2025届高考数学二轮复习：专题七空间向量与立体几何（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题七 空间向量与立体几何 典例分析 考查方式 高考对于立体几何的考查通常在选择题、填空题中，主要考查几何体的结构特征，几何 体表面积、体积的计算，空间点、线、面位置关系的判定，空间角（异面直线所成角、线面 角、二面角）的找法及计算，与截面、球有关的问题（此类问题往往难度较大），在解答题 中主要考查平行与垂直的判定，空间角、空间距离的计算，常采用论证与计算相结合的模式. 此外立体几何也可能出现以生活、科技等为情境的试题，同时对立体几何的考查还涉及和其 他知识的交汇，复习的重点在于提高空间想象能力、计算能力和阅读理解能力. 高考真题 1．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ， 则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. 2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为( ) A. B.1 C.2 D.3 3．[2023年 新课标Ⅱ卷]（多选）已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为O，AB为底面直径， ， ，点C在底面圆周上，且二面角 为 ，则( ) A.该圆锥的体积为 B.该圆锥的侧面积为C. D. 的面积为 4．[2023年 新课标Ⅱ卷]底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底 面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____________. 5．[2023年 新课标Ⅰ卷]在正四棱台 中， ， ， ，则 该棱台的体积为___________. 6．[2024年 新课标Ⅰ卷]如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， . （1）若 ，证明： 平面PBC； （2）若 ，且二面角 的正弦值为 ，求AD. 7．[2024年 新课标Ⅱ卷]如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ，（1）证明： ： （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值. 参考答案 1．答案：B 解析：设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为 ，且侧面积相等，所以 ，得 ，所以圆锥的体积 ，故选B. 2．答案：B 解析：设正三棱台 的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作 平面ABC于 点O，PO交平面 于点 ，连接 ， ，如图所示.由 ，可得 ， ，又 ， ，所以正三棱台 的体积 ，解得 ，故 .由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则 ，因为 平面ABC，所以 是 与平面ABC所成的角，在 中， ，故选B. 3．答案：AC 解析：对于A，依题意，圆锥母线长 ， ， ，所以底面圆的半径 ，圆锥的体积为 ，故A 正确；对于B，该圆锥的侧面积为 ；故B错误； 对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则 ，又因为 ，所以 ，故 为二面角 的平面角，即 ，所以 ， 即 ，所以 ，故C正确； 对于D，由选项C可知， ， ， ，所 以 的面积为 ，故D错误.故选AC.4．答案：28 解析：法一：由于 ，截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以原正四 棱锥的体积为 ，截去的正四棱锥的体积为 ，所以棱台的体积 为 . 法二：由法一可知，棱台的体积为 .故答案为28. 5．答案： 解析：如图，连接AC，BD交于点O，连接 ， 交于点 ，连接 ，过点 作 于点H，则 为正四棱台 的高. 在等腰梯形 中， ， ，则 ，，所以 .又 ，所以 ，所以 ，所 以正四棱台 的体积为 . 6．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由于 底面 ， 底面 ， ， 又 ， ， 平面 ， 平面PAB， 又 平面 ， . ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面PBC. （2）由题意知DC，AD，AP两两垂直，以D为坐标原点，AD所在直线为x轴，DC所在直 线为y轴，过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， .设平面CPD的法向量为 ， 则 ，即 ，可取 . 设平面ACP的法向量为 ， 则 ，即 ，可取 . 二面角 的正弦值为 ， 余弦值的绝对值为 ， 故 ， 又 ， ，即 . 7．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：由题， ， ，又 ， 所以由余弦定理得 ，故 . 又 ，所以 . 由 及翻折的性质知 ， ， 又 ， 平面PED，所以 平面PED.又 平面PED，所以 . （2）如图，连接CE，由题， ， ， ，故 . 又 ， ，所以 ，故 . 