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特训 15 高考中的分段函数（六大题型）
1.根据分段函数的函数值求自变量的值或解方程时，应根据分段函数各段的定义域分类讨论，结合各段的
函数解析式求解，要注意求出的自变量的值应满足解析式对应的自变量的区域．
2．分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
3．分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注
意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．
目录：
01 分段函数
02 求参数范围
03 解不等式
04 零点、方程根等问题
05 导数与分段函数
06 分段函数的综合辨析
01 分段函数
1．函数 的值域为 .
【答案】
【分析】分 和 两种情况，结合幂函数以及指数函数单调性求值域.
【解析】解：当 时， 单调递减，所以函数的值域为 ，
当 时， 单调递增，所以函数的值域为 ，
综上所述，函数 的值域为 .
故答案为：
2．已知函数 为奇函数，则 等于（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】C【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出 值即可.
【解析】依题意，当 时， ，则 ，
而当 时， ，因此 ，则 ， ，
当 时， ，则 ，
又 ，于是 ， ，
所以 ，所以 .
故选：C
3．定义在 上的函数满足 ，则 ， .
【答案】 1
【分析】由分段函数的性质知 ，从而得到函数的周期为6，再计算相关值即可.
【解析】因为 ，
所以 ，
则 ，故 ，
即函数的周期 ，
则 ，
.
故答案为：1； .
02 求参数范围
4．若函数 ，在 上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数性质判断 上 的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性
质，讨论参数确定参数范围.
【解析】当 时， 单调递增且值域为 ，而 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，且 ，
当 时， 在 上单调递增，满足题设；
当 时， 在 上单调递增，此时只需 ，即 ；综上， .
故选：A
5．已知函数 是 上的增函数，则a的取值范围是是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可.
【解析】 是 上的增函数，则要满足：
，解得 .
故选：B.
6．已知 ， 在R上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，当 时，得到 ，由题知 在 上恒
成立，利用基本不等式，得到 ，从而有 ，再根据题设有 ，即可求解.
【解析】因为 ，
当 时， ， ，
所以 时， ，即 在区间 上单调递增，
当 时， ，
所以 ，由题知 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，
又由 ，得到 ，所以 ，
故选：A.
7．函数 在R上单调，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用导数分别求解 和 时的单调性，再结合 在 上递增，可得 ，即可求
解.
【解析】由题意，函数 在 上单调递增，当 时， ，依题需使
恒成立，则 ；
当 时，由 在 上递增，需使 在 上恒成立，则
，即 ；
又由 在 上递增，可得 ，解得 .
综上可得， 的取值范围是 .
故选：C.
8．已知函数 （ 且 ），若函数 的值域为 ，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知当 时， ，由题意可知当 时，则 的值域包含 ，分
和 两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【解析】当 时，则 ，
且 ，所以 ，
若函数 的值域为 ，可知当 时，则 的值域包含 ，
若 ，则 在 内单调递减，
可得 ，不合题意；若 ，则 在 内单调递增，
可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：实数a的取值范围是 .
故选：B.
9．已知分段函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过分段函数的单调性，结合区间，转化求解 的取值范围即可.
【解析】分段函数 的图象如下：
函数的单调增区间为： ， ，
所以分段函数 在区间 上单调递增，
则 或 ，解得： 或 ，
故选：D
10．已知函数 在区间 内单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，需 在 上单调递增，且 ，利用二次函数的性质分
类讨论可求 的取值范围.
【解析】易知当 时， 单调递增，
由题意，需 在 上单调递增，且 ，即 ．
若 ，则 ，解得 ；若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 恒成立．
综上， 的取值范围是 ．
故选：A.
11．已知函数 满足：对任意 ，当 时，都有 成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.
【解析】对任意 ，当 时都有 成立，
所以函数 在 上是增函数，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：C.
03 解不等式
12．已知函数 若 ，则实数a的取值范围是
【答案】
【分析】作出函数 的图象，从而得 在 上单调递增，令 ，可得
上在 上单调递增，将问题转化为 ，即可得答案.
