2025届高考数学二轮复习：专题一集合与常用逻辑用语（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题一 集合与常用逻辑用语 典例分析 考查方式 集合是每年高考的必考内容，以选择题为主，难度较低，主要考查元素与集合间的关系、 集合之间的基本关系、集合的基本运算（高频考法），通常会穿插不等式、函数等知识一起 考查，角度灵活多变，解题时需要注意基础知识的灵活运用. 常用逻辑用语相关的考题主要考查充分、必要条件的判定，全称量词命题与存在量词命 题的否定，常以其他知识（如三角函数、数列、向量等）为载体命题. 高考真题 1．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2．[2023年 新课标Ⅱ卷]设集合 ， ，若 ，则 ( ) A.2 B.1 C. D.-1 A  x∣5 x3 5  3．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知集合 ， B {3,1,0,2,3} ，则 AB  ( ) {1,0} {2,3} {3,1,0} {1,0,2} A. B. C. D. 4．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D.5．[2022年 新高考Ⅰ卷]若集合 ， ，则 ( ) B. A. C. D. 6．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知命题 ， ，命题 ， .则( ) A.p和q都是真命题B. 和q都是真命题 C.p和 都是真命题 D. 和 都是真命题 参考答案 1．答案：C 解析：因为 或 ，所以 ，故选C. 2．答案：B 解析：依题意，有 或 .当 时，解得 ，此时 ， ，不满足 ；当 时，解得 ，此时 ， ，满 足 .所以 ，故选B. 3．答案：A 解析：方法一：因为 ， ，所以 ，故选A. 方法二：因为 ， ， ， ， ，所以 ， ， ， ， ，所以 ，故选A. 4．答案：B 解析：通解：由 ，得 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选B. 优解：因为 ，所以 ，故排除C，D；又 ，所以 ，故排除A.故选B. 5．答案：D 解析：通解（直接法）因为 ，所以 ；因为 ，所以 .所以 ，故选D. 光速解（特取法）观察选项进行特取，取 ，则 ， ，所以 ，排除A， B；取 ，则 ， ，所以 ，排除C.故选D. 6．答案：B 解析：法一：因为xR， x1 0 ，所以命题p为假命题，所以 p 为真命题.因为x3  x， x  x2 1  0 所以x3 x0，所以 ，即 x(x1)(x1)0 ，解得x1或x0或x1，所以 x0，使得 ，所以命题q为真命题，所以 为假命题，所以 和q都是真命题，故 选B. 法二：在命题p中，当 时， ，所以命题p为假命题， 为真命题.在命题q中， 因为立方根等于本身的实数有 ，0，1，所以 ，使得 ，所以命题q为真命题， 为假命题，所以 和q都是真命题，故选B.重难突破 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.命题 ， ，则命题p的否定形式是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.设集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 4.“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题“ ， ”是假命题，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.定义：如果集合 存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子 集 ，且 ，那么称子集族 构成集合U的 一个k划分.已知集合 ，则集合 的所有划分的个数为( )A.3 B.4 C.14 D.16 7.已知 ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. ，若 ，则实数x的取值集合为( ) A. B. C. D. 9.如图，已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分表 示的集合为( ) A. B. C. D. 10.命题“对任意的 ，总存在唯一的 ，使得 ”成立的充分 必要条件是( ) A. B. C. D. 11.集合 ， ， ，C中元素的和为6，则C中元素的积为( ) A.1 B. C.8 D. 12.已知有限集 ，如果A中的元素 满足  1 3,1 3 ，就称A为“完美集”.①集合 是“完美集”； a、a a ,a  ②若 1 2是两个不同的正数，且 1 2 是“完美集”，则 至少有一个大于 ；③二元 “完美集”有无穷多个；④若 为正整数，则“完美集” 有且只有一个，且 ；上列结 论是真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.