文档内容
专题 8-1 直线与圆归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................5
【题型一】直线含参（动直线）.............................................................................................................................5
【题型二】直线含参（圆切线型）........................................................................................................................7
【题型三】曲线关于直线对称...............................................................................................................................11
【题型四】切线应用..................................................................................................................................................12
【题型五】圆定点（圆含参型）...........................................................................................................................16
【题型六】圆的切点弦型.........................................................................................................................................18
【题型七】两圆公切线型.........................................................................................................................................21
【题型八】圆有关的轨迹及应用...........................................................................................................................23
【题型九】函数中的圆应用....................................................................................................................................26
【题型十】圆综合应用.............................................................................................................................................28
【题型十一】与圆有关的定点定值定直线........................................................................................................32
专题训练.........................................................................................................................................................................37
讲高考
1．（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记 为点 到直线
的距离，当 、 变化时， 的最大值为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，则根据几何意义得 的最
大值为 .
【详解】 为单位圆上一点，而直线 过点 ，
所以 的最大值为 ，选C.
【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的
距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将
问题转化．
2．（·湖北·高考真题）设 、 是关于 的方程 的两个不等实根，则过
， 两点的直线与双曲线 的公共点的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】试题分析：依题意， ，过 ， 两点的直
线斜率为 ，
又因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以直线与双曲线无交点，故选A.
考点：一元二次方程的根与系数关系，直线的斜率，双曲线的性质，直线与双曲线的位置
关系，中等题.
3．（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M： ，直线 ： ，为 上的动点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线
的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且
，根据 可知，当直线 时， 最小，求
出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为
，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
4．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答
案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
5．（2018·全国·高考真题）直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，点 在圆
上，则 面积的取值范围是
A． B． C． D．【答案】A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到 再计算圆心到直线距离，得到点P到直线
距离范围，由面积公式计算即可
详解： 直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点
,则
点P在圆 上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线 的距离 的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中
档题．
6．（·四川·高考真题）设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线
交于点 ，则 的最大值是______．
【答案】5
【详解】试题分析：易得 .设 ，则消去 得： ，所以
点P在以AB为直径的圆上， ，所以 ，
.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以 ，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以
下同法一.
7．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆 和 都相切的一条
直线的方程________________．
【答案】 或 或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为 ，
于是 ，
故 ①， 于是 或 ，
再结合①解得 或 或 ，
所以直线方程有三条，分别为 ， ，
填一条即可
[方法二]：
设圆 的圆心 ，半径为 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意；
又由方程 和 相减可得方程 ，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为 ，
直线OC与直线 的交点为 ，
设过该点的直线为 ，则 ，解得 ，
从而该切线的方程为 填一条即可
[方法三]：
圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心 为 ，半径为 ，
两圆圆心距为 ，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为 ，所以 ，设方程为
O到l的距离 ，解得 ，所以l的方程为 ，当切线为m时，设直线方程为 ，其中 ， ，
由题意 ，解得 ，
当切线为n时，易知切线方程为 ，
故答案为： 或 或 .
8．（2019·全国·专题练习）已知直线 ： 与圆 交于 ， 两
点，过 ， 分别作 的垂线与 轴交于 ， 两点，若 ，则 __________．
【答案】4
【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的距离，可得m的值，既而求得CD的长可
得答案.
【详解】因为 ，且圆的半径为 ，所以圆心 到直线
的距离为 ，则由 ，解得 ，代入
直线 的方程，得 ，所以直线 的倾斜角为 ，由平面几何知识知在梯形
中， ．故答案为4
9．（2022·全国·统考高考真题）设点 ，若直线 关于 对称的直线与
圆 有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点 关于 对称点 的坐标，即可得到直线 的方程，根据圆心到直
线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解： 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；故答案为：
题型全归纳
【题型一】直线含参（动直线）
【讲题型】
例题1.过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直线直线 过的定点A，由题意可知垂足是落在以
OA为直径的圆上，由此可利用 的几何意义求得答案,
【详解】直线 ，即 ，
令 ，解得 ，
即直线 过定点 ,
由过坐标原点 作直线 的垂线，垂足为 ，
可知： 落在以OA为直径的圆上，
而以OA为直径的圆为 ，如图示：
故 可看作是圆上的点 到原点距离的平方，
而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为 ，
但将原点坐标代入直线 中， 不成立，
即直线l不过原点，所以 不可能和原点重合，
故 ，故选：D
(3m−n)x+(m+2n)y−n=0
例题2.已知直线 则当m、n变化时，直线都通过定点
1 3
【答案】(− , )
7 7 1
{
【详解】
⇒m(3x⇒+¿yx)=+−n(¿−¿¿x+2y−1)=0
{3x+y=0¿¿¿¿ 7 1 3
(− , )
7 7
令 ，从而该直线必过定点 .
【讲技巧】
一般情况下，过定点
直线系：
过Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0的交点的直线可设：Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2
＋C )＝0.
2
直线含参不包含的直线：(1) 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如y=k（x-1）+1，不含想x=1
(2) 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如x+m（y-1）+2=0，不含y=1
(3) 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如x+y+c=0与y=-x平行
【练题型】
1.已知直线 恒过定点 ，若点 到直线l的最大距
离为2，则 的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据直线恒过定点 ，当直线动态变化时，点 到直线的距离的最大值为
点 到定点 的距离，所以 ，求得 ，可得 ，再利
用基本不等式即可得解.
【详解】由题可知 ，所以 ，所以 ．
，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号．
故选：C．
2.已知定点 和直线 ，则点 到直线 的距离的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据直线 的方程先确定出直线所过的定点 ，然后判断出点 到直线 的距离的
最大值为 ，结合点的坐标求解出结果.
【详解】将 变形得 ，
所以 是经过两直线 和 的交点的直线系.
设两直线的交点为 ，由 得交点 ，
所以直线 恒过定点 ，
于是点 到直线 的距离 ，
即点 到直线 的距离的最大值为 .
故选：B.
