文档内容
专题 16 函数与导数常见经典压轴小题全归类
【命题规律】
1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小．
2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，
属综合性问题．
【核心考点目录】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
核心考点二：函数嵌套问题
核心考点三：函数整数解问题
核心考点四：唯一零点求值问题
核心考点五：等高线问题
核心考点六：分段函数零点问题
核心考点七：函数对称问题
核心考点八：零点嵌套问题
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
核心考点十：倍值函数
核心考点十一：函数不动点问题
核心考点十二：函数的旋转问题
核心考点十三：构造函数解不等式
核心考点十四：导数中的距离问题
核心考点十五：导数的同构思想
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
核心考点十七：三次函数问题
核心考点十八：切线问题
核心考点十九：任意存在性问题
核心考点二十：双参数最值问题
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．12．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
4．（2022·天津·统考高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若
至少有3个零点，则实数 的取值范围为______.
5．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值
点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数 则 ________；若当 时，
，则 的最大值是_________．
8．（2022·全国·统考高考真题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
9．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
________；a的最大值为___________．
【方法技巧与总结】
1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，
当出现 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在
分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否
满足相应段自变量的取值范围．
2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，
其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）．
3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对 进行分类讨论
将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点
解不等式．
4、分段函数零点的求解与判断方法：（1）直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合
求解．
5、动态二次函数中静态的值：
解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图象的开口、对
称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题．
6、动态二次函数零点个数和分布问题：
通常转化为相应二次函数的图象与 轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通过对称轴，根的
判别式，相应区间端点函数值等来考虑．
7、求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型：
（1）对称轴变动，区间固定；
（2）对称轴固定，区间变动；
（3）对称轴变动，区间也变动．
这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，
明确函数的单调情况，从而确定函数的最值．
8、由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导函数的图象
来研究原函数的图象．如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函数的（变号）零点研究原
函数的极值点（最值点）；综合借助导函数的图象画出原函数的图象并研究原函数的零点…
具 体 来 说 ， 对 于 三 次 函 数 ， 其 导 函 数 为
，根的判别式 ．
判别式
图象
增区间：
增区间：
单调性 ， ； 增区间：
减区间：图象
（1）当 时， 恒成立，三次函数 在 上为增函数，没有极值点，有且只有一个零
点；
（2）当 时， 有两根 ， ，不妨设 ，则 ，可得三次函数 在
， 上为增函数，在 上为减函数，则 ， 分别为三次函数
的两个不相等的极值点，那么：
① 若 ，则 有且只有 个零点；
② 若 ，则 有 个零点；
③ 若 ，则 有 个零点．
特别地，若三次函数 存在极值点 ，且 ，则 地解析式
为 ．
同理，对于三次函数 ，其性质也可类比得到．
9、由于三次函数 的导函数 为二次函数，其图象
变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图象对称中心应当为点 ，
此结论可以由对称性的定义加以证明．事实上，该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点．
10、对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同．导数的几何意义就是求图象在该店
处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如果是过某一点，一定要
设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可．
11、恒成立（或存在性）问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题．
12、如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解，常见的是利用
函数单调性求解函数的最大、最小值．
13、当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求解，即利用数
形结合思想解决恒成立（或存在性）问题，此时应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定
区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围．
14、两类零点问题的不同处理方法
利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 ．．①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ．
②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，
在每个单调区间内取值证明 ．