又 ， ， 平面ABCD，所以 平面ABCD. EF，ED，PE两两垂直，故以E为原点，EF，ED，PE所在直线分别为x，y，z轴建立空间 直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， 连接PA，则 ， ， ， . 设平面PCD的法向量为 ， 则 ，可取 . 设平面PBF即平面PAF的法向量为 ， 则 ，可取 . 所以 . 故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为 .重难突破 1.已知球的半径为1，其内接圆锥的高为 ，则该圆锥的侧面积为( ) A. B. C. D. 2.如图，在长方体 中， ， ，点E为 上的动点，则 的最小值为( ) A.5 B. C. D. 3.已知 ， 是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线 的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， ， ， 4.中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术 却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为 的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为 的圆锥，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为( ) A. B. C. D. 5.在正方体 中，E，F分别是 ， 的中点，则( ) A. B. 平面BCE C. D. 平面 6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马. 如图，四棱锥 为阳马， 平面 ，且 ， ，则 ( ) A. B.3 C.2 D.5 7.如图，正方体 的棱长为1，点P为正方形 内的动点，满足直线 与下底面 所成角为 的点P的轨迹长度为( )A. B. C. D. 8.如图，在多面体 中，底面 是边长为1的正方形，M为底面 内的一 个动点（包括边界）， 底面 底面 ，且 ，则 的 最小值与最大值分别为( ) A. B. C. D. 9.图1是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成.可 以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上.研究表明蜂 房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图2是一个菱形十二面体，它是由十二个相 同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥（如图 3），且平面 与平面 的夹角为45°，则 ( ) A. B. C. D.ABCDABC D 10.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，P为线段 上的动点，则下列结论错误 的是( ) A.直线 与 所成的角不可能是 B.若 ，则二面角 的平面角的正弦值为 C.当 时， 2 D.当 时，点D 到平面ABP的距离为3 1 1 11.正三棱柱 中， ， ，O为BC的中点，M是棱 上一动点， 过O作 于点N，则线段MN长度的最小值为( ) A. B. C. D. 12.“长太息以掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小 玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似 看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱锥 中， ，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为( ) A. B. C. D. 13.（多选）下列命题是真命题的有( ) A.直线l的方向向量为 ，直线m的方向向量为 ，则l与m垂直 a (0,1,1)  n(1,1,1) l  B.直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则   n (0,1,3) 1 C.平面 ， 的法向量分别为 ， ，则 D.平面 经过三点 ， ， ，向量 是平面 的法向量， 则 14.（多选）在棱长为2的正方体 中，点M在线段 上， ，过 A， ，M三点的平面截正方体所得的截面记为 ，记BD与截面 的交点为N，则( ) A.截面 的形状为等腰梯形 B.C. 平面 D.三棱锥 的体积为 15.（多选）如图，一张矩形白纸 ， ， ，E，F分别为AD，BC的中 点，BE交AC于点G，DF交AC于点H.现分别将 ， 沿BE，DF折起，且点A， C在平面BFDE同侧，则下列命题为真命题的是( ) A.当平面 平面CDF时， 平面BFDE B.当平面 平面CDF时， C.当A，C重合于点P时， D.当A，C重合于点P时，三棱锥 的外接球的表面积为 16.某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球 被一个棱长为 的正方体的六个面所截后剩余的部分，（球心与正方体的中心重合），若 其中一个截面圆的周长为 ，则该球的表面积是________. 17.如图，在四面体 中， ， ，M、N分别为 、 中点，并且异面直线 与 所成的角为 ，则 的长为________. 18.