【题型二】直线含参（圆切线型）
【讲题型】
例题1.已知直线 ，以下结论不正确的是（ ）A．不论a为何值， 与 都互相垂直
B．当a变化时， 与 分别经过定点 和
C．不论a为何值， 与 都关于直线 对称
D．若 与 交于点M．则 的最大值是
【答案】C
【分析】对于A， 恒成立，故A正确；
对于B． 恒过定点 ，所以 恒过定点 ，故B正确；
对于C，在 上任取点 ，关于直线 对称的点的坐标为 ，对称
点不在 上，故C不正确；
对于D. ，所以 的最大值是 ，故D正确．
【详解】对于A， 恒成立，所以 与 互相垂直恒成立，故A正确；
对于B．直线 ，当a变化时， 恒成立，所以 恒过定点 ；
，当a变化时， 恒成立，所以 恒过定点 ，故B正确；
对于C，在 上任取点 ，关于直线 对称的点的坐标为 ，代入
，则等式左边不恒等于0，故C不正确；
对于D．联立 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以 的最大值是 ，故D正确．
故选：C．
例题2.已知集合 {直线 其中 是正常数 }，下列结论中
正确的是（ ）
A．当 时， 中直线的斜率为
B． 中所有直线均经过同一个定点
C．当 时， 中的两条平行线间的距离的最小值为
D． 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【答案】C
【分析】A中，当 时，sinθ＝cosθ ，S中直线的斜率为 ；B中，S中所有直
线均经过一个定点，不正确；C中，当m>n时，S中的两条平行直线间的距离为
，可得最小值为2n；D中，由（0，0）不满足方程，可判断命题
错误．
【详解】当θ 时，sinθ＝cosθ ，S中直线的方程为 ，即，故其斜率为 ，故A不正确；
根据 y＝1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，B不正确；
当 时，S中的两条平行直线间的距离为 ，而 ，则
，故 ，即最小值为2n，C正确；
易见，点（0，0）不满足方程，∴S中的所有直线不可覆盖整个平面，D不正确；
【讲技巧】
到直线系 距离，每条直线的距离
，
直线系 表示圆 的切线集
合，
【练题型】
1.已知实数 满足 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【分析】实数 满足 表示点 在直线 上，
可以看作点 到原点的距离，最小值是原点到直线 的距离，
根据点到直线的距离公式求解.
【详解】因为实数 满足 ＝1
所以 表示直线 上点到原点的距离，
故 的最小值为原点到直线 的距离，
即 ，
故 的最小值为1.
2.直线系 ，直线系A中能组成正三角形的面积等于______.
【答案】 或
【分析】应用辅助角公式可得 且 ，根据正弦函数的性
质有 ，易知其几何意义：直线系A是圆 上所有点的切线集合，
分析可知直线构成正三角形有无数个，但面积值只有两个；将圆心移至原点、取 简化模型，设为 ，应用切线的性质及点线距离公式求参数b，进而求出正三角形的
两个面积值.
【详解】直线系A： 可变形为 ，
∴ ，而 ，
，即 ，其几何意义为圆 外的点的集合，
直线系 是圆 的切线的包络，即圆
上所有点的切线集合，如图所示.
把圆心平移到原点，由过圆 上一点 的切线方程为 .
而圆 的参数形式为 ， ，
令 ，则以 为切点的切线方程为 ，即
.
由圆心 到切线 的距离等于半径，有 ，
即 ，
故当 时，直线系 是圆 上所有点的切线方程系，
也是圆的包络线.
显而易见，所有直线系中的直线构成正三角形有无数个，但是面积的值只有两个.
如取 ，如图所示，设直线 的方程为 .
圆心到直线的距离等于半径，则 ，
，则 ，当 ， ， ，则 .
当 ， ， ，则 .
将圆 向右平移3个单位即为 ，不改变正三角形的面积，直线系A
中组成正三角形的面积： 或 .故答案为： 或
【题型三】曲线关于直线对称
【讲题型】
例题1.函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 的单调减区
间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 的图象与 的图象关于直线 对称，可得 的解析式，代入化简
，利用对数函数的单调性求解即可．
【详解】 的图象与 的图象关于直线 对称，则
，单调减区间为 故选：C
例题2.已知的 图象关于直线 对称，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】结合函数对称性与解析式可知 是零点，则 也是零点，由对应关系求出解
析式，利用换元法和二次函数性质即可求解
【详解】因为函数 有两个零点 ，0，又因为其图象关于直线
对称，
所以2，3也是函数 的两个零点，即 ，所以
，令 ，则
，所以 ，即 的值域为 .
故选：B
【讲技巧】
曲线关于直线对称面可以转化为曲线上动点关于直线对称，则：
求解点 关于直线 的对称点 的基本方法如下：
① 与 连线与直线 垂直，即 ；
② 中点在直线 上，即 ；③ 与 到直线 的距离相等，即 ；
上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点 坐标.
【练题型】
1.若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在函数 的图象上任取一点 ，由对称性的知识可知，点 关于直
线 的对称点在函数 的图象上，然后计算即可得解.
【详解】在函数 的图象上任取一点 ，
则点 关于直线 对称的点为 ，
且点 在函数 的图象上，所以 .
故选：C.
2.若曲线 关于直线 的对称曲线是 ，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】本题首先可以在曲线 上任取一点 ，然后设出点 关于直线
的对称点 ，再然后根据线段中点以及两条直线相互垂直的性质求出 点坐标，最后将
点坐标带入 中即可得出结果.
【详解】在曲线 上任取一点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 中点 在直线 上，即 ，
因为直线 与直线 垂直，所以 ，
联立 ，解得 ， ， ，
因为点Q在曲线 上，所以 ，对一切 恒成立，
故 ， ， ，故选：C.
【题型四】切线应用
【讲题型】
例题1.已知函数 ，如果函数 恰有三个不同的零点，那么实数 的取值范围是________
【答案】
【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得 有三个不同的实
根，数形结合分析得到实数k的取值范围.