15、利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
16、已知函数零点个数求参数的常用方法
（1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件
构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合
题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【核心考点】
核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型
【典型例题】
例1．（2023·浙江奉化·高二期末）若函数 至少存在一个零点，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2023·天津·耀华中学高二期中）设函数 ，记 ，若函数
至少存在一个零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
例3．（2023·湖南·长沙一中高三月考（文））设函数 （其中 为自然对数的底数），
若函数 至少存在一个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点二：函数嵌套问题
【典型例题】例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，设关于 的方程
有 个不同的实数解，则 的所有可能的值为
A． B． 或 C． 或 D． 或 或
例5．（2023·全国·高三专题练习（文））已知函数 ， 若关于x的方
程 有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·河南·高三月考（文））已知函数 ，若关于 的方程 有且
仅有三个不同的实数解，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
核心考点三：函数整数解问题
【典型例题】
例7．（2023·福建宁德·高三）当 时， 恒成立，则整数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
例8．（2023·江苏·苏州大学附属中学高三月考）已知 ，关于x的一元二次不等式 的解
集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13 B．21 C．26 D．30
例9．（2023·江苏宿迁·高一月考）用符号[x]表示不超过x的最大整数（称为x的整数部分），如[﹣1.2]=
﹣2，[0.2]=0，[1]=1，设函数f（x）=（1﹣lnx）（lnx﹣ax）有三个不同的零点x，x，x，若[x]+[x]+
1 2 3 1 2
[x]=6，则实数a的取值范围是（ ）
3
A． B． C． D．
核心考点四：唯一零点求值问题
【典型例题】
例10．（2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知函数 有唯一零点，则 （
）
A． B． C． D．
例11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且
，若函数 有唯一零点，则正实数 的值为（ ）A． B． C． D．
例12．（2023·新疆·莎车县第一中学高三期中）已知函数 ， 分别是定义在 上的偶函数和奇函
数，且 ，若函数 有唯一零点，则实数 的值为
A． 或 B．1或 C． 或2 D． 或1
核心考点五：等高线问题
【典型例题】
例13．（2023·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知函数 ，若方程 的
个不同实根从小到大依次为 ， ， ， ，有以下三个结论：① 且 ；②当 时，
且 ；③ ．其中正确的结论个数为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2023·江苏省天一中学高三月考）已知函数 ，若方程 有3个不同的实根
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2023·浙江·高一单元测试）已知函数 ，其中 ，若方程
有四个不同的实根 、 、 、 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
核心考点六：分段函数零点问题
【典型例题】
例16．（2023·山东青岛·高三期末）已知函数 ，若方程 有4个不相同
的解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若函数 有两个零
点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例18．（2023·江苏·高三专题练习）已知函数 ，函数 ，若 有两
个零点，则m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
核心考点七：函数对称问题
【典型例题】
例19．（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））已知函数 的图象上有且仅有四个
不同的点关于直线 的对称点在 的图象上,则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
例20．（2023·全国·高一课时练习）若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数 的
图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对 是函数 的一个“友好点对”（注：点对 与
看作同一个“友好点对”）．已知函数 ，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例21．（2023·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y＝f(x)图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点
对[A，B]是函数y＝f(x)的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）已知
函数 ，则此函数的“黄金点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
核心考点八：零点嵌套问题
【典型例题】
例22．（2023·湖北武汉·高三月考）已知函数 有三个不同的零点 .其
中 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
例23．（2023·全国·模拟预测（理））已知函数 有三个不同的零点 （其中
），则 的值为A． B． C． D．
例24．（2023·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知函数 ，有三个不同
的零点，（其中 ），则 的值为
A． B． C．-1 D．1
核心考点九：函数零点问题之三变量问题
【典型例题】
例25．（2023·全国·高三）若存在两个正实数 、 ，使得等式 成立，其中
为自然对数的底数，则实数 的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
例26．（2023·山东枣庄·高二期末）对于任意的实数 ，总存在三个不同的实数 ，使得
成立，其中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
例27．（2023·四川省新津中学高三月考（理））若存在两个正实数 ，使得等式 成立，其
