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2025二轮复习专项训练11
平面向量
[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答
题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉
及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难
度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
【练前疑难讲解】
一、平面向量的线性运算
常用结论：
(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA
＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD＝(AB＋AC)．
(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的重心．
二、平面向量的数量积
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝.
1 1 2 2
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
1 1 2 2
三、平面向量的综合运算
解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问
题及图形的几何性质．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林延边·一模）如图，在 中， ， 为 上一点，
且 ，若 ，则 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东·一模）已知向量 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为 ，则
D．若 与 方向相反，则 在 上的投影向量的坐标是
4．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线
段OA、OB上的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（2022·上海虹口·二模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
.
6．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，若平
面向量 、 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中，则
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D D ABD BCD
1．D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
学科网（北京）股份有限公司AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
2．D
【分析】结合题意可知 三点共线，进而得到 ，利用向量基本定理表示出
,进而表示出 计算即可.
【详解】因为 ，所以
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
因为 三点共线，所以 ，解得 ，
所以 ，
而 ,
学科网（北京）股份有限公司所以 ,
即 .
故选：D.
3．ABD
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；利用垂直的坐标表示判断B；利用数量积的运算
律求解判断C；求出投影向量的坐标判断D.
【详解】向量 ， ，
对于A，由 ，得 ，因此 ，A正确；
对于B，由 ，得 ，因此 ，B正确；
对于C， 与 的夹角为 ， ， ，
因此 ，C错误；
对于D， 与 方向相反，则 在 上的投影向量为 ，D正确.
故选：ABD
4．BCD
【分析】以 为原点建立如图所示的直角坐标系，得 ， ，设 ，则
，求出 ，利用 的范围可判断A；
求出 、 的坐标，由 ，利用 的范围可判断B；设
，可得 ，求出 、 ，由 ，利用 、
学科网（北京）股份有限公司、 ，的范围可判断CD.
【详解】
以 为原点建立如图所示的直角坐标系，所以 ， ，
设 ，则 ， ，
，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， 的最小值为 ，故A错误；
， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，
的最小值为 ，故B正确；
设 ，又 ，所以 ，可得 ，
学科网（北京）股份有限公司， ，
所以
，其中 ，
又 ，所以 ，所以 ， ，
， ，所以 ，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
5．
【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.
【详解】由 可得， ，即 ，解得： ，
所以 ．
故答案为： ．
6．
【分析】由题意可设 ， ， ， ，得 ，对 ，
进行赋值即可得出 ， 的值，进而得出结论．
【详解】因为 ，故 ．
又由 ，则 ， ，可设 ， ，令 ， ，且
，
学科网（北京）股份有限公司又夹角 ，所以 ，
对 ， 进行赋值即可得出 ，所以 ．
故答案为： ．
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·山西朔州·一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·广东茂名·一模）在 中， ， ，若点M满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·一模）在三角形 中， ， ， ，则
（ ）
A．10 B．12 C． D．
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·重庆·模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生
学科网（北京）股份有限公司了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式： （其中 是功，
是力， 是位移）一物体在力 和 的作用下，由点 移动到点
，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
7．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量
与 的“向量积”， 还是一个向量，它的长度为 ，如果 ，
， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
8．（2023·福建福州·二模）已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·河北·模拟预测）下列命题不正确的是（ ）
A．若 ，则
B．三个数 成等比数列的充要条件是
C．向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使
D．已知命题 时， ，则命题 的否定为： 时，
10．（2023·广东汕头·二模）在 中，已知 ， ， ，BC，AC边
上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． 的余弦值为 D．
11．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知向量 ， ，则正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 与 的夹角为钝角，则 D．若向量是 与 同向的单位向量，则
三、填空题
12．（2023·广西·模拟预测）已知向量 ，且 ，则
.
13．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，
则 在 上的投影向量是 .
14．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，四边形 为平行四边形，
，若 ，则 的值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D B A B B ABC ABD
题号 11
答案 ABD
1．C
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用向量的数量积可求 .
【详解】因为 ， ，则 ， ，
则 ，故 ，
故选：C.