【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,
当 时，1＜2x≤2，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤1，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤ ，所以f(x)= ,
当 时， ＜2x≤ ，所以f(x)= ,
所以函数的图象为：
其图象为线段PA,EB,GC,HD, ,(不包括上端点A,B,C,D, )
直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，
由题得C( ),D( ),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和
函数f(x)的图象有三个不同的交点，由题得 .所以k的取
值范围为 .故答案为
例题2.对于任意放置的椭圆，经过椭圆上的任意一点有且仅有一直线与该椭圆有一个交点，
则称该直线为椭圆的切线.椭圆 绕坐标原点逆时针旋转45°后得到的椭圆中最高点
与原点的距离为_______.
【答案】
【分析】旋转后椭圆中最高点与原点的距离即为旋转前切点到原点的距离，由旋转后椭圆
的最高点的切线与 轴平行，则旋转前直线的倾斜角为 ，可设旋转前直线的方程为
，与椭圆方程联立，由 ，求出 ，从而可求得切点，从而可得出答案.【详解】解：旋转后椭圆的最高点的切线与 轴平行，则旋转前直线的倾斜角为 ，
则可设旋转前直线的方程为 ，联立 ，消 整理得
，
由 ，解得 ，因为旋转后切点为最高点，所以 ，
此时 ，
即切点得坐标为 ，则该点到原点得距离为 ，
即旋转后椭圆中最高点与原点的距离为 .故答案为： .
【练题型】
1.已知 ，若 的图象与 轴有3个不同的交点，
则实数 的取值范围为______.
【答案】
【分析】由分段函数解析式，结合导数研究 的性质，再将问题转化为 与
有3个不同交点，应用数形结合的思想有 与 在 上至少
有2个交点，最后由导数求它们相切或 过 时参数a的值，即可知 的取
值范围.
【详解】由题设， 上 ，故值域为 且单调递增；
上 ，故 值域为 且单调递减；
∴ 在 上值域为 且单调递减；在 上值域为 且单调递增；
要使 与 轴有3个不同的交点，即 与 有3个不同交点，它们的图象
如下：
∴由图知：要使函数图象有3个交点，则 与 在 上至少有2个交点，由 ， ，则 ，
此时，若 与 相切时，切点为 ，
∴ ，可得 ，当 过 时，有 ，得 ，
∴ .故答案为：
2.已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，有下列结论：
①函数 在 上单调递增；
②函数 的图象与直线 有且仅有2个不同的交点
③若关于x的方程 的实数根之和为8；
④函数 的值域为 .
其中所有正确答案的编号是______________.
【答案】①④
【分析】根据函数解析式和奇函数的性质画出函数图象，数形结合即可求出.
【详解】当 ， ，
当 时， ，则 ，
当 时， ， ，则 ，
…
结合 是定义在R上的奇函数，可画出 的函数图象如下：
由图可知， 在 上单调递增，故①正确；
函数 的图象与直线 有3个不同的交点，故②错误；
由 ，可解得 ，根据奇函数的对称性， 和 对应的
根分别对称，所以方程 的实数根之和为0，故③错误；
由图可知， 的值域为 ，故④正确.
故答案为：①④.【题型五】圆定点（圆含参型）
【讲题型】
例题1.已知抛物线 与 轴交于A，B两点，点C的坐标为(3，1)，圆Q过A，
B，C三点，当实数 变化时，存在一条定直线 被圆Q截得的弦长为定值，则此定直线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设出圆的一般方程，令 求得 ，可得圆过两个定点可得答案.
【详解】设过 三点的圆的方程为 ，
由题意可得 时， 与 等价，可得 ，
圆的方程即为 ，由圆过 可得 ，
可得 ，即圆的方程为 ，
整理得 ，因为 为任意实数方程都成立，所以
解得 或 ，所以圆过定点 和 ，
此时过两点的弦长为定值 ，过两点的直线方程的斜率为
，
所以过两点的直线方程的为 ，即为 .故选：A.例题2.）已知点 为直线 上任意一点， 为坐标原点．则以 为直径的圆
除过定点 外还过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 垂直于直线 ，可知圆恒过垂足 ；两条直线方程联立可求得
点坐标.
【详解】设 垂直于直线 ，垂足为 ，则直线 方程为： ，
由圆的性质可知：以 为直径的圆恒过点 ，
由 得： ， 以 为直径的圆恒过定点 .
故选：D.
【讲技巧】
过x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的直线可设：x2＋y2＋Dx
1 1 1 2 2 2 1
＋Ey＋F＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0.
1 1 2 2 2
【练题型】
1.如果直线 和函数 的图象恒过同一个
定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得 ．再由由点 在圆
内部或圆上可得 ．由此可解得点
在以 和 为端点的线段上运动．由 表示以 和 为端点的线段上
的点与坐标原点连线的斜率可得选项．
【详解】函数 恒过定点 ．将点 代入直线 可得
，即 ．
由点 在圆 内部或圆上可得 ，
即 ． 或 ．所以点 在以 和
为端点的线段上运动．
表示以 和 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以
， ．所以 ．故选：C．2.若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的点 、 、 ，则 的外接圆
恒过的定点坐标为_______
【答案】
【分析】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，根据
题意设圆心为 ，求出 ，写出圆 的方程，可得出关于 、 的方程组，即
可得出圆 所过定点的坐标.
【详解】设抛物线 交 轴于点 ，交 轴于点 、 ，
由题意可知 ，由韦达定理可得 ， ，所以，线段 的中点
为 ，设圆心为 ，
由 可得 ，解得 ，
，则 ，则 ，所以，圆 的方程为
，
整理可得 ，方程组 的解为 .
因此， 的外接圆恒过的定点坐标为 .故答案为： .
【题型六】圆的切点弦型
【讲题型】
例题1.过圆 上的动点作圆 的两条切线，两个切点之间的线段称为
切点弦，则圆 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出切点弦的方程后可求不在任何切点弦上的点形成的区域的面积.
【详解】设圆 的动点为 ，过 作圆 的切线，切点分别为 ，
则过 的圆是以 直径的圆，该圆的方程为： .
由 可得 的直线方程为： .原点到直线 的
距离为 ，
故圆 不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 ，故选：A.