中 为自然对数的底数，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
核心考点十：倍值函数
【典型例题】
例28．（河南省郑州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题）对于函数 ，
若存在区间 ，当 时的值域为 ，则称 为 倍值函数.若 是
倍值函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例29．（2023·四川·内江市教育科学研究所高二期末（文））对于函数 ，若存在区间 ，当
时， 的值域为 ，则称 为 倍值函数.若 是 倍值函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例30．（2023·吉林·长春十一高高二期中（理））对于函数 ，若存在区间 ，当 时，
的值域为 ，则称 为 倍值函数．若 是 倍值函数，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
核心考点十一：函数不动点问题
【典型例题】
例31．（2023·广东海珠·高三期末）设函数 （ 为自然对数的底数），若曲线
上存在点 使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例32．（2023·山西省榆社中学高三月考（理））若存在一个实数t，使得 成立，则称t为函数
的一个不动点.设函数 ( ，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数
满足 ，且当 时， .若存在 ，且 为函
数 的一个不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例33．（2023·四川自贡·高二期末（文））设函数 ，若存在 ( 为自然对
数的底数)，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
核心考点十二：函数的旋转问题
【典型例题】
例34．（2023·上海市建平中学高三期末）双曲线 绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f
（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题，其中真命题的个数为（ ）①f（x）是奇函数；
②f（x）的图象过点 或 ；
③f（x）的值域是 ；
④函数y＝f（x）－x有两个零点．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
例35．（2023·山东青岛·高三开学考试）将函数 的图象绕点 逆时针旋转
，得到曲线 ，对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 最大时的正切值为（
）
A． B． C． D．
例36．（2023·浙江·高三期末）将函数 的图像绕着原点逆时针旋转角 得到曲线 ，
当 时都能使 成为某个函数的图像，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
核心考点十三：构造函数解不等式
【典型例题】
例37．（2023·江西赣州·高三期中（文））已知函数 满足 ，且 的导数 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例38．（2023·全国·高二课时练习）设定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，
，则不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例39．（2023·全国·高二课时练习）已知 的定义域为 ， 为 的导函数，且满足
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
核心考点十四：导数中的距离问题
【典型例题】例 40．（2023 春•荔湾区期末）设函数 ，其中 ， ，存在 使得
成立，则实数 的值是
A． B． C． D．1
例41．（2023•龙岩模拟）若对任意的正实数 ，函数 在 上都是增函数，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D． ，
例42．（2023•淮北一模）若存在实数 使得关于 的不等式 成立，则实数 的
取值范围是
A． B． C． ， D． ，
核心考点十五：导数的同构思想
【典型例题】
例43．（2023·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 在 恒成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例44．（2023·安徽·合肥一中高三月考（理））设实数 ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例45．（2023·宁夏·石嘴山市第一中学高二月考（理））若对任意 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法
【典型例题】
例46．（2023·浙江·高三月考）已知函数 ，不等式 对任意 恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例47．（2023·四川省资中县第二中学高二月考（理））关于 的不等式 对任意
恒成立，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
例48．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的
最大值为_______．
核心考点十七：三次函数问题
【典型例题】
例49．（2023·全国·高三课时练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次
函数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
例50．（2023·安徽·东至县第二中学高三月考（理））人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数
都有对称中心，其对称中心为 （其中 ）.已知函数 .若
，则 （ ）
A． B． C． D．
例51．（2023·全国·高三月考（文））已知 ， ， ，若三次函数 有三个零
点 ， ， ，且满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点十八：切线问题
【典型例题】
例52．（2023·云南红河·高三月考（理））下列关于三次函数 叙述
正确的是（ ）
①函数 的图象一定是中心对称图形；
②函数 可能只有一个极值点；
③当 时， 在 处的切线与函数 的图象有且仅有两个交点；
④当 时，则过点 的切线可能有一条或者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④例53．（2023·江西·南昌二中高三月考（文））若函数 的图象与曲线C:
存在公共切线，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
例54．（2023·全国·高二单元测试）若过点 可以作曲线 的两条切线，则( )
A． B． C． D．
核心考点十九：任意存在性问题
【典型例题】
例55．（2023·河南·郑州外国语中学高三月考（理））若不等式
恒成立，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D． .
