文档内容
2025 年秋季八年级开学摸底考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：湘教版七年级下册+八年级上册第1-2章
一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的．将唯一正确的答案填涂在答题卡上).
1．（本题3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表
作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个平
面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
据此依次对各图形进行判断即可．
【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
2．（本题3分）我国新研发的一张蓝光唱片的容量约为 ，一张普通唱片的容量
约为 ，一张普通唱片的容量是一张蓝光唱片容量的 倍，则 用科学记数法表示为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，正确确定 以及 的值是解题的关键．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
先计算普通唱片容量与蓝光唱片容量的比值，再将其转化为科学记数法形式即可．
【详解】解：由题知， ．
故选：C．
3．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，积的乘方和幂的乘方，单项式乘以单项式以及
合并同类项，运用相关知识逐项计算判断即可．
【详解】解：A. ，原选项计算错误，不符合题意；
B. ，原选项计算错误，不符合题意；
C. ，计算正确，符合题意；
D. 与 不是同类项，无法合并，计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．（本题3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．5是25的算术平方根 B． 的平方根是
C．0的平方根与算术平方根都是0 D． 的平方根是
【答案】D
【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的性质及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
根据平方根和算术平方根的性质，逐一分析选项．
【详解】解：A. 25的算术平方根是5，正确．
B. ，9的平方根是 ，正确．
C. 0的平方根和算术平方根均为0，正确．
D. ，16的平方根是 ，但选项仅指出 ，错误．
故选：D．
5．（本题3分）下列采用的调查方式中，合适的是（ ）
A．调查观众对《哪吒2》的满意度，采用全面调查
B．调查河南省中学生的睡眠时间，采用抽样调查
C．对某批次的新能源电池使用寿命检测，采用全面调查
D．企业对招聘人员面试，采用抽样调查
【答案】B
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的优缺点，全面调查收集的到数据全面、准确，
但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查具有花费少、省时的特
点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度是关键．根据抽样
调查样本的代表性，可操作性结合具体问题情境综合进行判断即可．
【详解】解：A．为了调查观众对《哪吒2》的满意度，适合抽样调查，故本选项不符合题
意；
B．调查河南省中学生的睡眠时间，适合抽样调查，故本选项符合题意；
C．对某批次的新能源电池使用寿命检测，适合抽样调查，故本选项不符合题意；
D．企业对招聘人员面试，采用全面调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（本题3分）给出下列说法：（1）过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）相等的两个角是对顶角；（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线
的距离；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）垂直于同一条直线的两条直线平行．
其中说法错误的是（ ）
A．②③④⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】本题主要考查了相交线与平行线的一些基本概念，解题时注意：对顶角是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系；点到直线的距离只能量出或求出，而不能说画
出；平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．
根据平行线的定义、平行公理、对顶角的概念以及点到直线的距离的概念进行判断即可．
【详解】（1）平行公理指出“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在
直线上，则无法作平行线，故原说法错误；
（2）相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角或等腰三角形的底角，故原说法错误；
（3）点到直线的距离是垂线段的“长度”，而非垂线段本身，故原说法错误；
（4）平行线需满足“同一平面内不相交”，否则可能是异面直线，故原说法错误；
（5）垂直于同一直线的两条直线需在“同一平面内”才平行，否则可能异面，故原说法错
误．
综上，所有说法均错误，
故选D．
7．（本题3分）如图，一张边长为m的正方形卡片，两张边长为n的正方形卡片，三张长
为m宽为n的长方形卡片组成了一个大长方形（卡片之间无缝隙且没有重叠部分），利用