例题2.设点P为直线 上的点，过点P作圆C： 的两条切
线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积取得最小值时，此时直线AB的方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】当 最小时，四边形PACB的面积取得最小，此时PC： 与联立
联立求得 ，和PC的中点坐标及 ，可得以PC为直径的圆的方程与圆
C的方程相减可得答案．
【详解】由于PA，PB是圆C： 的两条切线，A，B是切点，
所以 ，
当 最小时，四边形PACB的面积取得最小，
此时PC： ，即 ，
联立 得 所以 ，
PC的中点为 ， ，
以PC为直径的圆的方程为 ，
即 ，
与圆C： 两圆方程相减可得直线AB的方程 ．
故选：B．
【讲技巧】
求切点弦方法：
1.公共弦法：过圆 外一点作圆的切线 ，则切点 与 四点共圆，线段
就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．
2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x，y)做切线，切点所在直线方程（切点
0 0
弦方程）为：(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0
【练题型】
1.已知 是半径为1的动圆 上一点， 为圆 上一动点，过点 作圆的切线，切点分别为 ， ，则当 取最大值时，△ 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设，确定 的轨迹方程，结合已知可得 ，再根据切线的性质、勾
股定理及面积法得到 关于 的关系式且△ 的外接圆以线段 为直径，结合两
圆的位置关系及其动点距离最值情况，写出外接圆的方程.
【详解】由 ，则动圆心 的轨迹方程为 .
为圆 上的动点，又 ，∴ ，∵ ，
， ，
∴ ，∴当 最小时， 最小，当 最大时， 最大.
当 时， 取最大值，△ 的外接圆以线段 为直径，而 中点，
即 中点为 ，
∴外接圆方程为 ，即 .
故选：A
2.已知点 在直线 上，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，
点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设 为直线 上的一点，由切线的性质得点 、 在以
为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆 的方程联立可得直线 的方程，将其变形分
析可得直线 恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设 为直线 上的一点，则 ，
过点 作圆 的切线，切点分别为 、 ，则有 ， ，
则点 、 在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的圆心为C ， ，半径 ，
则其方程为 ，变形可得 ，
联立 ，可得圆C和圆O公共弦AB为： ，又由 ，则有 ，变形可得 ，
则有 ，解可得 ，故直线 恒过定点 ，
点 在圆 上，则点 到直线 距离的最大值为
．故选：B．
【题型七】两圆公切线型
【讲题型】
例题1.已知圆 与圆 有且仅有 条公切线，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，圆 内切于圆 ，由题意可得出 ，然后将代数式
与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，圆
的圆心为 ，半径为 ，
由于两圆有且仅有 条公切线，则圆 内切于圆 ，所以 ，可
得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故选：D.
例题2.已知圆 和圆 恰有三条公共切
线，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】根据两圆有三条公切线得到两圆的位置关系，从而得到 满足的等式，再根据
的几何意义求解出 的最小值.
【详解】因为圆 与圆 有三条公切线，所以圆 与圆 外切，
因为 ， ， ， ，所以 ，所以 ，
所以 的轨迹是圆心在原点、半径为 的圆，又因为 表示 与 的距离，
所以 .
故选：B.
【讲技巧】
设圆 与圆 的半径长分别为 和 .
（1）若 ，则圆 与圆 内含。无公切线
（2）若 ，则圆 与圆 内切，一条公切线。
（3）若 ，则圆 与圆 相交两条公切线
（4）若 ，则圆 与圆 外切，三条公切线
（5）若 ，则圆 与圆 外离.，四条公切线
【练题型】
1.两圆 和 恰有三条公切线，若 ，
且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知两圆外切，可得出 ，然后将代数式 与 相乘，
展开后利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径
为 ，
圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 .
由于圆 和 恰有三条公切线，则这两圆外切，
所以， ，即 ，所以， ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .故选：C.
2.若圆 : 与圆 : 相交于 ， 两点，且两圆
在点 处的切线互相垂直，则公共弦 的长度是______.
【答案】
【分析】根据两圆在点 处的切线互相垂直，得出 是直角三角形，求出 ，然后两圆
相减求出公共弦的直线方程，运用点到直线的距离公式求出圆心到公共弦的距离，进而求
出公共弦长.
【详解】由题意，圆 圆心坐标 ，半径 ，圆 圆心坐标 ,半径，
因为两圆相交于点 ，且两圆在点 处的切线互相垂直，所以 是直角三角形，
，所以 ，
由两点间距离公式， ，所以 ，解得 ，
所以圆 ： ，两圆方程相减，得 ，即 ，所以公共
弦 ： ，
圆心 到公共弦 的距离 ，故公共弦长
。故答案为：
【题型八】圆有关的轨迹及应用
【讲题型】
例题1.已知 为正方体 表面上的一动点，且满足 ，则
动点 运动轨迹的周长为__________.
【答案】
【分析】首先根据条件确定P点所处的平面，再建立坐标系求出动点P的轨迹方程，据此
求出轨迹的长.
【详解】由 可知，正方体表面上到点A距离最远的点为 ，
所以P点只可能在面 ，面 ，面 上运动，
当P在面 上运动时，如图示，建立平面直角坐标系，
则 ,
设 ，由 得： ，
即 ，即P点在平面ABCD内的轨迹是以E（4,0）为圆心，以 为半径
的一段圆弧，因为 ,故 ,所以P点在面ABCD内的轨迹的长即为 同理，P点在面 内情
况亦为 ；P点在面 上时，因为 ， ,
所以 ，所以此时P点轨迹为以B为圆心，2为半径的圆弧，
其长为 ，综上述，P点运动轨迹的周长为 ，
故答案为： .