2．A
【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：
.
故选：A.
3．A
【分析】根据向量的数量积公式求得结果.
【详解】记 ，则 ， ，
，
．
故选：A.
4．D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
5．B
【分析】建立平面直角坐标系，写成点的坐标，分点 在 ， ， 三种情况，求出
的取值范围.
【详解】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故
综上， 的取值范围是 .
故选：B
6．A
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用条件，先求出两个力的合力 及 ，再利用功的计算公式即可求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ， ，所以
，故 .
故选：A.
7．B
【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B
8．B
【分析】先计算 ，再根据投影向量公式即可计算.
【详解】
在 上的投影向量为
故选：B
9．ABC
【分析】利用不等式的性质判断A，利用等比中项的概念判断B，利用向量共线的概念判断
C，利用全程命题的否定是特称命题判断D.
【详解】对于A，当 时，命题不成立，故错误；
对于B，三个数 成等比数列的必要条件是 ，当 时，满足 ，
但不满足三个数 成等比数列，故错误；
对于C，非零向量 与 共线的充要条件是有且仅有一个实数 使 ，当 均为零向
学科网（北京）股份有限公司量时， 共线，但存在无数个实数 ，使 ，故错误；
对于D，命题 时， ，为全称量词命题，根据全称量词命题的否定是存在量
词命题可得命题 的否定为： 时， ，故正确.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】求得 的长度判断选项A；求得 的长度判断选项B；求得 的余弦值
判断选项C；求得 的化简结果判断选项D.
【详解】连接PC，并延长交AB于Q，
中， ， ， ，
则 ， ,
，
，
，
选项A:
.判断正确；
学科网（北京）股份有限公司选项B:
.判断正确；
选项C:
.判断错误；
选项D: .
判断正确.
故选：ABD
11．ABD
【分析】根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标表示即可判断A；根据向量共线的坐
标表示即可判断B；若 与 的夹角为钝角，则 ，且 与 不共线，列出不等式组，
即可判断C；若向量是 与 同向的单位向量，则 ，从而可判断D.
【详解】对于A，若 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 与 的夹角为钝角，则 ，且 与 不共线，
学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，且 ，故C不正确；
对于D，若向量是 与 同向的单位向量，则 ，故D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，故 .
故答案为： .
13．
【分析】根据题意，求得 ，进而求得 在 上的投影向量，得到答案.
【详解】由题意知，平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，
则 ，所以则 在 上的投影向量为 .
故答案为：
14．1
【分析】选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值．
【详解】选取 为基底，
则 ，
又 ，
将以上两式比较系数可得 ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：1.
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·陕西铜川·一模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，向量 ，
且 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2022·全国·一模）如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是
上的点且满足 ， 与 交于P点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任
一点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
学科网（北京）股份有限公司4．（2023·四川绵阳·模拟预测）在 中，点 满足 与
交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面非零向量 满足 ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）在 中，点 是边 的中点，且 ，点 满
足 （ ），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力 作用于一点，且处于平衡状态.若
与 的夹角为45°，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是
上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
学科网（北京）股份有限公司二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ， 的夹角为 ，点P在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，x， ，则 的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
10．（2023·福建·一模）平面向量 满足 ，对任意的实数t，
恒成立，则（ ）
A． 与 的夹角为 B． 为定值
C． 的最小值为 D． 在 上的投影向量为
11．（2023·福建·模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
三、填空题
12．（2023·广东广州·一模）已知向量 ，且 ，则 ，
在 方向上的投影向量的坐标为 .
13．（2023·山东菏泽·一模）已知夹角为 的非零向量 满足 ， ，
则 .
14．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知向量 满足 ，则
．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
学科网（北京）股份有限公司答案 C B A C C B A A CD AD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据已知向量 ， 且 ，得出
，根据已知单位向量 ， 的夹角为 ，得出 ，且
，即可代入得出 ，即可解出答案.