在棱长为 2 的正方体 中，点 P 满足 ，点 Q 满足 ，其中 ， 当 ________时， . 19.刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点 的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度 用弧度制）.例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为 ，所以正四面体在各顶点 的曲率为 .在底面为矩形的四棱锥 中， 底面 ， ， 与底面 所成的角为 ，在四棱锥 中，顶点B的曲率为________________. 20.如图，在长方体 中， ， ，点E在棱 上.若二面角 的大小为 ，则 _________.21.如图，三棱柱 各棱长均相等，M为棱 上一点，Q为棱 的中点， 平面 . （1）求 的值； （2）若平面 将三棱柱 分为两部分，较小部分的体积为 ，较大部分的体 积为 ，求 的值. 22.如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， ，点Q为棱 上一点.(1)证明： ； (2)当二面角 的余弦值为 时，求 . 23.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， ，且平面 平面 ，在平面 内过B作 ，交 于O，连 . （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值； （3）在线段 上存在一点M，使直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求 的长. 24.如图，在四棱锥 中， 是以 为斜边的等腰直角三角形 ， 为 的中点.(1)证明： 平面 ； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 25.如图1，在 中， ，A，D分别为边 ， 的中点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2，连接 ， . （1）求证： 平面 ； （2）若E为 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）线段 上一动点G满足 ，判断是否存在 ，使二面角 的 正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.答案以及解析 1.答案：C 解析：因为球的半径 ，其内接圆锥的高为 ， 所以圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ， 所以侧面积为 . 故选：C. 2.答案：D 解析：将 绕 翻折到与 共面，平面图形如下所示： 连接 ，则 的长度即为 的最小值， 因为 ， ，所以 ， 所以 ，所以 ，即 的最小值为 . 故选：D 3.答案：C 解析：对于A， ， ，则l与 相交、平行或 ，故A错误； 对于B， ， ，则l与 相交、平行或 ，故B错误；对于C， ， ，由线面垂直的性质知 ，故C正确； 对于D， ， ， ， ，则l与 相交、平行或 ，故D错误. 故选：C. 4.答案：D r l r h 解析：设圆柱的底面半径为 1，母线长为 1，圆锥的底面半径为 2，高为 2， 2πrl πl2 36π 则圆柱的侧面积为 11 1 ，解得 ，故 ， 又 ，则 ，而 ，得 ， 故所求正切值为 . 故选：D 5.答案：B 解析：对于A， 设G为 中点，则 ，但EG，EF相交，所以EF，BD异面，故A错误； 对于B，设 的中点为H，则 ， ， 因为 平面BEC， 平面BEC， 平面BEC， 平面BEC，所以 平面BEC， 平面BEC， 又因为 ，GH， 平面 ， 故平面 平面 ， 又 平面 ，故 平面BCE，选项B正确. 对于C，在 中， ， ，故EF与 不可能垂直（否则 EF垂直平分 ，会得到 ，这与 矛盾），C选项错误. 对于D， 易知 平面 ，又 ，故D选项错误. 故选：B. 6.答案：B 解析：以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，如图：由题意有： ， ， ，由 ，可得 ， 所以 ， ，所以 . 故选：B. 7.答案：B 解析：直线 与下底面 所成角等于直线 与上底面 所成角， 连接 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，故 为直线 与上底面 所成角， 则 ， 因为 ，所以 ， 故点P的轨迹为以 为圆心， 为半径，位于平面 内的圆的 ， 故轨迹长度为 .故选：B 8.答案：A 解析：因为 底面 平面 ， 所以 ， 因为四边形 为正方形，所以 ， 所以 两两垂直， 所以以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设 ， 则 ， 所以 ， 因为 ， 所以当 时， 取得最小值 ； 当 或1， 或1时， 取得最大值4. 故选：A9.答案：A 解析： 连接 、 相交于点O，连接 ，因为四棱锥 为正棱锥， 所以 平面 ，取 的中点E，连接 、 ， 因为 ， ，所以 ， ， 所以 即为平面 与平面 的夹角，即 ， 设 ，则 ， 所以 ， ， 在 中，由余弦定理 ， 故选：A. 10.