例题2.现有边长均为1的正方形､正五边形､正六边形及半径为1的圆各一个，在水平桌面
上无滑动滚动一周，它们的中心的运动轨迹长分别为 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，设半径分
别为r，r，r，r，则半径为中心与顶点的距离，由正方形、正五边形、正六边形得几何
1 2 3 4
特征可知 ，r＜r＜1，r＝r＝1，再利用弧长公式即可得到l＜l＜l＝l．
1 2 3 4 1 2 3 4
【详解】解：由题意可知，它们的中心滚动一周的运动轨迹都是圆心角为2π的弧长，
设半径分别为r，r，r，r，由题意可知，半径为中心与顶点的距离，
1 2 3 4
又因为正方形、正五边形、正六边形的边长均为1，圆的半径为1，
对于正方形，如图所示： ，∵∠AOB＝90°，∴ ；
对于正五边形，如图所示： ，∵∠AOB＝72°＜90°，∠OAB＝∠OBA＝54°＜
72°，∴r＜r＜1；
1 2对于正六边形，如图所示： ，∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，
∴r＝OA＝1；
3
而 r＝1，
4
又因为l＝2π•r，l＝2π•r，l＝2π•r，l＝2π•r，
1 1 2 2 3 3 4 4
所以l＜l＜l＝l，
1 2 3 4
故选：B．
【练题型】
1.在长方体 中，已知底面 为正方形， 为 的中点，
，点 是正方形 所在平面内的一个动点，且 ，则
线段 的长度的最大值为___.
【答案】6
【详解】如图（1）所示，取 的中点为 ，连接 ，则 平面 ，因 平
面 ，所以 ，所以 ，也就是 ，如图（2）所
示，把正方形 放置在平面直角坐标系中， ， ，设 ，则
，整理得 ，也就是圆 ，
故 的最大值为 .
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），
点D恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则
_____________.
【答案】
【分析】根据正方形的运动，得到点 的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别
进行判断即可.
【详解】由题意，当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以2为半
径的 圆；当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的 圆；
当 时，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以2为半径的 圆；
当 ，顶点 的轨迹是以点 为圆心，以2为半径的 圆，
与 的形状相同，
因此函数 的图象在 恰好为一个周期的图象；
所以函数 的周期是8；
∴ ，其图象如图：
故答案为： .
【题型九】函数中的圆应用
【讲题型】
例题1.已知 是定义在 上的增函数，函数 的图象关于点 对称，若不等
式 的解集为区间 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据条件可得函数 是定义在 上的奇函数且在 上的增函数，进而可得
，再利用数形结合即得.
【详解】∵函数 的图象关于点 对称，
∴函数 的图象关于点 对称，又 是定义在 上的增函数，
∴函数 是定义在 上的奇函数且在 上的增函数，
由 ，可得
，
∴ 的解集为区间 ，且 ，
作出函数 与 的图象， 函数表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分， 表示过定点
的直线，
由图象结合条件可知 ，又 ，∴ ，即直线与半圆的交点 的横坐标为2，
故 ，∴ .故选：B.
例题2.） ， 表示不大于 的最大整数，如 ， ，且 ，
， ， ，定义：
.若 ，则 的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查与面积有关的几何概型问题，属中档题.
【详解】由 ， 得函数f(x)的周期为T=2.函数f(x)的图像为如图所示的
折线部分，集合 对应的区域是如图所示的五个圆，
半径都是 .
由题得
事件 对应的区域为图中的阴影部分，
所以由几何概型的公式得 故选D.
【练题型】
1.已知二次函数 交 轴于 ， 两点，交 轴于 点.若圆 过 ， ， 三
点，则圆 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆 的
圆心为 ，由 ，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程.
【详解】解：由 解得 或 ，所以 ，又令 ，得，所以 ，
因为圆 过 ， ， 三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆 的圆心为
，
所以 ，即 ，解得 ，所以圆心 ，半径
，
所以圆 的方程是 ，即 ，
故选：C．
2.已知二次函数 交 轴于 两点( 不重合)，交 轴于 点. 圆
过 三点.下列说法正确的是
① 圆心 在直线 上；
② 的取值范围是 ；
③ 圆 半径的最小值为 ；
④ 存在定点 ，使得圆 恒过点 .
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】根据圆的的性质得圆心横坐标为1；根据二次函数的性质与二次函数与 轴有两个
焦点可得 的取值范围；假设圆方程为 ，用待定系数法求解，根据二
次函数的性质和 的取值范围求圆半径的取值范围，再根据圆方程的判断是否过定点.
【详解】二次函数 的对称轴为 ，因为对称轴 为线段 的中
垂线，
所以圆心在直线 上，故①正确；因为二次函数与 轴有两点不同交点，
所以 ，即 ，故②错误；
不妨设 在 的左边，则 ， 设圆方程为 ，则
，解得， ，
因为 ，所以 即 ，故③错误；
由上得圆方程为 ，
即 ，恒过点 ，故④正确.
故选D.
【题型十】圆综合应用
【讲题型】
例题1.在①直线 与 、 均相切，②直线 截 、 、 所得的弦长均相等，这
两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.
问题： 年是中国传统的农历“鼠年”，现用 个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，
是 的圆心，且 过原点；点 、 在 轴上， 、 的半径均为 ， 、
均与 外切.直线 过原点.若___________，求直线 截 所得的弦长.【答案】选①，直线 截 所得的弦长为 ；选②，直线 截 所得的弦长为 .
【分析】写出圆 的方程，根据圆 、圆 与圆 外切，可求得圆 、圆 的方程.
选①，分析可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，根据直线 与圆 相切可求得
，再计算出圆心 到直线 的距离，利用勾股定理可求得结果；
选②，分析可知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，根据已知条件结合点到直线
的距离公式、勾股定理可得出关于 的等式，求出 的值，即可求得直线 截圆 所得的弦
长.
【详解】解：由题意可知，圆 的半径为 ，则圆 的方程为 ，
设点 ，
因为半径为 的圆 与圆 外切，可得 ，即 ， ，可得 ，
所以，圆 的方程为 ，同理可知圆 的方程为 ，
选①，若直线 的斜率不存在，则直线 与 轴重合，此时直线 与圆 、圆 相离，不合
乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由题意可得 ，解得 ，所以，直线 的方程为 或 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
此时，直线 截圆 所得弦长为 ；
选②，若直线 的斜率不存在，则直线 与 轴重合，此时直线 与圆 、圆 相离，不合
乎题意，
所以，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，圆心 到直线 的距离为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，且 ，
由题意可得 ，整理可得 ，可得 ，
此时，直线 截圆 所得弦长为 .例题2.如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东
45°方向距O岛 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，
O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过
O，A，B三点．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正
沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?
