（1）求证：∠ABC=∠BEC；
（2）如图2，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，若AE=BC
①求证：△GEA≌△ABC；
DF
②求 的值．
CF5．（2022·安徽淮北·淮北一中校联考模拟预测）点E在矩形ABCD的对角线BD上，DF⊥AE于点G，
交AB于点F．
（1）如图1，若DB平分∠CDF，求证：AD=AE；
BE
（2）如图2，取AD的中点M若∠AMF=∠ABM，求 的值；
DE
（3）如图3，过BD的中点O作PQ⊥AB于点P，延长PO交CD于点Q，连接EF交OP于点N．若
AF AB
NE=NF，求证： = ．
BE BD6．（2023春·吉林·九年级专题练习）如图①，在正方形ABCD中，AB=4，M为对角线BD上一点（不与
B、D重合），连接AM，过点M作MN⊥AM交边CD于点N，连接AN．
（1）【问题发现】在图①中小明想过点M分别作AD、CD的垂线，发现AM和MN有特殊的关系，请你
判断△AMN的形状，并根据小明的方法给出证明；
（2）【问题解决】直接写出图①中S 的取值范围： ；
△AMN
BM 2
（3）【类比探究】如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，M为对角线BD上一点，且 = ，
BD 5
则S = ．
△AMN7．（2023春·安徽·九年级专题练习）点D是△ABC内一点，AD平分∠BAC，延长CD交AB于点E，延
长BD交AC于点F．
（1）如图1，若AB=AC，证明：DE=DF；
CD CF
（2）如图2，若∠BDC+∠BAC=180°，证明： = ；
BD BE
DE 2
（3）如图3，若∠BAC=60°，∠BDC=120°，DF=4， = ，求BD的值．
CD 38．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考开学考试）在△ABC中，AB=AC，点D在线段
CB的延长线上，连接AD，过点B作BE⊥BC交线段AD于点E,2∠BED+∠BAC=120°．
（1）如图1，求∠CAD的度数．
DE 3 BD
（2）如图2，若 = ，求 的值．
AE 2 BC
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EC,EC交线段AB于点F，若BD=3❑√3，求AF的长．9．（2022秋·四川成都·九年级川大附中校考期中）（1）问题探究；如图1，在正方形ABCD中，点E，Q
分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．
GF
①判断DQ与AE的数量关系：DQ______AE；②推断： 的值为________；
AE
BC
（2）类比探究，如图（2），在矩形ABCD中， =k（k为常数），将矩形ABCD沿GF折叠，使点A
AB
落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之
间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN，点
DN
M、N分别在边BC、AB上，求 的值．
AM10．（2023春·重庆江北·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC与△≝¿中，∠ACB=∠EDF=90°，
BC=AC，ED=FD，点D在边AC上．
（1）如图1，若点D与点A重合，点F在AC的延长线上，若AB=AE=4，连接EC，求S ；
△FCE
（2）如图2，若点F恰好在△ABC的高CG上，点N在AC上，∠CEN=∠CDE，且EN=MF，求证：
CM+CF=❑√2CD；
（3）如图，若点D与点A重合，且AC=4❑√2，DE=4，将△≝¿绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，
连接CG，在旋转过程中，当2GC+BG的值最小时，直接写出CG的值．11．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC为钝角，BE，BF分
别为边AD，CD上的高，交边AD，CD于点E，F，连接EF．
（1）求证：∠EBF=∠C；
（2）若BF=EF，
①求证：CF=DF；
②如图2，连接BD交EF于点O，若BF=2CF，△ABE的面积为4，求△BOE与△DOF的面积之差．12．（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）（1）如图①，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，
AC上，AD与BE交于点F，且∠AFE=60°，连接CF．求证：AE=CD；
（2）在（1）的条件下，若CF=CE，求证：BD2=BC⋅CD；
（3）如图②，点G是等边三角形ABC外一点，连接GA、GB，GB交AC于点E，∠AGB=30°，
AG=3❑√3，CE=2❑√7，求AB的长．13．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，点D在线段
BC上（不与点B，C重合），且∠BAC+∠DAE=180°，连接BE交线段AC于点F．
（1）【发现】如图1，当∠BAC=90°时，取BE边的中点G，连接AG，则线段AG和CD的数量关系
______．
（2）【探究】如图2，当∠BAC=60°时，试猜想线段AF和CD的数量关系，并证明．
（3）【应用】在（1）的条件下，连接CE，当△DCE的面积最大时，DE=4，直接写出线段AG的长．14．（2023·江苏淮安·校考三模）【探究发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH=AD，连接CH．由
∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为______，位置关系为______．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于
点Q，交AB边于点K．试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，AB=8，D为BC边的中点，连接AD，E为AC
边上一动点，连接BE交AD于点F．
①若BF=AC．求AE的长度；
AG 4
②在射线AD上取一点G，且 = ，连接BG，直接写出4BE+5BG的最小值．
CE 515．（2023秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是
BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．
（1）如图2，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH．求证：△AGD∽△AHE；
（2）在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值；
（3）如图3，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形．16．（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：
【初步认识】
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC，BD，过点A作AE⊥AC交CB的
延长线于点E．求证：∠E=∠ACD；
【特例研究】
（2）如图2，若四边形ABCD中，AB=AD，（1）中的其它条件不变，取BD，BC的中点M，F，连接
MF．
①求证：BE=2MF；
②N为EC的中点，连接MN，猜想MN与AE的位置关系，并证明你的猜想；
【拓展应用】
（3）如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是射线BC上一动点，过点O作OF⊥OE
AB 3
交射线CD于点F，当 = ，CE=1，AB=3时，请直接写出CF的长．
BC 517．（2023秋·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考开学考试）如图，在平行四边形ABCD中，
AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，
交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN:AD=2:5，AH=2❑√2，请直接写出点C到直线DE的距离．
18．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形ABCD，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若
EG
EG⊥FH，则 =1．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
FH
方案甲：过点A作AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
方案乙：过点H作HM⊥BC交BC于点M，过点E作EN⊥CD交CD于点N．
对他们遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任一个加以证明（如图1）
EG
（2）如果把条件中的“正方形”改成“矩形”，如图2，并设AB=3，BC=5，求 的值．
FH
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，点E、F分别在线段
DE
AB、BC上，且AF⊥DE．求 的值．
AF
19．（2023春·浙江温州·八年级苍南县灵溪镇第一中学校考阶段练习）如图1，在四边形ABCD中，AB=CD=4，AD=BC=4❑√3，BD=8．点E在线段CD上从点C出发向点D按每秒2个单位长度的速度
运动，同时点F在线段BD上从点D出发向点B按每秒3个单位长度的速度运动，当E到达终点时，点F同时
停止运动．设运动时间为t．点G是射线BC上一点，且BF=FG．连接EF，EG，FG．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）当t=1时，求EG的长．
（3）①当△EFG中有一条边与BD垂直时，求t的值．
②如图2，F的运动终点记作点H，连接EH，以EF，EH为边作 ▱EFPH．当点P落在△ABD的边上时，
直接写出□EFPH的面积．
20．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类
的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接EF，则
EF=BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合.
∵∠ADC=∠B=90°，∠FDG=180°，∴点F，D，G共线.根据______ (从“SSS，ASA，AAS，
SAS”中选择填写)，易证△AFG≌ ______ ，得EF=BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.若
∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系______ 时，仍有EF=BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD，DE，
EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且
∠DAE=30°，当AB=4，BD=1时，直接写出CE的长．
