2025届高考数学二轮复习：专题四平面向量（含解析）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025届高考数学二轮复习专题练习（含解析）

专题四 平面向量 典例分析 考查方式 平面向量在高考中更注重基础，时有创新. 平面向量以选择题、填空题为主，主要考查平 面向量的基本概念、线性运算、数量积，其中平面向量的线性运算、数量积、向量共线、向 量垂直、向量的模及向量的夹角问题是重点和热点，平面向量大多单独考查，有时也出现平 面向量与其他知识的交汇问题，或以平面向量为载体的综合探究题. 高考真题 1．[2022年 新高考Ⅱ卷]已知向量 ， ， ，若 ，则 ( ) A.-6 B.-5 C.5 D.6 2．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足 ， ，且 ，则 ( ) A. B. C. D.1 3．[2022年 新高考Ⅰ卷]在 中，点D在边AB上， .记 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 4．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知向量 ， ，若 ，则 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.25．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知向量 ， .若 ，则( ) A. B. C. D. 6．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知向量a，b满足 ， ，则 ___________. 参考答案 1．答案：C 93t16 3t  解析： c (3t,4) ， ，即 5|c| |c| ，解得 ，故选C. 2．答案：B 解析：由 ，得 ，所以 .将 的两边同时 平方，得 ，即 ，解得 ，所以 ，故 选B. 3．答案：B 解析：如图，因为点D在边AB上， ，所以 ，故选B. 4．答案：D 解析：解法一：因为 ，所以 ，即 .因为 ， ，所以 ， ，得 ，所以 ，解得 ，故选D. 解法二：因为 ， ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，解得 ，故 选D. 5．答案：D 解析：因为 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，整理得 .故选D. 6．答案： 解析：由 ，得 ，即 ①.由 ，得 ，整理得， ，结合①，得 ， 整理得， ，所以 . 重难突破 1.在矩形 中， ， ，则向量 的长度等于( ) A.4 B. C.3 D.2 2.已知向量 ， .若a与b反向共线，则 的值为( )A.0 B.48 C. D. 3.在 中，点P在 上，且 ，点Q是 的中点，若 ， ， 则 等于( ) A. B. C. D. 4.已知向量a，b满足 ， ，且 ，则 ( ) A. B. C. D.1 5.已知点 ， ， ，若 ，点当P在第一、三象限的 角平分线上时， 的值为( ) A.1 B.2 C. D. 6.已知向量a，b满足 ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 7.已知A，B，C是平面内不共线的三个点.若 ， ，则 一定是( ) A.直角（非等腰）三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.锐角（非等腰）三角形 8.若 是一组基底，向量 ，则称 为向量 在基底 下的坐标.现已知向量a在基底 ， 下的坐标为 ，则a在另一组基底 ， 下的坐标为( ) (2,0) (0,2) (2,0) (0,2) A. B. C. D. 9.在 中，M是 的中点， ，点P在 上且满足 ，则 等于( ) A. B. C. D. 10.我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后 人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形， 如图所示.在“赵爽弦图”中，若 ， ， ，则 ( ) A. B. C. D. 11.在△ABC 中，BAC，ABC，ACB所对的边分别为a，b，c，若bc4， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) BAC 120，且D是BC边上的动点（不含端点），则 (DADB)(DADC) 的取值范围是( ) A. B. C. D.12.已知 中， ， ， ， ， ，则 的最小值为( ) A.3 B.5 C. D. 13.（多选）设a，b是两个非零向量.若 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C.a在b上的投影向量为b D. 14.（多选）已知 ， ， ， ，则( ) A. B.若 ，则 ， C.若点A是BD的中点，则B，C两点重合 D.若点B，C，D共线，则 15.（多选）如图，在 中， ， ， 与BE交于点F，则下列说法 正确的是( )A. B. C. D. 16.已知 ， ，若 ，则实数 的值为___________. (cid:2) (cid:2) 17.设点O在△ABC 的内部，D，E分别为边AC，BC的中点，且 |OD2OE|1 ，则 __________. 18.如图，A，B，C，D为平面内的四个点， ，E为线段BC的中点，若 ，则 ________ . b3e e 19.已知平面单位向量 ， ，满足 .设 ， 1 2，向量a，b的夹 角为  ，则cos2的最小值是__________. 20.如图，在矩形 中，M，N分别为线段 ， 的中点，若 ， ， ，则 的值为___________. 21.已知在平面直角坐标系中，点 ， ， .（1）求t的值； （2）若点P，Q满足 ， ，O为坐标原点，求 的最小值. 22.如图，在平行四边形 中， ，垂足为P. （1）若 ，求 的长； （2）设 ， ， ， ，求 的值. 23.已知向量 以 为基底的分解式为 ，其中 ， . （1）求m，n的值； （2）若 ，且 ，求实数k的值. 24.