2025届高考数学二轮复习：专题六不等式（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题六 不等式 典例分析 考查方式 不等式在高考中的考查方式非常灵活，既会单独考查不等式的性质和解法、基本不等式 的应用等，又会作为解决问题的工具与高中数学所有知识点交汇命题. 命题的重点在于运用 基本不等式确定最值、证明不等式、解答恒成立问题等，试题难度涵盖简单题和难题，体现 了其基础性、工具性、适应性和创新性的特点. 在复习过程中，在掌握基础运算的同时还要 能够在其他知识中灵活运用. 高考真题 1．[2022年 新高考Ⅱ卷]（多选）若x，y满足 ，则( ) A. B. C. D. 2．[2020年 新高考Ⅱ卷]（多选）已知 ，且 ，则( ) A. B. D. C. 参考答案 1．答案：BC x2  y2 xy 解析：由基本不等式可得 2 ， ，从而x2  y2 (x y)2 x2  y2 xy  2 4 .结合题设条件 ，可得 x2  y2 2 ，以及 |x y|2 ，即 ，所以选项B和C正确.取 ，则 ，且 ， 因此选项A不正确.取 ， ，则 ，且 ，因此选项D不 正确.故正确选项为B和C. 2．答案：ABD 解析：A项， ，故A项正确； B项， ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 22a1  21,21 ，故B项正确；  1 1   1 2 1 C项， log 2  a2 a 4  4   log 2     a 2   4   ， 故C项错误； ab12 ab ab2 ab ( a  b)2 2 D项，因为 ，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ，故D项正确.故本题正确答案为ABD. 重难突破 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B.C. D. 2.已知 ， ，若 ，则 的最小值为( ) A.4 B. C.2 D. 3.设a，b为实数，且 ，则下列不等式正确的是( ) A. B. C. D. 4.设 ，若 ，使得关于x的不等式 有解，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 5.若 ，则下列命题正确的是( ) A.若 ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ，则 6.已知关于x的不等式 的解集为 ，其中a，b，c为常数，则不等 式 的解集是( )A. B. 或 C. 或 D. 7.已知 ，且 ， ，则 的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知满足 的x使得 恒成立，则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 9.河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南 丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展.某连锁 酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的 定价在200元的基础上提高 元（ ， ），则被租出的客房会减少 套.若要 使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为( ) A.250元 B.260元 C.270元 D.280元 10.若 ， ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 11.若 ， ，且 ，则下列不等式恒成立的是( ) A. B.C. D. 12.如图，设矩形 的周长为8cm，把 沿 向 折叠， 折过 去后交 于点P，记 的周长为l，面积为S，则 的最大值为( ) A. B. C. D. 13.（多选）已知 ， ，若 ，则( ) A. 的最大值为 B. 的最小值为10 C. 的最大值为2 D. 的最小值为8 14.（多选）已知 表示不超过x的最大整数，例如 ， ，则下列说法正确 的是( ) A. B.若 ，则 或 或 C. ， D.不等式 的解集为15.（多选）已知 ，则下列说法正确的是( ) A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ，则 D.若 ， ， ，则 16.若 ， ，则 的取值范围为________. 17.已知 ， ，且 ，则 的最小值为________. 18.如图，某小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为24m的 相同的矩形 和 构成的十字形地域.计划在正方形 上建一座花坛，造价为 2000元/ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）内铺上塑胶，造价为100元/ ；在四个空 角（图中四个三角形）内铺上草坪，造价为400元/ .若要使总造价不高于24000元，则正 方形 周长的最小值为_________m.19.设 为实数a，b，c中最大的数.若， ， ， ，则 的最小值为________________. 20.对于 ，满足 恒成立，则a的取值范围为____________. 21.