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第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022 新高考一卷第三题
在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
【解析】
【解法一】(向量回路)：如图，
，
，即 ．故选： ．
【解法二】 (特殊化建系)：取 C 为直角，并以 C 为原点，CA、CB 所在直线分
别为x，y轴建立直角坐标系，设 A(3a,0),B(0,3b)，由BD=2DA知D为靠近A的
三等分点，从而D(2a,b)，∴ 。
【试题评价】本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基
础题．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也
可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.
在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原
点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导
学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他
向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题
在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量
基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.
知识要点整理
一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
1 2
这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
1 2 1 1 2 2
2．基底：若e ，e 不共线，我们把{e ，e }叫做表示这一平面内所有向量的一个
1 2 1 2
基底．
反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面
内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，
进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出
要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个非零向量 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝
b，则 ∠ AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、 向量数量积的定义
已知两个非零向量 a，b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量 a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案 在实数中，若 a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若 a≠0，且
a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、 投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过
AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A ，B ，得到
1 1
A1B1，我们称上述变换为向量 a向向量 b的投影，A1B1叫做向量 a在向量 b上
的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON的垂线，
垂足为 M ，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量．设与 b 方向相同的单位
1
向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos θ e.
五、 平面向量数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 θ，e 是与 b 方向相同的单位向量．
则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
三年真题
1．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
2．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【详解】解： , ,即 ,解得 ,故选：C
4．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
5．在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
6．已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【详解】如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以 成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A
在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的
方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.8．（多选）已知 为坐标原点，点 ， ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
9．设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是_______．
【答案】
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设
,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
10．已知向量 ．若 ，则 ______________．【答案】 ##
【详解】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
11．设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
【答案】
【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
13．已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为
x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】由题意，设 ，则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
14．已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15．若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
16．已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
17．已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
四、双空题
18．在 中， ，D是AC中点， ，试用 表示 为___________，若，则 的最大值为____________
【答案】
【详解】方法一：
， ，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．故答案为： ； ．
19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交
AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
【答案】 1
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
20．已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________； ________.
【答案】 0 3
【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
三年模拟
一、单选题1．已知圆 的弦AB的中点为 ，直线AB交y轴于点M，则 的值为
（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】A
【详解】由题设可得 ，圆心 ，则 ．
根据圆的性质可知， ，
∴AB所在直线的方程为 ，即 ．
联立方程 ，可得： ，
设 ， ，则 ，故 ，
中，令 ，得 ，
∴ .
故选：A．
2．如图，在 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】
.
故选：A
3．设 ，若向量 、 、 满足 ，且 ，则满足条件的k的取值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
即 ，
得 ，又 ，所以 ，
所以k的取值可以是2.
故选：B.
4．若向量 满足 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【详解】向量 满足 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：C5．已知O是 内一点， ，若 与 的面积之比为 ，则实数m的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，
设 ，则 .
由于 ，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵ 与 反向共线， ，∴ ，∴ ，
∴ .
故选：D
6．已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由已知 ，
因为 ，所以 .所以 在 方向上的投影向量为 .
故选：B．
二、填空题
7．已知向量 ，若 ，则 ___________.
【答案】 ##
【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得 ，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，得 ，则 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
8．已知向量 ，若 ，则 ______.
【答案】3
【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式即可求出结果.
【详解】因为向量 且 ，
所以 解得 ，
故答案为：3
9．已知 ， ，则 ______．【答案】
【详解】由题意得， ，所以 ．
故答案为： ．
10．如图，在 中，点D、E是线段BC上两个动点，且 ，，则 的最小值
为______.
【答案】8
【详解】设 ， ，则 ， ， ，
，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
即 ，同理可得 ，若 则， ，因为 ， ，所以
，所以 ，即 ，此时 三点重合，与已知矛盾，所以
，同理
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号；所以 的最小值为8．
故答案为：8．
11．已知 ， ，且 ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题意， ，故 均在圆心为原点，半径为2的圆上.
①当 为直径时， ，
又 为 在直径 上的投影，故 ，此时 ；
②当 不为直径时， ，设 ，
数形结合可得 在 上的投影 ，
故 ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
综上可得 的取值范围是 .
故答案为：
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值是_____________．
【答案】【详解】解：由题知， 三点共圆，圆心为坐标原点，半径为 ，
所以， ，
设 ，
数形结合可得 在 上的投影 ，
所以， ，即 ，
故当 ， 时 有最小值 ，此时 .
当 时， 时 有最大值 ，
所以，
综上， 的取值范围是 ，
所以， 的最小值是
故答案为：
13．已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小值为 ，若向量 满足
，则 的取值范围为______．
【答案】
【详解】设向量 与 的夹角为 ， ，则 ，，
所以当 时， 取得最小值为 ，
即 ，
所以 .
如图所示，设 ，三角形 是等边三角形，
设 是 的中点，则 ，
由于 ，所以 ，
所以 点的轨迹是以 为直径的圆，圆的半径为 ，
根据圆的几何性质可知， 即 的取值范围为 .
故答案为：
14．已知平面向量 、 满足 ， ，则 在 方向上的数量投影的最小值是______.
【答案】2【详解】因为 在 方向上的数量投影为 ，
所以当 最小时，数量投影取得最小值.
设 ，则 .
因为 ，则当 时， 有最小值6.
所以， 在 方向上的数量投影的最小值是 .
故答案为：2.
15．在 中, ,且 在 方向上的数量投影是-2,则 的最小值为____________.
【答案】
【详解】解:由题知 在 方向上的数量投影是-2,
,
,
,即 ,
记 ,
则 ,
若求 的最小值即求 的最小值,
过点 作 的垂线交 于点 ,此时 最小,
如图所示:,
故答案为:
16．设向量 ， 满足 ，则 __________.
【答案】3
【详解】由题意 得 ，
故答案为：3
17．在空间直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，则 在 方向上的投影向量的坐标
为_________.
【答案】
【分析】先求出 和 的坐标，再根据投影向量的定义可得答案.
【详解】依题意：
所以 在 方向上的投影向量为：
故答案为：
三、解答题
18．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由余弦定理及 得：
，
又 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 .
（2）由 ，
所以 ，由（1） ，
所以 ，
因为 为 边上的中线，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 边上的中线 的长为： .