例56．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 对 ，总有 ，使
成立，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
例57．（2023·全国·高二课时练习）已知 ，若 ，且 对任意 恒成
立，则k的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
核心考点二十：双参数最值问题
【典型例题】
例58．（2023·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）已知 ，且 ，对任意 均有
，则（ ）
A． B． C． D．
例59．（2023·山西运城·高三期中（理））已知在函数 ， ，若对
， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例60．（2023·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））当 时，不等式 ， ，
恒成立，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
核心考点二十一：切线斜率与割线斜率【典型例题】
例61．（2023·广东·佛山一中高三月考）已知函数 ，在函数 图象上任
取两点 ，若直线 的斜率的绝对值都不小于 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例62．（2023·山西大同·高一期中）已知函数 是定义在R上的函数，且 是奇函数， 是偶
函数， ，记 ，若对于任意的 ，都有 ，
则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例63．（2023·全国·高一课时练习）已知函数 ，若对任意的 ， ，且 ，
都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）
【典型例题】
例64．设二次函数 在 上有最大值，最大值为 （a），当 （a）取最小值时，
A．0 B．1 C． D．
例65．（2023春•绍兴期末）已知函数 ， ， ，设 的最大值为 ，若
的最小值为1时，则 的值可以是
A． B．0 C． D．1
例66．（2023•济南模拟）已知函数 ，若对任意的实数 ， ，总存在 ， ，
使得 成立，则实数 的取值范围是
A． B． ， C． ， D． ，
核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题
【典型例题】例67．（2023春•湖州期末）若存在正实数 ， 使得不等式 成立，则
A． B． C． D．
例68．（2023•上饶二模）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A．2 B．1 C．0 D．
例69．（2023•崇明区期末）若不等式 对 ， 恒成立，则 的值等于
A． B． C．1 D．2
核心考点二十四：函数的伸缩变换问题
【典型例题】
例70．（2023·天津一中高三月考）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例71．（2023·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
例72．（2023届山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【新题速递】
一、单选题1．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知函数 ，若函数
，存在5个零点，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．
2．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数 ， 若函数 ，则函
数 的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A．4 B． C． D．5
4．（2023春·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知实数 ， ， ，则下列说法中，正确的
是（ ）．
A． B．存在a，b，使得
C． D．存在a，b，使得直线 与圆 相切
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，动点C在曲线T： 上，若
△ABC面积的最小值为1，则 不可能为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江温州·统考模拟预测）已知P为直线 上一动点，过点P作抛物线 的两条
切线，切点记为A，B，则原点到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2023春·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知 ， ，直线 与曲线
相切，则 的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
8．（2023春·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x的不等式 对于任
意 恒成立，则整数k的最大值为（ ）A．-2 B．-1 C．0 D．1
二、多选题
9．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知函数 ， ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 在 上是增函数
B． ，不等式 恒成立，则正实数 的最小值为
C．若 有两个零点 ，则
D．若 ，且 ，则 的最大值为
10．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 有三个不同的极值点 ， ， ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 为函数 的极大值点 D．
11．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数 ，其中 ， 为实数，则下列条件
能使函数 仅有一个零点的是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
12．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）定义在 上的函数 的导函数为 ，对于任意实数 ，都有
，且满足 ，则（ ）
A．函数 为偶函数
B．
C．不等式 的解集为
D．若方程 有两个根 ，则
13．（2023·浙江温州·统考模拟预测）若函数 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得 在这两
点处的切线重合，则称函数 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是
（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知双曲线C： ，曲线E： ，记两条曲线过点 的切线分别为 ， ，且斜率均为正数，则（ ）
A．若 ， ，则C与E有一个交点
B．若 ， ，则C与E有一个交点
C．若 ，则 与E夹角的正切值为
D．若 ，则 与 夹角的余弦值为
三、填空题
15．（2023·河南郑州·高三阶段练习）正实数 ， 满足 ， ，则 的值为
____________．
16．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ，
，设 ，且函数 的零点均在区间
， ， 内，则 的最小值为__________．
17．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）方程 有唯一的实数解，实数 的取值范围为
__________．
18．（2023春·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知函数 ，若
，且 的最大值为4，则实数 的值为_______．
19．（2023·全国·高三专题练习）若存在 ， ，满足 ，其中 为自
然对数的底数，则实数 的取值范围是___________．
20．（2023·四川资阳·统考模拟预测）若 ，则 的取值范围是______．