【详解】由已知得 ，
单位向量 ， 的夹角为 ，
，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：C．
2．B
【分析】根据三点共线有 ，使 、 ，由平面
向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】 ， ，
由 ，P，M共线，存在 ，使 ①，
由N，P，B共线，存在 ，使得 ②，
由①② ，故 .
故选：B.
3．A
学科网（北京）股份有限公司【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设 ，则 ，
∵BC//EF，∴设 ，则
∴ ，
∴
∴
故选：A.
4．C
【分析】法一，根据向量共线可得 ，再得 ，又 ，再
表示出 ，利用向量相等解出 ，即可得解；法二，建立平面直角坐标
系，利用坐标法求出即可.
【详解】法一: 因为 在 上，故 ，所以存在唯一实数 ，使得 ，
又 ，故 为 的中点，
所以 ，所以 ; 同理存在 ，使得 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以
.
故选： C.
法二: 不妨设 为等腰直角三角形，其中 ，以 为原点，
所在 直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图，
，
则直线 的方程分别为 ，
联立解得 ， 由 ，
得 ，解得 ，则 .
故选： C.
5．C
【分析】根据向量数量积的定义和关系，把 的两边平方，利用基本不等式进
行转化求解即可．
【详解】设非零向量 ， 的夹角为 .
，所以 ，
由 两边平方得： ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
即 ，
即 ，
， ，即当 时， 取得最小值，最小值为8.
故选：C．
6．B
【分析】由向量共线定理知，点 在线段 上，设 ，则
，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】因为 （ ），
所以 ，又 ，
所以点 在线段 上，所以 .
设 （ ），所以
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
故选：B.
7．A
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 ,先求得 ，再由 ，
即可求解.
【详解】∵三个力平衡，
∴ ，
∴ .
设 与 的夹角为 ，则 ，
即 ，
解得
故选：A
8．A
【分析】根据题意得 ，由 三点共线求得 ，利用向量数量积运
算求解.
【详解】 ， ，且 ，
而 三点共线， ，即 ，
，
所以 .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司9．CD
【分析】以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，得到点P的坐标为
,结合题意可得 ，又知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，整理
得 ，变形结合基本不等式即可求解 的取值范围，进而得解．
【详解】如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则 ， ，则 ， ，
所以 ，则点P的坐标为 ．
由题意可知 ， ，则 ，
易知点P在以O为圆心，2为半径的圆上，所以 ，
即 ，即 ，即 ，
易知 ，故 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司结合 ，可得 ．
故选：CD．
10．AD
【分析】由题意可得： 与 的夹角 ，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.
【详解】设平面向量 与 的夹角为 ，
因为对任意的实数t， 恒成立，
即 恒成立，又 ，
也即 对任意的实数 恒成立，
所以 ，则 ，所以 ，
故选项 正确；
对于 ，因为 随 的变化而
变化，故选项 错误；
对于 ，因为 ，由二次函数的性质可知：
当 时， 取最小值 ，故选项 错误；
对于 ， 向量上的一个单位向量 ，由向量夹角公式可得：
，
由投影向量的计算公式可得： 在 上的投影向量为
学科网（北京）股份有限公司，故选项 正确，
故选： .
11．BC
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，即可求出数量积以及模，
判断A、B项；根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项.
【详解】由已知可得， ， .
对于A项，因为 ，故A项错误；
对于B项，因为 ， ，所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故C项正确；
对于D项， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故D项错误.
故选：BC.
12．
【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解 的值即可；
②首先根据投影的计算公式求出 在 方向上的投影，进而求出 在 方向上的投影
向量.
【详解】①已知 ， ，由于 ，所以 ，解得 ；
②由①知： ， ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
故 在 方向上的投影为 ，
得 在 方向上的投影向量为 .
故答案为： ；
13．2
【分析】由 得 ，化简代入结合数量积的定义即可得出答案.
【详解】因为 的夹角为 ，且 ，
而 ，则 ，
所以 ，
则 ，解得： .
故答案为：2.
14．
【分析】根据数量积的运算律求得 ，再根据向量模的计算公式，即可求得答案.
【详解】由 ，得 ，有 ，
则 ，
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司