【答案】(1) ；
(2)该船有触礁的危险．
【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数
法求解作答.
（2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答.
（1）
依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛 千米处，则点 ，
又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则 ，
设过O，A，B三点的圆C的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以圆C的方程为 ．
（2）
因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则 ，
而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为
，
由（1）知，圆C的圆心为 ，半径 ，
则圆心C到直线l的距离 ，则 ，
所以该船有触礁的危险.
【练题型】
1.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外
籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，
速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
【答案】0.5 h
【详解】试题分析：建立直角坐标系，问题转化为圆与直线是否相交，只需用点到直线的
距离公式即可判断，监测时间为直线与圆相交的弦长除以轮船的速度.
试题解析：
如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋
y2＝252.
直线AB方程： ＋ ＝1，即3x＋4y－120＝0.
设O到AB距离为d，则d＝ ＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到．
设监测时间为t，则t＝ ＝ (h)
答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.
2.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB
是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划
要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l
的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．
（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q
两点间的距离．
【答案】（1）15（百米）；
（2）见解析；
（3）17+ （百米）.
【分析】
（1）过A作 ，垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长；
（2）分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.
（3）先讨论点P的位置，然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时，P、Q两点间的距
离．
【详解】：（1）过A作 ，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，
.因为PB⊥AB，所以 .所以 .因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离
均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处，连结AD，由（1）知 ，
从而 ，所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此，Q选在D处也不满足规划要求.
综上，P和Q均不能选在D处.
（3）先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；
当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均
不小于圆O的半径，点P符合规划要求.
设 为l上一点，且 ，由（1）知， ，
此时 ；
当∠OBP>90°时，在 中， .
由上可知，d≥15.
再讨论点Q的位置.
由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，
.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O
的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ= 时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+ .
因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ （百米）.
【题型十一】与圆有关的定点定值定直线
【讲题型】
例题1.已知圆 经过坐标原点 和点 ，且圆心 在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设 是圆 的两条切线，其中 为切点．
①若点 在直线 上运动，求证：直线 经过定点；
②若点 在曲线 （其中 ）上运动，记直线 与 轴的交点分别为
， 求 面积的最小值．
【答案】（1） ；（2）①证明见解析；②32.
【分析】（1）由题可设圆心坐标为 ，则根据圆 经过坐标原点 和点
得 ，再根据两点间的距离公式列式解得圆心为 ，半径为 ，即可得方程；
（2）①根据题意设 ，再根据题意知 在以 为直径的圆上，此时再写出以
为直径的圆的方程，又因为 是两圆的公共弦，所以两圆方程做差求得弦 的方程
即可解决；
②设 ，过 的与圆相切的直线斜率为 ，写出切线方程，再根据直线与圆相
切得关于 的一元二次方程，不妨记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，利用韦达
定理得 与 关系，另一方面，写出 ， 方程，令 得 ，再求出
，表示出 面积，再根据函数的性质求解面积最值即可.
【详解】解：（1）因为圆心 在直线 上，故设圆心坐标为 ，
又因为圆 经过坐标原点 和点 ，
所以 ，即 ，解得： ，
所以圆心为 ，半径为 ，所以圆 的方程为： ；
（2）①因为点 在直线 上运动，故设 ，
又因为 是圆 的两条切线，其中 为切点，故连接 ，如图
所以 ， ，所以 在以 为直径的圆上，
所以 的中点坐标为 ，所以以 为直径的圆的方程为：
，化简得： ，
所以 是两圆的公共弦，故两圆方程做差得弦 的方程： ，
整理得： ，所以直线 经过定点 ；
②设点 ，设过 的与圆相切的直线斜率为 ，切线方程为：
，
∴ 圆心 到切线的距离 ，
整理得：∴ 由题知： 即： ，整理得： ，
，
不妨记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
所以有 ， ，令 得，
∴ ，
，
令 ，则 ∴
∴ ∴
例题2.已知圆 ，点P是直线 上的一动点，过点P作圆M的
切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为 时，求点P的坐标；
（2）若 的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所
有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1） 或 ；（2）圆过定点 ， ；（3）当 时，
AB有最小值 ．
【分析】（1）设 ，由 ，计算即可求得 ，得出结果；
（2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆 的方程为
，化简为 ，由方程恒成
立可知 ，即可求得动圆所过的定点；
（3）由圆 和圆 方程作差可得直线 方程，设点 到直线AB的距离 ，则
，计算化简可得结果.
【详解】（1）由题可知，圆M的半径 ，设 ，因为PA是圆M的一条切线，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，所以点P的坐标为 或 ．
（2）设 ，因为 ，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为 ，即 ，由
，
解得 或 ，所以圆过定点 ， ．
（3）因为圆N方程为 ，即
①
又圆 ②①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．
点 到直线AB的距离 ，所以相交弦长
，所以当 时，AB有最小值 ．
【练题型】
1.如图，在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ， 、 分别为线段 、
上的动点，且满足 .
（1）若 ，求点 的坐标；
（2）设点 的坐标为 ，求 的外接圆的一般方程，并求 的
外接圆所过定点的坐标.【答案】（1） ；（2） ， 和
【解析】(1)设点 ，利用两点之间距离公式和C点在线段OA上得出关系式：
联立求解即可得出点C的坐标；
(2)由题意求出D点坐标 ，设 外接圆的一般方程为 由
三点坐标得出关系式 ，
联立解得圆的方程 ，将圆的方程转化为
，令 求解即可得出圆过定点的坐标.
【详解】解：（1）设点 ，当 时， ，则 ，
由C点在线段OA上则有 ，且 ，则联立
解得 ,则点 的坐标为 .
（2）由点 的坐标为 ，可得
， ，可得点 的坐
标为 ，
设点 的外接圆的方程为 ，
代入点 、 、 的坐标可得 ，解得 ，
可得 的外接圆的一般方程为 ，
可化为 ，
令 ，解得 或 ，故 的外接圆所过定点的坐标为
和 .