【解析】因为当 时， ，
,
当 时， ，
,
又 ，
综上， 为 上的奇函数，
当 时， ，由二次函数的性质可知此时函数在 上单调递增，
又因为 为 上的奇函数，
所以函数 在 上单调递增，
作出函数 的图象，如图所示：
令 ，
根据复合函数的单调性可知， 在 上单调递增，
则 上在 上单调递增，且 ，
则将原不等式转化为 ，
解得 ,
所以a的取值范围是 ．
故答案为： ．
13．已知 且 ，则满足不等式 的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先利用导数研究 的单调性，从而得出 的单调性，再构造 判
定其单调性，解不等式即可.
【解析】易知 ，
则 时， ， 单调递增，
而 ，所以 在 上单调递增，
且 ，故有 在R上单调递增，
由复合函数单调性知 在R上单调递减，
令 ，则 在R上单调递增，
又 ，
故 ．故答案为： .
14．已知函数 ，若 ，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】先根据对数函数和一次函数的单调性判断分段函数的单调性，然后根据函数单调性解不等式即可
求解.
【解析】因为当 时， 是单调递增函数，此时 ，
当 时， 是单调递增函数，此时 ，
所以 是定义在 上的单调递增函数，
所以若 即 ，
则 ，解得 .
故答案为：
04 零点、方程根等问题
15．已知 ，则方程 实数根的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】由方程 先求出 或 或 ，再解方程即可．
【解析】解： 当 时，
①
，
解得， ，
或 ，或 ，
故 或 ；
若 ，则 ，
②
或 ，
或 ，
若 ，则 或 ，
则 或 或 ；
若 ，则 或 ，
则 （舍去）或 或 ，
综上所述，方程 实数根的个数是7，
故选：C．
16．已函数 则函数 的零点个数为 .
【答案】6
【分析】根据函数 的零点个数等价于函数 与 的图象交点个数，在同一坐标系下画出
与 的图象，由此求出结果．
【解析】函数 的零点个数等价于函数 与 的图象交点个数，
当 时， ，
所以 ，
所以当 时， 是周期为4的函数；
当 时， ；
所以 的图象如图所示，
在同一坐标系下画出 的图象，
因为 ，所以两函数有6个交点，即函数 有6个零点．
故答案为：6．17．已知函数 ，若a，b，c，d互不相等，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若 ，将问题转化为
曲线 与直线 的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可
得 ， ， ，结合对勾函数的性质求范围即可．
【解析】令 ，则 或 ，令 ，则 或 ，
由解析式知： 在 上递减且值域为 ，在 上递增且值域为 ，在 上递减且值
域为 ，在 上递增且值域为 ．
作出 的草图如下，
令 ，不妨设 ，则 ， ， ， 为曲线 与直线 的交点
横坐标，
由图知： ， 且 ，
则 ，
由对勾函数可知 在 上递减，故 ，
故 .
故选：C
18．已知函数 是定义在R上偶函数，当 时， ，若函数 仅有
4个零点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据 的性质画出函数 图象，然后把函数 仅有4个零点，转化为函数
与 有4个交点，数形结合即可求解.
【解析】当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
又函数 是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数 图象：
因为函数 仅有4个零点，所以函数 与 有4个交点，
根据图象可知： ，即实数 的取值范围是 .
故选：A.
19．已知函数 ，若存在唯一的整数 ，使得 成立，则所有满足条件的
整数a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出 的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与 连线的直线斜率小于0，结合图象
即可求得 范围.
【解析】作出 的函数图象如图所示：表示点 与点 所在直线的斜率，
可得曲线 上只有一个点 （x为整数）和点 所在直线的斜率小于0，
而点 在动直线 上运动，
由 ， ， ， ，且 为整数，
可得当 时，至少有点 两个点满足 ，不满足题意；
当 时，只有点 满足 ，满足题意；
当 时，只有点 满足 ，满足题意；
当 时，至少有两个点 满足 ，不满足题意；
综上所述，由a为整数，可得a的取值集合为 .
故选：A.