大长方形的面积你能得到下列哪个乘法公式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了多项式与多项式乘积与几何图形面积，正确理解几何图形的组成列面
积等式是解题的关键．
用两种方法表示出大长方形的面积即可求解．
【详解】大长方形的面积可以表示为：
大长方形的面积还可以表示为：∴ ．
故选：B．
8．（本题3分）若 展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式的乘法．将多项式 展开后，找到 的一次
项系数，令其等于零，即可得到 与 的关系．
【详解】解：展开多项式： ，
∵展开后不含 的一次项，
∴ 项的系数 ，
解得： ，
故选：B．
9．（本题3分）如果关于 的不等式组 无解，且关于 的方程
有负整数解，则符合条件的所有整数 的和是（ ）
A．12 B．15 C．30 D．35
【答案】A
【分析】本题考查不等式组解集情况求参数、一元一次方程解的情况求参数等知识，首先
解不等式组，根据无解条件确定 的范围；再解方程，根据负整数解的条件筛选符合条件
的整数 ，求和即可得到答案，熟记不等式组的解法、一元一次方程的解法是解决问题的
关键．
【详解】解： ，
由①得 ；由②得 ；
关于 的不等式组 无解，
，解得 ；
，
解得 ，
关于 的方程 有负整数解，
，解得 ，且 是负偶数；
可取 或 ，则符合条件的所有整数 的和是 ，
故选：A．
10．（本题3分）如图，在四边形 中，点E在 的延长线上，连接 交 于点
F，对于给出的四个条件：① ；② ；③ ；④
．其中能判断 的是（ ）
A．①或② B．①或④ C．②或④ D．②或③
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是明确平行线的判定方法．
根据各个小题中的条件和平行线的判定方法，可以判断各个小题中的结论是否符合题意．
【详解】解： ，
，不能判断 ，故①不符合题意；
，
，故②符合题意；
，
，
，故③符合题意；，
，不能判断 ，故④不符合题意；
∴能判断 的是②或③，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）把多项式 分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式中提公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式 ，
然后利用完全平方公式法因式分解即可，掌握因式分解的应用是解题的关键．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12．（本题3分）已知 ，则 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先求出 ，再把所求式子通分化简得到
，据此把 代入化简结果中计算求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴，
故答案为： ．
13．（本题3分）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正
整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理
数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是 ．
【答案】2
【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答．
【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误；
②有理数分为正数、负数和0,故②错误；
③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；
④非负数包含正数和0，故④错误；
⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确；
综上，正确的有⑤和⑥，共2个．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
14．（本题3分）中国汉字中的字体结构讲究平衡与比例，许多字体的笔画分布接近黄金分割，使字形更加美观．黄金分割在“永”字的结构中主要体现在笔画的分布与比例上，
如“永”字的整体宽度与高度的比例接近黄金分割．已知黄金分割数为 ，则
（填“ ”“<”或“=”） ．
【答案】＜
【分析】本题主要考查实数的大小比较，取近似值法： ， ，
，从而可比较出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
故答案为： ．
15．（本题3分）某县有2万名学生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取
名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，以下说法：①这 万名考生的数学
成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③ 名考生是总体的一个样本；④样本容量是
名．其中说法正确的是 （填序号）．
【答案】①
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，本题调查的是学生的中考数学
成绩，所以调查的总体是 万名学生的中考数学成绩，个体是每个学生的中考数学成绩，
样本是被抽取到的 名学生的中考数学成绩，样本容量是 ．
【详解】解：①这 万名考生的数学成绩的全体是总体，故①正确；
②每个考生的数学中考成绩是个体，故②不正确；
③ 名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，故③不正确；
④样本容量是 ，故④不正确．
故答案为：①．16．（本题3分）已知： 和 是正数M的平方根， 的立方根为 ，则
的算术平方根 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了根据立方根求原数，平方根的定义，求一个数的算术平方根，根