答案：B 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， (cid:2) (cid:2) BP tBC t0,2,20,2t,2t0t 1 对于A，设 1 1 ， P2,2t,22t 故 ， (cid:2) (cid:2) AP 2,2t,2t BD2,2,0 故 1 ，而 ， 设直线 A 1 P 与 BD 所成的角为  ， (cid:2) (cid:2) BDAP 44t cos (cid:2) (cid:2)  则 BD AP 2 2 44t2 4t2 ， π 若直线A 1 P与BD所成的角是6 ， 44t 3  则 ， 2 2 48t2 2 整理得到：4t2 4t10，此方程在 0,1 上无实数解， π 故直线A 1 P与BD所成的角不可能是6 ，故A正确. 对于B，当 时，结合A分析得 ，此时 ，故 ，而 ， 设此时平面 的法向量为 ， 则 即 ， 取 ，则 ， ，故 ， 又 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 即 ， 取 ，则 ， ，故 ， 故 ， 故二面角 的平面角的正弦值为 ，故B错误. 对于C，当 时，又B的分析可得 ， 故 ， 故 ，故C正确.对于D，当 时，结合A中分析可得 ，故 ， 故 ， 而 ， 设平面 的法向量为 ， 则 即 ， 取 ，则 ， ，故 ， 又 ，故 到平面 的距离为 ，故D正确. 故选：B 11.答案：B 解析：因为正三棱柱 中，O为BC的中点，取 中点Q，连接 ， 如图，以O为原点， ， ， 为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ，因为M是棱 上一动点，设 ，且 ，所以 ，则 ， MN MO  因为 ，所以在直角三角形OMA中可得：△OMN∽△AMO，所以 MO MA ， MO2 a2 3 a2 3 MN    即 MA a2  3 2  3 2 a2 6 ，于是令 t  a2 6 ， ， 所以 ， ，又函数 在 上为增函数， 所以当 时， ，即线段MN长度的最小值为 . 故选：B. 12.答案：B 解析：如图所示，取 AB 中点为F， ，为方便计算， 不妨设 ，由 ，可知 ， 又D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点， 则 ，且 ， ， ， ， 平面 ，即 平面 又 平面ABC，则平面 平面ABC ，设肉馅球半径为r ， ， 由于H 、I 、J分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好不见肉馅，则P到 CF的距离 ， ， ， 又 ， 解得 ，故 ， 又 ，解得 ， ，所以： ， 解得 ， ， 由以上计算可知 为正三棱锥， 故 ，所以比值为 . 13.答案：AD 解析： ， ， ，则 ， 直线l与 m垂直，故A符合题意； ， ，则 ， l// l   n (0,1,3) n (1,0,2) n n 1 2 1 2 则 ， 或 ，故B不符合题意； ， ， 与 不共线， (cid:2) // A(1,0,1) B(0,1,0) C(1,2,0) AB(1,1,1)  不成立，故C不符合题意； 点 ， ， ， ， (cid:2)  nAB0, 1ut 0, (cid:2)  (cid:2)  BC (1,1,0) .向量 n(1,u,t) 是平面  的法向量， nBC 0, 即 1u 0, 可得 ，故D符合题意.故选AD. 14.答案：BCD 解析：如图，连接 ，并延长交BC于点E，易得 ， ， AD C F AF//C E AF C F 是BC的中点.取 1 1的中点F，连接AE，AF ， 1 ，易得 1 .又 1 ，四 AEC F 边形 1 为菱形，且菱形 为 ，故A错误.同理可得 ， ， ，故B正确.连接 ，由前两个相似三角形可知， .连接 ，在正方体中，易得 ， ，且 ， 平面 ， .同理可得 .又 ， 平面 ， 平面 ，故C正确.易得N，M为 ， 上靠近E，C的 三等分点， .又 ， ， ，故D正确.选BCD. 15.答案：AD 解析：在 中， ，在 中， ，所以 ， ，所以 ， .由题意，将 ， 沿 BE，DF折起，且点A，C在平面BFDE同侧，此时A，C，G，H四点在同一平面内，平面 平面 ，平面 平面 ，当平面 平面CDF时， ，显然 ，所以四边形AGHC是平行四边形，所以 .又 平面， 平面BFDE，所以 平面BFDE，所以A为真命题. 由A知，当平面 平面CDF时， ，但 ，所以AE与CD不平行， 所以B为假命题. 当A，C重合于点P时，可得 ， ，连接GD（图略）， ，则 ，所以PG和PD不垂直，所以C为假命题. 当A，C重合于点P时，在三棱锥 中， 和 均为直角三角形，所以DF 为三棱锥 的外接球的直径，又 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ，所以D为真命题.故选AD. 16.答案： 解析：设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则 ， 由截面圆的周长为 ，得 ， ， 球的半径是 . 所以该球的表面积为 . 故答案为： .17.答案：5 解析：取 中点P，连接 ， ， 又因为 ， ，M，N分别为 ， 的中点， 所以 且 ， 且 ， 则 为异面直线 与 所成的角（或补角）， 又因为异面直线 与 所成的角为 ， 所以 ， MN2  PM2 PN2 42 32 25 MN 5 所以 ，所以 ， 故答案为：5 18.答案：1 解析： ，又 ， 所以点P在射线 上； ，又 ， 所以点Q在射线 上；因为当 变化时， 平面 ，故只需考虑过B且与平面 垂直的线， 因为正方体有 平面 ，而 平面 ，所以 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ，所以 ， 所以当点Q在 上时 ，即 时 ， 故答案为：1. 