20．已知 ，若 互不相等且 ，且 ，则 的范
围是 ．
【答案】
【分析】画出函数 的大致图象，根据图象知 ， ，且 ， ，再
建立 的函数并结合对勾函数求出范围.
【解析】函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增， ，
画出 的图象，如图，因为 ，由 ，得 ， ， ，
由 ，得 ，即 ，由 ，得 ，
于是 ，由对勾函数性质知， 在 上递增，则 ，
所以 的范围是 ．
故答案为：
21．设函数 ，且关于x的方程 恰有3个不同的实数根 ， ， (
)，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】画出 的图象，得到 ， ，并解得 ，因为
的两根为 和 ，所以 ， ，故
，换元后求出取值范围.
【解析】画出函数 的图象，如下图：
因为关于x的方程 恰有3个不同的实数根 ( )，
则 ， ， ，
所以 或 （舍去），
又 ，即 的两根为 和 ，所以 ， ，， ，
，
令 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，
，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
又 或3时， ，
所以 ．
故答案为：
【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，
借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，还要熟练掌握函数图象的变换，包括
平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
05 导数与分段函数
22．设 ，满足 ，则 ．
【答案】2
【分析】根据式子结构，构造同构的形式 ，定义函数
，判断出 在R上单调递增且为奇函数，即可得到 ，即可求出结
果.
【解析】 可化为 ，
记 ，函数定义域为R.
因为 ，所以 在R上单调递增.
又 ，所以 为奇函数.
所以由 可得 ，所以 .
故答案为：2.
23．若函数 的图象存在垂直于 轴的切线，又 ，且有，则 的最小值为 .
【答案】3
【分析】求出函数 的导数 ，由导数的几何意义可得 有解，由此求出 的最小值，再由
分段求出 的值即可得解.
【解析】依题意，函数 的定义域为 ，求导得 ，
由函数 的图象存在垂直于 轴的切线，则存在 ，使得 成立，
因此 ，当且仅当 ，即 时取等号，
又 ，即 ，则 ，
所以 的最小值为3.
故答案为：3
06 分段函数的综合辨析
24．已知函数 ，给出下列四个结论：
对任意实数 ，函数 总存在零点；
①存在实数 ，使得函数 恒大于0；
②对任意实数 ，函数 一定存在最小值；
③
存在实数 ，使得函数 在 上始终单调递减.
其中所有正确结论的序号是 .
④
【答案】
【分析】①根据④二次函数以及对数函数的性质即可求解零点，结合函数图象即可求解 ，根据 时，当
时， ，以及 时，由于 ，即可判断 ，根据① ，结合二次函
数的性质即可求解 ，根据 时，对数函数的性质即可判断 .
②
③ ④
【解析】令 ，则 或 ，令 ，则 ，
且 和 的图象分别如下所示：
当 时， 的零点有 和 ，当 时， 的零点有 ，故 正确，
对于 ,当 时，当 时， ，不①满足题意，
当 ②时，由于 ，不满足 恒大于0；故不存在实数 ，使得函数 恒大于0， 错误，
对于 ,当 时， 的图象如下所示：此时 不存在最小值；故 错误 ②
③ ③
对于 ，当 ， 图象如下：函数 在 上始终单调递减.故 正确
④ ④
故答案为：
①④
25．已知函数 ， ．给出下列四个结论：
存在m，使得 没有最值；
①不存在m，使得 有单调减区间；
②
当 时，函数 只有两个零点；
③
当 时，若a，b，c互不相等，且 ，则 的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
④
【答案】
①③④
【分析】对于 ，取 画出函数图象可以判断；对于 ，当 时，函数在 单调递减；
① ②
对于 ，当 时，画出函数图象，判断其与 有多少个交点即可；对于 ，当 时画出函数图
像，数形结合求解范围即可.
③ ④
【解析】对于 ，取 时， 图象如图所示：
①此时函数不存在最值，故 正确；
①
对于 ，当 时， 的图象大致如下：
②
函数在 上单调递减，故 错误；
②
对于 ，当 时， 图象如图所示：
③
此函数 的图象与 只有两个交点，
所以函数 只有两个零点，故 正确；
对于 ，当 时， 图象如图所示③：
④因为 ,不妨设 ,
则有 ,
又因为 关于 对称，
所以 ,
所以 ,故 正确.