据 和 是正数M的平方根可得 与 相等或 与 互为相反数，据
此求出a的值， 再由立方根的定义求出b的值，则可求出 的值，最后根据算术平方
根的定义即可求出答案．
【详解】解：当 时，则 ，
当 与 不相等时，
∵ 和 是正数M的平方根，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ；
∵ 的立方根为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 的算术平方根是 或 ，
故答案为； 或 ．
17．（本题3分）如图，一个三角尺的直角顶点落在一把直尺的下边缘上，若 ，则
的度数为 ．
【答案】40
【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，得到 ，利用平角
的定义求出 的度数，即可．【详解】解：∵直尺的对边平行，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：40
18．（本题3分）如图，把一张长方形纸片 沿 折叠后，点 D，C分别落在点 ，
的位置上， 与 的交点为 G，若 ，则 的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质．根据折叠的性质可知： ，
，根据平行线的性质得出 ， ，据此求解
即可．
【详解】解：根据折叠的性质可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．19-20题每题6分，21-22题每题8分，23-24题每题9分，25-26题每题10分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题6分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)14
【分析】本题主要考查了算多项式乘多项式，合并同类项，零指数幂，负整数指数幂等知
识．
（1）先计算多项式乘多项式以及利用完全平方公式计算，然后合并同类项即可．
（2）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，最后再计算加减运算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（本题6分）先化简 ，然后从不等式组 的解集中，
选取一个你认为符合题意的整数 代入求值．
【答案】 ，当 时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，先把小括号内的式子通
分化简，再把除法变成乘法后约分化简，接着求出不等式组的解集，最后根据分式有意义
的条件确定x的值并代值计算即可得到答案．【详解】解：
，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为 ，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴原式 ．
21．（本题8分）如图，直线 ， 交于点 ， ， 于点
， ，求 的度数．【答案】
【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的定义，熟悉掌握角度的等量代换是解题的关键．
利用角度的比值关系等量代换运算求解即可．
【详解】解： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
22．（本题8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注．某校就学生对校园安全知识的了
解程度，选取了八年级所有学生进行调查．通过调查统计、将该校八年级学生对校园安全
知识的了解程度分为五个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．了解很
少；E．不了解，并绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下．
(1)通过计算补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
(2)求出扇形统计图中 的值及A所对应的圆心角的度数；(3)若在调查中了解程度为“了解很少”和“不了解”的学生需参加学校举办的校园安全宣
讲会，则在八年级学生中，宣讲会的参与率是多少？
【答案】(1)见解析
(2)25，
(3)在八年级学生中，宣讲会的参与率是
【分析】（1）利用B等级的人数除以其所占的百分比即可得到总人数，计算出A租人数然
后补图即可；
（2）用C组人数除以总人数即可求出百分比，根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计
算即可；
（3）用“了解很少”和“不了解”的学生人数除以总人数即可．
【详解】（1）解：根据题意，总人数为 （人），
∴ ．非常了解的人数为 （名）．
补全条形统计图如下．
；
（2）解：C组所占的百分比为
∴ ；
∴A组所占圆心角为： ；
（3）解： ．
答：在八年级学生中，宣讲会的参与率是 ．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，读懂统计图，熟练掌握圆心
角的计算是解题的关键．
23．（本题9分）如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ，
．(1)求证： ；
(2)若 平分 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、利用平行线的性质求角度，
熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平行线的性质得出 ，结合题意得出 ，即可推出 ；
（2）由题意结合角平分线的定义得出 ，再由平行线的性质计算即可得
出答案．
【详解】（1）证明： ，
，
，
，
；
（2）解： 平分 ，
，
， ，
，
，
，
.
