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第三讲 平面向量的线性运算
真题展示
2022 新高考一卷第三题
在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则
A． B． C． D．
试题亮点
（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，
试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也
可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案.
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间.
（3）试题给定了两个基向量 CA，CD，由此可以唯一确定其他向量的代数表示.
在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题.这种代数表示的系数实际
上是仿射坐标系中的坐标，如试题中 CB=-2CA+3CD表示了 CB相对于坐标原
点为C.在基向量为CA和CD的坐标系中，CB的坐标分别是-2和3.教师在指导
学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下 CB的坐标表示或者其他
向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题
在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量
基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握.知识要点整理
一.平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于
1 2
这一平面内的 向量a， 实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋λ e .
1 2 1 1 2 2
2．基底：若e ，e 不共线，我们把{e ，e }叫做表示这一平面内所有向量的一个
1 2 1 2
基底．
反思感悟 平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面
内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，
进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出
要表示的向量．
二、两向量的夹角与垂直
1．夹角：已知两个 a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝
b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示)．
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b反向．
2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.
三、 向量数量积的定义
已知两个非零向量 a，b，它们的夹角为 θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量 a与
b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?
答案 在实数中，若 a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若 a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
四、 投影向量
1．如图，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下的变换：过
AB的起点 A 和终点 B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为 A ，B ，得到
1 1
A1B1，我们称上述变换为向量 a 向向量 b 的 ，A1B1叫做向量 a 在向量 b
上的投影向量．
2．如图，在平面内任取一点 O，作OM＝a，ON＝b，过点 M作直线 ON的垂线，
垂足为 M ，则OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量．设与 b 方向相同的单位
1
向量为e，a与b的夹角为θ，则OM1与e，a，θ之间的关系为OM1＝|a|cos θ e.
五、 平面向量数量积的性质
设向量 a 与 b 都是非零向量，它们的夹角为 θ，e 是与 b 方向相同的单位向量．
则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b| |a||b|.
三年真题
1．已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．52．在 中， ．P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
4．已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件7．（多选）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A
在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
8．（多选）已知 为坐标原点，点 ， ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
9．设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是_______．
10．已知向量 ．若 ，则 ______________．11．设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 _________．
12．已知向量 ， ， ， _______．
13．已知平面向量 满足 .记向量 在 方向上的投影分别为
x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.
14．已知向量 ，若 ，则 __________．
15．若向量 满足 ，则 _________.
16．已知向量 ．若 ，则 ________．
17．已知向量 ，若 ，则 _________．四、双空题
19．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB于点E． 且交
AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为____________．
三年模拟
一、单选题
1．已知圆 的弦AB的中点为 ，直线AB交y轴于点M，则 的值为
（ ）
A．4 B．5 C． D．
2．如图，在 中， ，则 （ ）A． B．
C． D．
3．设 ，若向量 、 、 满足 ，且 ，则满足条件的k的取值可以是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若向量 满足 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知O是 内一点， ，若 与 的面积之比为 ，则实数m的值为
（ ）
A． B． C． D．6．已知单位向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知向量 ，若 ，则 ___________.
8．已知向量 ，若 ，则 ______.
9．已知 ， ，则 ______．
10．如图，在 中，点D、E是线段BC上两个动点，且 ，，则 的最小值
为______.11．已知 ， ，且 ，则 的取值范围是___________.
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值是_____________．
13．已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小值为 ，若向量 满足
，则 的取值范围为______．
14．已知平面向量 、 满足 ， ，则 在 方向上的数量投影的最小值是______.
15．在 中, ,且 在 方向上的数量投影是-2,则 的最小值为____________.16．设向量 ， 满足 ，则 __________.
17．在空间直角坐标系中，点 ，点 ，点 ，则 在 方向上的投影向量的坐标
为_________.
三、解答题
18．在 中，内角 的对边分别为 ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