已知福州地铁2号线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足 ，经 市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当 时，地铁为满载状态， 载客量为400人；当 时，载量会减少，减少的人数与 成正比，且发车时间间 隔为2分钟时的载客量为272人，记地铁的载客量为 . (1)求 的表达式，并求发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为 （元）.问：当地铁发车时间间隔多少时， 该线路每分钟的净收益最大？ 22.已知函数 . （1）若关于x的不等式 的解集为 或 ，求关于x的不等式 的解集； （2）当 ， 时，函数 在 上的最小值为6，求实数t的值. 23.某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方 体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前 面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计 元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 米，原有墙体 足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为 元， 若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成 功），求a的取值范围. 24.已知a，b， ，关于x的一元二次不等式 的解集为 . （1）求b，c的值； （2）解关于x的不等式 . 25.中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要 一步.根据国际半导体产业协会（SEMI）的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31 家大型半导体工厂.某公司打算在2024年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为 300万元，若该型芯片生产线在2024年每产出x万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本 （单位：万元），已知当 时， ；当 时， ；当 时， ，且知生产的该型芯片都能以每 枚80元的价格售出. （1）记2024年该型芯片生产线的利润为 （单位：万元），求 的函数解析式； （2）请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润 最大，并预测最大利润.答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意得， 或 ， .故选：B. 2.答案：A 解析：由 ，可得 ，所以 ，所以 ， 当且仅当 取等号，所以 的最小值为4.故选：A. 3.答案：B 解析：由题意可知 ， ，即A错误，B正确； 若 ， ，即C、D错误.故选：B 4.答案：B 解析：关于x的不等式 有解等价于 在 上有解， 由对勾函数的性质可知 在 上单调递增，即 ， 所以 .故选：B 5.答案：D 解析：令 ， ， ，满足 ，不满足 ，故A错误， 当 ， ， 时， ， ，不满足 ，故B错误， 当 ， 时，满足 ，不满足 ，故C错误，若 ， ，则 一定成立，又 ，所以 ，故D正确. 故选：D 6.答案：A 解析：关于x的一元二次不等式 的解集为 ，则 ，且-2，7是 一元二次方程 的两根，于是 解得 则不等式 化为 ，即 ，解得 ，所以不等式 的解集是 .故选：A. 7.答案：C 解析：因为 ，所以 ， 又因为 ， 当且仅当 时取最小值9， 所以 的最小值为5.故选：C. 8.答案：A解析：由 ，求出 ， 在 上恒成立， ，当 时， ， ， 当 时， ， 其中 ，当且仅当 时，等号成立，故 ， 综上，a的取值范围为 .故选：A. 9.答案：C 解析：依题意，每天有 间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 . 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以 ，即 ，解得 . 因为 且 ，所以 ，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元. 故选：C. 10.答案：C 解析：设 ，其中m、 ， 则 ， 所以， ，解得 ， 所以， ， 因为 ， ，所以， ， ， 由不等式的性质可得 ，即 ， 因此， 的取值范围是 . 故选：C. 11.答案：C 解析：对于A ，由 可得 ， 又 ， 所以 ，即 ， 当且仅当 时等号成立，故A错误； 对于B， 由 可得 ， 即 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立，即B错误； 对于C， 由 可得 ， 所以可得 ， 即 ， 当且仅当 时等号成立，即C正确； 对于D ，易知 ， 即 ；当且仅当 时等号成立，可得D错误； 故选：C. 12.答案：A 解析：因为矩形 的周长为8cm，设 ，则 ，故 ，得 ， 因为 ， ， ， 所以 ，设 ，则 ， ， 所以 的周长为 ， 在直角 中，由勾股定理得 ，解得 ， 则 ，所以 ， 令 ，则 ， ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，等号成立， 所以 的最大值为 . 故选：A. 13.答案：AD 解析：对于A， ， ， ，则 ，当且仅当 时取等号， A正确； 对于B， ，当且仅当 时取等号， B错误； 对于C， ， ，C错误；对于D， ，当且仅当 时取等号，D 正确. 故选：AD 14.