故答案为：
④
①③④
26．已知函数 ，给出下列四个结论.
若函数 有4个零点，则实数k的取值范围为
①
关于x的方程 有 个不同的解
②对于实数 ，不等式 恒成立
③
当 时，函数 的图象与x轴围成的图形的面积为
其中所有正确结论的序号是 ．
④
【答案】
【分析】①分区③间④讨论去掉绝对值号，作出函数图象，数形结合可判断 ，特殊化取 可判断 ，由数
形结合判断 ，借助图象归纳规律可判断 .
① ②
③ ④
【解析】当 时， ；
当 时， ；
当 ，则 ， ；
当 ，则 ， ；
当 ，则 ， ；
当 ，则 ， ；
依次类推，作出函数 的图像：对于 ，函数 有4个零点，即 与 有4个交点，
如图①，直线 的斜率应该在直线m， l的斜率之间，
又 ， ， ，故 正确；
①
对于 ，当 时， 有3个交点，与 不符合，故 错误；
② ②
对于 ，对于实数 ，不等式 恒成立，即 恒成立，
③
由图知函数 的每一个上顶点都在曲线 上，故 恒成立，故 正确；
③
对于 ，当 时， 由图象可知：所求图象为高为 的三角形，
④
所以函数 的图像与x轴围成的图形的面积为 ，故 正确；
故答案为：
④
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
①③④
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象，利用数形结合的方法求解.
27．已知函数 若关于 的方程 有 个不等的实
根
，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时， 的取值范围为
C．当 时， D．当 时， 的取值范围为
【答案】C
【分析】令 ，求出方程 的两根，数形结合可判断A选项；根据零点个数得出关
于 的不等式组，求出 的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.
【解析】令 ，则 ， ，A.当 时， ， ，由 有 解， 有4解，故 ，A错；
B.当 时，则方程 、 各有一解，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
由图可得 ，解得 ，B错；
C.当 时，如下图所示：
由图象可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ， ，由 可得 ，所以， ，
则 ，因此， ，C对；
D.当 时，有两种情况： 或 ，
从而可得 的范围为 ，D错.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图
象，利用数形结合的方法求解.
一、单选题
1．（2017·山西吕梁·一模）已知函数 ，则 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考虑 和 两种情况，根据二次函数性质结合均值不等式计算得到答案.
【解析】当 时， ；当 时， ，当 时等号成立.
故函数值域为 .
故选：B.
【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
2．（2018·江西南昌·一模）设函数 ，若 是 的最小值，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，求得 的范围；再求得 的单调性，讨论 ， 时函数 在 的
最小值，即可得到所求范围．
【解析】解：函数 ，
若 ，可得 ，
由 是 的最小值，
由于
可得在 单调递增，在 单调递减，
若 ， ，则 在 处取得最小值，不符题意；
若 ， ，则 在 处取得最小值，
且 ，解得 ，
综上可得 的范围是 ， ．
故选： ．
【点睛】本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数的单调性，考查运
算能力，属于中档题．
3．（2019·福建龙岩·三模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】判断函数单调性和对称性，根据对称性和单调性得出 和 距离对称轴的远近关系，
列不等式求出解集．
【解析】解：函数 ，画出函数 的图象知， 关于 对称，且在 ， 上是单调减函数；
，且 恒成立，
，即 ，
当 时，不等式化为： ，
即 ，解得 ，即 ；
当 时，不等式化为： ，
即 ，解得 或 ，即 或 ；
综上， 时，实数 的取值范围是 ， ， ．
故选： ．
【点睛】本题考查了函数对称性、单调性的判断与应用，以及分类讨论绝对值不等式和一元二次不等式的
解法，属于中档题．
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 且 ，若函数 的值域为 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对 进行分类讨论，可得答案.
【解析】 的值域为 ， 且 ，
当 时，
则 ， 为增函数， ，
而 时， 为增函数，
此时， ，不符题意；
当 时，则 ， 为减函数， ，
而 时， 为减函数，
此时， ，
因为 的值域为 ，当且仅当 时，满足题意，
此时， ，则 ，整理得， ，解得 ；
综上， 时满足题意.