2.已知圆 ，点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线 ， ，
切点分别为 ， .
（1）当 时，求点 的坐标；
（2）设 的外接圆为圆 ，当点 在直线 上运动时，圆 是否过定点（异于原点
）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） 或 ；（2）是过定点， .
【分析】（1）由题知，可设 ，切线长 ，半径 ，圆心与点 的长度 组成直
角三角形，故有 ，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点 的坐标；
（2）可先设 ，则 ，整理得 的外接圆方程为
，结合 代换得 ，要使圆
恒过定点满足，即 ，解出对应的 ，即可求解
【详解】（1）设 ，∵ ，∴ ， ，
∵ ，∴ ， ∴ 解得 或
∴ 或 ；
（2）设 ，则 ，∴ 的外接圆方程为 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，令 则 或 （舍去），∴圆
过定点 .
一、单选题
1．过定点M的直线 与过定点N的直线 交于点A（A与M，N
不重合），则 面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据题意分析可得点A在以 为直径的圆上，结合圆的性质求 面积的最
大值.
【详解】对于直线 ，即 ，可得直线 过定点 ，
对于直线 ，即 ，
可得直线 过定点 ，
∵ ，则直线 与直线 垂直，即 ，
∴点A在以 为直径的圆上，且 ，
由圆的性质可知： 面积的最大值为 .
故选：C.
2．已知直线 ，直线 ，其中实数 ，则直线 与
的交点位于第一象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在
第一象限得到a的范围，利用几何概型概率计算公式计算即可
【详解】当 时， ，此时 ，
所以 ，直线 与 无交点；
当 时，由 ，解得： ，由题意 ，解得
，
又 ，
由几何概型的概率公式知，所求的概率为 .故选：A.
3．若圆 与圆 有且仅有3条公切线，则m=
（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【答案】A
【分析】分别求出两圆的圆心及半径，再根据圆 与圆 有且仅有3条公切线，可得两圆
外切，则 ，从而可得答案.
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，
圆 的圆心 ，半径 ，
因为圆 与圆 有且仅有3条公切线，所以两圆外切，则 ，
即 ，解得 .故选：A.
4．已知直线l： 是圆C： 的对称轴，过点
作圆的一条切线，切点为A，则 （ ）
A． B．7 C． D．2
【答案】B【分析】根据题意分析可得直线l过圆心 ，可求得 ，再根据圆的切线长公式运算
求解.
【详解】由题意可知：直线l： 过圆心 ，则 ，解得
，
故圆C： 的圆心为 ，半径 ，且点 ，
∵ ，∴ .故选：B.
5．若M，N为圆 上任意两点，P为直线 上一个动点，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆的几何分析得出当PC与直线 垂直时，过P作圆的两
条切线，切点为M，N，此时 最大；即可在 中计算得出 ，
即 ，即可得出答案.
【详解】 过P作圆的两条切线，切点为M，N，根据切线的性质
得 ，在 中 ，根据已知可得 则当 越小，
则 越大， ， 越大， 越大，
则当PC与直线 垂直时，此时 最大，根据切线的性质可得
此时最大，此时 ，
则 ，即 ，则 的最大值为 ，故选：B.
6．若 为圆 上的动点，当 到直线
的距离取得最大值时，直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线 所过定点 的坐标，分析可知当 为射线 与圆 的交点且
时，点 到直线 的距离最大，求出直线 的斜率，可得出直线 的斜率.
【详解】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，
将直线 的方程变形为 ，由 得 ，故直线 过定点 ，如下图所示：
当 为射线 与圆 的交点且 时，点 到直线 的距离
最大，
因为 ，则直线 的斜率为 .故选：B.
7．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点
A，B的距离之比为定值 （ ）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 中， ，若点P
是满足 的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线 上的动点，Q在直线
上的射影为R，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出点 的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及抛物线的定义可得
，从而可得出答案.
【详解】设 ，
则 ，
化简整理得 ，
所以点 的轨迹为以 为圆心 为半径的圆，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
则
，
当且仅当 （ 两点在 两点中间）四点共线时取等号，
所以 的最小值为 .故选：D.
8．图为世界名画《蒙娜丽莎》.假设蒙娜丽莎微笑时的嘴唇可看作半径为 的圆 的一段圆
弧 ，且弧 所对的圆周角为 .设圆 的圆心 在点 与弧 中点的连线所在直线上.若
存在圆 满足：弧 上存在四点满足过这四点作圆 的切线，这四条切线与圆 也相切，
则弧 上的点与圆 上的点的最短距离的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意画出相应的图，弧 上的点与圆 上的点的最短距离即为圆心距减去
两圆半径，找出圆心距的最大值即可.
【详解】
如图，弧 的中点为 ，
弧 所对的圆周角为 ，则弧 所对的圆心角为 ，
圆 的半径为 ，在弧 上取两点 、 ，则 ，
分别过点 、 作圆 的切线，并交直线 于点 ，
当过点 、 的切线刚好是圆 与圆 的外公切线时，劣弧 上一定还存在点 、 ，使
过点 、 的切线为两圆的内公切线，
则圆 的圆心 只能在线段 上，且不包括端点，
过点 ，分别向 、 作垂线，垂足为 、 ，
则 即为圆 的半径，
此时圆 与圆 皆满足题意：弧 上存在四点 、 、 、 ，过这四点作圆 的切线，
这四条切线与圆 也相切.
线段 交圆 于点 ，
则弧 上的点与圆 上的点的最短距离即为线段 的长度.
在直角 中， ，
，
即弧 上的点与圆 上的点的最短距离 的取值范围为 .
故选： .
二、多选题
9．已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有1个
B．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有2个
C．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有3个
D．存在实数m使得圆上的点到直线 的距离等于2，且这样的点有且只有4个
【答案】AB
【分析】设圆心 到直线 的距离为 ，当 时，A
正确；当 时，B正确.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
当 ，即 时，圆上有且只有1个点到直线 的距离等于2，故A正确；
当 ，即 时，圆上有且只有2个点到直线 的距离等于2，故B正确；
故选：AB
10．已知直线 和圆 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．圆心 到直线 的最大距离是2
C．若直线 与圆 相切，则 或
D．若 ，直线 与圆 相交
【答案】AC
【分析】令 求出方程组的解，即可得到直线 过定点坐标，即可判断A，求出圆心 到定点 的距离，即可判断B，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程求出 ，
即可判断C，求出圆心到直线的距离，即可判断D.