答案：ACD 解析：对于A， ，所以 ，故A正确； x2 2x  对于B，由 2xx2 1 ，得 0 x2 且 x1 . x2 x0 x 2 x 3 因为 为整数，所以 或 或 或 ，故B错误； 对于C，由于 ，则 ，设 ，则 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 所以 ， ，故C正确； 对于D， 得 ，解得 ， 由 ，得 ；由 ，得 ，所以不等式的解集为 ， 故D正确. 故选：ACD 15.答案：AB 解析：由 ，得 ， 即 ，又 ，则 ，即 ，故A正确； 因为 ， 所以 ， 即 ， 又因为 ， ， 所以 ，故B正确； 假设 ， ，满足 ， ， 此时 ， ， 不成立，故C错误； 假设 ， ， ， 满足 ， ， ， 此时 ， ， 不成立，故D错误； 故选：AB. 16.答案： 解析：因为 ， ，所以 ，则 . 17.答案： 或2.25 解析：因为 ， ，且 ， 所以当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 . 故答案为： . 18.答案：4 解析：设正方形 的边长为xm，则正方形 的面积为 ， 四个相同的矩形（即阴影部分）的面积为 ， 2 4 1  122x 7224x2x2 m2 四个空角的面积为   . 2  2  设总造价为W元， 则 . 2400x2 7200x2880024000，即 ，即 x1x20 ，解得 ， MNPQ 故正方形 周长的最小值为4m.故答案为4. 19.答案：2  1 1 y 1 Amaxxz ,x ,   解析：设  y yz x z ， 1 1 y 1 A xz 0 A x 0 A  0 则 y ， yz ， x z ， 1 1 A xz  z(x ) 因为 y yz ，当0 z1时，只需考虑 ， ， 又因为 ， ，y x A2 2 2 4 两式相乘得 ，可得 ，当且仅当 时取等号， x y A2 x y  z 1 1 1 1 y 1 0 x  xz A xz A  当 z 1 时， yz y ，只需考虑 y ， x z ，  1 y 1 1 1 1 1 A2  xz   x  yz  2 x 2 yz  4 两式相乘得    ，  y x z x yz x yz A2 x y  z 1 则 ，当且仅当 时取等号， 因为z 1，故 ，综上所述，A的最小值为2. 故答案为：2. 20.答案： 解析：因为 ， ，所以 ， 当 时， ，所以 ， 所以 恒成立； 当 时， 的图象恒在 的图象下方， 又 ， 则由 ，得 ， 则 ，即 ，解得 或 ， 则由 ，得 ，则 ，即 ，解得 或 ， 因为 ，所以 ， 综上，a的取值范围为 . 故答案为： . 21.答案：(1) ，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为368 人. (2)当地铁发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大. 解析：(1)当 时，设 ，则 ，解得 . 由题意可得 . 所以，发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量为 （人）. (2)当 时， （元）， 当且仅当 时，等号成立； 当 时， ，此时函数 单调递减， 则 ，当且仅当 时，等号成立.综上所述，当地铁发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大. 22.答案：（1） ； （2） 或3. 解析：（1）由于 的解集为 或 ，故 和 是一元二次方程 的两个根，故 ，解得 ， ， ， 故 变形为 ， 解得 ，故不等式的解为 （2）当 ， 时， ，则对称轴方程为 ，由于 ，故 或 ，即 或 ， 当 时，最小值 ，解得 ， 当 时，最小值 ，解得 ， 综上： 或3. 23.答案：(1)左面墙的长度为10米 (2) 解析：(1)设甲工程队的总报价为y元，依题意，左、右两面墙的长度均为 米，则长方体前面新建墙体的长度为 米， 所以 ， 即 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为 元. (2)由题意可知， ， 即 对任意的 恒成立， 所以 ，可得 ，即 . ， 当且仅当 时，即 时， 取最小值 ， 则 ，即a的取值范围是 . 24.答案：（1） （2）见解析 解析：（1）因为关于x的一元二次不等式 的解集为 ，所以关于 的一元二次方程 的两解为 和 ， 所以 解得 （2）由（1）得关于x的不等式 ，即 ， 因式分解得 . ①当 时，原不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 ； ②当 时，原不等式为 ，解得 或 ，所以不等式的解集为 ； ③当 时，原不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 ； ④当 时，原不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 ； ⑤当 时，原不等式为 ，解得 ，即不等式的解集为 . 综上可得：当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 . 25.答案：（1） ； （2）当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元 解析：（1）由题意可得， ， 所以 ， 即 . （2）当 时， ； 当 时， ，对称轴 ， ； 当 时，由基本不等式知 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故 ， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元.