故选：A
5．（2020·浙江绍兴·二模）已知函数 若存在唯一的整数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【分析】画出函数图像，讨论 ， ， 三种情况，根据图像得到 或
，解得答案.
【解析】如图所示，画出函数 图像，
当 时， ，即 ，故 ，
即 ，即 ；
当 时，易知不满足；
当 时， ，即 ，故 ，
即 .
综上所述： 或 .
故选：B.【点睛】本题考查了函数不等式的整数解问题，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力，画出图像是解
题的关键.
6．（2023·山西·模拟预测）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” 它在
现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数 ，则下列实数不属于函数 值域的是
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】
根据已知条件求出 ，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
【解析】由题意可知
所以 ， ， ，而 无解.
故选：C.
7．（2017·河北衡水·一模）定义在R上的函数 满足 ，且当 时，
， ，若任给 ，存在 ，使得 ，则实
数a的取值范围为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出 在 ， 上的值域，利用 的性质得出 在 ， 上的值域，再求出 在
， 上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出 的范围
【解析】解：当 时， ，
可得 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，
在 ， 上的值域为 ， ，
在 上的值域为 ， ，
在 上的值域为 ， ，
，，
在 上的值域为 ， ，
当 时， 为增函数，
在 ， 上的值域为 ， ，
，解得 ；
当 时， 为减函数，
在 ， 上的值域为 ， ，
，解得 ；
当 时， 为常数函数，值域为 ，不符合题意；
综上， 的范围是 或 ．
故选： ．
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下
规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
8．（2020·江苏无锡·模拟预测）已知函数 ，其中 表示不超过x的最大
整数.设 ，定义函数 ，则下列说
法正确的有（ ）个.
的定义域为 ；
①设 ， ，则 ；
②
；
③，则M中至少含有8个元素.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
④
【答案】C
【分析】先对 分两段 和 化简 ，再对各项分析判断正误：
对 ，由 ，分段解不等式，求得函数的定义域，判断正误；
对 ，由题中的对应法则，求出集合 ，判断正误；
①
②
对 ，计算 得到其周期性，计算得到 ，判断正误；
对 ，综合 的分析，判断正误.
③
【④解析】当①②③时， ；当 时， ，
则
对 ，有 ，则 或 ，得 ，
①
即定义域为 ，故 正确；
对 ，当 时， ① 成立；
当② 时， 成立；
当 时， 成立，
所以 故 项正确。
②
对 ， ， ，
③
，
一般地
即有
故 错误；
③
对 ，由 可知, 所以 则 所以 ，
由④知, 对① 恒有 所以 则 ，
②
由 知 ，对 恒有 所以
③综上所述, ，所以 中至少含有8个元素，故 正确。
故选：C.
④
【点睛】本题考查了函数的概念及性质的应用，考查了新定义函数的理解与应用，考查了学生分析理解能
力，逻辑推理能力，难度较大.
二、多选题
9．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的值域为
C． 是偶函数 D． ，
【答案】AC
【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.
【解析】 ， ， ，A正确；
，则 的值域为 ，B错误；
时， ， ， ，所以 ，
时， ， ， ， ，所以 为偶
函数，C正确；
时，取 ，此时 ， ，则 ，
D错误.
故选：AC
10．（2023·河北·一模）已知符号函数 ，偶函数 满足 ，当
时， ，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用函数的周期性及给定函数，求出函数 的值域，再结合符号函数逐项判断作答.
【解析】当 时， ，而 是偶函数，则当 ， ，
因此当 时， ，其取值集合为 ，又 ，即 是周期为2的函数，
于是函数 的值域为 ， 的部分图象，如图，当 时， ，A错误；
，B错误；
当 时， ，C正确；
当 时，取 ，则 ，
此时 ，D错误.