（多选）设全集 ，集合 ， ， ，则( ) A.集合A的真子集个数是7 B. C. D. 14.（多选）下列四个结论中正确的是( ) A. ， B.命题“ ， ”的否定是“ ， ” C.“ ”是“ ”的充分不必要条件 D.“ ”的充要条件是“ ” 15.（多选）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而 笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程 人员需要了解笛卡尔积.两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成 有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡儿积，又称直积，记为 .即 且 .关于任意非空集合M，N，T，下列说法错误的是( ) A. B. C. D.16.设集合 ， ，若 ，则实数a的取值范围是 ____________. 17.已知命题p： ， ；命题q： ， .若p，q都是假命题， 则实数m的取值范围是______. 18.树德中学对高一强基班的学科培优进行了调查.调查结果显示：参加物理培优的有60人， 参加数学培优的有80人，参加化学培优的有50人，三科培优都参加的有24人，只选择两科 培优参加的有22人，不参加其中任何一科培优的有15人，则接受调查的高一强基班学生共 有__________人. 19.已知集合 ，集合 其中 是 的充分不 必要条件，则m的取值范围是________________． 20.设集合 ， ，已知 且 ，则a的取值集合为 _________. 21.已知集合 ， . (1)当 时，求 ， ； (2)若 ，求a的取值范围. 22.已知 关于x的方程 有实数根， . (1)若命题 是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 23.已知全集为R，集合 ，集合 . （1）若 ，求 ， ； （2）若 ，求实数m的取值范围.24.设集合 ， ； （1）用列举法表示集合A； （2）若 是 的充分条件，求实数m的值； （3）求 ， . 25.定义：若任意 （m，n可以相等），都有 ，则集合 称为集合A的生成集； (1)求集合 的生成集B； (2)若集合 ，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合 ，A的生成集为B，求证 .答案以及解析 1.答案：D 解析：依题意，集合 ，而 ，所以 .故选：D. 2.答案：C 解析：命题 ， ，为全称量词命题，则该命题的否定为： ， . 故选：C 3.答案：B 解析： ， ，故 .故选：B. 4.答案：A 解析：函数 在区间 上为增函数，则 ，则“ ”是“ ”的充 分不必要条件，故“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必 要条件，故选：A. 5.答案：A 解析：已知原命题为假命题，那么它的否定“ ， ”为真命题. 对于一元二次函数 ，要使其对于任意实数x都大于等于0. 因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 .故选：A. 6.答案：B 解析：依题意， ， 的2划分为 ，共3个， 的3划分为 ，共1个， 故集合 的所有划分的个数为4.故选：B. 7.答案：A解析：由 可知 ，所以 ，所以充分性成立，当 ， 时，满足 ， 但是 不成立，所以必要性不成立，故选：A. 8.答案：A 解析：由题意 ， 或 ， 或 ，由集合元素互异性可知 ， 则实数x的取值集合为 .故选：A. 9.答案：B 解析：依题意，集合 ，而 ，则 ， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为 .故选：B 10.答案：D 解析：由 得 ； ①当 时， ，则 ，解得 ， 因为 ， ，满足题意； ②当 时， ， 若存在唯一的 ，使得 成立， 则 与 有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出 在 上的图象如下图所示，由图象可知：当 时， 与 有且仅有一个交点， 所以， ，解得 ，此时， ； ③当 时， ， 由②同理可得 ，解得： ，则 . 综上所述：原命题成立的充要条件为 .故选：D. 11.答案：D 解析：因为 ， ，所以 ， ， ，所以 ， ， ， ， .若 ，则 （舍去）或 ，此时 ，符合题意， 所以C中的元素的积为 ；若 ，则 或 ，此时 或 ，与已知C中的元素和为6不符；若 ，则 或 （舍 去），此时 ，与已知C中的元素和为6不符；若 ，则 或 （舍 去），此时 ，与已知C中的元素和为6不符；若 ，则 ，则 ，即 ，此时 ，所以该方程无解.综上，C中元 素的积为 .