文档内容
第 9 讲 空间角
真题展示
2022 新高考一卷第 9 题
已知正方体 ，则
A．直线 与 所成的角为
B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成的角为
试题亮点 正方体是最常见的几何形体之一，它虽然结构简单，但却
拥有丰富的几何性质.试题简洁明了，考查目的明确，考查内容源于
教材，属于学生知识储备中的基础性知识。考生只需具有基本的空间
想象能力和构图能力，通过简单的运算求解即可得到正确答案．试题
对中学数学教学具有积极的引导作用和指导意义.试题面向全体考生，
同时也为不同能力层次的考生提供了多样性展示平台，增强考生自信
心，促进考生正常发挥水平.知识要点整理
一、线线平行的向量表示
设u ，u 分别是直线l ，l 的方向向量，则
1 2 1 2
l ∥l ⇔u ∥u ⇔∃λ∈R，使得u ＝λu .
1 2 1 2 1 2
二、 线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则
l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.
三、 面面平行的向量表示
设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则
1 2
α∥β⇔n ∥n ⇔∃λ∈R，使得n ＝λn .
1 2 1 2
四、线线垂直的向量表示
设 u ，u 分别是直线 l , l 的方向向量，则
1 2 1 2
l ⊥l ⇔u ⊥u ⇔u ·u ＝0.
1 2 1 2 1 2
五、 线面垂直的向量表示
设 u 是 直 线 l 的 方 向 向 量 ， n 是 平 面 α 的 法 向 量 ， l⊄ α ， 则
l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.
六、 面面垂直的向量表示
设n ，n 分别是平面α，β的法向量，则
1 2
α⊥β⇔n ⊥n ⇔n ·n ＝0.
1 2 1 2
七、两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面 α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个
二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
八、 空间角的向量法解法角的分类 向量求法 范围
设两异面直线 l ，l 所成的角为
两条异面 1 2
直线所成 θ，其方向向量分别为u，v，则cos
的角 θ＝|cos〈u，v〉|＝
设直线AB与平面α所成的角为θ，
直线与平
直线AB的方向向量为u，平面α的
面所成的
法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，
角
n〉|＝
设平面α与平面β的夹角为θ，平
两个平面
面α，β的法向量分别为n ，n ，则
1 2
的夹角
cos θ＝|cos 〈n ，n 〉|＝
1 2
三年真题
一、单选题
1．如图， 是直三棱柱， ，点 ， 分别是 ， 的中点，若
，则 与 所成角的余弦值是（ ）A． B． C． D．
2．如图，在棱长为1的正方体 中，M，N分别为 和 的中点，那么直线AM与CN
夹角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
3．正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ,且 ，则直线 与直线 夹角的
余弦值为（ ）A． B． C． D．
5．如图，在长方体ABCD-ABC D 中，AB=BC=2，AA=1，则BC 与平面BBDD所成角的正弦值为（ ）
1 1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．二、解答题
6．如图，平面 平面 ， ，直线AM与直线PC所成的角为 ，又
．
(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求多面体 的体积．
7．如图， 是直角梯形， ， ， ， ，又 ， ，，直线 与直线 所成的角为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求二面角 的大小；
(3)求三棱锥 的体积．
8．如图，在长方体 中，E、P分别是 的中点， 分别是 的中点，
．
(1)求证： 面 ；
(2)求二面角 的大小．9．如图，已知长方体 ，直线 与平面 所成的角为 ， 垂直
于E，F为 的中点．
(1)求异面直线 与 所成的角；
(2)求平面 与平面 所成的二面角（锐角）的大小；
(3)求点A到平面 的距离．三年模拟
一、单选题
1．如图， 在棱长为 2 的正方体 中， 均为所在棱的中点， 则下列结
论正确的有（ ）
①棱 上一定存在点 ， 使得
②三棱锥 的外接球的表面积为
③过点 作正方体的截面， 则截面面积为
④设点 在平面 内， 且 平面 ， 则 与 所成角的余弦值的最大值为
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．在各棱长均相等的直三棱柱 中，点M在 上 ，点N在AC上且 ，则异面直线 与NB所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方体 中，点M，N分别是 ， 的中点，则下述结论中正确的个数为
（ ）
① ∥平面 ； ②平面 平面 ；③直线 与 所成的角为 ； ④直线 与平面 所成的角为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，直三棱柱 的底面为正三角形，M，N分别为AC， 的中点，若 ，则异
面直线 与MN所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°5．在三棱锥 中， 为等边三角形， 平面 ， ， ，点G是P在平面
内的射影，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在矩形 中， ， ，沿对角线 将矩形折成一个大小为 的二面角 ，若
，则下列结论中正确结论的个数为（ ）
①四面体 外接球的表面积为
②点 与点 之间的距离为
③四面体 的体积为
④异面直线 与 所成的角为
A． B． C． D．7．如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 为棱 的中点，则下列选项正确的是
（ ）
A．直线 与直线 相交
B．当 为棱 上的中点时，则点 在平面 的射影是点
C．存在点 ，使得直线 与直线 所成角为
D．三棱锥 的体积为定值二、多选题
8．已知在直三棱柱 中，底面是一个等腰直角三角形，且 分别为
的中点.则（ ）
A． 与平面 夹角余弦值为
B． 与 所成角为
C． 平面
D．平面 平面
9．在正方体 中， ， ， ， ， 分别为 ， ， ， ， 的中点，则
（ ）
A．直线 与直线 垂直B．点 与点 到平面 的距离相等
C．直线 与平面 平行
D． 与 的夹角为
10．如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为 的中点，以下说法正确
的是（ ）
A．三棱锥 的体积为
B． 平面
C．过点 作正方体的截面，所得截面的面积是
D．异面直线 与 所成的角的余弦值为11．在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点，点 是线段 上的
点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在点 ，使得直线 与 所成的角是
C．当点 是线段 的中点时，三棱锥 外接球的表面积是
D．当点 是线段 的中点时，直线 与平面 所成角的正切值为 ．三、填空题
12．手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面
发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方
体的组合图形，其直观图如图所示， ， ，P，Q，M，N分别是棱AB，
， ， 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．13．已知三棱柱 的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D为 的中点，若
，则异面直线 与 所成角的余弦值为______．
四、解答题
14．如图，在直三棱柱 中，D，E，F分别是 的中点， ．(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求异面直线 与 所成角的余弦值．
15．如图，在正三棱柱 中，底面边长为2， ，D为 的中点，点E在棱 上，且
，点P为线段 上的动点．
(1)求证： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．16．如图所示，设有底面半径为 的圆锥．已知圆锥的侧面积为 ， 为 中点， ．
(1)求圆锥的体积；
(2)求异面直线 与 所成角．