故选：ABD
11．（2023·广东韶关·模拟预测）已知 是周期为4的奇函数，且当 时，
.设 ，则（ ）
A．函数 是奇函数也是周期函数
B．函数 的最大值为1
C．函数 在区间 上单调递减
D．函数 的图象有对称中心也有对称轴
【答案】BCD
【分析】根据判断 判断奇函数， 判断周期性，求出 在 的解析式，根据
图象平移写出 在 上解析式并判断奇偶性，进而可得 解析式，结合周期性判断B、C，
最后利用 、 判断D.
【解析】由 ，
令 ，则 ，故 ；
令 ，则 ，故 ；
所以 ，
综上，一个周期内 ，
由 ，
而 ，故 不是奇函数，但周期为4，A错；所以， 是将 图象右移一个单位，故在一个周期 图象如下：
由图象平移知： ，且 为偶函数，
所以 ，故 的最大值为1，B对；
由周期性知： 在 上单调性同区间 ，即单调递减，C对；
由 ，
由 ，
注意：根据周期性有 、 ，
综上， 关于 中心对称、关于 轴对称，D对.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：利用 奇函数、周期性判断 的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求 解析
式，结合图象写出 解析式，最后求出 在一个周期内的解析式关键.
12．（2024·广东佛山·模拟预测）函数 是定义域为 的奇函数，且它的最小正周期是 ，已知
， ．下列四个判断中，正确的有（ ）
A．当 时， 的值只有0或
B．当 时，函数 既有对称轴又有对称中心
C．对于给定的正整数 ，存在 ，使得 成立
D．当 时，对于给定的正整数 ，不存在 且 ，使得 成立
【答案】BC
【分析】A选项，，当 时， ， ，求出 的值域为 ，进而得到，A错误；B选项，由于 为 平移得到，故 的最小正周期也为 ，故
只需研究 即可，当 时， ， ，推出 关于 轴对
称，结合 为奇函数，得到 关于 对称，同理可得 也满足要求，B正确；C选
项，推出 的图象关于点 对称， 的图象关于直线 对称，故
，分 为偶数和 为奇数两种情况，得到C正确；D选
项，先得到函数 的图象关于 轴对称，在C选项基础上，得到 时， ，
此时 ，D错误.
【解析】选项A，当 时， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 时， 的值域为 ，
又 为奇函数，故当 时， 的值域为 ，
故 ，
为 平移得到，故 的最小正周期也为 ，
故函数 的最小正周期为 ，
故函数 值域为 ，故A错误；
B选项，由于 为 平移得到，故 的最小正周期也为 ，故只需研究 即可，
当 时， ， ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，此时 ，故 ，由于 为连续函数，
故 ，故 的图象在 上关于直线 对称，
又 为奇函数，最小正周期为 ，结合图象可知， 在图象在R上关于直线 对称，
所以 ，
令 ，则 ，
将 用 替换，有 ，故 ，
所以 关于 轴对称，
又 为奇函数，故 ，
所以 ，又 ，
故 ，
故 ，
故 关于 对称，所以 既有对称轴，又有对称中心，
当 时，同理可得 既有对称轴，又有对称中心，B正确；
C选项，取 ，则 ，
由于 为奇函数，故 ，
又 的最小正周期为 ，故 ，
即 ，即 ，
故 的图象关于点 对称，
由B选项知， 的图象关于直线 对称，故 的图象关于直线 对称，
所以 ， ，所以 ，
当 为偶数时， ，所以 ，
当 为奇数时， ，所以 ，C正确；
D选项，由于 ，所以 成立，
，故 ，
即 ，
故在 上 ，
又 的图象关于直线 对称，且最小正周期为 ，
故函数 的图象关于 轴对称，
所以 ，而 成立，
所以 ，故存在 成立，D错误.
故选：BC
【点睛】结论点睛：函数的对称性：
若 ，则函数 关于 中心对称，
若 ，则函数 关于 对称，
三、填空题
13．（2024·浙江·一模）若函数 是 上的偶函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据函数 是 上的偶函数，利用特殊值可得答案.
【解析】若函数 是 上的偶函数，则有 ，即 ，解得 ，
当 时，此时 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以函数 是 上的偶函数，符合题意，
则 .