如图，在 中，AD是BC边上的中线. (cid:2) (cid:2) (cid:2) （1）取BD的中点M，试用AB和AC 表示AM . (cid:2) (cid:2) （2）若G是AD上一点，且AG 2GD，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.若 ， （ ， ），求 的最小值.25.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，点F在边CD上. （1）若 ，F是边CD上靠近C的三等分点，求 的值； （2）若 ，当 时，求CF的长.答案以及解析 1.答案：A 解析：在矩形 中，由 ， 可得 ，又因为 ，故 ，故 ，故选：A. 2.答案：C 解析：由题意得 ，解得 ，又a与b反向共线，故 ，此时 ，故 .故选C. 3.答案：B 解析：点Q是 的中点， ， ， ， ， ， ， . 4.答案：B 解析：由 ，得 ，所以 .将 的两边同时 平方，得 ，即 ，解得 ，所以 ，故 选B. 5.答案：D 解析：设点P的坐标为 ，则 ， ，又点P在第一、三象限的角平分线上， ，即 ， 解得 .故选：D. 6.答案：D 解析：由题可得 ①， ②，①②两式联立得 ， ， ，而 ， .故选D. 7.答案：B 解析：设 ，则根据平行四边形法则知，点P在BC边上的中线所在的直线上.设 ， ，它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点P也在 的平分线 上，所以 一定是等腰三角形，不能确定是等边三角形.故选B. 8.答案：D 解析：因为a在基底 下的坐标为 ，所以 . x y 2, x0,   令 ，所以x2y 4, 解得y 2, 所以a在基底 {m,n} 下的坐标为 (0,2) . 9.答案：A解析：因为M是 的中点，所以 ， 又因为点P在 上且满足 ， ，所以 ， ， 所以 . 故选：A. 10.答案：B 解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形， 且 ， ， ，所以 ，解得 ，所以 . 故选B. 11.答案：C 解析：以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为 ， ，C(2 3,0) D(x,0) x(2 3,2 3) 所以 ， ， ，设 ， ， (cid:2) DC (2 3x,0) 则 ， ， ， (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (DADB)(DADC)(2 32x,2)(2 32x,2)4x2 8 所以 ， x(2 3,2 3) 4x2 8[8,40) 因为 ，所以 ，所以 的取值范围是 .故选C. 12.答案：C (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 解析：设点O为BC上的一点，令BOBC，即ABBC  ABBO AO，当 时， 取最小值3，此时根据勾股定理可得 ，由此可知 为等边三角形， 当点O为BC的中点时建立如图所示的平面直角坐标系， 则有 ， ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ，故 . 因为 ，所以 ，则 ，. 因为 ，所以当 时 取最小值， .故选C. 13.答案：ABC 解析：因为 ，所以 ，所以 ，所以选项A正确； 因为 ，所以 ，所以 ，所以选项B正确；a在b上的投 影向量为 ，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知， ，所以 ，所以选项D错误.故选ABC. 14.答案：ACD 解析：因为 ， ， ，所以 ，A正确； 因为 ，所以 ，所以 ，取 ，则 ， B不正确； 因为点A是BD的中点，所以 ，即 ， ，从而有 ，所以B，C两点重合，C正确； 因为点B，C，D共线，所以存在实数t，使得，所以 ，D正确. 综上所述，正确选项为ACD. 15.答案：BCD 解析： ，故A错误； 因为B，F，E三点共线，所以存在实数 使得 ， 因为A，F，D三点共线，所以存在实数 使得 ，从而有 解得 即 ，所以F为BE的中点，从而有 ， 故B正确； ， ， 所以 ，故C正确；取AB的中点G，BC的中点H，连接GH，如图，则G， F，H三点共线，所以 ，故D正确.故选BCD. 16.答案：-1或 解析：因为 ， ， . 所以 ，即 ，解得 或 .故实数 的值为-1或 . 17.答案：2 解析：如图所示，易知 . 18.答案： /1.25 解析：因为 ，即 ，所以 . 又E为线段BC的中点，所以 ，所以 ，，则 . 故答案为： 19.答案： 解析：由题可知 从而 由①②可得 代入③可得 ， 从而 ， 所以 ，故 的最小值为 . 20.答案： 解析：因为M，N分别为线段 ， 的中点，所以 ， ， ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 ， 所以 的值为 . 故答案为： . 21.答案：（1） （2） 解析：（1）由题意得 ，则 ， 解得 .因为 ，所以 .（2）由题意得 ，则 ， 所以 ， 则 ， 所以 ， 即 的最小值为 . 22.答案：（1）2 （2） 解析：（1） 在平行四边形 中， ，垂足为P， ， ， 解得 ，故 长为2. （2） ，且B，P，O三点共线， ①， 又 ， ， ， 则 ，由 可知 ， 展开 ，化简得到 ②， 联立①②解得 ， ，故 . 23.答案：（1） （2） 解析：（1）由题得 ， 则 解得 （2）由（1）得 . 由 ，设 ， 即 ，则 解得 . 24.答案：（1） （2）解析：（1）由题意，D为BC的中点，所以 ， 又M为BD的中点， 所以 . （2）由 ， ， （ ， ），得 ， ， 所以 . 又因为E，F，G三点共线，设 ， 则 ，即 ， 所以 ，则 ， 当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为 . 1  25.答案：（1） 3 （2） 解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如 图所示.（1）因为E是BC的中点，所以 ， 又 ，所以 . 因为F是CD上靠近C的三等分点， 所以 ，所以 ， 所以 . （2）当 ， 时， ， ， ， E( 3,1) F(t,2) 0t  3 因为E是BC的中点，所以 .设 ， ， (cid:2) (cid:2) AE ( 3,1) BF (t 3,2) 则 ， . 由 得 ， 解得 ，所以 ， 所以 .