24．（本题9分）从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线， 年被称为人形
机器人的 “量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续 年保持全球
最大工业机器人市场地位，专利储备突破 万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，
正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买 ， 两种型号的机器人，已知 型机器
人比 型机器人每小时多搬运 材料，且 型机器人搬运 材料所用的时间与 型机器人搬运 材料所用的时间相同．
(1)求 ， 两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
(2)该公司计划采购 ， 两种型号的机器人共 台，要求每小时搬运材料不得少于
，则至少购进 型机器人多少台？
【答案】(1) 型机器人每小时搬运 材料， 型机器人每小时搬运 材料
(2)至少购进 型机器人 台
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不
等式关系是解题的关键．
（1）设 型机器人每小时搬运 材料，则 型机器人每小时搬运 材料，根据
“ 型机器人搬运 材料所用的时间与 型机器人搬运 材料所用的时间相同”
建立方程并求解即可；
（2）设购进 型机器人 台，则购进 型机器人 台，根据“每小时搬运材料不得
少于 ”列出不等式并解答即可．
【详解】（1）解：设 型机器人每小时搬运 材料，则 型机器人每小时搬运
材料，
，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
当 时， ，
答： 型机器人每小时搬运 材料， 型机器人每小时搬运 材料；
（2）设购进 型机器人 台，则购进 型机器人 台，
解得： ，
是整数，
，的最小值为 ，
答：至少购进 型机器人 台．
25．（本题10分）【知识初探】如图1，正方形 是由两个小正方形和两个小长方形
组成的，根据图形解答下列问题：
（1）用两种不同的方法可以表示正方形 的面积，写成一个等式为________；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知 ， ，则 ________；
②已知 ， ，则 ________；
【拓展延伸】（3）如图2， ， 分别表示边长为 ， 的正方形的面积，且 ， ，
三点在同一条直线上，若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【知识迁移】（4）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）①19；②103；（3）18；（4）25．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的
关键．
（1）观察图形，根据面积的关系即可得出结论；（2）①根据 代入计算即可；
②根据 代入计算即可；
（3）由题意得 ， ，根据割补法求出 ，然后根据
代入计算即可；
（4）设 ， ，由题意得 ， ， 由
代入计算即可．
【详解】解：（1）通过两种表达方式相等，得到等式： ，
故答案为： ；
（2）①∵ ， ，
∴ ，
故答案为：19；
②∵ ， ，
∴ ，
故答案为：103；
（3）由题意得 ， ，
∴
；
（4）设 ， ，∴ ， ，
∴
．
26．（本题10分）综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，老师给出两个大小形状完全相同的含有 ， 的直角三角板如图1放
置，其中 在直线 上．
（1）如图1， ；
操作探究：
（2）如图2，若三角板 保持不动，三角板 绕点 逆时针旋转一定角度， 平分
， 平分 ， ；
（3）如图3，在图1基础上，若三角板 开始绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，同时
三角板 绕点 以每秒 的速度逆时针旋转，当 转到与 重合时，两三角板都停
止转动．在旋转过程中，当 三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角
时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
（4）如图4，作三角板 关于直线 的对称图形 ．三角板 保持不动，三角
板 绕点 逆时针旋转，当 时，请直接写出旋转角的度数 ．
【答案】（1）90；（2）30；（3）15秒或 秒；（4）30或210
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，角平分线的定义，旋转的性质，轴对称图
形的性质，平行线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）可求出 ，再由平角的定义可得答案；（2）由角平分线的定义得到 ，设 ，则
， ，则可得到 ，求出 即可得到
答案；
（3）分①当 平分 时， ②当 平分 时， ③当 平分 时，三种
情况分别建立方程求解即可；
（4）分图①和图②两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 平分∠
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当 转到与 重合时，两三角板都停止转动，
∴ 秒，
分三种情况讨论：
①当 平分 时，根据题意可列方程 ，
解得， ，符合题意；
②当 平分 时，根据题意可列方程 ，
解得， ，符合题意；
③当 平分 时，根据题意可列方程 ，
解得， ，不符合题意舍去，所以，旋转时间为15秒或 秒时， 三条射线中的其中一条射线平分另两条射
线的夹角；
（4）如图①，
∵ 与 关于 对称，
∴ ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴旋转角度数为： ；
②如图②，
若 ，则
∴
∴旋转角度数为： ；
综上，当 时，旋转角的度数为 或 ．