故答案为：1.
14．（2021·北京海淀·模拟预测）已知
当 时， 的值域为 ；
①若 ，则x的取值范围为 ．
②【答案】 或
【分析】根据二次函数性质可求解值域；解不等式即可求x的取值范围.
【解析】 当 时, ,
时，① ，
时， ，对称轴为 ，
所以 ，所以 ，
所以函数的值域为 或 .
时， 无解，
②因为 ， 时， 恒成立，
所以x的取值范围为 .
故答案为: 或 ； .
15．（2020·天津·二模）已知 ，若对任意 ，不等式
恒成立，则非零实数 的取值范围是 .
【答案】 .
【分析】由分段函数得 ，将不等式恒成立问题转化为对任意 ， ，不等式
恒成立，由 的单调性得到 ，运用参数分离，以及函数的单调性，求出
的范围．【解析】 ，
，
对任意 ， ，不等式 恒成立，
即对任意 ， ，不等式 恒成立，
在 上是增函数，
，即 ，
又 ， ，
当 时， 取最小值 ，
，解得 ，
又 ，即 ，
故 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查分段函数及应用、不等式的解法及恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思
想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.
16．（2020·江苏·模拟预测）已知函数 若关于 的不等式
的解集是 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 转化为 ，结合图像，找到临界值，即可得解.
【解析】由不等式 ，
得： ，
作函数 和 的图像如图所示：
注意 和 都过 点，
当 和 相切时，
可得 ，则 ，解得 ，
另外一个临界值为 过点 时，
则： ，
由图像可知：满足条件的实数m的取值范围为： .
故答案为： .
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了数形结合思想，解题的关键是找到临界情况并求值，要求
精确画图，属于较难题.
17．（2021·上海嘉定·二模）已知函数 若对任意的 ，都存在唯一的
，满足 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求得x≥2时的值域，方法一，只需使x＜2时对应的函数图像在该值域区间上只有一个交点即
可，利用数形结合的办法，对参数分类讨论，写出满足的不等式组，求得a的取值范围；方法二：对a分
类讨论，求得函数单调性，利用单调性满足只有一个交点，且值域要比上面求的值域要大，来求得参数的
取值范围.
【解析】解：【法1】当 时， ．因为 ，
而 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 的取值范围是 ．
由题意及函数 的图像与性质可得
或 ，如上图所示．解得 或 ，所以所求实数 的取值范围是 ．
【法2】
当 时， ，即 ，因为 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，所以 的取值范围是 ；当 时，
（1）若 ，则 （ ），它是增函数，此时 的取值范围是
．由题意可得 ，解得 ，又 ，所以 ；
（2）若 ，则 ．函数 在 上是增函数，此时 的取值范
围是 ；而函数 在 上是减函数，此时 的取值范围是 ．由题意可得
，解得 ，又 ，所以 ．
综上，所求实数 的取值范围是 ．
故答案为：[-1,5).
【点睛】关键点点睛：数形结合将函数值问题转化为交点问题，值域范围问题，对参数分类讨论，借助单
调性求解问题.
18．（2020·天津滨海新·模拟预测）已知 ，函数
（1）若 在 上单调递增，则 的取值范围为 ；
（2）若对于任意实数 ，方程 有且只有一个实数根，且 ，函数 的图象与函数
的图象有三个不同的交点，则 的取值范围为.
【答案】
【分析】（1）首先根据题意列出不等式组 ，解不等式组即可.
（2）首先根据已知条件得到 ，画出函数 的图象，利用数形结合的思想即可得到 的取值范
围.【解析】（1）由题知： ，解得 .
（2）因为对于任意实数 ，方程 有且只有一个实数根，且 ，
所以 ，解得 .
所以 ，
函数 的图象如图所示：
令 ，解得 ，即 .
当函数 过 点时， ，
此时函数 与 有两个交点.
联立 ，
当 ，即 时，
此时函数 与 有两个交点.
因为函数 的图象与函数 的图象有三个不同的交点，
所以 .
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查了函数的零点问题，数形结合为解决本题的关键，属于难
题.
