2025届高考数学二轮复习：专题八平面解析几何（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题八 平面解析几何 典例分析 考查方式 直线与圆的方程在高考中可单独以选择题、填空题的形式考查，也可与圆锥曲线综合在 解答题中考查. 直线主要考查直线的斜率和方程、两直线的交点与距离问题、对称问题等； 圆主要考查圆的方程的求解、与圆有关的最值问题、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关 系等. 复习的重点在于立足基础，培养推理论证能力，提高运算能力，注重解题的通性通法. 圆锥曲线在高考中占据极其重要的地位，是高考的重点、热点和难点，更是每年的必考 内容. 简单题主要考查圆锥曲线的定义、方程、简单性质，难题主要考查圆锥曲线几何性质 的综合应用、直线和圆锥曲线的位置关系、利用解析几何知识解决圆锥曲线综合应用，这类 题目的综合性较强，对计算能力要求较高. 复习的重点在于重视基础知识的掌握，重视思想 方法的训练，提高计算能力和综合解题能力. 高考真题 e 2 1．[2023年 新课标Ⅰ卷]设椭圆 ， 的离心率分别为 ， . e  3e a 若 2 1，则 ( ) 2 3 3 A. B. C. D. 2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知曲线 ，从C上任意一点P向x轴作垂线 ，P为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为( ) x2 y2  1(y 0) 16 4 A. B.y2 x2  1(y 0) 16 4 C. D. 3．[2023年 新课标Ⅰ卷]过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 ( ) A.1 B. C. D. 4．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 ( ) A. B. C. D. 5．[2024年 新课标Ⅰ卷]（多选）设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线C的 一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于-2，到点 的距离与到定直 线 的距离之积为4，则( ) A.B.点 在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点 在C上时， 6．[2024年 新课标Ⅰ卷]设双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若 ， ，则C的离心率为 __________. 7．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知 和 为椭圆 上两点. （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且 的面积为9，求l的方程. 参考答案 1．答案：A 解析：由椭圆 的方程知离心率 ，由椭圆 的方程知 .又 ，即 ，化简得 ， ， ， .故选A. 2．答案：A M x ,y  Px ,2y  解析：设 0 0 ，则 0 0 ，因为点P在曲线C上，所以 ，即 ，所以线段 的中点M的轨迹方程为 ，故选A. 3．答案：B解析：设圆 为圆C，化简得 ，圆心为 ，半径 . 如图，设 ，则 ， ，易知 ， 则 ，所以 .故选B. 4．答案：C y  xm M(m,0) 解析：设直线 与x轴交于点 ，直线方程与椭圆方程联立得 4x2 4 2mxm2 10 (2m)2 4   m2 1  0 3 3 2m2 ， ，解得 . 设 ， 到直线AB的距离分别为 ， ，由题意得， ，所以 .由三角形相似可得， ，解 得 或 .因为 ，所以 ，故选C. 5．答案：ABD解析：因为坐标原点O在曲线C上，所以 ，又 ，所以 ，所以A正确. 因为点 到点 的距离与到定直线 的距离之积为 ，所 以点 在曲线C上，所以B正确. 设 （ ， ）是曲线C在第一象限的点，则有 ，所以 ，令 ，则 ，因为 ，且 ，所以函数 在 附近单调递减，即必定存在一小区间 使得 单调递减，所以在区间 上均有 ，所以 纵坐标的 最大值一定大于1，所以C错误. 因为点 在C上，所以 且 ，得 ，所以 ，所以D正确. 综上，选ABD. 6．答案： 解析：法一：由 及双曲线的对称性得 ，因为 ，所以 ， ，所以 ， ，则C的离心率 . 法二：因为 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，得 ， 所以 ，得 ，所以C的离心率 . 7．答案：（1） （2） 或 解析：（1）由题知 ，解得 ， ， 的离心率 . （2） ，设点B到直线PA的距离为h， 则 的面积为 ，解得 .易知直线 ， 设 ，则 ，解得 或 ， 或 ，故 或 . 重难突破 1.已知椭圆 经过点 ，当k变动时，C截得直线 的最大弦长 为 ，则C的方程为( ) A. B. C. D. 2.已知直线 与直线 平行，则m的值为( ) A.-3 B.