【详解】解：对于A，由 ： ，令 ，解得 ，
∴直线 恒过定点 ，故A正确；
对于B，∵直线 恒过定点 ，圆心 到直线 的最大距离等于圆心 到定点 的距
离，
即 ，故B错误；
对于C，若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 的距离
，
解得 或 ，故C正确；
对于D，当 时，直线 ，圆心 到直线 的距离
，∴直线 与圆 相离，故D错误．
故选：AC．
11．在平面直角坐标系 中， ，点 是圆 上的动点，
则（ ）
A．当 的面积最大时，点 的坐标为
B．
C．若点 不在 轴上，则 平分
D．当直线 与圆 相切时，
【答案】CD
【分析】根据 ，结合圆的性质判断A；设 ，进而根据距离公式，结合圆的
方程计算判断B；延长 到 ，使 ，连接 ，进而根据 ，结合平面
几何知识判断C；设直线 的方程为 ，进而根据直线与圆的位置关系得
，再联立方程求得点 的坐标为 ，进而判断D.
【详解】解：对于A选项：由 的面积 ，
所以，要使得 的面积最大，只需 最大，
由点 为圆 上的动点可得 ，
所以 的面积最大时，点 的坐标为 ，所以A不正确；
对于B选项：设 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以B不正确；对于C选项：因为 ，所以 ，所以 ，
延长 到 ，使 ，连接 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 平分 ，所以C正确；
对于D选项：设直线 的方程为 ，由直线 与圆 相切得
所以，整理得 ，解得 ，
所以，联立方程 ，所以消去 得 ，解得 ，
所以，点 的坐标为 或 ，显然有 ，所以D正确．
故选：CD
【点睛】关键点点睛：破解此类题的关键：一是活用“图形”，即会画出草图，并根据图形
的特征，寻找转化的桥梁；二是计算准确．
12．已知圆M： ，以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若圆 与圆M恰有一条公切线，则m=-8
B．圆 与圆M的公共弦所在直线为
C．直线 与圆M恒有两个公共点
D．点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP
交于点C，若Q ，则CQ的最大值为
【答案】BCD
【分析】A选项，两圆内切，根据圆心距等于半径之差的绝对值，列出方程，求出 ；
B选项，两圆相减即为两圆公共弦所在直线方程；
C选项，求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点；
D选项，由题意得到 四点共圆，且 为直径，从而求出该圆的方程，与
相减后得到直线 的方程，进而求出直线MP的方程，联立求出 点坐标，
消参后得到 点的轨迹方程为圆，从而求出CQ的最大值.
【详解】由题意得： 与 内切，其中 圆心为 ，半径为 ，
则 ，解得： ，A错误；
与 相减得： ，且两圆相交，
故圆 与圆M的公共弦所在直线为 ，B正确；
变形为 ，
令 ，解得： ，
所以直线 恒过点 ，
由于 ，点 在圆M内，
故 与圆M恒有两个公共点，C正确；
设 ， ，由题意可知： 四点共圆，且 为直径，
故圆心为 ，半径为 ，
所以此圆的方程为 ，
整理得 ，
与 相减得： ，
即为直线AB的方程，
直线MP的方程为 ，整理得 ，
联立 与 ，得到 ，
故 ，
由 ，解得： ，
将 代入 中，得 ，故 ，
代入 中，得到 ，
轨迹为以 为圆心， 为半径的圆（不含点M），
所以CQ的最大值为 ，即 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知点 ，若直线 上存在点 使得 成立，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【分析】设 ，得 ，得 在圆 的内
部，得圆心 到直线的距离小于半径2，即可解决.
【详解】由题意得， ，直线 ，
设 ，
所以 ,
所以 ，
化简得 ，
所以 在圆 的内部，
所以圆 与直线 相交，
所以圆心 到直线的距离小于半径2，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是
故答案为：
14．已知直线 上的动点 ，过点 作圆 的两条切线，切点
分别为 ，则原点到直线 的距离的取值范围为__________.
【答案】
【分析】根据题意可知， 两点的轨迹是以 为直径的圆与圆 的交
点，求出公共弦 的方程即可求得原点到直线 的距离的表达式，整理变形可求得其取
值范围.
【详解】如图所示， ，
在直线 上，设 ，又因为 是切点，
所以， 两点的轨迹是以 为直径的圆与圆 的交点，
以 为直径的圆的圆心为 ，半径为所以，圆 的方程为
即圆
所以， 即为圆 和圆 的公共弦，
公共弦 的方程为
所以原点 到直线 的距离为
当 时， ；当 时， 综上可知，
即原点到直线 的距离的取值范围为 .故答案为：
15．若⊙C： ，⊙D： ，M，N分别为⊙C，⊙D上
一动点， 最小值为4，则 取值范围为_________．
【答案】
【分析】先根据 的最小值求出 ，即 ，再使用柯西不等式
求出取值范围.
【详解】由于 最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离
，即 ，
由柯西不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，解得： .故答案为：
16．在矩形 中， ， ， ， 是平面 内的动点，且
，若 ，则 的最小值为____．
【答案】
【分析】由题设有 在以 为直径的圆上， 为圆心，构建直角坐标系并设 ，将
问题转化为 、 到线段 上一点距离之和最小，利用将军饮马模型及圆上点
到定点距离最值的求法求结果.
【详解】由 知： ，即 ，
所以 在以 为直径的圆上， 为圆心，
构建以 为原点， 为x、y轴的坐标系，所以 ，若 ，则 ，
则 ，
所以 ， ，
则 转化为点 到 、 的距离之和，
又 在直线 且 上，即对应线段 ，
所以只需 最小，而 关于 对称点为 ，
故 ，此时 ，即 .
故答案为：2