19.答案： 解析：设 ，则 ， 平面 ， 即为 与底面 所成角，即 ， ， ，， ， ； 平面 ， 平面 ， ， 又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ，即 ，又 ， 顶点B的曲率为 . 故答案为： . 20.答案： 解析：以D为原点，以 ， ， 为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设 ，平面 的法向量为 由题可知， ， ， ， ， 平面 的一个法向量为 轴， 可取平面 的法向量为 为平面 的法向量， 令 ，则 二面角 的大小为 ，即解得 ， （舍去） 故答案为 21.答案：（1） ； （2） 解析：（1）连接 ，与 交于H，连接 . 因为 平面 ，平面 平面 ， 根据线面平行的性质定理，所以 . 又因为 ，在 和 中，由于平行线分线段成比例定理，可得 .因为 ，所以 . （2）在 上取一点S，使 ，连接 ， ， 因为 ，所以四边形 即为过 三点的截面.设三棱柱 的底面积为 ，高为h，体积为V，则 . 因为 ，且 ，所以 与 相似，相似比为 ， 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得 的面积为 . 对于三棱台 ，根据体积公式 . 因为 ， ， ， 所以 . 则 . 22.答案：(1)证明见解析； (2) . 解析：（1）因为 ， ， ，所以 ，所以 ， 又 ，且 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . （2）因为 ， ，所以 ，则 . 由（1）可知 ， ， 两两垂直，以D为原点，以 ， ， 所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 . ， ， ， ， ， 可知 ， ， 设 ，则 ， 设平面 的一个法向量 ， x  y 0, 1 1 则 即 2y 1z 0,  1 1 (cid:2) y 1 x 1 z 2 n 1,1,2 令 1 ，解得 1 ， 1 ，故 1 ， 设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 令 ，解得 ， ，故 ， 所以 ， 即 ，整理，得 ， 解得 或 （舍去）. 故 . 23.答案：（1）证明见解析； （2） ； （3） . 解析：（1）因为 ，因为 ， ， 所以四边形 为矩形， 在 中， ， ， ， 则 ， ， ， 且平面 平面 ， 平面平面 平面 ， 平面 ； （2）以O为原点， 为x轴， 为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系， ， ，可得 ， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ， ， 由 ，取 . 设平面 的法向量为 ， ， 由 ，取 ， . 二面角 是钝角， 二面角 的正弦值为 .（3）设 ，则 ， 又平面 的法向量为 ， 直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，解 得 ， . 24.答案：(1)证明见解析 (2) 解析：(1)如图，取 的中点F，连接 ， ，有 ， 又 ， 所以 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 平面 平面 ， 所以 平面 . (2)如图，取 的中点O，连接 ， 因为 ， 所以 ， 由 ， 知四边形 是正方形，有 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ， 在平面 内作直线 的垂线 ， 则 平面 ，有 ， 分别以 所在直线为x轴､y轴､z轴， 建立空间直角坐标系，因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 由 ，知 ， 由 ， 知 ， 从而有 ， ， 有 ， 设平面 的法向量为 ， 由 有 取 ， 则 ，得平面 的一个法向量为 ， 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 25.答案：（1）证明见解析 （2）（3）存在， 解析：（1）因为A，D分别为 ， 的中点，所以 . 因为 ，所以 ，所以 . 又 ， ， ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 ， ， ，所以 ， ， 两两垂直. 以A为坐标原点， ， ，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 依题意有 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， . 设平面 的法向量 ， 则有 令 ，得 ， ，所以 是平面 的一个法向量.因为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . （3）假设存在 ，使二面角 的正弦值为 ， 即使二面角 的余弦值为 . 由（2）得， ， 所以 ， ， . 易得平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量 ， ， 解得 ，令 ，得 ， 则 是平面 的一个法向量. 由图形可以看出二面角 的夹角为锐角，且正弦值为 ， 故二面角 的余弦值为 ， 则有 ，即 ，解得 ， . 又因为 ，所以 . 故存在 ，使二面角 的正弦值为