-1 C.2 D.-3或2 3.已知圆 关于直线 对称，则实数 ( ) A. B.1 C. D.2 4.过抛物线 的焦点F作直线l，交抛物线于 两点.若线段 中点的纵坐标为3，则 等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4 5.圆 与圆 的公共弦长为( ) A. B. C. D. 6.若直线 是双曲线 的一条渐近线，则该双曲线的离心率 为( )A. B. C. D. 7.已知圆 ，直线 则直线l被圆C截得 的弦长的最小值为( ) A.5 B. C.10 D. 8.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了 抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦 点.已知一束平行于x轴的入射光线的一束光线与抛物线 的交点为 ，则反射光 线所在直线被抛物线截得的弦长为( ) A. B. C. D. 9.已知 ， 是椭圆 的左､右焦点，直线l与椭圆C相切于点 ，过左焦 点 作直线l的垂线，垂足为Q，则点Q与原点O之间的距离为( ) A. B.2 C.3 D.4 10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与椭圆 相 交于A、B两点，与y轴相交于点C.连接 ， .若O为坐标原点， ，，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 11.已知D为双曲线 右支上一点，过点D分别作C的两条渐近线的平行线，与另 DA  DB  外一条渐近线分别交于点A，B，则 ( ) 5 A.2 B. C.4 D. 12.已知抛物线 过点 ，动点M，N为C上的两点，且直线AM与AN 的斜率之和为0，直线l的斜率为 ，且过C的焦点F，l把 分成面积相等的两部分， 则直线MN的方程为( ) A. B. C. D. 13.（多选）已知椭圆 的左顶点为A，左、右焦点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆相交于P，Q两点，则( ) A. B. C.当 ，P，Q不共线时， 的周长为8 D.设点P到直线 的距离为d，则 14.（多选）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，抛物线的焦点为F，过点 的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则( ) A.直线 与抛物线C相切 B. C.若P是线段 的中点，则 D.存在直线l，使得 15.（多选）已知双曲线 的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P 作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是( ) A.点F到C的一条渐近线的距离为2 B.双曲线C的离心率为 C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D.当 最小时，则 的周长为 kx y12k 0 16.已知直线 ，当k变化时，所有的直线恒过定点_________ 17.已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2， 的面积为 ，则 _______________. 18.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古 代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点 ， ，圆，在圆上存在点P满足 ，则实数m的取值范围是 ______________. 19.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的 圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆 及其蒙日圆 的离心率为 ，点 分别为蒙日圆O与坐 标轴的交点， 分别与 相切于点 ，则四边形 与四边形 EFGH的面积的比值为_________. 20.已知抛物线 的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线 的斜率为 ，且 ，延长 ， 分别交C于P，Q两点，则四边形 的面积为____________. 21.已知点 与直线 ，圆 (1)一条光线从点P射出，经直线l反射后，通过点 ，求反射光线所在的直线方程； (2)过P点作圆的切线，求切线方程. 22.已知抛物线 ，C的焦点是F. （1）若过原点O作两条直线交曲线C于A，B两点，且 ，求证：直线AB过定点；（2）若过曲线C上一点 作两条直线交曲线C于A，B两点，且 ，求 的面积的取值范围. 23.已知椭圆 的焦距为 ，且点 在椭圆M上. （1）求椭圆M的标准方程； （2）设O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上的三个动点，且四边形OABC恰为平行四边形， 试判断平行四边形OABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若否，请说明理由. 