故选D. 12.答案：D 解析：对于①中， ， ， 集合 是“完美集”，所以①正确； 对于②中，若 、 是两个不同的正数，且 是“完美集”， 设 ， 根据根和系数的关系知， 和 相当于 的两根， 由 ，解得 或 (舍去)，所以 ，又 均为正数， 所以 、 至少有一个大于2，所以②正确； 对于③中，由②知，一元二次方程 ，当t取不同的值时， 的值是不同的， 所以二元“完美集”有无穷多个，所以③正确； 对于④，不妨设A中 ， 由 ，得 ， 当 时，即有 ，所以 ，于是 ， 无解， 即不存在满足条件的“完美集”； 当 时， ，故只能 ， ，求得 ， 于是“完美集”A只有一个，为 . 当 时，由 ，即有 ，事实上， ，矛盾， 所以当 时不存在完美集A，所以④正确. 故选：D. 13.答案：ABD 解析：对于A选项，集合A的元素个数为3，则集合A的真子集个数是 ，A对； 对于B选项，因为 ， ，则 ，B对； 对于C选项，因为全集 ，集合 ， ， 则 ， ，则 ，C错； 对于D选项，由C选项可知，因为 ， ，则 ，D对. 故选：ABD 14.答案：ABD 解析：对于A，由 ，解得 ， ，即 ， ， ，故A正确；对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词 命题可知，命题“ ， ”的否定为：“ ， ”，故B 正确；对于C，若 ，则 不一定成立，令 ， ，满足 ，但 ， ， ，即 ；反之，若 ，由 ，可得 ，即 .所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故C错误；对于D，由于 是R上的增函数，所以 .所以“ ”的充要条件是“ ”，故D 正确.故选：ABD.15.答案：ABC 解析：对于A，若 ， ，则 ， ， ，A错误； 对于B，若 ， ， ，则 ， 而 ， ，B错误； 对于C，若 ， ， ，则 ， ， ， ，C错误； 对于D，任取元素 ，则 且 ，则 且 ， 于是 且 ，即 ， 反之若任取元素 ，则 且 ， 因此 ， 且 ，即 且 ， 所以 ，即 ，D正确.故选：ABC 16.答案： 解析：由题意得 ， ， 所以 ，则 ，即 . 17.答案： 解析：命题p的否定 ， 为真命题，当 时恒成立，当 时，可得，故 .命题q的否命题 ， 为真命题，所以 ，解得 或 ，故范围是 . 18.答案：135 解析：由文恩图可得；参加培优的人数为 ， 又不参加其中任何一科培优的有15人， 所以接受调查的高一强基班学生共有 . 故答案为：135. 19.答案： 解析：因为 是 的充分不必要条件，所以 ，因为不等式 的解集 为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以m的取值 范围是 . 20.答案： 解析：因为 ，即 ，所以 或 .若，则 或 ；若 ，即 ，则 或 .由 与 互异，得 ，故 或 .又 ，即 ，所以 且 ，解得 且 .综上所述，a的取值集合为 .故答案为 . 21.答案：(1) ， . (2) 解析：(1)当 时， ，而 ， 则 ， . (2)由 ，得 或 ，解得 或 ， 所以a的取值范围是 . 22.答案：(1) (2) 解析：(1)因为命题 是真命题，则命题p是假命题， 即关于x的方程 无实数根， 因此 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是 . (2)由(1)知，若命题p是真命题，则 ， 因为命题p是命题q的必要不充分条件，则 是 的真子集， 因此 ，解得 ， 所以实数m的取值范围是 . 23.答案：（1） ； （2） 解析：（1） ， 当 时， ， ， ， ； （2） ， ， 当 时， ，解得 ； 当 时， 解得 ； 综上， . 24.答案：（1） （2） （3）答案见解析 解析：（1）集合 ，即 ； （2）由已知 ， ，若 是 的充分条件，则 ， 情形一：若 ，则 ，故 满足题意； 情形二：若 ，则 ，故 满足题意； mA B A 情形三：若 且 ，则存在 ，但 ，这与 矛盾，故此情形不符合题 意； 综上所述，满足题意的m的值为1或2； A1,2 （3） ， 情形一：当m1时， B   x x1xm0  1 ，此时 AB1,2 ， AB1 ； 情形二：当m2时， B   x x1xm0  1,2 ，此时 AB1,2 ， AB1,2 ； 情形三：当m1且m2时， B   x x1xm0  1,m ，此时 AB1,2,m ， AB1 ； 综上所述，当m1时， AB1,2 ， AB1 ；当m2时， AB1,2 ， AB1,2 ；当m1且m2时， AB1,2,m ， AB1 . 25.答案：(1) ； (2) 或 ； (3)证明见解析 解析：（1）由题可知，(1)当 时， ， (2)当 时， ， （3）当 ， 或 ， 时， 所以 （2）①当 时， ， ②当 时， ③当 ， 或 ， 时， B的子集个数为4个，则B中有2个元素， 所以 或 或 ， 解得 或 （ 舍去）， 所以 或 . （3）证明： ， ， ，， ， 设任意 ，取 ，则 ，所以 ， 则 ， 所以 ； 所以