24.已知双曲线 的左、右顶点分别为 ， . （1）若过点 的直线l交双曲线E于A，B两点，求直线l的斜率范围； （2）过原点的直线与双曲线E相交于C，D两点（C在x轴的上方），直线 ， 与圆 分别交于点M，N，直线CD与直线MN的斜率分别为 ， ，求 的值. 25.已知A，B分别是椭圆 的左、右顶点.椭圆长轴长为6，离心率为 . O为坐标原点，过点 ，且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）当直线l的斜率为正时，设直线AM，AN分别交y轴于点S，T，记 ， ，求 的取值范围.答案以及解析 1.答案：A 解析：由题意可得 ， ，所以 ， ，所以椭圆方程为 . 故选：A 2.答案：A 解析：由两直线平行得： ，解得 或 . 当 时， ， ，两直线重合，不合题意. 当 时， ，即 ， ，两直线平行，符合题 意. 故m的值为-3. 故选：A. 3.答案：A 解析：由 ，得 ，故圆心为 ， 又因为圆 关于直线 对称， 故圆心 在直线 上，则 . 故选：A 4.答案：B 解析：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， 设 ， 则 ， 所以 ， 故选：B5.答案：C 解析：圆 ①与圆 ②， ①－②得 ，即公共弦方程为 ， 又圆 的半径为 ，圆心为 ， 圆心 到直线 距离 ， 所以公共弦长为 . 故选：C. 6.答案：D 解析：因为双曲线 的焦点在y轴上，且直线 即为 ， 由双曲线 的渐近线方程是 ，所以 ，即 ， 所以离心率 . 故选：D. 7.答案：C 解析：由 ， ，即l过定点 ， 由 得 ，半径 ， 则当 时，C到l的距离最远，此时l被圆C截得的弦长最小， 最小值为 .故选：C. 8.答案：C A4,4 168p p 2 解析：因为点 在抛物线上，所以 ，解得 ， y2 4x 所以抛物线的方程为 ，则焦点为 ， 又因为反射光线经过点 及焦点 ， ， 所以反射光线 的方程为 ， 联立抛物线方程得 ，解得 或 ， 所以反射光线 与抛物线的交点为 ， 由两点间距离公式可得 ，所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为 . 故选：C. 9.答案：B 解析：直线l的斜率显然存在，所以设直线l的方程为 ，即 ， 联立方程组 ， 消去y，得 ， 因为直线l与椭圆C相切于点 ， 所以 ， 整理得 ，解得 ， 所以切线方程为 ， 由椭圆 ，可得 ，所以 ， 可得左焦点 ，所以过左焦点 与直线l的垂直的直线方程为 ， 联立方程组 ，解得 ，所以 ， 所以点Q与原点O之间的距离为2. 故选：B.10.答案：A 解析：设 ，由 可得 ，由于 与 等高， 所以 ， 又 ， ， ， 又 ， ， 在 中， ， ， 在 中， ， 化简可得 ，解得 ， 故选：A. 11.答案：C 解析：设坐标原点为 ，易知C的渐近线的方程为 ，联立 解得 ， 不妨取 ， 同理可得 ， 则 ， 因为四边形OABD是平行四边形， 于是 ， 由于点D在C上， 所以 ， 因此 ， 故C正确.故选：C 12.答案：D 解析：因为抛物线 过点 ， 所以 ，解得： ，所以 ， 设 ， ， 直线 ，代入 中整理得 ， 所以 ， ， 所以 ，即 ， 则 ，解得： ， 所以直线 ， 直线l的斜率为-1，且过C的焦点 ， 所以 ，则 到直线l的距离为 ， 所以l把 分成面积相等的两部分，因为直线 与直线 平行，所以 到直线 的距离为 到直线 距离的 ， ，解得： 或 （舍去）. 所以直线MN的方程为 . 故选：D. 13.答案：BCD 解析：对于A，由题意知： ， ， ， ，A错误； 对于B， 为椭圆C的焦点弦， ，B正确； 对于C， ， 的周长为 ，C正确； 对于D，作 垂直于直线 ，垂足为M， 设 ，则 ， ， ， ， ，D正确.故选：BCD. 14.答案：AC 解析：因为点 在抛物线 上，所以 ，解得 ， 即抛物线方程为 ，焦点 . 对于A：直线 的方程为 ，即 ， 因为 ，解得 ，所以直线 与抛物线C相切点 ，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不 合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为 ， ， ， 由 ，得 ，则 ，即 或 ， 于是 ， ， 又 ， 所以 ，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得 ， ， 因为P是线段 的中点， 所以 ，整理得 ，即 ，故C正确； 对于D：若 ，则 ，得所以 ，即 ，解得 ， 此时 ，则直线l与抛物线相切，故D错误. 故选：AC. 15.答案：BCD 解析：双曲线 的渐近线为 ，左焦点 ，所以点F到C 的一条渐近线的距离为 ，所以A错误； 由双曲线方程可得 ， ，所以离心率 ，所以B正确； 设点 ，则 ，即 ， 点P到两渐近线距离分别为 和 ， 则 ，所以C正确； 设双曲线 的右焦点 ，则 ，所以 ，若 最小，则只需 最小即可， 过 作 垂直渐近线 与点A， 交双曲线右支与点P，此时 最小， ，由勾股定理得 ，所以 ，所以 ， 所以 的周长为 ，所以 D正确. 故选：BCD. 16.答案： 解析：因为直线 ，即为 ， 令 ，解得 ， 所以直线恒过定点 . 故答案为： . 17.答案：解析：有 得 所以双曲线的渐近线为 又抛物线的准线方程为 联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得 ， ， 在 中， O到 的距离为 . ， ， . 18.答案： 解析：设 ，因为点 ， ， ， 所以 ，即 ， 所以 ，可得圆心 ，半径 ， 由圆 可得圆心 ，半径 ， 因为在圆C上存在点P满足 ， 所以圆 与圆 有公共点，所以 ，整理可得： ， 解得 ， 所以实数m的取值范围是 ， 故答案为： . 19.答案： 解析：由题意得蒙日圆O为 ， 则 ， ， 直线 的方程为： ， 联立 得 ， ， 解得 ， ， 所以 .故答案为： . 20.答案：50 解析：由题可知，抛物线的焦点坐标为 . 因为直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ， 与抛物线C的方程联立，得 ，所以 . 设 ， ，则 ， ， 故 . 因为 ，所以 ， 所以直线 的斜率为-2，直线 的方程为 ， 与抛物线C的方程联立，得 .所以 . 设 ， ，则 ， ， 故 . 所以四边形 的面积为 . 故答案为：50. 21.答案：(1)(2) 或 解析：(1）设点P关于直线 的对称点 坐标为 ， 则有 ，解得 ，即 ， 直线 的方程为： ，即 ， 因反射光线过点 ，而反射光线所在直线过点 ， 所以反射光线所在直线方程为 . (2）圆 即圆 的圆心为 ，半径为 ， 过 点且斜率不存在的直线为 ，显然 到直线 的距离 ，故 满足题意； 设过点 且斜率存在的直线 的直线与圆 相切， 则 ，解得 ，此时所求直线为 ，即 ； 15 47 y  x 综上所述，满足题意的切线方程为x1或 8 8 . 22.答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：因为A，B是两直线与抛物线C的交点， 所以OA，OB的斜率均存在，且不为零，故可设直线 ，则直线 . 由 ， ，所以 . 同理得 . 则 ， 则直线AB的方程为 ， 所以直线AB过定点 . （2）因为点 在曲线C上，所以将点P的坐标代入曲线C的方程可得 ，即 ， 则 . 设 ， ，由题意可知直线AB的斜率存在，则可设直线AB的方程为 . 则由 得 ，则 ， ， . 所以 ， ， 得 或 ，满足 . 而点F到AB的距离 ，， 则 . 所以 . 所以 的面积的取值范围为 . 23.答案：（1） （2）平行四边形OABC的面积为定值 解析：（1）因为椭圆M的焦距 ，所以 ， 因为点 在椭圆M上，所以 ，解得 ， 所以 ， 故椭圆M的标准方程为 . （2）如图， 因为四边形OABC为平行四边形，所以 ， 平行四边形OABC的面积 ，设直线AC的方程为 ， 联立 ，消去y并整理得 ， 由 ，整理得 . 设 ， ， 则 ， ， 得 ， 所以 ， 因为点B在椭圆M上，则 ， 所以 ，满足 ， 则 ， 又点O到直线AC的距离 ， 所以 ， 故平行四边形OABC的面积为定值 . 24.答案：（1） 且（2） 解析：（1）根据题意，过点 的直线l的方程可设为 ， 联立 得 . 因为直线l交双曲线E于A，B两点， 30 30 3  k  k   所以 解得 3 3 且 3 . 30 30 3 {k| k  k  } 故直线l的斜率k的范围为 3 3 且 3 . Cx ,y  x2 3  A ( 3,0) （2）设 0 0 0 ，由题意知 2 ， y mk  0 AC 2 x  3 则令 0 ， AC y m(x 3) 所以直线 2 的方程为 ， y m(x 3),  联立 x2  y2 3, 得  m2 1  x2 2 3m2x3m2 30 . 3  m2 1  2 3m x  y  所以 M m2 1 ， M m2 1 . Dx ,y  由于C，D两点关于原点对称，所以 0 0 ， y y nk  0  0 AD A D 2 x  3 x  3 令直线 2 的斜率为n，则 0 0 . y y y2 x2 mn 0  0  0 0  y2 1 所以 x 0  3 x 0  3 x 0 2 3 ，又 3 0 ，y2 y2 1 1 mn 0  0  n x2 3 3y2 3 所以 0 0 ，即 3m . 所以 ， ， 所以 . 又 ，所以 . x2 y2  1 25.答案：（1） 9 5 4  ,2   （2）3  2a6,  c 2   , a 3  a2 b2 c2, 解析：（1）由题可知 a 3,  b 5, x2 y2  c2,  1 解得 所以椭圆C的标准方程为 9 5 . （2）设直线 l: y kx3 ，k 0， M x 1 ,y 1  ， Nx 2 ,y 2  . 由 得 ，，解得 或 （舍）， 且 ， . 直线AM的方程为 ，令 ，得 ，所以 ， 同理可得 ，所以 ， ， . 由 ， ，可得 ， ， 所以 ， 即 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故 的取值范围为 .